2018届高三数学 第55练 空间角与距离练习

2018届高三数学 第55练 空间角与距离练习
2018届高三数学 第55练 空间角与距离练习

第55练 空间角与距离

一、选择题

1.如图所示,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等,A 1在底面ABC 上的投影D 为BC 的中点,则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为( )

A.34

B.54

C.74

D.34

2.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为9

4,底面是边长为3的正三角形.若P 为△A 1B 1C 1的中

心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.π6 B.π3

C.π4

D.23

π 3.如图所示,在三棱锥S —ABC 中,△ABC 是等腰三角形,AB =BC =2a ,∠ABC =120°,SA =3a ,且SA ⊥平面ABC ,则点A 到平面SBC 的距离为( )

A.3a 2

B.a

2

C.5a 2

D.7a 2

二、填空题

4.如图,在等腰直角三角形ABD 中,∠BAD =90°,且等腰直角三角形ABD 与等边三角形BCD

所在平面垂直,E为BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为________.

5.如图所示,在三棱锥S-ABC中,△SBC,△ABC都是等边三角形,且BC=1,SA=

3

2

,则

二面角S-BC-A的大小为________.

6.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下命题:

①异面直线C1P与B1C所成的角为定值;

②二面角P-BC1-D的大小为定值;

③三棱锥D-BPC1的体积为定值;

④异面直线A1P与BC1间的距离为定值.

其中真命题的个数为________.

三、解答题

7.(2016·潍坊模拟)如图所示,底面ABC为正三角形,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,EA=AB=2DC=2a,设F为EB的中点.

(1)求证:DF∥平面ABC;

(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值.

8.(2016·辽宁沈阳二中月考)如图,在△ABC 中,∠ABC =45°,点O 在AB 上,且OB =OC =23AB ,PO ⊥平面ABC ,DA ∥PO ,DA =AO =12

PO .

(1)求证:PB ∥平面COD ; (2)求二面角O -CD -A 的余弦值.

9.如图,正四棱锥S -ABCD 中,SA =AB =2,E ,F ,G 分别为BC ,SC ,CD 的中点.设P 为线段FG 上任意一点.

(1)求证:EP⊥AC;

(2)当P为线段FG的中点时,求直线BP与平面EFG所成角的余弦值.

答案精析

1. D [连接A 1B ,易知∠A 1AB 为异面直线AB 与CC 1所成的角, 2. 设AB =a ,易求得AD =

32a ,A 1D =a 2

, 则A 1B =

? ????a 22+? ??

??a 22=22a ,故cos ∠A 1AB =

a 2+a 2-?

????22a 2

2·a ·a

=3

4

.] 2.B [因为AA 1⊥底面A 1B 1C 1,所以∠APA 1为PA 与平面A 1B 1C 1所成的角.因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1,所以∠APA 1为PA 与平面ABC 所成角.因为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为9

4,底面

三角形的边长为3,所以S △ABC ·AA 1=9

4,可得AA 1= 3.

又易知A 1P =1,所以tan ∠APA 1=

AA 1

A 1P

=3,

又直线与平面所成的角属于[0,π2],所以∠APA 1=π

3.]

3.A [作AD ⊥CB 交CB 的延长线于点D ,连接SD ,如图所示.

∵SA ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,

∴SA ⊥BC .又BC ⊥AD ,SA ∩AD =A ,SA ?平面SAD ,AD ?平面SAD , ∴BC ⊥平面SAD ,又BC ?平面SBC ,

∴平面SBC ⊥平面SAD ,且平面SBC ∩平面SAD =SD .在平面SAD 内,过点A 作AH ⊥SD 于点H ,则AH ⊥平面SBC ,AH 的长即为点A 到平面SBC 的距离.

在Rt △SAD 中,SA =3a ,AD =AB ·sin 60°=3a .由AH SA =AD SD

, 得AH =

SA ·AD SD =SA ·AD SA 2+AD 2=3a 2

,即点A 到平面SBC 的距离为3a

2.] 4.45°

解析 取BD 的中点F ,连接EF ,AF (图略),易得AF ⊥BD ,AF ⊥平面BCD ,则∠AEF 就是AE 与平面BCD 所成的角,由题意知EF =12CD =1

2BD =AF ,所以∠AEF =45°,即AE 与平面BCD

所成的角为45°. 5.60° 6.4

解析 对于①,因为在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 在线段AD 1上运动, 在正方体中有B 1C ⊥平面ABC 1D 1,而C 1P ?平面ABC 1D 1,所以B 1C ⊥C 1P , 所以这两个异面直线所成的角为定值90°,故①正确;

对于②,因为二面角P -BC 1-D 为平面ABC 1D 1与平面BDC 1所成的二面角, 而这两个平面为固定不变的平面, 所以夹角也为定值,故②正确;

对于③,三棱锥D -BPC 1的体积还等于三棱锥P -DBC 1的体积, 而△DBC 1面积一定,

又因为P ∈AD 1,而AD 1∥平面BDC 1,

所以点A 到平面BDC 1的距离即为点P 到该平面的距离, 所以三棱锥的体积为定值,故③正确;

对于④,因为直线A 1P 和BC 1分别位于平面ADD 1A 1, 平面BCC 1B 1中,且这两个平面平行, 由异面直线间的距离定义及求法,

知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离, 所以这两个异面直线间的距离为定值,故④正确. 综上知,真命题的个数为4.

