初数第十二讲正方形

初二（下）数学

正方形

一、【知识精要】正方形的基本性质及判定：

二、【课堂目标】

1.正方形的对称性

2.正方形的旋转问题

三、【例题精析】

考点一正方形的对称性

例1..如图1,已知E,F 分别正方形ABCD 的边CD,AD 上的点,BE,BF 分别于对角线AC 相交于M,N,若∠EBF=50°,则∠DME+∠DNF=_______°

F E （图1 )

( 图2 )

（图3）

例2.（2013?钦州）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是．牛刀小试：

如图3，在正方形ABCD 中，2=AB ,E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PD

PE +的最小值为_______ 考点二正方形的旋转

例3.（2013山东）如图1，在正方形ABCD 中，F E 、分别是边DC AD 、上的点，且BE AF ⊥.

（1）求证：BE AF =；

（2）如图2，在正方形ABCD 中，Q P N M 、、、分别是边DA CD BC AB

、、、上的点，且

NQ MP ⊥.MP 与NQ 是否相等？并说明理由.

正方形

定义

性质

判定

边

有一组邻边相等并

且有一个角是直角的平行四边形

四边相等

（1）是平行四边形，一组邻边相等

且一个角是直角

（2）是矩形，且一组邻边相等

角

四个角都是直角是菱形，且有一个角是直角

对角线

（1）相等（2）互相平分

（3）互相垂直（4）平分对角

（1）是矩形，且对角线互相垂直

（2）是菱形，且对角线相等

对称性轴对称，有4条对称轴；中心对称，对称中心为对角线的交点

面积 2a S =

颜老师电话：136******** 2 牛刀小试：

1.如图，F E 、分别是正方形ABCD 的边AD CD 、上的点，且DF CE =BF AE 、相交于点O ,

下列结论：BF AE =①；BF AE ⊥②；OE AO =③；D EO F AO B S S 四边形④=?中，

错误的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

（1题图）

（2题图）

2.（2014?泰州）如图，正方向ABCD 的边长为cm 3，E 为CD 边上一点，0

30=∠DAE ，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与BC AD 、相交于点Q P 、．若AE PQ =，则AP 等于 cm ．

例4.如图1，点O 是正方形ABCD 对角线的交点，一直角FOE ∠交DC 、BC 分别于点F 、E .在FOE ∠旋转的过程中，四边形OECF 的面积是否发生变化？

D A

（图1）（图2）

牛刀小试：

（2014?山西）如图2，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的变长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为 .

例5.如图①，在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45

°,则有结论EF=BE+FD 成立；

（1）如图②，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠BAD 的一半，那么结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，延长BC 到点

E ，延长CD 到点F

，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

牛刀小试：

1.（2012?东营）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

2.已知：

正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或他们的延长线）于点M、N.

当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图①），易证MN

BM=

A.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图②），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

B.当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.

颜老师电话：136******** 4 3.（2013湖南岳阳）某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：

如图①，正方形ABCD 中，6AB =，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与D 点重合，三角板的一边交AB 于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q ．（1）求证：DQ DP =；

（2）如图②，小明在图①的基础上作PDQ ∠的平分线DE 交BC 于点E ，连接PE ，他发现PE 和QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明．

（3）如图③，固定三角板直角顶点在D 点不动，转到三角板，使三角板的一边交AB 的延长线于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q ，仍作PDQ ∠的平分线DE 交BC 的延长线于点E ，连接

PE ，若4:3AP :AB =，请帮小明算出DEP ?的面积．

B C

Q A

4. 如图，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成4个小矩形，P 是EF 和GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定HAF ∠的大小，并证明你的结论.

例6.如图1，已知正方形ABCD 和正方形CGEF BC)(CG >,G C,B,在同一条直线上，M 为线段AE 的中点

（1）探究MF MD,的位置及数量关系.

（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转45度，使得正方形CGEF 的对角线CE 在

正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点.试问:)(1中探究的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由.

（3）如图3，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转任意角度后，其他条件不变，试探究此时MD 、

MF 的位置及数量关系，并加以证明.

③

②

①

图1

图3

图2

初数 第十二讲 正方形

初数第十二讲正方形