数学建模上机练习习题及答案

练习1 基础练习

一、矩阵及数组操作：

1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）。

A=eye(3) B=eye(15,8) C=ones(3) D=ones(15,8) E=zeros(3) F=zeros(15,8) G=(-1+(1-(-1))*rand(3)) H=1+sqrt(4)*randn(5)

2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数

a=fix(0+(10-0)*rand(10));

K=find(a>=5);

Num=length(K)或者num=sum(sum(a>=5))

num =

53

3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。

如已给定矩阵A在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行

在命令窗口中输入A(find(sum(abs(A'))==0),:)=[];

删除整列内容全为0的列。A(：，find(sum(abs(A'))==0))=[];

二、绘图：

4．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像： y1=2x+5； y2=x^2-3x+1， 并且用legend 标注 x=0:0.01:10; y1=2*x+5; y2=x.^2-3*x+1; plot(x,y1,x,y2,'r') legend('y1', 'y2')

12345678910

-1001020304050607080

5．画出下列函数的曲面及等高线： z=x^2+y^2+sin(xy)． 在命令窗口输入： [x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi);

z=x.^2+y.^2+sin(x.*y)； contour3(x,y,z); meshc(x,y,z)

15

三、程序设计：

6．编写程序计算（x 在[-3，3]，间隔0.01）

建立M 文件d.m

x=input('请输入x 的值:'); if x>=-3&x<-1 y=(-x.^2-4*x-3)/2; elseif x>=-1&x<1 y=-x.^2+1; elseif x>=1&x<=3

y=(-x.^2+4*x-3)/2;

else

y='error'

end

y

在命令窗口输入x 的值：

7．有一列分数序列：

求前15项的和。

a=1;

b=2;

sum=0;

for k=1:15

c=b/a;

sum=sum+c;

t=b;

b=a+b;

a=t;

end

sum

sum =

24.5701

8．用至少三种方法编写函数实现求任意整数n的阶乘。

方法一：

function f=factor(n)

if n<=1

f=1;

else

f=factor(n-1)*n;

end

方法二：function result = fa(n)

n=input('please input n:');

result = 1;

for i = 1:n

result = result * i;

end

方法三：n=input('please input n:');

x=1:n;

prod(x)

9．将任意大于6的偶数m写成两个素数p1、p2的和（试着写出所有的m=p1+p2的可能形式）。

解：

function y=f(n);

n=input('请输入n的值:');

if mod(n,2);

error('n不是素数.请重新运行程序.')

elseif n<=6;

error('n必须大于6.请重新运行程序.')

else

for m=1:n;

for k=m:n;

if (isprime(m))&(isprime(k))&(m+k==n);

disp([num2str(n),'=',num2str(m),'+',num2str(k)]);

break;

end;

end;

end;

end;

10．是否任意3的倍数m可以写成三个素数p1、p2、p3的和（试着写出所有的m=p1+p2+p3

的可能形式）？

解：function y=fg(n);

n=input('请输入n的值:');

if mod(n,3);

error('n不是3的倍数.请重新运行.')

elseif n<6;

error('n必须不小于6.')

else

for m=1:n;

for k=m:n;

for p=k:n

if(isprime(m))&(isprime(k))&(isprime(p))&(m+k+p==n);

disp([num2str(n),'=',num2str(m),'+',num2str(k),'+',num2str(p)]);

break;

end;

end;

end;

end;

end；

四、数据处理与拟合初步：

11．通过测量得到一组数据：

分别采用y=c1+c2e^(-t)和y=d1+d2te^(-t)进行拟合，并画出拟合曲线进行对比。

解：

t=1:10;

y=[4.842,4.362,3.754,3.368,

3.169,3.038,3.034,3.016,3.012,3.005];

x1=exp(-t)

x1 =

0.3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 0.0003 0.0001 0.0000

x2=t.*exp(-t)

x2 =

0.3679 0.2707 0.1494 0.0733 0.0337 0.0149 0.0064 0.0027 0.0011 0.0005

y1=polyfit(x1,y,1)

y1 =

5.2165 3.1564

y1=5.2165*exp(-t)+3.1564

y1 =

5.0754 3.8624 3.4161 3.2519 3.1915 3.1693 3.1612 3.1581 3.1570 3.1566

y2=polyfit(x2,y,1)

y2 =

5.0273 2.9973

y2=5.0273*t.*exp(-t)

y2 =

1.8494 1.3607 0.7509 0.3683 0.1694 0.0748 0.0321 0.0135 0.0056 0.0023

plot(t,y,t,y1,'r--',t,y2,'gx')

12345678910 12．计算下列定积分

第一个：

建立m文件：

function f=jifen1(x)

f=exp(-2*x);

在命令窗口输入：

[z1,n]=quad(@jifen1,0,2)

得到结果：

z1=

0.4908

n =

25

第二个：

x=0:0.01:2;

z2=exp(2*x);

trapz(x,z2)

得到结果：

ans =

26.8000

第三个：

t=-1:0.01:1;

z3=x.^2-3*x+0.5;

trapz(x,z3)

得到结果：

ans =

1.6667

13．微分方程组

当t=0时，x1(0)=1，x2(0)=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并

画出相空间轨道图像。

t=0:0.01:25;

[x,y]=dsolve('Dx=0.5-x','Dy=x-4*y','x(0)=1','y(0)=-0.5','t') x =

1/2+1/2*exp(-t)

y =

1/8+1/6*exp(-t)-19/24*exp(-4*t)

plot(t,x,t,y)

