2014高三数学试题(苏州最后一卷)

2014苏州市最后一卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡相应位置上。

1．已知集合A = { x | x 2 ≤1}，B = { x | x > -1}，则A B = ▲ ． 2．设i 是虚数单位，则复数i

1i

z =

-的虚部是 ▲ ． 3． 双曲线2

2

1x my -=的一条渐近线与直线210x y -+=平行，则m = ▲ ． 4． 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，满足2453a a =，则a 6 = ▲ ． 5． 函数ln 2y x x =-的单调增区间是 ▲ ．

6．一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为

▲ ．

7．如右图，下列程序运行结果为 ▲ ．

8．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放

球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ． 9． 已知,αβ是两个不同平面，,a b 是两条不同直线，a ?α，b ?β，

c α

β=．

① 若a //b ，则//a c ；② 若a 与b 相交，则交点一定在直线c 上； ③ 若a c ⊥，则a b ⊥；④ 若,b a b c ⊥⊥则αβ⊥． 其中正确的命题的序号为 ▲ ．

10．将函数()3sin 2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移π

(0)2

?

个单位长度后得到函数为()y g x =，若函数()y g x =是奇函数，则?= ▲ ．

11．在正△ABC 中，已知D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，若CE mAB nAD =+，则m + n

= ▲ ．

12．已知正实数x ，y 满足x + 2y = 2，则

1

2y x y

+的最小值为 ▲ ． 13．椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，A 为椭圆上一点，120AF AF ?=，

2AF 与y 轴交与点M ，若25

4

F M MA =，则椭圆离心率的值为 ▲ ．

i ←1 s ←0

While i <7 i ←i +2

s←s+(2i -1) End While Print s End

（第7题）

14．已知关于x 的函数2sin ()2cos x x f x θ

θ--+=+（0≤x ≤1）的最小值为g (θ)，则对一切θ∈π[0,]2，

g (θ)的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。 15、（本题满分14分）

如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1 = 60°，AB ⊥B 1C ．

（1）求证：平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ； （2）若AB ＝2，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积．

16．（本题满分14分）

在ABC ?中，设,,A B C 所对的边为,,a b c ．已知(2c o s

,3s i n ),

m A A = (cos ,2cos ),n A A =-1m n ?=-．

（1）若23,2,a c ==求ABC ?的面积S 的大小； （2）求2cos(60)

b c

a C -?+的值．

1

1

1

B C A C

B

A

17．如图3，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米．现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．

（1）若围墙AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？

（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1．5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

图3

C Q

P

A B

18．已知椭圆2

214

x y +=左顶点为A ，下顶点B ，分别过A 和B 作两条平行直线l 1和l 2，其中l 1与y 轴交于C 点，与椭圆交于另一点为P ，l 2与x 轴交于D 点，与椭圆交于另一点为Q ，设直线CD 与直线PQ 交于点E ． （1）当直线OP 与直线OQ 的斜率都存在时，

证明：直线OP 与直线OQ 的斜率乘积为定值； （2）证明：直线OE ∥直线l 1．

y x

E

D

C

Q B

O A

P

19．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈

N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．数列{}m b 满足对于任意正整数m ，m b 是使得不等式

(0)n a m λλ>≥成立的所有n 中的最小值．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）当1λ=时，求数列{}m b 的前2m 项的和；

（3）是否存在实数λ，使得32(*)m b m m =+∈N ，若存在，求出满足条件的实数λ；若不存在，请说明理由．

20．已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．

（1）求以()2,(2)P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点； （2）若()g x kx ≤对一切x ∈[0，2]恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式； （3）设a > 0，求()y g x =的单调增区间．

参考答案： 1．{ x | - 1 < x ≤1}

2．

12

3．4 4．3 5． （0，

12

） 6．0.02

7．14 8．

29 9．①② 10．5π12

11．1

2

- 12．2 13．104 14．42133-

15．解：(1)∵侧面AA 1B 1B 为正方形，∴AB ⊥BB 1．

又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，∴AB ⊥平面BB 1C 1C ， 又AB ?平面AA 1B 1B ，∴平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ．

(2)由题意，CB ＝CB 1，设O 是BB 1的中点，连接CO ，则CO ⊥BB 1． 由(1)知，CO ⊥平面AA 1B 1B ，且CO ＝32BC ＝3

2

AB ＝3．

连结AB 1，则1

1

2—1

123·

·363

C ABB ABB V S CO AB CO ?===． ∵1

1

111

—1

23

33

B AB

C C ABB ABC A B C V V V --===

， ∴三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积11123ABC A B C V -=．

16．解：由 1.m n ?=-得22cos 23sin cos 1A A A -=-可知，sin(2)16

A π

-

=．

因为110,2(,)666A A π

πππ<<-∈-所以，所以262A ππ-=，即3

A π=． （1）由正弦定理可知：sin sin a c A C =

，所以1sin 2C =，因为2(0,)3

C π

∈， 所以6

C π

=

，所以2

B π

=

，所以1

2232

ABC S ?=

??=23． （2）原式=

sin 2sin sin 2sin sin(120)2sin sin cos(60)33

cos(60)cos(60)22

B C B C C C

A C C C --?--==

?+?+?+ =33

cos sin 3cos(60)22233cos(60)cos(60)22

C C

C C C -?+==?+?+．

17．解 设AP x =米，AQ y =米．

A

B

C

A C

B 1

1

1

O

（Ⅰ）则200x y +=，APQ ?的面积

2133sin120()2442

x y S xy xy +=

=≤ 25003=．当且仅当100x y ==时取“=”

