高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章 线性变换
1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:
1) 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2) 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量;
3) 在P 3
中,A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=; 4) 在P 3
中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=;
5) 在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ;
6) 在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7) 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=。
8) 在P n
n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx
),,2()
,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=
= k A )(α,
故A 是P 3
上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令
)()()(x g x f x u +=则
A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。
6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.
A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。
7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n
n P
?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ,
A (k X )=k BXC k kX
B ==)()(A X ,故A 是n n P ?上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换,证明:A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2,并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为
A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z),A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z),
B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z),B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z),
C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z),C 3a=(y,-x,z), C 4
a=(x,y,z), 所以A 4=B 4=C 4
=E 。
2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y),BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x), 所以AB ≠BA 。
3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z),B 2A 2(a)=B 2
(x,-y,-z)=(-x,-y,z), 所以A 2B 2=B 2A 2
。
4)因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x),A 2B 2
(a)=(-x,-y,z),
所以(AB )2≠A 2B 2
。
3.在P[x] 中,A '
)(f x f =),(x B )()(x xf x f =,证明:AB-BA=E 。 证 任取∈)(x f P[x],则有
(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('
f ))(x =;
)(xf x f +)(x -'
xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E 。
4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E ,证明:A k
B-BA k
=k A 1
-k (k>1)。
证 采用数学归纳法。当k=2时
A 2
B-BA 2
=(A 2
B-ABA)+(ABA-BA 2
)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a,结论成立。 归纳假设m k =时结论成立,即A m
B-BA m
=m A 1
-m 。则当1+=m k 时,有
A
1
+m B-BA
1
+m =(A
1
+m B-A m BA)+(A m BA-BA
1
+m )=A m
(AB-BA)+(A m
B-BA m
)A=A m
E+m A
1
-m A=)1(+m A m
。
即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。 5.证明:可逆变换是双射。
证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A 1-。
若a ≠b ,则必有A a ≠A b ,不然设Aa=A b ,两边左乘A 1-,有a=b ,这与条件矛盾。 其次,对任一向量b ,必有a 使A a=b ,事实上,令A 1-b=a 即可。因此,A 是一个双射。 6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基,A 是V 上的线性变换。证明:A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关。
证 因A (1ε,2ε, ,n ε)=(A 1ε,A 2ε, ,A n ε)=(1ε,2ε, ,n ε)A ,
故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关,故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵;
2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影,求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵; 3) 在空间P [x]n 中,设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→, 试求A 在基i ε=!
1
)
1()1(i i x x x +-- (I=1,2, ,n-1)下的矩阵A ; 4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e ax sin bx ,3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax
sin bx ,
1ε=22
1
x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx ,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空
间,求微分变换D 在基i ε(i=1,2, ,6)下的矩阵;
5) 已知P 3
中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是????
?
??-121011101,
求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 6) 在P 3
中,A 定义如下:
???
??--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(3
21ηηηA A A , 其中
???
??-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3
21ηηη, 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求A 在1η,2η,3η下的矩阵。 解 1)
A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε,A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε,A 3ε=(0,1,0)= 2ε,
故在基1ε,2ε,3ε下的矩阵为???
?
? ??-001110012。
2)取1ε=(1,0),2ε=(0,1),则A 1ε=
211ε+212ε,A 2ε=2
1
1ε+212ε,
故A 在基1ε,2ε下的矩阵为A=?????
?
??2121212
1
。 又因为B 1ε=0,B 2ε=2ε,所以B 在基1ε,2ε下的矩阵为B =???
?
??1000,另外,
(AB )2ε=A (B 2ε)=A 2ε=
2
1
1ε+212ε,
所以AB 在基1ε,2ε下的矩阵为AB =????
??
?
?
210210。 3)因为 )!
1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε, 所以A 0110=-=ε,
A 01)1(εε=-+=x x ,
A )!
1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=
-n n x x x n n x x x n ε
=
)!
1()]
3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }
=2-n ε,
所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =???
??
?
?
?
??011010 。
4)因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,
D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε, D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε,
所以D 在给定基下的矩阵为D =??????
??
?
?
?
?---00
0000010000100
001
00
01a b b a a b b a a
b b a
。 5)因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε,3ε)???
??
??--111101
011,所以 (1ε,2ε,3ε)=(1η,2η,3η)???
?
?
