分数拆项法
分数拆项法
一、教学过程：
【知识点梳理】 公式一：
1
1
1)1(1+-=+?a a a a
公式二：
)1
1(1)(1n
a a n n a a +-?=+?
【例题精讲】 例题1、计算：
11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100
【即时练习】计算下面各题
（1）14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 （2） 12 +16 +112 +120 + 130 +1
42
（3）110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +1
14×15
例题2、计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 1
48×50
【即时练习】计算下面各题： （1）
13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 （2） 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100
（3） 11×5 +15×9 +19×13 +…..+ 1
33×37
例题3、计算：113 －712 +920 －1130 +1342 －15
56
【即时练习】计算下面各题：
（1）112 +56 －712 +920 －1130 （2） 114 －920 +1130 －1342 +15
56
（3） 19981×2 +19982×3 +19983×4 + 19984×5 +1998
5×6
例题4、计算：12 +14 +18 +116 +132 +1
64
【即时练习】计算下面各题：
（1） 12 +14 +18 +………+1256 （2） 23 +29 +227 +281 +2
243
【奥赛天天练】
1. 1－16 +142 +156 +172
2. 14 +128 +170 +1130 +1
208
3、11×3 +13×5 +15×7 +……+117×19 +119×21
4、计算11×2×3 +12×3×4 +13×4×5 +……+1
48×49×50
四、【家庭作业】
1、100991.......431321211?++?+?+?
2、40391......761651541?++?+?+?
3、55542
......141321312212112?++?+?+?
作业完成后家长签名：
欢迎家长对老师教学提出建议或意见：
分数拆项法
分数拆项法 1 / 1 分数拆项法 一、教学过程： 【知识点梳理】 公式一：1 11)1(1+-=+?a a a a 公式二:)11(1)(1n a a n n a a +-?=+? 【例题精讲】 例题1、计算：错误!+错误!+错误!+…..+ 错误! 【即时练习】计算下面各题 (1）错误!+错误!＋错误!+…．.+ 错误! （2）错误!+错误!＋错误!+错误!+ 错误!+错误! (3)＼F （1,10×11） +11１×12 ＋112×1３ + １13×14 ＋错误! 例题２、计算：错误!+错误!＋错误!+…..＋ 错误! 【即时练习】计算下面各题: （1)错误!+错误!+错误!+…..+ 错误! （2）错误!+错误!+错误!+….．+ 错误! （3）错误!+错误!+错误!+…..+ 错误! 例题3、计算:1＼F(1,3） －＼F(7,12） ＋错误!-错误!+错误!-错误! 【即时练习】计算下面各题： (1)1错误!+错误!－错误!+错误!-错误! (2） 1错误!－错误!＋错误!－错误!+错误! （3） 错误!+错误!+错误!+ 错误!+错误! 例题4、计算:错误!+错误!＋错误!+错误!+错误!+错误! 【即时练习】计算下面各题： (１）12 +1４ +＼Ｆ(1,8) +………+１256 (2）错误!+错误!+错误!+错误!+错误! 【奥赛天天练】 1. 1－错误!+错误!＋错误!+错误! 2. 错误!+错误!+错误!+错误!+错误! 3、１1×３ +错误!+错误!＋……+错误!+错误! 4、计算错误!+错误!+错误!+……+错误! 四、【家庭作业】 1、100991.......431321211?++?+?+? 2、40 391......761651541?++?+?+? 3、55 542......141321312212112?++?+?+? 作业完成后家长签名: 欢迎家长对老师教学提出建议或意见:
小学数学北师大版五年级下册 五 分数除法《分数除法(一)》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
小学数学北师大版五年级下册五分数除法《分数除法（一）》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案 1教学目标 知识与能力目标:理解分数除以整数的意义,掌握分数除以整数的计算方法,并能正确计算。过程与方法目标:通过实践活动和自主探究,培养学生动手能力及发现问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观目标:渗透转化的数学思想,激发孩子学习的欲望,培养孩子学习的自信心。 2学情分析 五年级的学生有一定的自学能力、动手探索能力但逻辑思维能力不高而且从教材的整体设计来看也已经把意义淡化了,因此分数除法的意义部分的教学仅仅要求学生理解即可,不要求口述;在分数除以整数部分把学习的主动权交给学生引导学生根据操作发现计算方法。 3重点难点 教学重点:理解分数除法的意义,掌握分数除以整数的计算方法。 教学难点:分数除以整数计算法则的推导过程。 4教学过程 4.1第一学时 4.1.1教学活动 活动1【导入】复习导入 谈话:同学们,前一段时间,我们学习了分数计算,下面,我们就来解决2个生活中的数学小问题: (1)有10米长的绳子,平均分成4段,每份多少米?(10÷4表示什么?画线段图) (2)有10米长的绳子,它的是多少?(10×表示什么意思?画线段图) 通过这两道题,你发现了什么? 活动2【讲授】探索新知、揭示课题