7.(1)证明 如图,过点F 作FH ∥EA 交AB 于点H ,连接HC .

∵EA ⊥平面ABC ,DC ⊥平面ABC ,

∴EA ∥DC . 又FH ∥EA , ∴FH ∥DC . ∵F 是EB 的中点, ∴FH =1

2

AE =DC .

∴四边形CDFH 是平行四边形, ∴DF ∥CH .

又CH ?平面ABC ,DF ?平面ABC , ∴DF ∥平面ABC .

(2)解 ∵△ABC 为正三角形,H 为AB 的中点,∴CH ⊥AB . ∵EA ⊥平面ABC ,CH ?平面ABC , ∴CH ⊥EA .

又EA ∩AB =A ,EA ?平面AEB ,

AB ?平面AEB ,

∴CH ⊥平面AEB . ∵DF ∥CH , ∴DF ⊥平面AEB ,

∴AF 为DA 在平面AEB 上的投影, ∴∠DAF 为直线AD 与平面AEB 所成的角.

在Rt △AFD 中,AD =5a ,DF =3a ,sin ∠DAF =DF AD =155

, ∴直线AD 与平面AEB 所成角的正弦值为

155

. 8.(1)证明 因为PO ⊥平面ABC ,DA ∥PO ,AB ?平面ABC , 所以PO ⊥AB ,DA ⊥AB .

又DA =AO =1

2PO ,所以∠AOD =45°.

因为OB =2

3

AB ,

所以OA =13AB ,所以OA =1

2OB ,

又AO =1

2PO ,所以OB =OP ,

所以∠OBP =45°,即OD ∥PB . 又PB ?平面COD ,OD ?平面COD ,

所以PB ∥平面COD .

(2)解 如图,过A 作AM ⊥DO ,垂足为M ,

过M 作MN ⊥CD 于N ,连接AN ,

则∠ANM 为二面角O -CD -A 的平面角.设AD =a , 在等腰直角三角形AOD 中,得AM =2

2

a , 在直角三角形COD 中,得MN =33a , 在直角三角形AMN 中,得AN =30

6

a , 所以cos ∠ANM =

105

. 9.(1)证明 设AC 交BD 于O 点, ∵S -ABCD 为正四棱锥, ∴SO ⊥底面ABCD ,BD ⊥AC , 又AC ?平面ABCD , ∴SO ⊥AC ,∵BD ∩SO =O ,

BD ?平面SBD ,SO ?平面SBD ,

∴AC ⊥平面SBD ,

∵E ,F ,G 分别为BC ,SC ,CD 的中点, ∴FG ∥SD ,BD ∥EG . 又FG ∩EG =G ,SD ∩BD =D ,

FG ?平面EFG ,EG ?平面EFG , SD ?BSD ,BD ?平面BSD ,

∴平面EFG ∥平面BSD , ∴AC ⊥平面GEF .

又∵PE ?平面GEF ,∴PE ⊥AC . (2)解 过B 作BH ⊥GE 于H ,连接PH ,

∵BD ⊥AC ,BD ∥GH , ∴BH ∥AC ,

由(1)知AC ⊥平面GEF , 则BH ⊥平面GEF .

∴∠BPH 就是直线BP 与平面EFG 所成的角. 在Rt △BHP 中,BH =22,PH =132,PB =152

, 故cos ∠BPH =PH PB =19515

.

2018届高三数学每天一练半小时:第55练 空间角与距离 含答案

一、选择题 1.如图所示,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等,A 1在底面ABC 上的投影D 为BC 的中点,则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为【 ) A.34 B.54 C.74 D.34 2.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为94 ,底面是边长为3的正三角形.若P 为△A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为【 ) A.π6 B.π3 C.π4 D.23 π 3.如图所示,在三棱锥S —ABC 中,△ABC 是等腰三角形,AB =BC =2a ,∠ABC =120°,SA =3a ,且SA ⊥平面ABC ,则点A 到平面SBC 的距离为【 ) A.3a 2 B.a 2

C.5a 2 D.7a 2 二、填空题 4.如图,在等腰直角三角形ABD 中,∠BAD =90°,且等腰直角三角形ABD 与等边三角形BCD 所在平面垂直,E 为BC 的中点,则AE 与平面BCD 所成角的大小为________. 5.如图所示,在三棱锥S -ABC 中,△SBC ,△ABC 都是等边三角形,且BC =1,SA =32 ,则二面角S -BC -A 的大小为________. 6.如图,在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 在线段AD 1上运动,给出以下命题: ①异面直线C 1P 与B 1C 所成的角为定值; ②二面角P -BC 1-D 的大小为定值; ③三棱锥D -BPC 1的体积为定值; ④异面直线A 1P 与BC 1间的距离为定值. 其中真命题的个数为________. 三、解答题 7.【2016·潍坊模拟)如图所示,底面ABC 为正三角形,EA ⊥平面ABC ,DC ⊥平面ABC ,EA =AB =2DC =2a ,设F 为EB 的中点.