??---101110111=(1η,2η,3η)X ,
故A 在基1ε,2ε,3ε下的矩阵为
B =X 1
-AX=????? ??--111101
011????? ??-121011101????? ??---101110111=????
?
??--203022211。
6)因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε,3ε)???
?? ??--012110301,
所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε,3ε)???
?? ??--012110301,
但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε,3ε)???
?? ??----963110505,
故A (1ε,2ε,3ε)=(1ε,2ε,3ε)????? ??----963110505????
?
??--0121103011
-
=(1ε,2ε,3ε)??
??? ??----963110505???????
?
??---717
172717672
737371 =(1ε,2ε,3ε)??
??
???
?
??-----7247
187
27727574
72072075。 7)因为(1ε,2ε,3ε)=(1η,2η,3η)??
?
?? ??--0121103011
-,
所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)????
? ??--0121103011
-????
?
??----963110505 =(1η,2η,3η)???
?
?
??---011101532。
8.在P
2
2?中定义线性变换A
1
(X )=???
?
??d c b a X, A 2
(X )=X ???
?
??d c b a , A 2
(X )=
???? ??d c b a X ???
? ??d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。 解 因 A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22, A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,
故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 1=??????
?
?
?d c
d
c b a b a
00000
00。 又因A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,
故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 2=???
?
??
?
?
?d b c a d
b c
a 00000000
。
又因A 3E 11= a 2
E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22, A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2
E 21+cd E 22, A 3E 21= ab E 11+b 2
E 12+ad E 21+bd E 22, A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2
E 22,
故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为????
??
?
?
?=22223d bd
cd bc cd ad c ac bd b ad
ab bc ab ac
a A 。 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=????
? ??3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a , 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵;
2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵,其中且;
3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵。 解 1)因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε, A 2ε=+332εa +222εa 112εa , A 1ε=+331εa +221εa 111εa ,
故A 在基123,,εεε下的矩阵为????
?
??=1112
13
212223
3132333a a a a a a a a a B 。 2)因 A 1ε=111εa +
+)(221
εk k
a 331εa , A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka , A 3ε=13a 1ε+
k
a 23
(2εk )+333εa , 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为 ?????
? ?
?=3332
31232221
131211
2a ka a k a a k a
a ka a B 。 3)因 A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε, A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa , A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa ,
故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为???
?
?
?
?+----+-=3332
3231132312
2212
11222113
1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 。 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换,如果A
ε1
-k ≠0,但A εk =0,求证:
ε,A ε,, A ε1-k (k >0)线性无关。
证 设有线性关系01
21=+++-εεεk k A l A l l ,
用A
1
-k 作用于上式,得
1l A
ε1
-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立),
又因为A
ε1
-k ≠0,所以01=l ,于是有
01232=+++-εεεk k A l A l A l ,
再用A 2-k 作用之,得2l A ε1
-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得
021====k l l l , 即证ε,A ε,, A
ε1
-k (k >0)线性无关。
11.在n 维线性空间中,设有线性变换A 与向量ε使得A ε1
-n 0≠,求证A 在某组下的矩阵
是 ???
??
??
?
??0101010
。 证 由上题知, ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 线性无关,故ε,A ε,A ε2,, A ε1
-n 为线性空间
V 的一组基。又因为A ?+?+?=010εεεA A ε2+?+0 A
ε1
-n ,
A (A ε)=ε?0+?0 A ε+?1 A ε2
+?+0 A ε1
-n ,
…………………………… A (A
ε1
-n )=ε?0+?0 A ε+?0 A ε2+?+0 A ε1-n ,
故A 在这组基下的矩阵为
???
??
??
?
??0101010
。 12. 设V 是数域P 上的维线性空间,证明:与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数
乘变换。
证 因为在某组确定的基下,线性变换与n 级方阵的对应是双射,而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE ,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K 。
13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明:如果A 在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。
证 设A 在基n εεε,,,21 下的矩阵为A=(ij a ),只要证明A 为数量矩阵即可。设X 为任一非退化方阵,且
(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21 )X , 则12,,
,n ηηη也是V 的一组基,且A 在这组基下的矩阵是AX X 1-,从而有AX=XA ,这
说明A 与一切非退化矩阵可交换。 若取
????
?
?
? ??=n X
211, 则由A 1X =1X A 知ij a =0(i ≠j),即得
A=??????
? ?
?nn a a a
22
11
, 再取
2X =???????