． （Ⅱ）由题意得100(1 1.5)20000x y ??+?=，即 1.5200x y +=． 要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以

2222cos120PQ x y xy =+-22x y xy =++

22(200 1.5)(200 1.5)y y y y =-++- 21.7540040000y y =-+（400

03

y <<

） 当8007y =

时，PQ 有最小值20021

7

，此时2007x =． 答：（Ⅰ）当100AP AQ ==米时，三角形地块APQ 的面积最大为25003平方米； （Ⅱ）当2007AP =米800

,7

AQ =米时，可使竹篱笆用料最省．

18．证明：（1）因为椭圆方程为：2

214

x y +=，设直线l 1：y =k (x ＋2), 联立22

(2)

1

4y k x x y =+???+=?? 消去y ，2222

(14)161640k x k x k +++-=，解得P 222284(,)1414k k k k -++, 联立22

1

1

4

y kx x y =-???+=??，消去y ，得22

(14)80k x kx +-=，解得Q 222841(,)1414k k k k -++， 所以k OP ·k OQ =1

4

-

为定值． （2）由（1）可知：P 222284(

,)1414k k k k -++,Q 222

841

(,)1414k k k k -++， 又有C (0,2k ),D (1k ,0)，直线CD 方程为12y kx k +=，联立12y kx y

kx k =??

?+=??

解F (22,2121k k k ++)， 当2882k k +-≠0时，有k PF =22

2421421282

1421

k k

k k k k k -++--

++=22441882k k k k --+-,

k QF =222

4121421821421

k k

k k k k k --++-++=22

441882

k k k k --+-． 则P ，Q ，F 三点共线，同理当2

882k k +-=0时，P ，Q ，F 三点共线，所以直线CD 与直线PQ 的交点为F ，即为E 点，所以点E 在直线y =kx 上，所以直线OE //直线l 1．

19．解 （1）当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2

n －4，

即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2

，

又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列．

又a 2，a 5，a 14成等比数列．∴a 25＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3． 由(1)知a 1＝1．又a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列．∴a n

＝2n －1．

（2）由（1）得21n a n =-，对于正整数n ，由n a m ≥，得1

2

m n +≥． 根据m b 的定义可知

当21m k =-时，(*)m b k k =∈N ； 当2m k =时，1(*)m b k k =+∈N ． ∴1221321242()()m m m b b b b b b b b b -++

+=++

++++

+

(123)[234(1)]m m =++++++++

++

2(1)(3)

222

m m m m m m ++=

+=+． （3）不存在，理由如下：

证法1：假设存在实数λ满足条件，由不等式2n a n m λλλ=-≥及0λ>得

2m n λ

λ

+≥

． ∵32(*)m b m m =+∈N ,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有

31322m m m λ

λ

++<

+≤，即3(61)m λλλ--<-≤对任意的正整数m 都成立． 当610λ->（或610λ-<）时，得61m λλ<--（或361

m λ

λ--≤），这与上述结论矛盾．

当610λ-=，即1

6

λ=

时，得30λλ-<-≤，解得0λ≥且0λ<．

∴ 不存在正实数λ，使得32(*)m b m m =+∈N ．

证法2：用“分离变量求最值”来做的，假设存在实数λ满足条件，由不等式

2n a n m λλλ=-≥及0λ>得2m n λ

λ

+≥

． ∵32(*)m b m m =+∈N ,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有由

31322m m m λ

λ++<

+≤

得

6361m m m m λ≤<++对任意正整数m 都成立，

,,

63

61

m

m

m m ++

所以min 11,()636617m m m m <=++，所以11

67

λ≤<，矛盾，故不存在．

20．解：（1）2()36f x x x a '=-+，(2)f a '=， 过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-，即4y ax =-，

它恒过点（0，- 4）．

（2）()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤．

当x = 0时，上式对一切x ∈[0，2]恒成立；

当x ∈(0，2]时，即2|3|x x a k -+≤对一切x ∈(0，2]恒成立． ∴2max ()|3|h a x x a =-+，x ∈(0，2] ．

1）当9

4a ≥时，2max |3|x x a -+在x = 0时取得，∴()h a a =；

2）当94a <时，2max 9

9(),984

|3|max{,}994().48a a x x a a a a a ?<

由1），2），得9(),8

()99().4

8a a h a a a ?

（3）32()3f x x x ax =-+，()2

2()36313f x x x a x a '=-+=-+-， 令f (x ) = 0，得x = 0，或230x x a -+= ①． 当9

4

a <

时，记13924x a =-

-，23924x a =+-， 令()0f x '=，得()2

3130x a -+-= ②．

当3

a<时，记

311

3

a

x=--，

411

3

a

x=+-．1）当a≥3时，()

y g x

=的单调增区间为（0，+∞）；

2）当9

3

4

a<

≤时，()

y g x

=的单调增区间为（0，x3），（x4，+∞）；

3）当

9

4

a

<<时，()

y g x

=的单调增区间为（0，x3），（x1，x4），（x2，+∞）．