高考数学分类专题复习之2425空间角与距离

O a b 600 第二十四、二十五讲 空间角与距离 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.如图,直线a 、b 相交与点O 且a 、b 成600 ,过点O 与a 、b 都成600角的直线有( C ) A .1 条 B .2条 C .3条 D .4条 2.(江苏?理)正三棱锥P-ABC 高为2,侧棱与底面所成角为45,则点A 到侧面PBC 的距离是( B ) A .54 B .56 C .6 D .64 3.(全国Ⅰ?理)如图,正四棱柱1111D C B A ABCD -中,AB AA 21=,则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( D ) A .51 B .52 C .53 D .54 4.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为26,则侧面与底面所成的二面角等于 3 π . 5.(四川?理)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面 ACC 1A 1所成的角是 6π . 6.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1, E 、F 分别为BC 与A 1D 1的中点, (1) 求直线A 1C 与DE 所成的角; (2) 求直线AD 与平面B 1EDF 所成的角; (3) 求面B 1EDF 与 面ABCD 所成的角。 【专家解答】 (1)如图,在平面ABCD 内,过C 作CP//DE 交直 线AD 于P ,则CP A 1∠(或补角)为异面直线A 1C 与 DE 所成的角。在ΔCP A 1中,易得 a P A a DE CP a C A 2 13 ,25,311== ==,由余弦定理得1515cos 1=∠CP A 。 故异面直线A 1C 与DE 所成的角为15 15 arccos 。 (2)ADF ADE ∠=∠ , ∴AD 在面B 1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上。而B 1EDF 是菱形,∴DB 1 为∠EDF 的平分线。故直线 AD 与面B 1EDF 所成的角为∠ADB 1.在RtΔB 1AD 中, ,3,2,11a D B a AB a AD ===则3 3cos 1= ∠ADB 。 故直线AD 与平面B 1EDF 所成的角为3 3arccos 。 (3)连结EF 、B 1D ,交于点O ,显然O 为B 1D 的中点,从而O 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中心,作OH⊥平面ABCD ,则H 为正方形ABCD 的中心。再作HM⊥DE,垂足为M ,连结OM ,则OM⊥DE(三垂线定理),故∠OMH 为二面角B 1-DE-A 的平面角。 在RtΔDOE 中,23,22a OD a OE ==a DE 2 5 =, 则由面积关系得a DE OE OD OM 1030 =?=。 在RtΔOHM 中6 30 sin = =∠OM OH OMH 。 O

届高三文科数学立体几何空间角专题复习

届高三文科数学立体几何空间角专题复习 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习 考点1:两异面直线所成的角 例1.如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 例2.(2010全国卷1文数)直三棱柱111ABC A B C -中,若 90BAC ∠=?,1AB AC AA ==,则异面直线1BA 与1AC 所成的 角等于( C ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° 变式训练: 1.(2009全国卷Ⅱ文)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA =2AB ,E 为1AA 中点,则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( C ) (A ) 1010 (B) 15 (C ) 31010 (D) 35 2.如图,直三棱柱111ABC A B C -,90BCA ?∠=,点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点, 1BC CA CC ==,则1BD 与1AF 所成角的余弦值是( ) A . 1030 B .21 C .15 30 D . 10 15 3.(2012年高考(陕西理))如图,在空间直角坐标系中有直三棱 111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 ( ) A . 55 B . 53 C . 5 5 D .35 第3题图 第4题图 第5题图 4.(2007全国Ⅰ·文)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线 1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )

