12个经典的行程问题

12个经典的行程问题
12个经典的行程问题

12个经典的行程问题

无论是小学奥数,还是公务员考试,还是公司的笔试面试题,似乎都少不了行程问题——题目门槛低,人人都能看懂;但思路奇巧,的确会难住不少人。平时看书上网与人聊天和最近与小学奥数打交道的过程中,我收集到很多简单有趣而又颇具启发性的行程问题,在这里整理成一篇文章,和大家一同分享。这些题目都已经非常经典了,绝大多数可能大家都见过;希望这里能有至少一个你没见过的题目,也欢迎大家来信提供更多类似的问题。

让我们先从一些最经典最经典的问题说起吧。选中空白部分显示答案。

甲、乙两人分别从相距 100 米的 A 、B 两地出发,相向而行,其中甲的速度是 2 米每秒,乙的速度是 3 米每秒。一只狗从 A 地出发,先以 6 米每秒的速度奔向乙,碰到乙后再掉头冲向甲,碰到甲之后再跑向乙,如此反复,直到甲、乙两人相遇。问在此过程中狗一共跑了多少米?

这可以说是最经典的行程问题了。不用分析小狗具体跑过哪些路程,只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要 20 秒,在这 20 秒的时间里小狗一直在跑,因此它跑过的路程就是 120 米。

说到这个经典问题,故事可就多了。下面引用某个经典的数学家八卦帖子:John von Neumann 曾被问起一个中国小学生都很熟的问题:两个人相向而行,中间一只狗跑来跑去,问两个人相遇后狗走了多少路。诀窍无非是先求出相遇的时间再乘以狗的速度。 Neumann 当然瞬间给出了答案。提问的人失望地说你以前一定听说过这个诀窍吧。 Neumann 惊讶道:“什么诀窍?我就是把狗每次跑的都算出来,然后计算无穷级数??”

某人上午八点从山脚出发,沿山路步行上山,晚上八点到达山顶。不过,他并不是匀速前进的,有时慢,有时快,有时甚至会停下来。第二天,他早晨八点从山顶出发,沿着原路下山,途中也是有时快有时慢,最终在晚上八点到达山脚。试着说明:此人一定在这两天的某个相同的时刻经过了山路上的同一个点。

这个题目也是经典中的经典了。把这个人两天的行程重叠到一天去,换句话说想像有一个人从山脚走到了山顶,同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。这就说明了,这个人在两天的同一时刻都经过了这里。

甲从 A 地前往 B 地,乙从 B 地前往 A 地,两人同时出发,各自匀速地前进,每个人到达目的地后都立即以原速度返回。两人首次在距离 A 地 700 米处相遇,后来又在距离 B 地 400 米处相遇。求 A 、 B 两地间的距离。

答案: 1700 米。第一次相遇时,甲、乙共同走完一个 AB 的距离;第二次相遇时,甲、乙共同走完三个 AB 的距离。可见,从第一次相遇到第二次相遇的过程花了两个从出发到第一次相遇这么多的时间。既然第一次相遇时甲走了 700 米,说明后来甲又走了 1400 米,因此甲一共走了 2100 米。从中减去 400 米,正好就是 A 、 B 之间的距离了。

甲、乙、丙三人百米赛跑,每次都是甲胜乙 10 米,乙胜丙 10 米。则甲胜丙多少米?

答案是 19 米。“乙胜丙 10 米”的意思就是,等乙到了终点处时,丙只到了 90 米处。“甲胜乙 10 米”的意思就是,甲到了终点处时,乙只到了 90 米处,而此时丙应该还在 81 米处。所以甲胜了丙 19 米。

哥哥弟弟百米赛跑,哥哥赢了弟弟 1 米。第二次,哥哥在起跑线处退后 1 米与弟弟比赛,那么谁会获胜?

答案是,哥哥还是获胜了。哥哥跑 100 米需要的时间等于弟弟跑 99 米需要的时间。第二次,哥哥在 -1 米处起跑,弟弟在 0 米处起跑,两人将在第 99 米处追平。在剩下的 1 米里,哥哥超过了弟弟并获得胜利。

如果你上山的速度是 2 米每秒,下山的速度是 6 米每秒(假设上山和下山走的是同一条山路)。那么,你全程的平均速度是多少?

这是小学行程问题中最容易错的题之一,是小孩子们死活也搞不明白的问题。答案不是 4 米每秒,而是 3 米每秒。不妨假设全程是 S 米,那么上山的时间就是 S/2 ,下山的时间就是 S/6 ,往返的总路程为 2S ,往返的总时间为S/2 + S/6 ,因而全程的平均速度为 2S / (S/2 + S/6) = 3 。

其实,我们很容易看出,如果前一半路程的速度为 a ,后一半路程的速度为 b ,那么总的平均速度应该小于 (a + b) / 2 。这是因为,你会把更多的时间花在速度慢的那一半路程上,从而把平均速度拖慢了。事实上,总的平均速度应该是 a 和 b 的调和平均数,即 2 / (1/a + 1/b) ,很容易证明调和平均数总是小于等于算术平均数的。

接下来的两个问题与流水行船有关。假设顺水时实际船速等于静水中的船速加上水流速度,逆水时实际船速等于静水中的船速减去水流速度。

船在静水中往返 A 、 B 两地和在流水中往返 A 、 B 两地相比,哪种情况下更快?

这是一个经典问题了。答案是,船在静水中更快一些。注意船在顺水中的实际速度与在逆水中的实际速度的平均值就是它的静水速度,但由前一个问题的结

论,实际的总平均速度会小于这个平均值。因此,船在流水中往返需要的总时间更久。

考虑一种极端情况可以让问题的答案变得异常显然,颇有一种荒谬的喜剧效果。假设船刚开始在上游。如果水速等于船速的话,它将以原速度的两倍飞速到达折返点。但它永远也回不来了??

船在流水中逆水前进,途中一个救生圈不小心掉入水中,一小时后船员才发现并调头追赶。则追上救生圈所需的时间会大于一个小时,还是小于一个小时,还是等于一个小时?