?
??0001100001000010
由A 2X =2X A ,可得 nn a a a === 2211。
故A 为数量矩阵,从而A 为数乘变换。
14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基,已知线性变换A 在这组基下的矩阵为
????
??
?
??---21225521312112
01, 1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下 的矩阵; 2) 求A 的核与值域;
3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵; 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵。 解 1)由题设,知
(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)????
??
?
?
?---21110110003
20001, 故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为
B=AX X 1-=1
21
110110003
20001
-??????
?
?
?---???????
??---21225521312112
01
???
?
??
?
??---211
1011
000320001 =?????
?
?
?
?
?-----871
03403403163831031034322332。 2) 先求A
1
-(0).设∈ξ A
1
-(0),它在321,,εεε,4ε下的坐标为(1χ,432,,χχχ),且A ε
在321,,εεε,4ε下的坐标为(0,0,0,0,),则
???????
??---21225521312112
01
??????? ??4321x x x x =???
?
??? ??0000。
因rank(A)=2,故由 ??
?
=+++-=++0
32024321431x x x x x x x ,
可求得基础解系为X 1=)0,1,2
3
,2('-
-,X 2=)1,0,2,1('--。 若令1α=(321,,εεε,4ε)X 1,2α=(321,,εεε,4ε)X 2, 则12,αα即为A 1
-(0)的一组基,所以
A
1
-(0)=12(,)L αα。
再求A 的值域A V 。因为
A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+,
A 3ε=432152εεεε+++, A 4ε3ε=4321253εεεε-++,
rank(A)=2,故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε的秩也为2,且A 1ε ,A 2ε线性无关,故A 1ε ,A 2
ε可组成A V 的基,从而A V=L(A 1ε ,A 2ε)。
4) 由2)知12,αα是A 1-(0)的一组基,且知,1ε2ε, 12,αα是V 的一组基,又
(,1ε2ε, a 1, a 2)=(321,,εεε,4ε)??????
?
?
?--
-10
00010022310
120
1
, 故A 在基,1ε2ε, 12,αα下的矩阵为
B=
1
10
0010022310120
1
-??????
? ?
?--
-???
???
?
??---21225521312112
01
??????
? ?
?--
-10
00010022310120
1
=????
?
?
?
??-0022002100129002
5
。
4) 由2)知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基,且
(A 1ε, A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)????
??
?
?
?--10210121002
10001
, 故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为
C=
1
1021012100210001
-???????
??--???????
??---212
25521
312
112
01
???
?
??
?
??--102
1012
10021000
1
=??????
? ?
?00
0000002231291225。 15. 给定P 3的两组基
???
??===)1,1,1()0,1,2()
1,0,1(3
21εεε ???
??--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(3
21ηηη, 定义线性变换A : A i ε=i η(i =1,2,3),
1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵; 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵; 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵。
解 1)由(321,,ηηη)=(321,,εεε)X ,引入P 3
的一组基1e =(1,0,0), 2e =(0,1,0), 3e =(0,0,1),则
(321,,εεε)=(1e ,2e ,3e )???
?
? ??101110121=(1e ,2e ,3e )A ,
所以
(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )???
?
? ??----111122
221
=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B , 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为
X= A 1
-B=1
101110121-????? ??????
? ??----111122
221
=????
???
?
?
?
---252112323123232。 2)因
A (321,,εεε)=(321,,ηηη)=(321,,εεε)????
???
?
?
?
--
-252112323
1
23232, 故A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=????
???
?
??
--
-252112323
123232。 4) 因A (321,,ηηη)=A (321,,εεε)X=(321,,ηηη)X ,
故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.。
16.证明
??????? ?
?n λλλ
2
1与????
??
?
?
?n i i
i λλλ
2
1相似,其中(n i i i ,,,21 )是1,2,n , 的一个排列。
证 设有线性变换A ,使
A )21,,,(n εεε =)21,,,(n εεε ????
???
??n λλλ
2
1=)21,,,(n εεε D 1, 则A ( ,,21i i εε,n i ε)=( ,,21i i εε,n i ε)????
??
?
?
?n i i
i λλλ
2
1=( ,,21i i εε,n i ε)D 2, 于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故
??????? ?
?n λλλ
2
1
与????
??
?
?