空间几何中的角和距离的计算

1 空间角与距离的计算(1) 一 线线角 1.直三棱柱A 1B 1C 1-ABC,∠BCA=900,点D 1,F 1分别就是A 1B 1与A 1C 1的中点,若BC=CA=CC 1,求BD 1与AF 1所成角的余弦值. 2.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 就是直角梯形,∠BAD=900,AD ∥ BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA ⊥面ABCD,PD 与底面成300角. (1)若AE ⊥PD,E 为垂足,求证:BE ⊥PD; (2)若AE ⊥PD,求异面直线AE 与CD 所成角的大小. 二.线面角 1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为BB 1、CD 的中点,且正方体的棱 长为2. (1)求直线D 1F 与AB 与所成的角; (2)求D 1F 与平面AED 所成的角. 2.在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,四边形AA 1B 1B 就是菱形,四边形BCC 1B 1就是矩形,C 1B 1⊥AB,AB=4,C 1B 1=3,∠ABB 1=600,求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小 三.二面角 1.已知A 1B 1C 1-ABC 就是正三棱柱,D 就是AC 中点. (1)证明AB 1∥平面DBC 1; (2)设AB 1⊥BC 1,求以BC 1为棱,DBC 1与CBC 1为面的二面角的 大小. 2.ABCD 就是直角梯形,∠ABC=900,SA ⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD=0、5. (1)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小; (2)求SC 与面ABCD 所成的角. 3.已知A 1B 1C 1-ABC 就是三棱柱,底面就是正三角形,∠A 1∠A 1AB=450,求二面角B —AA 1—C 的大小. 空间角与距离的计算(2) 四 空间距离计算 (点到点、异面直线间距离) 1、在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 就是BC 的中点交AC 于M,B 1P 交BC 1于N. (1)求证:MN 上异面直线AC 与BC 1的公垂线; (2)求异面直线AC 与BC 1间的距离. (点到线,点到面的距离) 2.点P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA ⊥面ABCD,Q 为线段AP 的中点,AB=3,CB=4,PA=2,求: (1)点Q 到直线BD 的距离; (2)点P 到平面BDQ 的距离. 3.边长为a 的菱形ABCD 中,∠ABC=600,PC ⊥平面 A B 11 C

届高三数学第二轮复习空间角与距离

空间角与距离 ★★★高考考什么 【考点透视】 异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大. 【热点透析】 1.转化思想: ① ??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形 2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证 3.二面角的平面角的主要作法:①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法 距离 【考点透视】 判断线线、线面、面面的平行与垂直,求点到平面的距离及多面体的体积。 【热点透析】 转化思想: ① ??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ; ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离, 平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2.空间距离则主要是求点到面的距离主要方法: ①体积法; ②直接法,找出点在平面内的射影 ★★★高考将考什么 【范例1】(07北京?理?16题)如图,在Rt AOB △中, π 6OAB ∠= ,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --是直二面角.动点D 的斜边AB 上. (I )求证:平面COD ⊥平面AOB ; (II )当D 为AB 的中点时,求异面直线AO 与CD 所成角的大小; (III )求CD 与平面AOB 所成角的最大值. 解法一: (I )由题意,CO AO ⊥,BO AO ⊥, BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角, 又二面角B AO C --是直二面角, CO BO ∴⊥,又AO BO O =, CO ∴⊥平面AOB , 又CO ?平面COD . ∴平面COD ⊥平面AOB . (II )作DE OB ⊥,垂足为E ,连结CE (如图),则DE AO ∥, CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角. 在Rt COE △中,2CO BO ==,1 1 2OE BO ==, CE ∴== 又 12DE AO = =. ∴在Rt CDE △ 中, tan CE CDE DE ===.O C A D B E

空间几何中的角和距离的计算

空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1.直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ,∠BCA=900,点D 1,F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点,若BC=CA=CC 1,求BD 1与AF 1所成角的余弦值. 2.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,∠BAD=900,AD ∥BC ,AB=BC=a ,AD=2a ,且PA ⊥面ABCD ,PD 与底面成300角. (1)若AE ⊥PD ,E 为垂足,求证:BE ⊥PD ; (2)若AE ⊥PD ,求异面直线AE 与CD 所成角的大小. 二.线面角 1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为BB 1、CD 的中点,且正方体的棱长为2. (1)求直线D 1F 和AB 和所成的角; (2)求D 1F 与平面AED 所成的角. F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B

2.在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,四边形AA 1B 1B 是菱形,四边形BCC 1B 1是矩形,C 1B 1⊥AB ,AB=4,C 1B 1=3,∠ABB 1=600,求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小. 三.二面角 1.已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱,D 是AC 中点. (1)证明AB 1∥平面DBC 1; (2)设AB 1⊥BC 1,求以BC 1为棱,DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小. 2.ABCD 是直角梯形,∠ABC=900,SA ⊥面ABCD ,SA=AB=BC=1,AD=0.5. (1)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小; (2)求SC 与面ABCD 所成的角. 3.已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱,底面是正三角形,∠A 1AC=600,∠A 1AB=450,求二面角B —AA 1—C 的大小. B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1

空间角及空间距离的计算知识点

空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中的一条上取一点, 过该点作另一条直线平行线, 2. 斜线与平面成成的角:斜线与它在平面上的射影成的角。如图:PA 是平面α的一条斜线,A 为斜足,O 为垂足,OA 叫斜线PA 在平面α上射影,PAO ∠为线面角。 3.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角l αβ--,二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是: ①明确构成二面角两个半平面和棱; ②明确二面角的平面角是哪个? 而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。(求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”) 4.异面直线间的距离:指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 (异面直线的公垂线是唯一的,指与两异面直线垂直且相交的直线) 5. 点到平面的距离:指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图:O 为P 在平面α上的射影, 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中,,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥,且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直; ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图:在二面角中,O 棱上一点,,, 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图:直线a 与b 异面,b//b ,直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角,异面直线所成角取值范围是(0,90] 求法通常有:定义法和等体积法 等体积法:就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有: S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A

必修2空间角和空间距离(理科)