这也是一个经典问题了。中学物理竞赛中曾出现过此题,《编程之美》上也有一个完全相同的问题。答案是等于一个小时。原因很简单:反正船和救生圈都被加上了一个水流的速度,我们就可以直接抛开流水的影响不看了。换句话说,我们若以流水为参照系,一切就都如同没有流水了。我们直接可以想像船在静水当中丢掉了一个救生圈并继续前行一个小时,回去捡救生圈当然也还需要一个小时。

每当有人还是没想通时,我很愿意举这么一个例子。假如有一列匀速疾驰的火车,你在火车车厢里,从车头往车尾方向步行。途中你掉了一个钱包,但继续往前走了一分钟后才发现。显然,你回去捡钱包需要的时间也是一分钟。但是,钱包不是正被火车载着自动地往远方走吗?其实,既然你们都在火车上,自然就可以无视火车的速度了。前面的救生圈问题也是一样的道理。

下面这个问题也很类似:假设人在传送带上的实际行走速度等于人在平地上的行走速度加上一个传送带的速度。

你需要从机场的一号航站楼走到二号航站楼。路途分为两段,一段是平地,一段是自动传送带。假设你的步行速度是一定的,因而在传送带上步行的实际速度就是你在平地上的速度加上传送带的速度。如果在整个过程中,你必须花两秒钟的时间停下来做一件事情(比如蹲下来系鞋带),那么为了更快到达目的地,你应该把这两秒钟的时间花在哪里更好?

这个漂亮的问题出自 Terence Tao 的 Blog

(https://www.360docs.net/doc/c14236255.html,/2008/12/09/an-airport-inspired-puzzle )。很多人可能会认为,两种方案是一样的吧?然而,真正的答案却是,把这两秒花在传送带上会更快一些。这是因为,传送带能给你提供一些额外的速度,因而你会希望在传送带上停留更久的时间,更充分地利用传送带的好处。因此,如果你必须停下来一会儿的话,你应该在传送带上多停一会儿。

假设你站在甲、乙两地之间的某个位置,想乘坐出租车到乙地去。你看见一辆空车远远地从甲地驶来,而此时整条路上并没有别人与你争抢空车。我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的,并且车速大于人速。为了更快地到达目的地,你应该迎着车走过去,还是顺着车的方向往前走一点?

这是我在打车时想到的一个问题。我喜欢在各种人多的场合下提出这个问题,此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派,并且各有各的道理。有人说,

由于车速大于人速,我应该尽可能早地上车,充分利用汽车的速度优势,因此应该迎着空车走上去,提前与车相遇嘛。另一派人则说,为了尽早到达目的地,我应该充分利用时间,马不停蹄地赶往目的地。因此,我应该自己先朝目的地走一段路,再让出租车载我走完剩下的路程。

其实答案出人意料的简单,两种方案花费的时间显然是一样的。只要站在出租车的角度上想一想,问题就变得很显然了:不管人在哪儿上车,出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程,因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间,加上途中接人上车可能耽误的时间。从省事儿的角度来讲,站在原地不动是最好的方案!

我曾经把这个有趣的问题搬上了《新知客》杂志 2010 年第 9 期的趣题专栏(https://www.360docs.net/doc/c14236255.html,/blog/archives/3677)。不少人都找到了这个题的一个 bug :在某些极端情况下,顺着车的方向往前走可能会更好一些,因为你或许会直接走到终点,而此时出租车根本还没追上你!

某工厂每天早晨都派小车按时接总工程师上班。有一天,总工程师为了早些到工厂,比平日提前一小时出发步行去工厂。走了一段时间后,遇到来接他的小车才上车继续前进。进入工厂大门后,他发现只比平时早到 10 分钟。总工程师在路上步行了多长时间才遇到来接他的汽车?设人和汽车都做匀速直线运动。

据说,这是一道初中物理竞赛题(初中物理有“运动”一章)。答案是 55 分钟。首先,让我们站在车的角度去想(正如前一题那样)。车从工厂出发,到半途中就遇上了总工程师并掉头往回走,结果只比原来早到 10 分钟。这说明,它比原来少走了 10 分钟的车程,这也就是从相遇点到总工程师家再到相遇点的路程。这就说明,从相遇点到总工程师家需要 5 分钟车程。

现在,让我们把视角重新放回总工程师那里。让我们假设总工程师遇上了来接他的车并坐上去之后,并没有下令汽车立即掉头,而是让车像平日那样继续开到他家再返回工厂,那么他到工厂的时间应该和原来一样。这说明,他提前出发的那一个小时完全浪费了。这一个小时浪费在哪儿了呢?浪费在了他步行到相遇点的过程,以及乘车又回到家的过程。既然乘车又回到家需要 5 分钟,因此步行的时间就是 55 分钟了。

有一位隐居在深山老林的哲学家。一天,他忘记给家里唯一的时钟上发条了。由于他家里没有电话、电视、网络、收音机等任何能获知时间的设备,因此他彻底不知道现在的时间是多少了。于是,他徒步来到了他朋友家里坐了一会儿,然后又徒步回到自己家中。此时,他便知道了应该怎样重新设定自己的时钟。他是怎么做的?

很多人的第一想法或许是观察日出日落。在此,我们也假设通过太阳位置判断时间是不可靠的。 Update: 不少网友找到了此题的一个 bug 。在此我们假设,时钟是固定在墙上的,或者由于太重,无法直接带走。

传统意义上说,这个问题不算行程问题。不过,在写这篇文章时,这个问题立即跳入我的脑海,我也就把它放进来了。

答案:别忘了,他家里的时钟并不是不走了,只是不准了而已。因此,他可以借助自己家里的时钟,判断他此次出行一共花了多久。假设往返所花时间一样,再结合在朋友那儿看到的正确时间,他便能算出应该怎样调整自己的时钟了。

还有几个不太相关的经典问题这里没有提到,不过你或许会感兴趣:

