平行线的性质

平行线的性质

§5.3.1平行线的性质

本节课的主要内容是平行线的三个性质和命题等内容，首先在研究了平行线的判定的基础上了研究平行线的性质，因为学生在研究判定是已经了解到研究平行线就是研究两条直线被第三条直线所截形成的角之间的关系，所以学生很自然就想到研究平行线的性质也要研究同位角、内错角、同旁内角的关系；因此，从平行线的判定与性质的关系入手引入了对平行线性质的探究，对于命题的相关知识是在学生已经解触了一些命题，如：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，“等式两边加同一个数，结果仍是等式“，“对顶角相等”等命题的基础上，初步了解了命题、命题的构成、真假命题、定理等内容，使学生初步接触有关形式逻辑概念和术语。

平行线的性质是本节课的重点，而平行线的判定与性质互为逆命题，条件与结论相反，因此区分判定和性质是本节课的一个难点，教学过程中可告诉学生，从角的关系得到两直线平行时判定，由已知直线平行得出角的相等或互补关系，是平行线的性质。

本节课在利用两直线平行，同位角相等，来推理证明其他两条性质的过程中又一次让学生感受到转化思想在解决数学问题中的应用，在教学过程中，应注意这种思想方法的渗透，有意识的让学生认识整理，使学生在今后的不断训练中掌握这种方法。

【教学重点与难点】

教学重点：探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算.

教学难点：能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用

【教学目标】

1．使学生理解平行线的性质和判定的区别．

2．经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算.

3．经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达能力。毛

【教学方法】

通过创设情境，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。教学环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。

【教学过程】

一、复习回顾

（设计说明：平行线的判定定理与性质定理是互逆的，对初学者来说易将他们混淆，因此，复习平行线的判定为后面性质与判定的比较做好准备，同时利用性质定利用判定定理的互逆关系自然引入新课。）

问题：如何用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线是否平行?

反过来:，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角由各有什么样的关系呢?这是我们这节课讲要探究的问题。

（教学说明：在学生回答平行线的判定定理时，可将其合理板书，以便直观地进行平行线的判定与性质的对比分析，加深学生的印象。）

二、动手实践，探究新知

（设计说明：通过动手实验，让学生首先在动手探索的过程中感知平行线的性质，后再在性质1的基础上推理论证行至2、3的正确性，从而使学生对知识的认识从感性上升到理性。）

1．生画图活动:用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交,标出所形成的八个角。

2．学生测量这些角的度数,把结果填入表内.

3．学生根据测量所得数据作出猜想.

图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系?

图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系?

图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系?

在详尽分析后,让学生写出猜想.

4．学生验证猜测.

学生活动:再任意画一条截线d,同样度量并计算各个角的度数,检验你的猜想是否还成立?

如果直线a与b不平行，你的猜想还成立吗?

5．师生归纳平行线的性质

平行线具有性质:

性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行, 同位角相等.

性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行, 内错相等.

性质3:两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行, 同旁内角互补.

可让学生结合右图,用符号语言表达平行线的这三条性质,教师同时板书平行线的性质和平行线的判定.

平行线的性质平行线的判定

①因为a∥b, ①因为∠1=∠2,

所以∠1=∠2 所以a∥b.

②因为a∥b, ②因为∠2=∠3,

所以∠2=∠3, 所以a∥b.

③因为a∥b, ③因为∠2＋∠4=180°,

所以∠2＋∠4=180°, 所以a∥b.

6．教师引导学生理清平行线的性质与平行线判定的区别.

学生交流后,师生归纳:两者的条件和结论正好相反:

由角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补), 得出两条直线平行的论述是平行线的判定,这里角的关系是条件,两直线平行是结论.

由已知的两条直线平行得出角的数量关系(指同位角相等,内错角相等, 同旁内

角互补)的论述是平行线的性质,这里两直线平行是条件,角的关系是结论.

7．进一步研究平行线三条性质

问题:在上节课中，我们利用平行线的判定方法1，推出了平行线的判定方法2，类似地，大家能根据平行线的性质1，推出性质2吗?

可以先放手让学生思考、分析，后教师总结：

性质1、性质2的不同就在于性

学生回答∠1换成∠3,教师再问∠1与∠3有什么关系?并完成说理过程,教师纠正学生错误,规范地给出说理过程.

因为a∥b,

所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等);

又∠3=∠1(对顶角相等),

所以∠2=∠3.

教师说明:这是有两步的说理,第一步推理根据平行线性质1,第二步推理的条件不仅有∠1=∠2,还有∠3=∠1.∠2=∠3是根据等式性质.根据等式性质得到的结论可以不写理由.

学生仿照以下说理,说出如何根据性质1得到性质3的推理过程。

8．平行线性质应用.

例1：如图是一块梯形铁片的线全部分,量得∠A=100°,∠B=115°, 梯形另外两个角分别是多少度?

教师可根据学生情况,启发提问:①梯形这一条件如何使用?②∠A与∠D、∠B 与∠C的位置关系如何,数量关系呢?为什么?