空间角和空间距离 空间角 (1)两条异面直线所成的角: 两条异面直线a、b,经过空间任意一点O作直线c∥a,d∥b,我们把直线c和d所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角。 注意:①两条异面直线a,b所成的角的范围是(0°,90°]. ②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关,这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出. ③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法: (i)在空间任取一点,这个点通常是线段的中点或端点. (ii)分别作两条异面直线的平行线,这个过程通常采用平移的方法来实现.(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角(锐角或直角),这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围. (2)直线与平面所成的角 1)直线与平面斜交时,直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角. 2)直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为. 3)直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为. 显然,直线与平面所成的角的范围为. 4)求一条斜线和平面所成的角:做出这条斜线在平面内的射影,再确定斜线和射影所成角的大小即可。 斜线在平面内的射影:从斜线上除斜足外的任意一点向平面引垂线,过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影,斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。 (3)二面角 (1)二面角的定义 一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,二个半平面称为二面角的面. (2)二面角的平面角的定义:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角,叫做二面角的平面角.注意:①二面角的平面角两边必须都与棱垂直. ②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的,与定义中棱上任一点的选择无关,也就是二面角的平面角不只一个,但这些平面角的大小是相等的. ③二面角的平面角的范围是,当两个半平面重合时,; 相交时;共面时.平面角是直角的二面角叫做直二面角. (3)二面角的平面角的确定与求法

空间角与距离求法(高二)

1 空间角与点面距离求法 求空间角和点到平面的距离是教学的重点,也是学生学习的难点,更是高考的必考点.新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结. 1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点,也是学习的难点,更是高考的必考点.我们在复习时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式 (1) b a ,是空间两个非零向量,过空间任意一点O ,作,,b a ==则AOB ∠叫做 向量a 与向量b 的夹角,记作>≤≤=< . (3) 设),,(111z y x a = , ),,(222z y x b = 则212121||z y x a ++= ,222222||z y x b ++= , 212121z z y y x x b a ++=? . 二、两条异面直线所成的角 (1) 定义:已知两条异面直线a 和b ,经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''我们把a '与b ' 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角(或夹角). (2) 范围: 异面直线a 和b 所成的角为θ: 900≤<θ, 则cos 0≥θ . (3) 求法: ▲① 平移法: 把两条异面直线a 和b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形(有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若由边角关系求得为钝角.. 时,注意取其补角为异面直线所成的角. ▲② 向量法: 若a 和b 分别是异面直线a 和b 的方向向量,则 | ||||||||||||,cos |cos b a b a b a b a b a ??=??=><=θ . 说明: ① 其中=θ或- 180 ; ② 在计算b a ?时可用向量分解或坐标进行运算. 三、直线与平面所成的角 (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平

最新高考数学专题复习立体几何重点题型空间距离空间角(师)

立体几何题型 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量,向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质,掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点:特别是以两点间距离,点到平面的距离,两异面直线的距离,直线与平面的距离以及两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角等作为命题的重点内容,高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查,分为多个小问题,也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题,但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足, 当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点. (Ⅰ)求证: 1AB ⊥ 平面 1A BD ; (Ⅱ)求二面角 1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离. 考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的 A B C D 1 A 1 C 1 B

空间角与距离知识点与题型归纳总结

空间角与距离知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、 空间角的定义和范围 (1) 两条异面直线所成角θ的范围是0]2π(,,当θ=2 π 时,这两条异面直线互相垂直。 (2) 斜线AO 与它在平面α内的射影AB 所成角θ叫做直线与平面所成的角。 平面的斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的角,如果直线 和平面垂直,那么直线与平面所成的角为 2 π ;如果直线和平面平行或直线在平面内,那么就是直线和平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为[0]2π,;斜线和平面所成的角的范围为(0,).2 π (3) 从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平 面叫做二面角的面,棱为l ,两个平面分别为α,β的二面角记做α-l -β,二面角的范围是[0,]π (4) 一个平面垂直于二面角的公共棱l ,且与两个半平面的交线分别是射线OA ,OB ,则∠AOB 叫做二面角的平面角,平面角是直角的二面角叫做直二面角,相交成直二面角的两个平面垂直。 二、 点到平面距离的定义 点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。 题型归纳及思路提示 题型1 空间角的计算 思路提示 求解空间角如异面直线所成角,直线与平面所成角,二面角的平面角的大小;常用的方法有:(1)定义法;(2)选点平移法;(3)垂线法:(4)垂面法;(5)向量法。 一、异面直线所成的角 方法一:通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来求解,但要注意 两条异面直线所成角的范围是0]2π (,。 方法二:向量法,设异面直线a 和b 的方向向量为a r 和b r ,利用夹角余弦公式可求得a 和b 的夹 角大小α,且|| cos cos ,|||| a b =|a b |a b α?<>=r u u r r r u r u u r 。 例8.59 直三棱柱111ABC A B C -中,若∠BAC =90°,AB =AC =1AA ,则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 分析 通过选点平移法将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角,在三角形中利用余弦定理来求解.