汽车穿越沙漠问题:https://www.360docs.net/doc/c14236255.html,/wiki/Jeep_problem

木杆上的蚂蚁:https://www.360docs.net/doc/c14236255.html,/blog/archives/3791 计算题1

行程问题典型例题及答案详解

行程问题典型例题及答案详解 行程问题是小学奥数中的重点和难点,也是西安小升初考试中的热点题型,纵观近几年试题,基本行程问题、相遇追及、多次相遇、火车、流水、钟表、平均速度、发车间隔、环形跑道、猎狗追兔等题型比比皆是,以下是一些上述类型经典例题(附答案详解)的汇总整理,有疑问可以直接联系我。 例1:一辆汽车往返于甲乙两地,去时用了4个小时,回来时速度提高了1/7,问:回来用了多少时间? 分析与解答:在行程问题中,路程一定,时间与速度成反比,也就是说速度越快,时间越短。设汽车去时的速度为v千米/时,全程为s千米,则:去时,有s÷v=s/v=4,则 回来时的时间为:,即回来时用了3.5小时。评注:利用路程、时间、速度的关系解题,其中任一项固定,另外两项都有一定的比例关系(正比或反比)。 例2:A、B两城相距240千米,一辆汽车计划用6小时从A城开到B城,汽车行驶了一半路程,因故障在中途停留了30分钟,如果按原计划到达B城,汽车在后半段路程时速度应加快多少? 分析:对于求速度的题,首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。 解答:后半段路程长:240÷2=120(千米),后半段用时为:6÷2-0.5=2.5(小时),后半段行驶速度应为:120÷2.5=48(千米/时),原计划速度为:240÷6=40(千米/时),汽车在后半段加快了:48-40=8(千米/时)。 答:汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。 例3:两码头相距231千米,轮船顺水行驶这段路程需要11小时,逆水每小时少行10千米,问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时? 分析:求时间的问题,先找相应的路程和速度。 解答:轮船顺水速度为231÷11=21(千米/时),轮船逆水速度为21-10=11(千米/时),逆水比顺水多需要的时间为:21-11=10(小时) 答:行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。

行程应用题举一反三:第8讲 往返行程问题1

行程应用题举一反三:第8讲往返行程问题1 典型例题1 甲、乙两地之间的距离是420千米,两辆汽车同时从甲地开往乙地,第一辆汽车每小时行42千米,第二辆汽车每小时行38千米,第一辆汽车到达乙地立即返回,两辆车从开出到相遇共用了多少小时? 举一反三1 1、甲、乙两地之间的距离是360千米,两辆汽车同时从甲地开往乙地,第一辆汽车每小时行40千米,第二辆汽车每小时行50千米,第二辆汽车到达乙地立即返回,两辆车从开出到相遇共用了多少小时? 2、A、B两城之间的距离是880千米,甲车和乙车同时从A城开往B城,甲车每小时行60千米,乙车车每小时行50千米,甲车车到达B城立即返回,两辆车从开出到相遇共用了多少小时? 3、东、西两城之间的距离是600千米,客车和货车同时从东城开往西城,客车每小时行65千米,货车车每小时行55千米,客车车到达西城立即返回,客车从开出到与货车相遇共用了多少小时? 典型例题2 甲、乙两人同时从东村骑车到西村去,经过4.5小时甲到达西村后立即返回东村,在距离西村15千米处遇到乙。已知甲每小时比乙快6千米,求东西两村相距多少千米? 举一反三2 1、小黄和小林同时从学校去电影院,小黄每分钟比小林多走20米,30分钟后,小黄刚到电影院立即返回,在距离电影院350米处遇到小林,小黄每分钟走多少米? 2、甲、乙两辆汽车同时从南站开往北站,甲车每小时比乙车多行12千米,甲车行驶4个半小时到达北站后,没有停留,立即从原路返回,在距离北站30千米的地方和乙车相遇。求两站之间的距离。 3、甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站,甲车每小时比乙车多行14千米。甲车行驶5小时到达西站后,立即按原路返回,在离西站42千米处于乙车相遇。求东西两站之间的距离。 典型例题3 A、B两地相距21千米,上午8时甲、乙两车分别从A、B两地出发,相向而行,甲到达B地后立即返回,乙到达A地后也立即

七年级第十讲行程问题经典例题

第十讲:行程问题分类例析 主讲:何老师 行程问题有相遇问题,追及问题,顺流、逆流问题,上坡、下坡问题等.在运动形式上 分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离 和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追 及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向,去时顺流,回时则为逆 流. 一、相遇问题 例1:两地间的路程为360km ,甲车从A 地出发开往B 地,每小时行72km ;甲车出发25分 钟后,乙车从B 地出发开往A 地,每小时行使48km ,两车相遇后,各自按原来速度继续行 使,那么相遇以后,两车相距100km 时,甲车从出发开始共行驶了多少小时? 分析:利用相遇问题的关系式(相遇距离为两运动物体的距离和)建立方程. 解答:设甲车共行使了xh ,则乙车行使了h x )( 60 25-.(如图1) 依题意,有72x+48)(60 25-x =360+100, 解得x=4. 因此,甲车共行使了4h. 说明:本题两车相向而行,相遇后继续行使100km ,仍属相遇问题中的距离,望读者仔细体 会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度 是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回. 依题意,有6425 57525575.=-++x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 解法二: 设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2. (575+25)t=600×2.2=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 图1

五年级行程问题经典例题

行程问题(一) 专题简析: 行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是:路程=速度×时间。知道三个量中的两个量,就能求出第三个量。 例1 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇,东、西两地相距多少千米 分析与解答从图中可以看出,两车相遇时,甲车比乙车多行了32×2=64(千米)。两车同时出发,为什么甲车会比乙车多行64千米呢因为甲车每小时比乙车多行56-48=8(千米)。64里包含8个8,所以此时两车各行了8小时,东、西两地的路程只要用(56+48)×8就能得出。 32×2÷(56-48)=8(小时) (56+48)×8=832(千米) 答:东、西两地相距832千米。 练习一 》 1,小玲每分钟行100米,小平每分钟行80米,两人同时从学校和少年宫出发,相向而行,并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米 2,一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出,汽车每小时行40千米,摩托车每小时行65千米,当摩托车行到两地中点处时,与汽车还相距75千米。甲、乙两地相距多少千米

例2 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出,快车每小时行40千米,经过3小时,快车已驶过中点25千米,这时快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米 分析与解答快车3小时行驶40×3=120(千米),这时快车已驶过中点25千米,说明甲、乙两地间路程的一半是120-25=95(千米)。此时,慢车行了95-25-7=63(千米),因此慢车每小时行63÷3=21(千米)。 [ (40×3-25×2-7)÷3=21(千米) 答:慢车每小时行21千米。 练习二 1,兄弟二人同时从学校和家中出发,相向而行。哥哥每分钟行120米,5分钟后哥哥已超过中点50米,这时兄弟二人还相距30米。弟弟每分钟行多少米 2,汽车从甲地开往乙地,每小时行32千米。4小时后,剩下的路比全程的一半少8千米,如果改用每小时56千米的速度行驶,再行几小时到达乙地 & 例3 甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去,甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村,在距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米 分析与解答二人相遇时,甲比乙多行15×2=30(千米),说明二人已行30÷6=5(小时),上午8时至中午12时是4小时,所以甲的速度是15÷(5-4)=15(千米/小时)。 因此,东西两村的距离是15×(5-1)=60(千米)