?n i i
i λλλ
2
1相似。 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似。
证 因A 可逆,故A 1-存在,从而A 1-(AB)A=( A 1-A)BA=BA ,所以AB 与BA 相似。 18.如果A 与B 相似,C 与D 相似,证明:0000A B B D ????
? ?????
与相似。
证 由已知,可设B=X 1
-AX, D=Y 1
-CY ,则???
? ??--1100Y X ???? ??C A 00???? ??Y X
00=???
? ??D B 00, 这里???? ??--1100Y X =????
??Y X
001-,故???? ??C A 00与???
?
??D B 00相似。 19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩
阵为:
1)A=???? ??2543 2)A=???? ??-00a a 3)A=?
??
?
??
? ??------111111*********
1 4)A=?????
??---121101365 5)A=????? ??001010100 6)A=????? ??---031302120 7)A=????
? ??----284014013
解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ,且A 的特征多项式为
A E -λ=
2
5
4
3
----λλ=2
λ-5λ-14=(7-λ)(2+λ),故A 的特征值为7,-2。
先求属于特征值λ=7的特征向量。解方程组??
?=+-=-0550442121x x x x ,它的基础解系为?
??
?
??11,因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ (k 0≠),其中1ξ=1ε+2ε。
再解方程组???=--=--0450452121x x x x ,它的基础解系为???
?
??-54,因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ(k 0≠),其中2ξ=41ε-52ε。
2)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ,且当a=0时,有A=0,所以A
E -λ=
λ
λ00=2
λ, 故A 的特征值为1λ=2λ=0。解方程组??
?=+=+0000002121x x x x ,它的基础解系为???? ??01,?
??
?
??10,因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε,2ξ=2ε,故A 以V 的任一非零向量为
其特征向量。
当a ≠0时,A
E -λ=
λ
λa a -=2
λ+a 2=(ai +λ)(ai -λ),故A 的特征值为1λ=ai ,
2λ= -ai 。
当1λ=ai 时,方程组???=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为???
?
??-1i ,故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ(k 0≠),其中1ξ=-1εi +2ε。
当2λ= -ai 时,方程组???=-=--002121aix ax ax aix 的基础解系为???
? ??1i ,故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠),其中2ξ=1εi +2ε。 3)设A 在 给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A ,因为A E -λ=(2-λ)3(2+λ),故A 的
特征值为1λ=2λ=2,243-==λλ。
当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ????
??
?
??=??????? ??=??????? ??=1001,0101,0011321X X ,故A 的属
于特征值2的全部特征向量为 11εk +22k ε+k 33ε (k 321,,k k 不全为零),其中1ξ=1ε+2ε,
2ξ=1ε+3ε,3ξ=1ε+4ε。
当2-=λ时,特征方程组的基础解系为X =4????
??
? ??---1111,故A 的属于特征值-2的全部特
征向量为 k 4ξ (k 0≠),其中4ξ=1ε-2ε-43εε-。 4) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ,因
A E -λ==+-----1
21
11
3
6
5λλλ43-λ422++λλ=(2-λ)(31--λ)(31+-λ), 故A 的特征值为1λ=2,2λ
=3λ
当1λ=2时, 方程组???
??=+--=-+=+--032020363321321321x x x x x x x x x 的基础解系为?
???
?
??-012,故A 的属于特征值2
的全部特征向量为 k 1ξ (k 0≠),其中1ξ=12ε-2ε。
当λ=1+3时, 方程组??
?
??=++--=-++=+-+-0
)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为?????
??--3213,故A
的属于特征值1+3的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠),其中2ξ=13ε-2ε+(23-)3ε。
当λ=1-3时, 方程组??
?
??=-+--=--+=+---0
)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为????? ??+-3213,故A
的属于特征值13-的全部特征向量为 k 3ξ (k 0≠),其中3ξ=13ε-2ε+(23+)3ε。 5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ,因
A E -λ=λ
λλ0
1
01
1
0---=(1-λ)2(1+λ),
故A 的特征值为1,132
1-===λλ
λ。
当12
1==λ
λ,方程组??
?=+-=-00
3131x x x x 的基础解系为,101?
???
? ??010??
?
? ???
,故A 的属于特征值1的全部特征向量为112212(,)k k k k ξξ+不全为零,其中311εεξ+=,22εξ=。
当13-=λ时,方程组?????=--=-=--0020
31
231x x x x x 的基础解系为101?? ?
? ?