空间角与距离

空间角与距离 考点1 求异面直线所成的角 1.如图所示,在长方体ABCD -EFGH 中,AB =23,AD =23,AE =2,则BC 和EG 所成角的大小是________,AE 和BG 所成角的大小是________. 2空间四边形ABCD 中,AB =CD 且AB 与CD 所成的角为30°,E 、F 分别为BC 、AD 的中点,求EF 与AB 所成角的大小. 3(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CC 1的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A. 22 B.32 C.52 D.72 4.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC =120°,AB =2,BC =CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为(C) A.32 B.155 C.105 D.33 5.四棱锥P -ABCD 中,底面是边长为2的正方形,若四条侧棱相等,且该四棱锥的体积V =46 3 ,则直线PA 与底面ABCD 所成角的大小为( ) A .30° B .45° C .60° D .90°

6棱长都为2的直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,∠BAD =60°,则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成的角的正弦值为 . 7已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为9 4 ,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 8已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 是菱形,PD ⊥平面ABCD ,∠DAB =60°,E 为AB 中点,F 为PD 中点,PD =AD. (1)证明:平面PED ⊥平面PAB ; (2)求二面角P -AB -F 的平面角的余弦值. 9如图,在三棱锥P -ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上. (1)证明:AP ⊥BC ; (2)已知BC =8,PO =4,AO =3,OD =2.求二面角B -AP -C 的大小.

1_高考专题空间角和距离的计算

高考专题:空间角和空间距离的求法 一. 直线和平面所成的角 1.定义:直线和平面所成的角,应分三种情况 (1)直线与平面斜交时,直线和平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角; (2)直线和平面垂直时,直线和平面所成的角为。90 (3)直线和平面平行或在平面内时,直线和平面所成的角为。 由此可知,直线和平面所成角的范围是]2,0[π,斜线和平面所成的角的范围是] 2,0π ( 2.求斜线和平面所成角的方法 方法一:定义法或几何法: 斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角,它的三边分别是平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影,通过斜线上的某个点作出平面的垂线、垂足和斜足的连线是斜线在平面上的射影,这里引平面的垂线,确定垂足的位置是产生线面角的关键。 常借助以下两个方法确定垂足: A: 借助面面垂直的性质:若两个平面垂直,则在第一个平面内的一点在第二个平面内射影在两平面的交线上且垂直于交线。 B :用二面角的平面角的性质:平面角的一边上任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面; 方法二:三弦公式法:如图,已知PA 与PB 分别是平面α的垂线和斜线,在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ,设θθθ=∠=∠=∠PBC ABC PBA ,,21,有21cos cos cos θθθ?=。 方法三:虚拟高法:不需要做出所求线面角,而是先确定出斜线上的某点到斜足的距离L,再求出该点到已知平面的距离d (可用转化法或向量法求得);设斜线与平面所成的角为θ,则Sin θ= L d .一般的当线面角不易做出时常用该法。

方法四:空间向量法:建立恰当的空间直角坐标系,设直线的方向向量为,平面的法向量 为,所求线面角为θ ;则= θsin 二. 二面角 1.定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角,二面角的大小是通过其平面角来度量的,而二面角的平面角需要具有以下三个特点: (1)顶点在棱上;(2)两边分别在两个面内;(3)角的两边都与棱垂直。 一般认为二面角的范围是]180,0[。。 2.求二面角的方法 方法一:几何法:即,根据二面角平面角的定义直接找出或做出二面角的平面角,再求解。 常见的二面角平面角的几何作法有: ① 定义法:在棱上任取一点,过这点在两个面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角,就是二面角的平面角。 ② 三垂线定理:自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),这点和斜足的连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角的平面角。 ③ 垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 方法二:面积射影公式法:若二面角的一个面的面积为S ,它在另一个面上的射影面积为S',两平面的夹角为θ,则有s s ' cos = θ,然后再根据图形确定二面角的大小;当作二面角的平面角有困难时,可考虑利用面积射影公式求出二面角的大小。 方法三:间接转化法:两个平面的垂线的夹角即为两平面的夹角;然后再根据图形确定二面角的大小。 方法四:空间向量法:设,分别是两平面的法向量,则两法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角;然后再根据图形确定二面角的大小。 三.空间距离的定义及求解方法: 1、点到直线的距离:利用已知条件作出点到直线的垂线段。一般应用三垂线定理或线面垂直等找到垂线段,垂线段长就为所求。 2、点到平面的距离:从平面外一点引这个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到平面的距离。 点到平面的距离是有关距离的问题的重点,它主要由三种方法求得: 方法一:用定义,直接作出这段距离,经论证再计算,即确定其在平面内的位置; 常用以下结论确定垂足的位置: A: 借助面面垂直的性质:若两个平面垂直,则在第一个平面内的一点在第二个平面内射影在两平面的交线上且垂直于交线。 B: 三棱锥的三条侧棱两两相等或侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。