第11讲:综合行程问题

第11讲:综合行程问题 知识梳理: 通过前面对行程应用题的学习,同学们可以发现,行程问题大致分为以下三种情况: (1)相向而行:相遇时间=距离÷速度和 (2)相背而行:相背距离=速度和×时间 (3)同向而行:追及时间=追及距离÷速度差 如果上述的几种情况交织在一起,组成的应用题将会千变万化。解答这些问题时,我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系,把一复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。 典型例题: 例1:甲、乙两地相距420千米,一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时,途中,有一段路在整修路面,汽车行驶这段路时每小时只能行20千米,其余时间每小时行60千米。整修路面的一段路长多少千米? 练习: 1、一辆汽车从甲城到乙城共行驶395千米,用了5小时。途中一部分公路是高速公路,另一部分是普通公路。已知汽车在高速公路上每小时行105千米,在普通公路上每小时行55千米。汽车在高速公路上行驶了多少千米? 2、小明家离体育馆2300米,有一天,他以每分钟100米的速度去体育馆看球赛。出发几分钟后发现,如果以这样的速度走下去一定迟到,他马上改用每分钟180米的速度跑步前进,途中共用15分钟,准时到达了体育馆。问:小明是在离体育馆多远的地方开始跑步的? 3、老师和小英为班级剪五角星,教师每分钟剪10个,剪了几分钟后小英接着剪,小英每分钟剪6个,两人共用8分钟,共剪了60个。小英剪了多少个五角星?

例2:客、货两车同时从甲、乙两站相对开出,客车每小时行54千米,货车每小时行48千米。两车相遇后又以原速前进,到达对方站后立即返回,两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。甲、乙两站间的路程是多少千米? 练习: 1、乙、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。快车每小时行80千米,慢车每小时行45千米。两车第二次相遇时,快车比慢车多行了210千米。求甲、乙两地间的路程。 2、甲、乙两地相距216千米,客货两车同时从甲、乙两地相向而行。已知客车每小时行58千米,货车每小时行50千米,到达对方出发点后立即返回。两车第二次相遇时,客车比货车多行多少千米? 3、甲、乙两车同时从相距160千米的两站相向开出,到达对方站后立即返回,经过4小时两车在途中第二次相遇。相遇时甲车比乙车多行120千米。求两车的速度。 例3:两地相距460千米,甲列车开出2小时后,乙列车与甲列车相向开出,经过4小时与甲列车相遇。已知甲列车每小时比乙列车多行10千米,求甲列车每小时行多少千米?

七年级行程问题经典例题

第十讲:行程问题分类例析 主讲:何老师 行程问题有相遇问题,追及问题,顺流、逆流问题,上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向,去时顺流, 回时则为逆流. 一、相遇问题 例1:两地间的路程为360km ,甲车从A 地出发开往B 地,每小时行72km ;甲车出发25分钟后,乙车从B 地出发开往A 地,每小时行使48km ,两车相遇后,各自按原来速度继续行使,那么相遇以后,两车相距100km 时,甲车从出发开始共行驶了多少小时? 分析:利用相遇问题的关系式(相遇距离为两运动物体的距离和)建立方程. 解答:设 甲车共 行使了 xh ,则乙车行使了h x )(60 25-.(如图1) 依题意,有72x+48)(60 25-x =360+100,

解得x=4. 因此,甲车共行使了4h. 说明:本题两车相向而行,相遇后继续行使100km ,仍属相遇问题中的距离,望读者仔细体会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行 4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回. 依题意,有6425 57525575.=-++x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 解法二: 设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2.

三年级下册数学试题-竞赛专题:第八讲-行程问题-相遇问题(含答案)人教版

知识概述 1、行程问题中的时间(t)、速度(v)和路程(s)三个基本量,它们关系如下: (1)路程=速度×时间简记为:s = v×t (2)时间=路程÷速度简记为:t = s÷v (3)速度=路程÷时间简记为:v = s÷t 2、相遇问题的意义: 两个运动物体(人)分别以一定的速度,从两地同时出发,相向(面对面)而行,经过一段时间后在途中相遇,这类行程问题叫做“相遇问题”。它的特点是两个运动物体(人)在相遇时间内共同走完的路程等于它们原来相距的路程。 3、相遇问题的基本量: 速度和:两个运动物体(人)在单位时间(秒、分、时)所走的路程和; 相遇时间:两个运动物体(人)同时出发到相遇所用的时间; 总路程:两个运动物体(人)同时出发到相遇所走的路程; 4、解答相遇问题通用公式:。 路程和=速度和×相遇时间 速度和=路程和÷相遇时间 相遇时间=路程和÷速度和 行程问题是反映物体匀速运动的应用题。由于变化较多,而且又纷繁复杂,所以对于学习者而言,相对比较难以掌握。在解决行程问题时,要关注几个要素:时间、地点、方向、移动物体的个数和路线。但是归纳起来,不管是怎样的行程问题,在找清楚对应量后,最终的数量关系还是:速度×时间=路程。 名 师 点 题 行程问题(一)

例1 甲、乙两辆客车同时从东城开往西城,甲客车每小时行60千米,4小时到达西城,乙客车比甲客车迟1小时到达。问: (1)乙客车的速度是多少? (2)如果要使乙客车比甲客车提前1小时到达西城,那么乙客车的速度应是多少? 【解析】 (1)显然甲和乙走的路程都一样,而要求乙的速度,就必须知道路程和乙的时间, 路程=甲的速度×时间=60×4=240 乙的时间=甲的时间+1=5小时 那么:乙的速度=240÷5=48(千米/小时) (2)现在乙要比甲快1小时。也就是3小时达到。 那么:乙的速度=240÷3=80(千米/小时) 例2 龟兔赛跑,乌龟每分钟爬20米,兔子每分钟跑300米,全程1500米。兔子自以为能得第一,在途中睡了一觉,结果乌龟到终点时,兔子还差了300米。兔子睡了几分钟? 【解析】 乌龟跑完全程的时间:1500÷20=75分钟 兔子离终点还差300米,也就是跑了1200米,用的时间:1200÷300=4分钟 那么兔子睡觉的时间:75-4=71分钟 例3 小豪和哥哥同时从家出发,小豪去离家500米的学校,哥哥去比学校远280米的图书馆,小豪每分钟走50米,哥哥每分钟走60米。问:小豪到学校后,哥哥还要走几分钟到图书馆? 【解析】 画线段图来帮助理解。小豪与哥哥走的路程和速度是不一样,但时间是同步的。 先看小豪的情况:小豪到校的时间:500÷50=10分钟,那么这时哥哥也走了10分钟 哥哥走了10分钟的路程=哥哥的速度×10=60×10=600米 而学校+图书馆的路程=500+280=780米,也就是离图书馆还有:780-600=180米 哥哥还需走的时间:剩余路程÷速度=180÷60=3分钟