-??,故A 的属于特征值-1的全
部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中313εεξ-=。 6) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ,因
A E -λ==---λ
λλ31321
2)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ,
故A 的特征值为i i 14,14,032
1-===λλ
λ。
当01=λ时,方程组?????=+=-=--030320221
3132x x x x x x 的基础解系为312?? ?
- ? ?
??,故A 的属于特征值0的全
部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中321123εεεξ+-=。
当i 142=λ时,该特征方程组的基础解系为????
??
?
??-+-+101432146i
i
,故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i 。
当i 14-=λ时,该特征方程组的基础解系为????
??
?
??----101432146i
i ,故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中321310)1432()146(εεεξ---+-=i i 。
7) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ,因
A E -λ=2
8
4
1
4
013+-+--λλλ=(1-λ)2
(2+λ),
故A 的特征值为2,132
1-===λλ
λ。
当12
1==λ
λ,该特征方程组的基础解系为3620??
?
- ? ???
,故A 的属于特征值1的全部特征
向量为)0(1≠k k ξ,其中32112063εεεξ+-=。
当23-=λ,该特征方程组的基础解系为001?? ?
? ???
,故A 的属于特征值-2的全部特征向量
为)0(2≠k k ξ,其中32εξ=。
20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下,写出相应的基变换的过度矩阵T ,并验算T
1
-AT 。
解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n 个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T 。 1) 因为12(,)ξξ=(21,εε)????
??-5141 ,所以过渡矩阵T=?
??
?
??-5141, T 1-AT=??????
??-919
19495???? ?
?2543???? ??-5141=???? ??-2007。 2)0,a =当时已是对角型。
???? ??-=≠11),(),(,02121i i a εεξξ有时当,过渡矩阵T=????
??-11i i ,
T 1
-AT=???? ??-=???? ??-???? ??-?????
?
??-ai ai i i a a i i
001100212
212
。 3)因为(4321,,,ξξξξ)=(4321,,,εεεε)???????
??---110010101001
11
11
,过渡矩阵T=??
?
?
?
?
?
?
?---11001010
1001
1111,
T 1
-AT=?????
?
? ??-22
22。 4)因为(),,321ξξξ=(???
?
? ??+----32320111
332
),,321εεε, 过渡矩阵T=????? ??+----32320111332,T ?????
??-+=-313121AT 。 5)因为 (),,321ξξξ=(321,,εεε)???
?
?
??-101010101,过渡矩阵
T=????
?
??-101010101,
1110001101100220100100100101110010100102
2T AT -?? ??????? ? ??? ?
== ? ??? ? ??? ? ?--??????-
???。
6)因为 (????
??
??----+---+=101021432143211461463),,(),,321321i i i i εεεξξξ,
即过渡矩阵为 T=????
?
?
??----+---+101021432143211461463i i i i ,
且T ???
?? ?
?-=-i i AT 14000140
1
。 21.在P[x]n (n>1)中,求微分变换D 的特征多项式,并证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。
解 取P[x]n 的一组基1,x,21
,...,2(1)!
n x x n --,则D 在此基下的矩阵为 D=???
???
?
?
?
?0 (00)
01...000...............0...1000 (010)
,
从而n D E λλλλλ=?????
??
?
?
?---=-...
0001...000.........
......0...
1
00 0
1, 故D 的特征值是n (0=λ重),且D 的属于特征值0的特征向量ξ只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数n ,故D 在任一组基下的矩阵都不可能是对角形。
22.设 A=142034043?? ?- ? ???