微专题4 空间角和距离的计算

微专题4空间角和距离的计算 一、单项选择题 1. 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,底面边长为2 3.若M是线段A1C1的中点,则直线BM与底面ABC所成角的正切值为() (第1题) A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 4 5 2. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2, AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为() (第2题) A. 6 3 B. 25 5 C. 15 5 D. 10 5 3. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB, E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为() A. 10 10 B. 1 5 C. 310 10 D. 3 5 4. 如图,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,使得∠B′AC=60°,那么这个二面角的大小是()

(第4题) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 二、多项选择题 5. 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分别为BB1, CD的中点,则下列说法中正确的有() (第5题) A. 异面直线AD1与BD所成角的大小为60° B. 平面AED⊥平面A1FD1 C. 点C1到平面AB1D1的距离为 3 2 D. B1C∥平面A1BD 6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P, Q分别为棱BC, CC1的中点,则下列说法中正确的有() A. BC1∥平面AQP B. 平面APQ截正方体所得的截面为等腰梯形 C. A1D⊥平面AQP D. 异面直线QP与A1C1所成角的大小为60° 三、填空题 7. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M, N分别是棱AA1和AB上的点.若∠B1MN是直角,则∠C1MN=________.

空间向量的应用----求空间角与距离

空间向量的应用----求空间角与距离 一、考点梳理 1.自新教材实施以来,近几年高考的立体几何大题,在考查常规解题方法的同时,更多地关注向量法(基向量法、坐标法)在解题中的应用。坐标法(法向量的应用),以其问题(数量关系:空间角、空间距离)处理的简单化,而成为高考热点问题。可以预测到,今后的高考中,还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离,其常用技巧与方法总结如下: 1)求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α,cos α=|,cos |>

计算公式为: 4).利用法向量求点面距离 如图点P 为平面外一点,点A 为平面内的任一点,平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ,记∠OPA=θ,则点P 到平面的距离 θcos ||||PA PO d == 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外,还能处理异面直线间的距离,线面 间的距离,以及平行平面间的距离等。其一,这三类距离都可以转化为点面间的距离;其二, 异面直线间的距离可用如下方法操作:在异面直线上各取一点A 、B ,AB 在n 上的射影长即 为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量,可由0n AD ?=及0n BC ?=求得,其计算公式为: || || n AB d n =。其本质与求点面距离一致。 向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩,解题方法新颖,往往能使解题有起死回生的效果,所以在学习中应起足够的重视。 二、范例分析 例1 已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6,3将它沿对称轴1 OO n α A P O θ

高考数学试题-第2018讲空间中的夹角和距离 最新

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座12)—空间中的夹角和距离 一.课标要求: 1.掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理;(对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离)。 2.掌握点、直线到平面的距离,直线和平面所成的角; 3.掌握平行平面间的距离,会求二面角及其平面角; 二.命题走向 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展,从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题。 预测18年高考试题: (1)单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题,分值大约5分左右;解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题,分值为6分左右; (2)选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。 三.要点精讲 1.距离 空间中的距离是立体几何的重要内容,其内容主要包括:点点距,点线距,点面距,线线距,线面距,面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离.因此,掌握点、线、面之间距离的概念,理解距离的垂直性和最近性,理解距离都指相应线段的长度,懂得几种距离之间的转化关系,所有这些都是十分重要的。 求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 (1)两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离;求法:如果知道两条异面直线的公垂线,那么就转化成求公垂线段的长度。 (2)点到平面的距离 平面外一点P在该平面上的射影为P′,则线段PP′的长度就是点到平面的距离;求法:○1“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。 (3)直线与平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离; (4)平行平面间的距离:两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离。

空间的角度与距离(附答案)

基础训练34(A) 空间的角度与距离 ●训练指要 掌握空间有关的角与距离的概念、范围、计算方法,会计算有关的距离和角. 一、选择题 1.(2001年全国高考题)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜,记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 A.P3>P2>P1 B.P3>P2=P1 C.P3=P2>P1 D.P3=P2=P1 2.给出下列四个命题: ①如果直线a∥平面α,a 平面β,且α∥β,则a与平面α的距离等于平面α与β的距离; ②两条平行直线分别在两个平行平面内,则这两条平行直线的距离等于这两个平面间的距离; ③异面直线a、b分别在两个平行平面内,则a、b的距离等于这两个平面的距离; ④若点A在平面α内,平面α和β平行,则A到平面β的距离等于平面α与平面β的距离. 其中正确的命题的个数是

A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长均相等,则AC 1与平面 BB 1C 1C 所成角的余弦值等于 A.4 10 B.66 C.26 D.2 10 二、填空题 4.二面角α—l —β的面α内有一条直线a 与l 成45°的角,若这个二面角的平面角也是45°,则直线a 与平面β成角的度数为_________. 5.三个两两垂直的平面,它们的三条交线交于一点O ,点P 到三个平面的距离的比为1∶ 2∶3,PO =214,则P 点到这三个平面的距离分别是_________. 三、解答题 6.如图,在正三棱锥P —ABC 中,侧棱长3 cm ,底面边长2 cm ,E 是BC 的中点,EF ⊥P A ,垂足为F . (1)求证:EF 为异面直线P A 与BC 的公垂线段; (2)求异面直线P A 与BC 间的距离. 7.如图,正四棱锥S —ABCD 的所有棱长都相等,过底面对角线 AC 作平行于侧棱SB 的截面交SD 于E . (1)求AB 与SC 所成角的大小; (2)求二面角E —AC —D 的大小; (3)求直线BC 与平面EAC 所成角的大小. 8.在棱长为a 的正四面体ABCD 中,M 、E 分别是棱BD 、BC 的中点,N 是BE 的中点,

立体几何三空间的角与距离.