五年级举一反三-第28293031讲-行程问题

第28周行程问题(一) 专题简析: 行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是:路程=速度×时间。知道三个量中的两个量,就能求出第三个量。

例1 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇,东、西两地相距多少千米? 分析与解答从图中可以看出,两车相遇时,甲车比乙车多行了32×2=64(千米)。两车同时出发,为什么甲车会比乙车多行64千米呢?因为甲车每小时比乙车多行56-48=8(千米)。64里包含8个8,所以此时两车各行了8小时,东、西两地的路程只要用(56+48)×8就能得出。 32×2÷(56-48)=8(小时) (56+48)×8=832(千米) 答:东、西两地相距832千米。

练习一 1,小玲每分钟行100米,小平每分钟行80米,两人同时从学校和少年宫出发,相向而行,并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米? 2,一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出,汽车每小时行40千米,摩托车每小时行65千米,当摩托车行到两地中点处时,与汽车还相距75千米。甲、乙两地相距多少千米? 3,甲、乙二人同时从东村到西村,甲每分钟行120米,乙每分钟行100米,结果甲比乙早5分钟到达西村。东村到西村的路程是多少米?

例2 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出,乙车每小时行40千米,经过3小时,快车已驶过中点25千米,这时快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米? 分析与解答快车3小时行驶40×3=120(千米),这时快车已驶过中点25千米,说明甲、乙两地间路程的一半是120-25=95(千米)。此时,慢车行了95-25-7=63(千米),因此慢车每小时行63÷3=21(千米)。 (40×3-25×2-7)÷3=21(千米) 答:慢车每小时行21千米。 练习二 1,兄弟二人同时从学校和家中出发,相向而行。哥哥每分钟行120米,5分钟后哥哥已超过中点50米,这时兄弟二人还相距30米。弟弟每分钟行多少米? 2,汽车从甲地开往乙地,每小时行32千米。4小时后,剩下的路比全程的一半少8千米,如果改用每小时56千米的速度行驶,再行几小时到达乙地? 3,学校运来一批树苗,五(1)班的40个同学都去参加植树活动,如果每人植3棵,全班同学都能植这批树苗的一半还多20棵。如果这批树苗全部给五(1)班的同学去植,平均每人植多少树? 例3 甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去,甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村,在距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米?

五年级行程问题典型练习题

行程问题(一) 【知识分析】 相遇是行程问题的基本类型,在相遇问题中可以这样求全程:速度和×时间=路程,今天,我们学校这类问题。 【例题解读】 例1客车和货车同时分别从两地相向而行,货车每小时行85千米,客车每小时行90千米,两车相遇时距全程中点8千米, 两地相距多少千米? 【分析】根据题意,两车相遇时货车行了全程的一半-8千米,客车行了全程的一半+8千米,也就是说客车比货车多行了8×2=16千米,客车每小时比货车多行90-85=5千米。那么我们先求客车和货车两车经过多少小时在途中相遇,然后再求出总路程。 (1)两车经过几小时相遇?8×2÷(90-85)=3.2小时 (2)两地相距多少千米?(90+85)×3.2=560(千米) 例2小明和小丽两个分别从两地同时相向而行,8小时可以相遇,如果两人每小时多少行1.5千米,那么10小时相遇,两地 相距多少千米? 【分析】两人每小时多少行1.5千米,那么10小时相遇,如果以这样的速度行8小时,这时两个人要比原来少行1.5×2×8=24(千米)这24千米两人还需行10-8=2(小时),那么减速后的速度和是24÷2=12(千米)容易求出两地的距离 1.5×2×8÷(10-8)×=120千米 【经典题型练习】

1、客车和货车分别从两地同时相向而行,2.5小时相遇,如果两车 每小时都比原来多行10千米,则2小时就相遇,求两地的距离? 2、在一圆形的跑道上,甲从a点,乙从b点同时反方向而行,8 分钟后两人相遇,再过6分钟甲到b点,又过10分钟两人再次相遇,则甲环形一周需多少分钟?

【知识分析】 两车从两地同时出发相向而行,第一次相遇合起来走一个全程,第二次相遇走了几个全程呢?今天,我们学习这类问题 【例题解读】 例 a、b两车同时从甲乙两地相对开出,第一次在离甲地95千米处相遇,相遇后两车继续以原速行驶,分别到达对方站点后立即返回,在离乙地55千米处第二次相遇,求甲乙两地之间的距离是多少千米? 【分析】a、b两车从出发到第一次相遇合走了一个全程,当两年合走了一个全程时,a车行了95千米 从出发到第二次相遇,两车一共行了三个全程,a车应该行了95×3=285(千米)通过观察,可以知道a车行了一个全程还多55千米,用285千米减去55千米就是甲乙两地相距的距离 95×3—55=230千米 【经典题型练习】 1、甲乙两车同时从ab两地相对开出,第一次在离a地75千米相 遇,相遇后两辆车继续前进,到达目的地后立即返回,第二次相遇在离b地45千米处,求a、b两地的距离 2、客车和货车同时从甲、乙两站相对开出,第一次相遇在距乙站 80千米的地方,相遇后两车仍以原速前进,在到达对方站点后立即沿原路返回,两车又在距乙站82千米处第二次相遇,甲乙两站相距多少千米?