师:同学们把前面的知识掌握的非常好,这节课老师就要和同学们一起在旧知识的基础上,进一步学习分数计算上的新知识—除数是整数的分数除法(一)(板书:分数除法(一))出示情境问题:把一张纸的4/7平均分成2份,每份是这张纸的几分之几? 师:谁会计算?(板书: 4/7÷2)到底应该怎么样计算呢? (让学生拿出准备好的白纸先表示出,再分一分、涂一涂,然后用不同的颜色表示出结果来。) 学生活动:分一分、涂一涂。 组织交流: 师:谁能给大家展示一下,你是怎么分的?(磁力扣粘在黑板上) 师:谁能说一说你是怎么分的?(生:我先用红色涂出这张纸的,然后把它平均分成2份,用蓝色涂出其中的1份,每份是这张纸的) 师:每份是4/7 的多少?( )那么4/7 ÷2应该怎么计算? (生: 4/7÷2= 2/7 )(出示课件)(板书) 2、出示情境问题:把一张纸的平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?这道题应该怎么列式?( ÷3) 如果要算4/7 ÷3刚才的方法还能用吗?(分数的分子不能被整数整除) 师:受到了一定的限制,看来我们要换一种思维方式探索一种能普遍运用的方法。 师:同桌之间可以讨论一下。4/7 ÷3应该怎么算? 生: 4/7÷3= 4/7×1/3= (板书:) 师:这么做对不对呢?我们来亲自动手实践验证一下,请同学们动手在纸上分一分、涂一涂。注意:用不同的颜色涂出结果来。 师:谁想把你涂的给大家展示一下?(磁力扣粘贴) 师:你能说说你是怎么涂的吗? 生:我先用红色涂出这张纸的,然后把它平均分成3份。用黑色涂出其中的1份,每份是这张纸的。 师:每份是4/7 的几分之几?( )把4/7 平均分成3份,这实际上就是就是求4/7 的几分之几?( ),求的我们可以用什么方法来计算?(乘法,出示课件:4/7 ÷3=4/7 ×1/ 3 =4/21 ) 师:所以,刚才的学生做的对吗? 请同学们观察,两个算式发生怎样的变化?原来的除法算式就转化成了什么算式?什么变了?什么没变? 生: 没变,除号变成了乘号,除数3变成了3的倒数。 师:3和1/3 之间是什么关系?(互为倒数的关系) 那么,分数除以整数,也就等于? 指名说。 学生说:(板书:分数除以整数,等于分数乘这个整数的倒数。) 师:那么这个整数可不可以为0呢?为什么?所以,这里还要补充一个条件(补:0除外) 活动3【练习】练一练、说一说
六年级奥数训练第五周——分数裂项
第五周分数裂项 专题简析： 前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。 运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地， 形如1 a×(a+1)的分数可以拆成 1 a － 1 a+1 ；形如 1 a×（a+n） 的分数可以拆成 1 n ×（ 1 a － 1 a+n ）， 形如a+b a×b 的分数可以拆成 1 a + 1 b 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100 原式=（1－12 ）+（12 －13 ）+（13 －14 ）+…..+ （199 －1100 ） =1－12 +12 －13 +13 －14 +…..+ 199 －1100 =1－1100 =99100 练习1 计算下面各题： 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15 3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142 4. 1－16 +142 +156 +172
计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50 原式=（22×4 +24×6 +26×8 +…..+ 248×50 ）×12 =【（12 －14 ）+（14 －16 ）+（16 －18 ）…..+ （148 －150 ）】×12 =【12 －150 】×12 =625 练习2 计算下面各题： 1. 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 2. 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100 3. 11×5 +15×9 +19×13 +…..+ 133×37 4. 14 +128 +170 +1130 +1208
六年级奥数试题-分数裂项与分拆(教师版)
第十三讲 分数裂项与分拆 1. “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 ①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+
③对于分子不是1的情况我们有：?? ? ??+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ??=- ?++?? ()()()()() 21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()() 31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++?? ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ??=-??++++++++?? ()()() 221111212122121n n n n n ??=+- ?-+-+?? 2. 裂差型裂项的三大关键特征： ①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 ②分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” ③分母上几个因数间的差是一个定值。 3.复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。 整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N 。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。 需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 4. “裂和”型运算
分数拆项法6