,求A k
。
高等代数(北大版)第6章习题参考答案
第六章线性空间 . 设 M N , 证 明: M N M , M N N 。 1 证任 取M , 由 M N , 得 N , 所 以M N , 即证 M N M 。又因 M N M , 故 M N M 。再证第二式,任 取 M 或N , 但 M N , 因此无论 哪一种情形,都有N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。 2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) , M (N L) ( M N ) (M L ) 。 证x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形,于是 x M N或 x M L. 所以 x (M N )(M L) ,由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之,若 x (M N ) ( M L) ,则 x M N或 x M L. 在前一情形, x M , x N , 因此 x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形,因而 x M , x L, x N L ,得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。 若 x M ( N L),则 x M , x N L 。 在前一情形 X x M N ,且 X M L,因而 x ( M N) ( M L)。 在后一情形, x N ,x 因而 x M N , 且 X M ,即 X ( M N)(M L)所以L, L (M N)(M L) M (N L) 故 M ( N L) =()(M L) M N 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1)次数等于n( n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;2)设 A 是一个 n× n 实数矩阵, A 的实系数多项式 f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量 乘法; 3)全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4)平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: ( a1,b1)( a b ( a1a2,b1b2a1 a2) (kk 1) 2
高等代数北大版第章习题参考答案
第七章 线性变换 1.? 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1)? 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2)? 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3)? 在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4)? 在P 3中,A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=; 5)? 在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6)? 在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7)? 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=。 8)? 在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y , A (k X )=k BXC k kX B ==)()(A X ,故A 是n n P ?上的线性变换。
高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程
第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算,这些运算满足一定的运算法则,则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数,且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的,即对K 内任意两个数a 、b (a 可以等于b ),必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时,,且当,,则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域Q ;Gauss 数域:Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q },其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素0≠∈a K a ,且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10, 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后,∈?n m ,Z 0>, K n m ∈,K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?;把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \。 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1.求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ,我们使用如下记号:
高等代数(北大版)第5章习题参考答案.doc
第五章 二次型 1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果。 1) 4 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2x 2 x 3 ; 2) x 12 2 x 1 x 2 2x 22 4x 2 x 3 4x 32 ; 3) x 12 3x 22 2x 1 x 2 2x 1 x 3 6x 2 x 3 ; 4) 8x 1 x 4 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ; 5) x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 ; 6) x 12 2 x 22 x 42 4x 1 x 2 4x 1 x 3 2x 1 x 4 2x 2 x 3 2x 2 x 4 2 x 3 x 4 ; 7) x 2 x 2 x 2 x 2 2x 1 x 2 2x 2 x 3 2x x 4 。 1 2 3 4 3 解1)已知 f x 1 , x 2 , x 3 4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3 , 先作非退化线性替换 x 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 ( 1) x 3 y 3 则 f x 1 , x 2 , x 3 4 y 12 4y 22 4 y 1 y 3 4y 2 4y y y 2 y 2 4y 2 1 1 3 3 3 2 2 y 1 3 y 32 4 y 22 , y 3 再作非退化线性替换 y 1 1 z 1 1 z 3 2 2 y 2 z 2 ( 2) y 3 z 3 则原二次型的标准形为
f x 1 , x 2 , x 3 z 12 4z 22 z 32 , 最后将( 2)代入( 1),可得非退化线性替换为 x 1 1 z 1 z 2 1 z 3 2 2 x 2 1 z 2 1 ( 3) z 1 z 3 2 2 x 3 z 3 于是相应的替换矩阵为 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 2 T 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 , 1 0 0 1 2 1 且有 1 0 0 T AT 0 4 0 。 0 1 2 )已知 f x 1 , x 2 , x 3 x 12 2x 1 x 2 2x 22 4 x 2 x 3 4x 32 , 由配方法可得 f x , x , x x 2 2x x 2 x 2 x 2 4x x 3 4x 2 1 2 3 1 1 2 2 2 3 x 1 x 2 2 x 2 2x 3 2 , 于是可令 y 1 x 1 x 2 y 2 x 2 2x 3 , y 3 x 3 则原二次型的标准形为 f x , x 2 , x 3 y 2 y 2 , 1 1 2 且非退化线性替换为
(完整版)高等代数(北大版)第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数(北大第三版)答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注: 答案分三部分,该为第二部分,其他请搜索,谢谢!
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =,
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 4) 由定义,知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα , α== β==
高等代数(北大版第三版)习题答案III
高等代数(北大*第三版)答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注: 答案分三部分,该为第三部分,其他请搜索,谢谢!