第12讲 行程问题

第12讲行程问题 路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度 1.(1)龟、兔进行1000米的赛跑。小兔斜眼瞅瞅乌龟,心想:“我小兔每分钟能跑100米,而你乌龟每分钟只能跑10米,哪是我的对手。”比赛开始后,当小兔跑到全程的一半时,发现把乌龟甩得老远,便毫不介意的躺在旁边睡着了。当乌龟跑到距终点还有40米时,小兔醒了,拔腿就跑。请同学们解答两个问题:(1)它们谁胜利了?为什么?(2)胜者到终点时,另一个距终点还有几米? (2)上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气,于是向乌龟再次下战书,进行1000米的赛跑。为了表示他的大度,兔子让乌龟先跑10分钟,但是兔子不知道乌龟经过锻炼,速度已经提高到5倍,那么这一次谁将获得胜利呢? 2.一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去,已知前120千米的速度为40千米/时,要想使这辆汽车从甲地到乙地用5小时走完,那么剩下的路程应以什么速度行驶? 3.陈叔叔从家到单位去上班,如果每分钟走45米,就要迟到2分钟,如果每分钟走60米,就可以早到3分钟;如果骑自行车每分钟行150米,从家到单位需要几分钟? 4.两列火车从相距480千米的两城相向而行,甲列车每小时行40千米,乙列车每小时行20千米。几小时后,甲、乙两车相遇? 5.小紫和小玉约好在东方明珠见面,小紫每小时走200千米,小玉每小时走150千米,他们同时出发2小时后还相距500千米,则开始时两人的距离是多少千米?

6.甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发,相对而行,已知甲车 到达B城需4小时,乙车到达A城需12小时。问:两车出发后多长时间相遇? 7.甲车每小时行40千米,乙车每小时行60千米。两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,相遇后又过了3小时,甲车到达B地。求A、B两地的距离?8.灰太狼回家,距家门360米时,红太狼和小灰灰一起向他奔来,灰太狼和红太 狼的速度分别是每分钟50米和每分钟40米,小灰灰的速度是每分钟100米,小灰灰用同样的速度不停往返于灰太狼与红太狼之间,当灰太狼和红太狼相遇时,小灰灰一共跑了多少米? 9.一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行,公共汽车每小时行40千米,小轿车每小时行50千米,问:几小时后两车相距90千米?10.甲、乙两座城市相距530千米,货车和客车从两城同时出发,相向而行,货 车每小时行50千米,客车每小时行70千米,客车在行驶中因故耽误1小时,然后继续向前行驶与货车相遇。问:相遇时客车、货车各行驶多少千米? 11甲、乙两座城市相距540千米,货车和客车从两城同时出发,相向而行,货车每小时行40千米,客车每小时行60千米,客车在行驶中因故耽误1小时,然后继续向前行驶与货车相遇。问:相遇时客车、货车各行驶多少千米?

数学行程问题公式大全及经典习题答案

路程=速度×时间; 路程÷时间=速度; 路程÷速度=时间 关键问题 确定行程过程中的位置路程 相遇路程÷速度和=相遇时间相遇路程÷相遇时间= 速度和 相遇问题(直线) 甲的路程+乙的路程=总路程 相遇问题(环形) 甲的路程 +乙的路程=环形周长 追及问题 追及时间=路程差÷速度差 速度差=路程差÷追及时间 路程差=追及时间×速度差 追及问题(直线) 距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间 追及问题(环形) 快的路程-慢的路程=曲线的周长 流水问题 顺水行程=(船速+水速)×顺水时间 逆水行程=(船速-水速)×逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速:(顺水速度-逆水速度)÷2 解题关键 船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推送或顶逆,在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫做流水行船问题。 流水行船问题,是行程问题中的一种,因此行程问题中三个量(速度、时间、路程)的关系在这里将要反复用到.此外,流水行船问题还有以下两个基本公式: 顺水速度=船速+水速,(1)

逆水速度=船速-水速.(2) 这里,船速是指船本身的速度,也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速,是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系,由公式(l)可以得到: 水速=顺水速度-船速, 船速=顺水速度-水速。 由公式(2)可以得到: 水速=船速-逆水速度, 船速=逆水速度+水速。 这就是说,只要知道了船在静水中的速度,船的实际速度和水速这三个量中的任意两个,就可以求出第三个量。 另外,已知船的逆水速度和顺水速度,根据公式(1)和公式(2),相加和相减就可以得到: 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2, 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2。 例:设后面一人速度为x,前面得为y,开始距离为s,经时间t后相差a米。那么 (x-y)t=s-a 解得t=s-a/x-y. 追及路程除以速度差(快速-慢速)=追及时间 v1t+s=v2t (v1+v2)t=s t=s/(v1+v2) (一)相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的发展,必然面对面地相遇,这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。 小学数学教材中的行程问题,一般是指相遇问题。 相遇问题根据数量关系可分成三种类型:求路程,求相遇时间,求速度。 它们的基本关系式如下: 总路程=(甲速+乙速)×相遇时间 相遇时间=总路程÷(甲速+乙速) 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度 (二)追及问题 追及问题的地点可以相同(如环形跑道上的追及问题),也可以不同,但方向一般是相同的。由于速度不同,就发生快的追及慢的问题。 根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系,罕用下面的公式: 距离差=速度差×追及时间 追及时间=距离差÷速度差 速度差=距离差÷追及时间

行程问题经典例题

8.如图3-1,甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此 圆形路线运动,当乙走了100米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次 相遇.求此圆形场地的周长. 【分析与解】 注意观察图形,当甲、乙第一次相遇时,甲乙共走完 12圈的路程,当甲、乙第二次相遇时,甲乙共走完1+12=32 圈的路程. 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1:3,因而第二次相遇时乙行走的总路 程为第一次相遇时行走的总路程的3倍,即100×3=300米. 有甲、乙第二次相遇时,共行走(1圈-60)+300,为 32 圈,所以此圆形场地的周长为480米. 行程问题分类例析 欧阳庆红 行程问题有相遇问题,追及问题,顺流、逆流问题,上坡、下坡问题等.在运动形式上 分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离 和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追 及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向,去时顺流,回时则为逆流. 一、相遇问题 例1:两地间的路程为360km ,甲车从A 地出发开往B 地,每小时行72km ;甲车出发25 分钟后,乙车从B 地出发开往A 地,每小时行使48km ,两车相遇后,各自按原来速度继续 行使,那么相遇以后,两车相距100km 时,甲车从出发开始共行驶了多少小时? 分析:利用相遇问题的关系式(相遇距离为两运动物体的距离和)建立方程.