、空间的角与距离 1?异面直线所成的角: 范围是(0,—]; 2 一般方法是平移直线,构造三角形,把异面问题转化为共面问题来解决。平移时,固定一条,平移另一条( 在某平面 内),或两条同时平移到某特殊位置,顶点选择在特殊位置上; 2?直线与平面所成的角: 范围是[0,—]。 2 关键是:找过斜线上一点与平面垂直的直线 ;连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出所求的角;把该角置 于三角形中计算。 注:确定点的射影位置有以下几种方法: ① 结论:如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上; 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等,那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上; ② 两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上; ③ 利用三棱锥的有关性质: a 若侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,则顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心; b. 若顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等,则顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心 c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直,则顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心; 3.二面角 二面角的范围一般是指 (0,]。 作二面角的平面角常有三种方法 ① 定义法: ② 三垂线定理法:自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 垂 足),斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所 夹的 角,即为二面角的平面角; ③垂面法: 作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。 ④面积射影法:S S c o s (S 为原斜面面积 ,S 为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角 它对于任意多边形都成立,是求二面角的好方法 .当作角困难时,易求斜面及射影面积,可直接用公式求出二面角的大小。 二.空间的距离 (1) 点到平面的距离常用求法 (点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离(仅平行时)略) ① 定义法:作垂线 ② 转移法:平行线转移或中点转移(斜线中点)等 ③ 等体积法: (2) 异面直线间的距离常有求法: 异面直线a,b 间的距离为a,b 间的公垂线段的长. ① 定义法 ② 转化为线面距离: 找或作出过b 且与a 平行的平面,则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a,b 间的距离. ③ 转化为面面距离: 找或作出分别过a,b 且与b , a 分别平行的平面,则它们距离就是异面直线 a,b 间的距离. 1、已知四棱锥 P — ABCD 底面ABCD 是菱形 DAB 60 , PD 平面ABCD PD=AD 点E 为AB 中点,点F 为PD 中 (或旁心); (

空间的角与距离的计算

空间的夹角与距离 一.复习目标: 1.了解异面直线掌握异面直线所成角的概念, 会通过平移,将空间问题转化为平面问题,从而求异面直线所成的角; 2.了解直线与平面所成角的概念,能作出斜线与平面所成的角,会在直角三角形中求斜线与平面所成的角; 3.理解二面角的概念,能熟练的掌握二面角的平面角的常用作法; 4.掌握点到平面距离的概念,能作出点到平面的距离,利用解直角三角形的方法求出距离; 5.了解直线到平面、两平行平面距离的概念,能将直线到平面、两平行平面的距离转化为点到平面距离并进行计算; 6.掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想 二.尝试训练: 1.平面的一条斜线与平面所成的角为θ,则θ的范围是 ( ) A 、0 o≤θ≤90 o B 、0 o<θ≤90 o C 、0 o≤θ<90 o D 、0 o<θ<90 o 2.平面外一条直线和这个平面所成的角为θ,则θ的范围是 ( ) A 、0 o≤θ≤90 o B 、0 o<θ≤90 o C 、0 o≤θ<90 o D 、0 o<θ<90 o 3.两条异面直线所成的角为θ,则角的范围是 ( ) A 、0 o<θ<180 o B 、0 o≤θ≤90 o C 、0 o<θ≤90 o D 、0 o≤θ<90 o 4.已知正方体ABCD - 1A 1B 1C 1D 棱长为a, 异面直线 1A D 与B 1C 所成的角______;求异面直线A 1C 与BD 所成的角______;求异面直线 1A 1C 与A 1B 所成的角_____ 1A D 与 1B 1C 间的距离_____ 1A B 与 1B 1C 间的距离____. 5.在正方体ABCD - 1A 1B 1C 1D 中,E 为DD 1的中点,求二面角E -AC -D 的平面角的正切值. 7.长方体ABCD - 1A 1B 1C 1D ,AB =4,BC =2,A 1A =1,求异面直线B 1D 和 1B C 所成角的余弦. 8.在边长为a 的正方体ABCD - 1A 1B 1C 1D 中,求与 1A 1C 平面BD 1C 所成角的正弦. 9.在△ABC 中,∠ACB =90o,P 是平面ABC 外的一点,PA =PB =PC ,若AC =12,P 到平面ABC 的距离是8,求P 到BC 的距离.

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