图像如下：

t=0:0.01:25;

x=1/2+1/2*exp(-t);

y =1/8+1/6*exp(-t)-19/24*exp(-4*t);

plot(t,x,t,y)

0510152025

-0.5

0.5

1

14．设通过测量得到时间t 与变量y 的数据：

t=[0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.41]; 分别采用多项式： y=a 0+a 1t+a 2t^2 和指数函数 y=b 0+b 1e^t+b 2te^t

进行拟合，并计算均方误差、画出拟合效果图进行比较。 解：

t=[0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.41]; tt=0:0.01:2.3;

a=polyfit(t,y,2)

yy1=polyval(a,tt);

z1=polyval(a,t);

wucha1=sqrt(sum((z1-y).^2))

B=[ones(size(t')) exp(-t)' ( t.*exp(-t))']; b=B\y'

yy2=b(1)+b(2)*exp(-tt)+b(3)*tt.*exp(-tt);

z2=b(1)+b(2)*exp(-t)+b(3)*t.*exp(-t);

wucha2=sqrt(sum((z2-y).^2))

figure(1);

plot(t,y,'+',tt,yy1,t,z1,'o')

figure(2);

plot(t,y,'+',tt,yy2,t,z2,'o')

00.51 1.52 2.5

15．观察函数：y=e^x-1.5cos(2*pi*x)

在区间[-1,1]上的函数图像，完成下列两题：

（1）用函数fzero求解上述函数在[-1,1]的所有根，验证你的结果；（2）用函数fminbnd求解上述函数在[-1,1]上的极小、极大、最小和最大值，在函数图像

上标出你求得的最小值点作出验证。

注：可以用help fzero命令查看fzero的调用格式，fzero典型的调用方法是：

fzero(@myfun,x0) %返回函数myfun在x0附近的根；fminbnd典型的调用方法是：

fminbnd(@myfun,x1,x2) %返回函数myfun在区间[x1,x2]上的

最小值。

(1)x=-1:0.01:1;

y=exp(x)-1.5*cos(2*pi*x); plot(x,y,'g')

hold on

>> y0=0;

>> plot(x,y0,'k')

z=fzero('f',-0.8)

z =

-0.7985

>> z=fzero('f',-0.1)

z =

-0.1531

>> z=fzero('f',0.1)

z =

0.1154

（2）f.m

function y=f(x);

y=exp(x)-1.5*cos(2*pi*x); x=fminsearch('f',-0.2,0.2)

x =

-0.0166

>> x=fminsearch('f',-1,1)

x =

-1.0062

f1.m

function y=f(x);

y=-exp(x)+1.5*cos(2*pi*x);

x=fminsearch('f1',0.4,0.6)

x =

0.5288

>> x=fminsearch('f1',-0.6,-0.4) x =

-0.4897

x1=-1.0062 ;

y1=exp(x1)-1.5*cos(2*pi*x1)

y1 =

-1.1333

plot(x1,y1,'*')

练习2 气象观察站调整问题

某地区内有12个气象观察站（位置如图),现有10年各观察站的年降水量数据.为了节省开支，想要适当减少气象站.

问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？试结合方差分析和回归分析方法确定最终保留的观察站。

提示：

注：以上所有作业均要求编写M文件，目的在于熟悉常用建模方法的使用和相关的Matlab语言。

解：程序代码：

a=[272.6,324.5,158.6,412.5,292.8,258.4,334.1,303.2,292.9,243.2,159.7,331.2;251.6,287.3,349.5,2 97.4,227.8,453.6,321.5,451.0,446.2,307.5,421.1,455.1;192.7,433.2,289.9,366.3,466.2,239.1,357.4, 219.7,245.7,411.1,357.0,353.2;246.2,232.4,243.7,372.5,460.4,158.9,298.7,314.5,256.6,327.0,296. 5,423.0;291.7,311.0,502.4,254.0,245.6,324.8,401.0,266.5,251.3,289.9,255.4,362.1;466.5,158.9,22 3.5,425.1,251.4,321.0,315.4,317.4,246.2,277.5,304.2,410.7;258.6,327.4,432.1,403.9,256.6,282.9,3 89.7,413.2,466.5,199.3,282.1,387.6;453.4,365.5,357.6,258.1,278.8,467.2,355.2,228.5,453.6,315.6, 456.3,407.2;158.5,271.0,410.2,344.2,250.0,360.7,376.4,179.4,159.2,342.4,331.2,377.7;324.8,406. 5,235.7,288.8,192.6,284.9,290.5,343.7,283.4,281.2,243.7,411.1]；

y=std(a,0,1)

输出结果：

y =

Columns 1 through 6

100.2660 80.9270 108.2444 63.9747 94.1034 94.2002

Columns 7 through 12

38.0479 85.0735 106.4092 57.2472 86.5136 36.8299

练习3 中国总人口的灰色动态预测运用灰色系统理论及其建模原理，预测2020年和2050年中国人口。

灰色预测法原理可参考：灰色预测法.ppt

注：以上所有作业均要求编写M文件，目的在于熟悉常用建模方法的使用和相关的Matlab语言。

练习4 优化问题练习

1、线性规划

规划问题不等式约束默认是≤，所有不等式约束都要变成b

(的形式。

)

x

f≤

函数原型：X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

f：目标函数的系数列向量

A：不等式约束条件的系数矩阵