解答:设甲车共行使了xh,则乙车行使了h x) ( 60 25 -.(如图1) 依题意,有72x+48) ( 60 25 - x=360+100, 解得x=4. 因此,甲车共行使了4h. 说明:本题两车相向而行,相遇后继续行使100km,仍属相遇问题中的距离,望读者仔细体会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行 4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm就应返回. 依题意,有6 4 25 575 25 575 . = - + + x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km就应返回. 解法二:设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2. (575+25)t=600×2.2=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km就应返回. 说明:飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h,则有6 4 575 2 . = x ,解得x=1322.5.错误原因在于飞机平均速度不是575km/h,而是) / (h km v v v v v x v x x 574 550 600 550 600 2 2 2 ≈ + ? ? = + ? = +逆 顺 逆 顺 逆 顺 例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车,环形公路长为42km,甲、乙两人的速度分别为21 km/h、14 km/h. (1)如果两人从公路的同一地点同时反向出发,那么经几小时后,两人首次相遇? (2)如果两人从公路的同一地点同时同向出发,那么出发后经几小时两人第二次相遇? 分析:这是环形跑道的行程问题. 解答:(1)设经过xh两人首次相遇. 依题意,得(21+14)x=42, 解得:x=1.2. 因此,经过1.2小时两人首次相遇. (3)设经过xh两人第二次相遇. 依题意,得21x-14x=42×2, 图1

第八讲 行程问题(二)

第八讲行程问题(二) 【知识要点】 多人相遇追及问题,即在同一直线上,3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 要求:学会画图解行程题;能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题;能够利用比例解多人相遇和追及问题。 1.两地相向出发:第1次相遇,共走1个全程;第2次相遇,共走了3个全程;第3次相遇,共走了5个全程;……,……;第N次相遇,共走了2N-1个全程。注意:除了第1次,剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N米。 2.多人多次相遇追及的解题关键: 多次相遇追及的解题关键—几个全程,多人相遇追及的解题关键—路程差。 【典型问题】 【问题1】甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时,它们同时从A地出发到B地,出发后6小时,甲车遇到一辆迎面开来的卡车,1小时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度为_______。 【问题2】有甲、乙、丙3人,甲每分钟走100米,乙每分钟走80米,丙每分钟走75米。现在甲从东村,乙、丙两人从西村同时出发相向而行,在途中甲与乙相遇6分钟后,甲又与丙相遇。那么,东、西两村之间的距离是________米。

【问题3】甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米,甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行,途中甲遇到乙后15分又遇到丙。求A、B两地的距离为_________米。 【问题4】李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报道。半小时后,营地老师闻讯前往迎接,每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时,张明从学校骑车去营地报道。结果三人同时在途中某地相遇。问:骑车人每小时行驶______千米? 【问题5】张、李、赵3人都从甲地到乙地。上午6时,张、李两人一起从甲地出发,张每小时走5千米,李每小时走4千米。赵上午8时从甲地出发。傍晚6时,赵、张同时达到乙地。那么赵追上李的时间是_________分? 【问题6】甲、乙、丙三人同时从A向B跑,当甲跑到B时,乙离B还有20米,丙离B还有40米;当乙跑到B时,丙离B还有24米。问:(!)A、B相距________米?(2)如果丙从A跑到B用24秒,那么甲的速度是_________?

第五讲较复杂行程问题讲解

第五讲较复杂行程问题 知识要点: 复杂的行程问题涉及三个数量之间的关系:路程、速度和时间。只不过有时是多个物体的相向、相背、同向运动,有时是运动过程中出现多次相遇。它常用的基本数量关系式是:速度×时间=路程。但有时运动过程中多次相遇时,可根据运动物体行驶的路程关系,灵活运用比例来解答。 人在环形路上行走,计算行走距离常常与环形路的周长有关。 ①从同一地点背向而行 速度和×相遇时间=环形跑道的周长 ②从同一地点同向而行 速度差×追及时间=环形跑道的周长 例题: 例1.在400米环形跑道上,A、B两点相距100米,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步,甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,他们每人跑100米,都要停10秒钟。 求甲追上乙需多少时间? 思路提示:先求出甲、乙两人不停地跑,甲追上乙的时间,再求甲跑完500米,一共停留了几次,共停留时间。 例2.上午8点8分,小明骑自行车从家里出发。8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家,到家后又立即回头去追小明,再追上他的时候,离家恰好是8千米,问这时是几点几分? 思路提示:先求出小明和爸爸的速度比,观察图可知,爸爸从8点16分到第一次追上小明。爸爸共走的路,就可求出这段时间小明走了的路,继而求出小明在前8分钟走的路,小明的速度,及走8千米用的时间。

例3. 甲用40秒钟跑完跑道一圈。乙反向跑,每15秒钟与甲相遇一次。问乙跑一圈要几秒钟? 思路提示:甲乙两人可看成从圆圈上同一地点,反向而行每相遇一次共跑一圈,可求出速度和,根据甲跑一圈的时间可求甲速,继而可求乙速(用工程问题思维解题)。 例4. 甲、乙、丙三人跑步锻炼,都从A 地同时出发,分别跑到B 、C 、D 三地,然后立即往回 跑,跑回A 地再分别跑到B 、C 、D ,再立刻跑回A 地,这样不停地来回跑,B 与A 相距10 1千米,C 与A 相距 81千米,D 与A 相距16 3千米。甲每小时跑3.5千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米。问:若这样来回跑,三人第一次同时回到出发点需用多少小时? 思路提示:分别求出甲、乙、丙往返一次的时间,然后求出他们所用时间的最小公倍数,就可以求出同时回到出发点的时间。 例5.李经理的司机每天早上7点30分到家接他去公司上班,有一天李经理7点从家出发步行 去公司,路上遇到按时来接他的车,他乘车去公司,结果比平时早到5分钟。问李经理什么时间遇上汽车?汽车速度是步行速度的几倍? 思路提示:如图,A 点代表家,B 点代表公司,设李经理在C 点上车,从图中看出,汽车比平时 少行两个AC ,知汽车行一个AC 的时间:5÷2=2.5(分钟),汽车比平时早2.5分钟接到李经理, 即可解决问题。

行程问题7类经典题型汇总

行程问题经典题型 例题1 甲乙两地相距800千米,一辆客车以每小时40千米的速度从甲地开出3小时后,一辆摩托车以每小时60千米的速度从乙地开出,开出后几小时与客车相遇? 习题: 1、甲、乙两地相距1160千米,小明以每分钟30米的速度从甲地从发6分钟后,小华以每分钟40米的速度从乙地出发,几分钟后与小明相遇? 2、甲、乙两地相距1080千米,一辆货车以每小时60千米的速度从甲地从发4小时后,一辆摩托车以每小时80千米的速度从乙地出发,开出后几小时与货车相遇?