分数简便计算（六） 拆项法 班级： 姓名： 【知识点详解】（1）观察数1 31=34=3131?+=1+31 ，127=4343?+=31+4 1 ，209=5454?+=41+51，……都是相同特征，分解成b a b a ?+=a 1+b 1。 （2）若a 、b 、c 是三个连续的自然数，并且a （2））3211??+4321??+5431??+……+8 761 ?? 【列3】［（ 1249-2063+3077-4291+56105）-361］÷24 1 【思维拓展训练】： （1）1 21-65+127-209+3011-4213+5615-7217+90 19 （2）7×158-7×3512+7×6316-99 20×7 （5）1—32-92-272-812-2432-7292 (5) 41×773+0.25×755÷4 1 【银川一、二九中历年计算部分考试真题】 一、选择合适的方法计算。 （1）（0.7+0.7+0.7+……+0.7）×1.25 （2）5-（76÷143+13 6 ） （3）2.8×43+0.75×6.2+43 （4）154×21÷(53+4 1) (5)10÷［38-( 135÷265+52)］ (6) 34 3×1.25+375×0.975-37.5％×87 （7）7.5-153÷(0.875×53+81×0.6) (8) 211+2121202+21212150505+21212121 13131313 (9) 411? + 741? + 1071?+13101?+……+100 971? 第1节 分数除法(一) 教材第55～56页的内容. 1．在具体的操作活动中,探索并理解分数除法的意义. 2．引导学生探索并掌握分数除以整数的计算方法,并能正确计算. 3．能够运用分数除法解决简单的实际问题. 重点：引导学生探索并掌握分数除以整数的计算方法,并能正确计算. 难点：理解分数除以整数的法则的推导过程,能够运用分数除以整数的方法解决简单的实际问题. 师：教材中的情境图制成的课件及投影仪. 生：长方形纸. 1．师：把12张长方形纸平均分成6份,每份是多少？(2张)把1张长方形纸平均分成4份,每份是多少？(14张)把一张纸的4 7平均分成2份,每份是这张纸的几分之几？你能列出算 式吗？ 生1：47×1 2 生2：4 7 ÷2(师板书算式) 2．师：同学们,我们前面学过了分数乘法,刚开始学的是分数乘整数,那么今天我们就来学习分数除以整数的分数除法.(板书课题) 设计意图：创设分长方形纸这一情境,通过练习,激活了学生原有的知识经验,激发了学生探索的积极性,旨在一上课就把学生带入思考的空间,抓住他们最佳的学习状态. 1．师：请同学们尝试算出所列算式的结果,可以拿出长方形纸动手折一折、涂一涂. (1)生先独立思考,再小组讨论. (2)汇报交流(投影仪展示). 预设1：47里有4个17,平均分成2份,每份就是2个17,是2 7 . 预设2：先把长方形纸平均分成7份,取其中的4份,再把这4份平均分成2份,正好是这张长方形纸的27.列式为：47÷2＝4÷27＝2 7 . 预设3：把47平均分成2份,就是求47的12是多少,可以用乘法计算：47÷2＝47×12＝2 7 . (师板书：47÷2＝47×12＝2 7 ) 设计意图：学生运用画图或者分数的意义来解决问题,体会画图策略,锻炼学生解决问题 的能力. (3)屏幕显示涂色过程,师带领学生回顾思维过程. 2．师：把一张纸的4 7平均分成3份,每份是这张纸的几分之几？请同学们在另一张纸上 分一分、涂一涂,注意用不同的颜色表示出结果来. (1)学生活动并交流. (2)汇报交流(生展示台展示). 预设1：把一张纸的47平均分成3份,就是求47的13是多少,可以用乘法计算：47÷3＝47×1 3＝ 4 21 . 预设2：先把长方形纸平均分成7份,取其中的4份,也就是47；再把4 7平均分成3份,涂 出其中的1份,可以得到结果是4 21 . 设计意图：在交流的过程中,教师关注学生不同的计算方法,有的学生通过画图解决问题,有的学生通过计算解决问题.通过探索该问题的解决,初步感知分数除法的意义. (3)课件出示涂色过程,回顾学生的思维过程,指名讲解. (师板书：47÷3＝47×13＝4 21 ) 3．师：观察黑板上板书的这两个算式,你发现了什么？ 生1：这两个式子的被除数都是分数,除数都是整数. 生2：把分数除法转化成分数乘法,问题便解决了. 生3：分数除以整数,等于分数乘这个整数的倒数. 4．师：你能用你的发现尝试解决这两道题吗？ 课件出示：89÷6 4 15 ÷12 思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 （一）用裂项法求 1一型分数求和分析：因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) （n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1） 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右）'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析： n（n k） 型。 （n,k 均为自然 数） 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ； n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n（n k） n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析：型（n,k均为自然数）n（n k） k 所以一- n(n k) n n k (1 1 3 97 99 3200 9603 自然数） n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n （n k ）（n 2k ） 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算： 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 （n,k 均为自然数） 【例5】 1 1 计算：1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] （六）用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和：分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k) 分数除法的巧算 例1 用简便方法计算：20 3321÷41 分析：通过仔细观察发现：20 3321可以化成41的倍数与另一个较小的数相加，而这个较小的数可以化成分子是41的倍数的假分数，即20 3321=164+2041，这时就可以利用乘法分配律使计算简便。