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。
高等代数北大版习题参考答案
第七章线性变换 1.?判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1)?在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2)?在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3)?在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4)?在P 3中,A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=; 5)?在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6)?在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7)?把复数域上看作复数域上的线性空间,A ξξ=。 8)?在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ,
高等代数(北大版)第5章习题参考答案
第五章 二次型 1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果。 1)323121224x x x x x x ++-; 2)2 3322221214422x x x x x x x ++++; 3)3231212 2216223x x x x x x x x -+--; 4)423243418228x x x x x x x x +++; 5)434232413121x x x x x x x x x x x x +++++; 6)4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++; 7)4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1)已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=, 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x (1) 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=, 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y (2) 则原二次型的标准形为
()2 322213214,,z z z x x x f ++-=, 最后将(2)代入(1),可得非退化线性替换为 ??? ? ? ? ??? =+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x (3) 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T , 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2)已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++, 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=, 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y , 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=, 且非退化线性替换为
高等代数北大版第章习题参考答案
高等代数北大版第章习 题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第六章 线 性空 间 1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==。 证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪一种情形,都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =,)()()(L M N M L N M =。 证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈,由此得)()()(L M N M L N M =。反之,若 )()(L M N M x ∈,则.L M x N M x ∈∈或在前一情形,,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈,得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈(),则x ,x 。 在前一情形X x M N ∈,X M L ∈且,x M N ∈因而()(M L )。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以 ()(M L )(N L )故 (L )=()(M L ) 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1)次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2)设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章线性变换 1.判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:1)在线性空间V中,A,其中V是一固定的向量; 2)在线性空间V中,A其中V是一固定的向量; 3)在P 322 中,A(,,)(,,) x1xxxxxx; 231233 4)在P 3中,A(,,)(2,,) x1xxxxxxx 2312231 ; 5)在P[x]中,A f(x)f(x1); 6)在P[x]中,A()(), fxfx其中 0 x P是一固定的数;0 7)把复数域上看作复数域上的线性空间,A 。 nn 中,A X=BXC其中B,CP 8)在P 解1)当0时,是;当0时,不是。nn 是两个固定的矩阵. 2)当0时,是;当0时,不是。 3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。 4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有 A()=A(x1y1,x2y2,x3y3) =(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1) =(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1) =A+A, A(k)A(kx1,kx2,kx3) (2kx 1 k x 2 ,k x 2 k x, 3 k x) 1 (2kx 1 k x 2 ,k x 2 k x, 3 k x) 1 =k A(), 3 故A是P 上的线性变换。 5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令 u(x)f(x)g(x)则 A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x)), 再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x)),故A为P[x]上的线性变换。 6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则. A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x)), A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。 7)不是,例如取a=1,k=I,则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。 8)是,因任取二矩阵X,Y nn
高等代数北大编 第1章习题参考答案
第一章 多项式 一 、习题及参考解答 1. 用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r : 1)123)(,13)(2 2 3 +-=---=x x x g x x x x f ; 2) 2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。 解 1)由带余除法,可得9 2926)(,9731)(--=-= x x r x x q ; 2)同理可得75)(,1)(2 +-=-+=x x r x x x q 。 2.q p m ,,适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+3 2 |1, 2)q px x mx x ++++2 4 2 |1。 解 1)由假设,所得余式为0,即0)()1(2 =-+++m q x m p , 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+3 2|1。 2)类似可得???=--+=--0 10 )2(2 2m p q m p m ,于是当0=m 时,代入(2)可得1+=q p ;而当022=--m p 时,代入(2)可得1=q 。 综上所诉,当?? ?+==10q p m 或???=+=2 12 m p q 时,皆有q px x mx x ++++2 42|1。 3.求()g x 除()f x 的商()q x 与余式: 1)5 3 ()258,()3f x x x x g x x =--=+; 2)3 2(),()12f x x x x g x x i =--=-+。 解 1) 432()261339109()327 q x x x x x r x =-+-+=-; 2) 2()2(52)()98q x x ix i r x i =--+=-+。