解：因为AB∥CD

所以∠A＋∠D=180°

∠B＋∠C=180°

于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°

∠C=180°-∠B=180°-115°=65°

所以梯形的另外两个角分别是80°、65°。

例2：如图,BCD是一条直线,∠A=75°,∠1=53°,∠2=75°,求∠B的度数.

分析：本题平行线的判定和性质的综合应用, 要引导学生观察图形，考察已知角的数量关系以及所求角与已知角的关系，从而确定解题的思路。

解：因为∠A=∠2=75°

所以AB∥CE

所以∠B=∠1=53°

（教学说明：在学完本节知识后，学生容易出现一个知识负迁移，认为同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，为此在学生动手探究的过程中，不仅要关注学生对直线a与b平行时被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角之间数量关系的探索，同时也要关注学生对直线a与b不平行时同位角、内错角、同旁内角之间关系变化的认识，从而突出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的前提条件。虽然现在对于推理论证的要求还不高，为了培养学生思维的严谨性和条理性，无论在性质的证明还是在例题教学中，要求学生尽可能的将推理过程书写规范。）

三、巩固训练熟练技能

（设计说明：通过不同形式的练习，巩固学生所学知识，训练学生灵活应用知识解决问题的能力）

（一）、判断题.

1.两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补.( )

2.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么同位角相等.( )

（二）、填空题.

1.如图(1),若AD∥BC,则∠______=∠_______,∠_______=∠_______,

∠ABC＋∠_______=180°; 若DC∥AB,则∠______=∠_______,

∠________=∠__________,∠ABC＋∠_________=180°.

(1) (2) (3)

2.如图(2),在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路, 从甲地测得公路的走向是南偏西56°,甲、乙两地同时开工,若干天后公路准确接通, 则乙地所修公路的走向是_________,因为____________.

3．如图(3),AB∥EF,∠ECD=∠E,则CD∥AB.说理如下:

因为∠ECD=∠E,

所以CD∥EF( )

又AB∥EF,

所以CD∥AB( ).

（三）、解答题

1.如图,已知:∠1=110°,∠2=110°,∠3=70°,求∠4的度数.

2.如图,已知:DE∥CB,∠1=∠2,求证:CD平分∠ECB.

参考答案：

（一）1、× 2、∨

（二）1、∠1=∠5 ∠8=∠4，∠ABC＋∠BAC=180°; ∠2=∠7 ∠3=∠6，∠ABC＋∠BCD=180°;

2、北偏东56°；两直线平行，内错角相等。

3、内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行。

（三）1、∠4=70°（过程略）

2、解：因为DE∥CB

所以∠1=∠DCB

又因为∠1=∠2

所以∠2=∠DCB

所以CD平分∠ECB.

四、总结反思，情意发展

（设计说明：设计了以下三个问题，让学生围绕这三个问题，先反悟，后谈自身的收获和疑问，最后师生共同归纳总结）

1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么?

2.本节课你有哪些收获?

3.在本节课的学习中，你还存在哪些疑问?

（教学说明：通过对以上三个问题的思考引导学生回顾整节课的学习历程，让学生对知识有一个沉淀、吸收的过程。此外，由于学生的学习基础、反思归纳能力不同，所以不同的学生可能会有不同的收获，学生之间的这种差异也是一种学习资

源。通过教师为学生提供的交流互动的平台，使学生倾听别人的想法、意见、收获的同时，不断完善自己的认识，形成完整的知识结构.）

五、课堂小结

1．本节主要学习了平行线的三条性质。

2．主要用到的思想方法是转化思想。

3．注意的问题平行线的判定方法与性质的区别。

六、布置课后作业：

课本23页习题4、5、6、12

七、拓展延伸

已知:如图，AB ∥CD,EF分别交AB、CD

于E、F，EG平分∠AEF ，FH平分∠EFD ，

EG与FH平行吗?为什么?

答：EG ∥FH

因为AB ∥CD

所以∠AEF=∠EFD

又因为EG平分∠AEF ，FH平分∠EFD

所以∠GEF =1/2∠AEF ∠EFH =1/2∠EFD

所以∠GEF= ∠EFH

所以EG ∥FH

(教学说明：此题是平行线的性质与判定的综合应用，实际上本题证明了两平行线被第三条直线所截形成的内错角的角平线是互相平行的，可在此基础上提出问题：两平行线被第三条直线所截形成的同位角的角平线有什么关系?同旁内角的呢?) 【评价与反思】

本节课研究的内容是平行线的性质，它是在学生学习了平行线的判定之后来进行学习，因此，在引入环节，就充分考虑到这一点，从复习平行线的判定入手，创设一个疑问来激发学生思考，进而引导学生进行平行线性质的探究。

本节课最突出的是平行线性质的得出过程，它是通过学生自主探索，实验、验证发现的，即学生在充分活动的基础上，由学生自己发现，并用自己的语言来归纳的，这对学生增强学习兴趣和自信心都有好处。

对两直线不平形时同位角、内错角、同旁内角之间关系的探究有助于学生加深对平行线性质的理解，区分性质与判定方法，以及对三个性质之间内在联系的理解，都为学生正确应用平行线的性质打好基础。