注：乘法分配律同样适用于和（差）除以一个数。 解答：20 3321÷41 =（164+20 41）÷41 =164÷41+20 41÷41 =20 81 当堂练习 1．计算：1998÷199819991998+2000 1 例 2 计算：1÷23÷34÷45÷……÷19 20 分析：仔细观察这道题，我们可以发现一个非常有趣的规律：从第二个除数开始，后一个除数的分母与前一个分数的分子相同，可以先把 23、34、45、……、19 20相除的形式改写成乘以它们的倒数的形式，这时，分子和分母进行约分就简单得多了。 解答：1÷ 23÷34÷45÷……÷19 20 =1×32×43×54×……×20 19 =101 结论：做分数除法题时，要仔细观察题目的特点，选择合适的方法灵活计算。 当堂练习： 2．计算 99100÷101100÷102101÷103102÷……÷199 198 例3 一辆卡车4次运货 27吨，正好运了一批货物的3 1，这批货物一共有多少吨？ 分析：本题看起来有3个条件，但与解决问题相关的只有两个条件，要求货物共有多少吨，与次数武官，因为4次运的总量 27吨正好是货物的3 1，就直接用27吨除以3 1求得货物有多少吨。 解答：27÷31=27×3=2 21（吨） 答：这批货物一共有221吨。 结论：在解决一些实际问题时，一定要看清题意，从问题入手找准需要的条件，再进行解答。 当堂练习： 3．一台压路机 52小时可以压路40米，照这样计算，2小时30分可以压路多少米？ 例4 小明的家住在五楼，下午放学回家时，他从一楼走到五楼用了9 14分钟，如果他上楼的速度是相同的，他走到三楼时用了几分钟？ 分析：在实际生活中，从一楼走到五楼实际上只走了4层楼，所以走一层楼所用的时间是914÷4=187（分钟），那么走到三楼（即走2层楼）所用的时间为187×2=9 7（分钟） 解答：914÷4=18 7（分钟） 187×2=9 7（分钟） 答：他走到三楼时用了9 7分钟 当堂练习 4．张丹的家住在六楼，如果她从一楼到六楼用了 7 15分钟，如果她上楼的速度是相同的，她从二楼到四楼时用了多长时间？ 5．小明做手工时，把一根木料平均切成6段，用了分钟，那么他把同样的一根木料锯成4段需用多少分钟？ 2008年10月4日 六年级 基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。 例2、计算：1111112612203042+++++=7 6； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336； 例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8； 分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。 分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 知识点拨 教学目标 第五讲:分数拆项法 一、教学目标 学会运用分数拆项法计算 二、教学重点难点 综合运用分数拆项法解决实际问题 三、教学过程： 【知识点梳理】 公式一：1 11)1(1+-=+?a a a a 公式二：)11(1)(1n a a n n a a +-?=+? 【例题精讲】 例题1、计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100 【即时练习】计算下面各题 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15 3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142 例题2、计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50 【即时练习】计算下面各题： 1. 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 2. 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100 例题3、计算：113 －712 +920 －1130 +1342 －1556 【即时练习】计算下面各题： 1. 112 +56 －712 +920 －1130 2. 114 －920 +1130 －1342 +1556 3. 19981×2 +19982×3 +19983×4 + 19984×5 +19985×6 例题4、计算：12 +14 +18 +116 +132 +164 【即时练习】计算下面各题： 1. 12 +14 +18 +………+1256 2. 23 +29 +227 +281 +2243 3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6 四、【家庭作业】 1. 1－16 +142 +156 +172 六 年级 数学 科 导学案 发现规律、利用公式的过程。 2学会观察、改造、运用公式等过程。 3需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算。 教学重点：列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提， 教学难点：学会找规律 ，发现数字规律。 知识点： 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例谈分数拆项技巧 学习了分式的加减运算，我们可以验证以下等式的正确性，即： ， ， ， ， ． 熟练运用以上恒等式及平方差公式，可将算式中某数拆成两个（或两个以上）数的和或差，从而使计算简便． 一、运用拆项 例1．例1．