08-09(2)微积分(下)试卷

班级名称： 学号： 姓名： . 一、填空题（每小题2分，共20分）

1、=+-

→→xy

xy y x 42lim

0 。

2、若221ln ),(y x y x f ++=，则=

)

11,(df

。

3、

=?

x t

dx

d sin 0

dt e 。

4、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及 y 轴围成的图形面积为3

1

，则=k 。

5、若2

x e -是)(x f 的一个原函数，则='?1

d )(x x f 。

6、交换积分次序后 =?

?x x

y y x f x d ),(d 10

。

7、若∑∞

==1

4n n u ，则=-

∑∞

=1

)2

12

1(n n

n u 。

8、当k 满足 时，级数 ∑∞

=-+-1

1

1)1(n k

n n

n 条件收敛。

9、075=+'-''y y y 的通解是=y 。 10、22)(4y x y x z ---=的极值点为 。

二、单项选择题（每小题2分，共10分）

1、=

-?

10

2

d 1x x （ ）。

（A ）π （B ）2

π

（C ）

3

π

（D ）

4

π

2、若0,,1:22≥≤+y x y x D ，则=

++

=

??D

y x I dxdy )1ln(2

2

（ ）

（A ）

)14(ln 4

-π

（B ）

4

π

（C ）14ln - （D ）2

12ln -

3、下列级数中，发散的级数是（ ）。

（A ）∑∞

=1

2)

2(n n

e

（B ）∑∞

=1

2

1cos

n n

（C ）∑∞

=1

2

1sin

n n

（D ）∑∞

=-1

)

1

2(

n n

n n

4、设22),(y x y x y x f -=-+，则=??+

??y

y x f x

y x f ),(),(（ ）

。 （A ）y x 22-

（B ）y x 22+ （C ）y x -

（D ）y x +

5、设

x

e e

t f dx

d x

=?

-0

dt )(，则=)(x f （ ）。 （A ）

2

1x

（B ）2

1x

-

（C ）x e 2- （D ）x e 2--

三、计算题(一)（每小题5分，共20分） 1、设2

2

ln

y

x e z xy ++=，求.d z

2、计算 ?

=2

1

d arcsin x

x I 。

3、求 ++

+

+8

4

2

16

4

2

x

x

x

的和函数。

4、求方程 044=+'+''y y y 的通解。

四、计算题(二)（每小题7分，共28分） 1、求 ?-2ln 22

ln d 1

e 1t

t

。

2、设)(x f 在),0(+∞上具有连续导数，且满足1)1(),()()(20

=+=??f x f x dt t tf dt t f x

x

，求)(x f 。

3、??

-=

D

y

xdy

e

x I d 2

2，其中1,10:≤≤≤≤y x x D 。

4、求幂级数∑

∞

=+1

)

12(n n

n

x 的收敛半径及收敛域。

五、应用题（每小题8分，共16分）

1、求x e y -=，e y =和0=x 所围成的图形的面积A 及绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积。

2、某石油公司所经营的一块油田的收益率及成本率分别为31

9)(t t R -='（百万元/年），

31

31)(t t C +='（百万元/年），求该油田的最佳经营时间及在经营终止时获得多少总利润（设固定成本为2百万元）？

六、证明题（6分）

设)(x f 在]1,0[上可微，且?=21

d )(2)1(x x xf f ，试证存在)1,0(∈ξ，使0)()(='+ξξξf f 。

杭州商学院2008/2009学年第二学期《微积分(下)》期终试卷(A)答案

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、4

1-

2、)d d (31y x +

3、x e x cos sin

4、2

1

5、-1

2e -

6、??y

1

2

d ),(d y

x y x f y 7、1 8、21≤

3sin

2

3cos

(e

212

5x c x c x

+

10、)2,2(-

二、单项选择题（每小题2分，共10分）

1、D

2、A

3、B

4、D

5、B

三、计算题（每小题5分，共20分）

1 、dy y

x y y

x xe dx y

x x y

x ye

z xy

xy

)2

21()2

21(d 2

2

2

2

2

22

2

+?++

++?++

= (4分)

.)()(2

22

2

dy y

x y

xe dx y

x x ye

xy

xy

++

+++

= (5分)

2、?

=

2

1

d arcsin x x I ?

-?

-

=2

1

2

e 1

d 11arcsin x

x

x x

x (2

分)21

216

21x

-+

?=π

(4分)

12

312

-+

=

π

(5

分)

3、∑

∞

==

22

)(n n

n n x x S ∑∞

==

2

)2

(

n n

x

(2分)2

112

x

-

=

(4分)2

22x

-=

)

2,2(-∈x (5分)

4、特征方程为01442=++r r (2分)

得2

121-

==r r (3分)

通解为x

e x c c y 2111)(-+= (5分)

四、计算题（每小题7分,共28分）

1、令21e x t =-，)1ln(2x t +=，(2分) 原式?

+?

=

3

1

2

dx

121

x

x

x ?

+=3

1

2

dx

112x

(4分) 3

1arctan 2x =(6分) 6

π

=

(7分)

2、方程两边对x 求导，得)()(2)()(2x f x x xf x xf x f '++= (2分)

化简，得)()31()(2x f x x f x -=' 分离变量，得

dx x

x

x f x df )31(

)

()(2

-

= (3分)

两边积分，解得 x

e

x

c

x f 13

)(-

=

(5分)

由1)1(=f ，得e c = (6分) 故所求函数为x

e

x

x f 113

1)(-

= (7分)

3、??

-=

D

y

e

x I dxdy 2

2??

-=

y

y

dx

e

x 0

2

10

2

dy (3分)?

-=

10

3dy

y 3

12

y

e

(5分)e

316

1-

=

(7分)

4、令12+=x t ，原级数变为∑

∞

=1

n n

n

t

， (1分)

其收敛半径11

11lim

lim

1

=+?

==∞

→+∞

→n n

a a R n n n n t (3分)

当1=t 时，∑

∞

=1

1n n

发散；当1-=t 时，∑

∞

=-1)1(n n

n

是收敛的交错级数 (4分)

所以当11<≤-t ，即01<≤-x 时，∑

∞

=+1

)

12(n n

n

x 收敛，收敛域为)0,1[- (6分)

若不考虑端点，这是以2

1-

=x 为中心，半径为2

1

的区间，所以收敛半径为2

1=

R (7分)

五、应用题（共16分）

1、解：1d )(0

1

=-=

?

--x e

e A x

(4分)

)1(2

)2(2

d )(12

01

22

01

2

2

+=

-+

=-?=?

?

----e x d e

e x e

e V x

x

π

π

ππ

π

(8分)

2、 31

31

31

48)31()9()()()(t t t t C t R t L -=+--='-'='，(2分)

令 0)(='t L ，得8=t （年）为唯一驻点 (5分)

又0)8(,34)(3

2<''-

=''-L t

t L ，因此8=t （年）为最佳经营时间，此时利润最大，(7分)

最大利润为 14

)48())(()()8()8()8(08

31

8

8

0=--=

+'-'=

-=?

?

?C dt t C dt t C dt t R C R L （百万元） (8分)

六、证明题（共6分）

令)()(x xf x F =，利用积分中值定理，)2

1,

0(),(2

1d )(d )(21

21

∈=

=

?

?ηηF x x F x x xf ，

有 )()1()1(ηF f F ==；(4分)

)(x F 在]1,[η上运用

Roll 定理，

则存在)1,0()1,(?∈ηξ，使0)(='ξF ，即0)()(='+ξξξf f 。

(6分)