3、客车以每小时70千米的速度从甲地开出3小时后,一辆货车以每小时60千米的速度从乙地开出5小时后与客车相遇,甲、乙两地相距多少千米? 4、小红一人去14千米远的叔叔家,她每小时行6千米。从家出发1小时后,叔叔闻讯立即以每小时10千米的速度前来接她,几小时后可以接到小红? 例题2 六(1)班同学徒步去狼山看日出。去时每小时行8千米,按原路返回时每小时行6千米。他们往返的平均速度是多少? 1、一艘船从A地开往B地。去时每小时行20千米,按原路返回时每小时行25千米。这艘船往返的平均速度是多少? 2、一辆客车从甲地开往乙地。去时每小时行40千米,按原路返回时

每小时行35千米。这辆客车往返的平均速度是多少? 3、一艘轮船,静水速度是每小时18千米,现在从下游开往上游,水流速度是每小时2千米,请问他往返一次的平均速度是多少? 4、一列火车从甲站开往乙站。去时每小时行120千米,按原路返回每小时行150千米。这列火车往返的平均速度是多少? 例题3 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,几小时后在距中点40千米出相遇。已知甲车行完全程要8小时,乙车行完要10小时,求A、B两地相距多少?

六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版

第八讲 行程问题(二) 教学目标: 1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点; 2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题; 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”; 4、 掌握寻找等量关系的方法来构建方程,利用方程解行程题. 知识精讲: 比例的知识是小学数学最后一个重要内容,从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。 从一个工具性的知识点而言,比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势,往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上,使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题,对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况,我们将甲、乙的速度、时 间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲, ;;来表示,大体可分为以下两种情况: 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,经过同一段时间后,他们走过的路程之比就等 于他们的速度之比。 s v t s v t =???=??甲甲甲乙乙乙 ,这里因为时间相同,即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲, 得到s s t v v ==甲乙乙甲,s v s v =甲甲乙乙 ,甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,走过相同的路程时,2个物体所用的时间之 比等于他们速度的反比。 s v t s v t =???=??甲甲甲乙乙乙 ,这里因为路程相同,即s s s ==乙甲,由s v t s v t =?=?乙乙乙甲甲甲, 得s v t v t =?=?乙乙甲甲, v t v t =甲乙乙甲 ,甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。 行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法

三年级奥数第十讲 简单的行程问题

三年级数学提升班 学生姓名: 第十讲:简单的行程问题 所谓大师,就是这样的人:他们用自己的眼睛去看别人见过的东西,在别人司空见惯的东西上能够发现出美来。 ——奥古斯特·罗丹知识纵横 行程问题包括相遇问题、追及问题、火车过桥等,这类问题思维灵活性大,辐射面广,但依据都只有一个,必须掌握速度、时间和路程之间的数量关系,这三个量间的关系可以用下列等式表示出来: 路程=时间×速度 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 例题求解 【例1】甲、乙二人同地同方向出发,甲每小时走7千米,乙每小时走5千米,乙先走2小时后,甲才开始走,甲追上乙需要几小时? 【例2】一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距200千米的两地相向而行,公共汽车每小时行20千米,小轿车每小时行30千米,问几小时后两车相遇? 【例3】小伟和小明从学校到电影院看电影,小伟以每分钟60米的速度向影院走去,5分钟后,小明以每分钟80米的速度向影院走去,结果两人同时到达影

院学校到电影院的路程是多少米? 【例4】小聪和小刚从学校到相距2400米的电影院去看电影,小聪每分钟行60米,他出发8分钟后,小刚才出发,结果两人同时到达电影院,小刚每分钟行多少米? 【例5】一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行40千米,开出5小时候,一列火车以每小时行90千米的速度也从甲地开往乙地,在甲、乙两地的中点处火车追上汽车,甲、乙两地相距多少千米? 【例6】一列火车长150米,每秒行60米,问全车通过450米长的大桥,需要行多少时间? 学力训练 1.一架飞机每分钟行18千米,一天从机场起飞,航行半小时到达A地执行救灾任务,机场与A地之间的路程是多少千米?

用方程解行程问题经典

列方程解应用题彭思睿 一、列方程解应用题的基本步骤 1.设未知数用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法,当直接设法使列方程有困难可采用间接设法。 2.寻找相等关系可借助图表分析,列出等式两边的代数式,注意它们的量要一致,使它们都表示一个相等或相同的量。 3.列方程列方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量。 4.解方程方程的变形应根据等式性质和运算法则。 5.写出答案检查方程的解是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位。 二、解行程问题的应用题 路程=速度×时间 三、相遇问题 相向而行,基本公式:速度和×相遇时间=路程和 四、追击问题 同向而行,基本公式:速度差×追击时间=追击路程

例1. A、B两地相距960千米,甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发,相向开出,6小时后两车相遇;已知甲车的速度是乙车的1.5倍。求甲、乙两车的速度各是多少? 分析:如上图,设一倍数(乙车)的速度是x千米/小时,那么甲车的速度就是1.5x千米/小时。甲车行的路程+乙车行的路程=总路程(960千米),我们可以利用这个等量关系列出方程:6x+6×1.5x=960, 解:设乙车的速度是x千米/小时,那么甲车的速度就是1.5x千米/小时。 6x+6×1.5x=960 15x=960 x=64 1.5x=1.5×64=96 答:甲的速度是96千米/小时,乙车的速度是64千米/小时。 例2. A、B两地相距230千米,甲队从A地出发两小时后,乙队从B地出发与甲相向而行,乙队出发20小时后与甲队相遇,已知乙的速度比甲的速度每小时快1千米,求甲、乙的速度各是多少? 230千米 甲车2小时行的 20小时相遇 甲队队乙 分析:如上图,甲队总共行了2+20=22小时,乙队行了20小时。设甲队的速度是x千米/小时,那么乙队的速度就是(x+1)千米/小时。从图上可以看出:甲队行的路程+乙队行的路程=总路程(230千米),利用这个等量关系列方程:

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