计算： 解：原式= = = 二、运用拆项 例2．计算： 11m n mn n m +=+111(1)1 n n n n =-++11()m n n m n n m =-++211(1)(2)(1)(1)(2) n n n n n n n =-+++++12(1)(2)122222 n n n n n n n n n -+-+++==-11m n mn n m +=+3579197199...26122097029900-+-+-+12233445989999100 (12233445989999100) ++++++-+-+-+??????111111111111()()...()2233445989999100 +-+++-++-+++11011100100+=111(1)1 n n n n =-++1111...12123123...100+ ++++++++++ 解：因为 所以 原式=1+ = 三、运用拆项 例3.计算：- ． 解：原式= - = 四、运用拆项 例4计算： 解：原式=+… + ==． 五、运用拆项 1222123...(1)1 n n n n n ==-++++++222222 (2334100101) -+-++-22002101101-=11()m n n m n n m =-++23411(12)(12)(123)(123)(1234) ---?+++++++++...-10(123...9)(123...10) ++++++++1111(1)()1212123-- --++++11()1231234--+++++11()123...9123 (10) -++++++++11123 (1055) =++++211(1)(2)(1)(1)(2) n n n n n n n =-+++++4444 (123234345200420052006) ++++????????222222()()()122323343445 -+-+-??????22()2004200520052006 -??2120052006-?2011014201101512(1)(2)122222 n n n n n n n n n -+-+++==- 分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 7、用拆项法求分数和（2） 例题4、用拆项法求 ) 2)((1 k n k n n ++型分数和类： 1、3 211??+4 321??+…+ 50 49481?? 2、1 231??+ 2 341??+ 3 451??+…+ 98 991001?? 3、6 421??+ 8 641??+…+ 100 98961?? 4、5311 ??- 7531 ??- 9 751 ??-…- 99 97951?? 5、6 1+ + 24 1+ 60 1120 1+ + 210 184 1 例题5、用拆项法求 ) 2)((k 2k n k n n ++型分数和类： 1、 5 314??+ 7 534 ??+…+ 97 95934??+99 97954?? 2、3 212??+ 4 322??+…+ 100 99982?? 3、3 212??- 4322 ??- 5 432 ??-…- 100 99982?? 例题（6）用拆项法求 ) 3)(2)((1 k n k n k n n +++型分数和类 1、4 3211???+ 5 4321 ???+…+ 20 1918171 ??? 2、24 1+ 120 1+ 360 1+ 840 1+ 630 1 例题7、用拆项法求 ) 3)(2)((3k n k n k n n k +++型分数和类 1、4 3213???+ 5 4323 ???+ 6 5433???+…+20 1918173 ??? 2、4 3215???+ 5 4327???+ 6 5439???+…+ 20 19181737 ??? 例题8、用拆项法求复合型分数和类 1、 2 1+ 3 22?+ 4 323?? 2、 2 1+ 3 22?+ 4 323??+ 5 4324???+ 6 54325 ???? 3、3 1+ 5 34?+ 7 536??+ 9 7538???+ 11 975310 ???? + 11 97531 ???? 4、2 1+ 6 5+ 12 11+ 20 19+ 42 41+ 56 55+…+ 9702 9701+ 9900 9899 5、+ 6 524 23+ 60 59+ 120 119+ 210 209+ 84 83 分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111 ()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 (三)、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论： ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分数乘法与分数裂项法 分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。 对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。 进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。 需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。 同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。 1/ 10 【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 （2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】五年级数学下册五分数除法第1节分数除法(一)教案北师大版
六年级分数巧算裂项拆分
分数除法的巧算
分数拆分(裂项法)
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第讲：分数拆项法
分数地裂项与巧算
例谈分数拆项技巧
分数拆项与裂项
7、用拆项法求分数和(2)
分数拆项与裂项学生版
分数乘法与分数裂项法