高等代数北大版第6章习题参考答案.docx
第六章线性空间 .设 MN ,证明: M I N M , M U N N 。 1 证任取M , 由 M N , 得N , 所以M N , 即证M N I M 。又因M N M , 故M I N M 。再证第二式,任取M 或N , 但 M N ,因此无论哪一种情形,都有N , 此即。但 N M N , 所以M U N N 。 2.证明M ( N L )(M N ) (M L) , M (N L) ( M N ) ( M L) 。 证x M( N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形,于是 x M N或 x M L.所以 x(M N )(M L) ,由此得 M( N L) (M N )(M L) 。反之,若 x(M N )( M L) ,则 x M N或 x M L. 在前一情形, x M , x N , 因此 x N L. 故得x M ( N L), 在后一情形,因而 x M , x L, x N U L ,得x M ( N L), 故 ( M N ) ( M L) M (N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。 若 x M U( N I L),则 x M , x N I L 。 在前一情形 X x M U N ,且 X M U L,因而 x ( M U N)。 I(MU L) 在后一情形, x N ,x因而 x M U N, 且,即 X ( M N)(M L)所以L,X M U L U IU (M U N)I(MU L) M U(NU L) 故M U(N I L) =( M U N)I( MU L) 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1)次数等于n( n1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2)设 A 是一个 n × n 实数矩阵, A 的实系数多项式 f (A)的全体,对于矩阵的加法和数量乘法; 3)全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4)平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: ( a1,b1)( a b ( a1a2,b1b2a1 a2) (kk1)2 k。( a , b1) =( ka1, kb1 +a1 12
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间,ε1,ε2,ε3是它的一组基,f是V上的 一个线性函数,已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数,所以有 f (ε1)+ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)=4,f (ε2)=-7,f (ε3)=-3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).=X 1 f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3) =4 X 1 -7 X 2 -3 X 3 2、设V及ε1,ε2,ε3同上题,试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)=f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数,则由题设有 f (ε1)+ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)=-1,f (ε2)=2,f (ε3)=1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1,ε2,ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时,就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1,ε2,ε3是线性空间V的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,令α1=ε1-ε3,α2=ε1+ε2-ε3,α3=ε2+ε3 试证:α1,α2,α3是V的一组基,并求它的对偶基。 证:设 (α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A 由已知,得 A= 110 011 111????????-?? 因为A≠0,所以α1,α2,α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1,α2,α3得对偶基,则 (g1,g2,g3)=(f1,f2,f3)(Aˊ)1- =(f1,f2,f3) 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间,f1,f2,…fs是V*中非零向量,试证:?α∈V,使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证:对s采用数学归纳法。 当s=1时,f1≠0,所以?α∈V,使fi(α)≠0,即当s=1时命题成立。 假设当s=k时命题成立,即?α∈V,使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1 k+(α)≠0,则命题成立,若f 1 k+ (α)=0,则由f 1 k+ ≠0知,一定?β∈V 使f 1 k+ (β)=b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0,使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+,则γ∈V,且
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章 双线性函数与辛空间 个线性函数,已知 解此方程组可得 f ( 1) =4,f ( 2)=-7,f ( 3)=- 3 =4 X 1-7 X 2 - 3 X 3 设 f 为所求 V 上的线性函数,则由题设有 解此方程组可得 f (a)=f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ) 1、 设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间, 12 3 是它的一组基, f 是 V 上的 f ( 1+ 3 )=1,f ( 2 -2 3 )=-1,f ( 1+ 2 )=-3 求 f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ). 解 因为 f 是 V 上线性函数, 所以有 1) + f ( 3)=1 2 )-2 f ( 3)=-1 1)+f ( 2 )=-3 f (X 1 1+X 2 2+X 3 3).=X 1 f ( 1)+X 2 f ( 2)+X 3 f ( 3) 2、 设V 及 1 , 2 , 3 同上题,试找出一个线性函数 f ,使 f ( 1+ 3) = f ( 2 -2 3)=0, f ( 1+ 2 )=1 1) + f ( 3)=0 2 )-2 f ( 3)=0 1)+f ( 2 )=1 1) =-1,f ( 2)=2,f ( a V,当 a 在 V 的给定基 3 下的坐标表示为 a= X 1 1+X 2 2 +X 3 3 时, 就有
= X 1 f ( 1)+X2 f ( 2)+X3 f ( 3) =-X 1 +2 X 2+ X3 3、设 1,2,3是线性空间V 的一组基,f1,f2,f3 是它的对偶基,令 1= 1 -3, 2 =1+2-3,3= 2 +3 试证: 1 ,2, 3 是V 的一组基,并求它的对偶基。 证:设 ( 1,2,3)=( 1 ,2,3)A 由已 知, 得 1 1 0 A=0 1 1 1 1 1 因为A ≠0,所以1,2,3是V 的一组基。 设g1,g2,g3 是 1 , 2 , 3 得对偶基,则 g1,g2,g3)=( f1,f2,f3 )(Aˊ) 0 1 1 =( f1,f2,f3 ) 1 1 2 1 1 1 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间,f1,f2 , ?fs 是V*中非零向量,试证:∈V,使 fi( )≠0 (i=1,2 ?,s) 证:对s 采用数学归纳法。 当s=1 时,f1≠0,所以∈V,使fi( ) ≠0,即当s=1 时命题成立。 假设当s=k 时命题成立,即∈V,使fi( )= i ≠0 (i=1,2 ?,k) 下面证明s=k+1 时命题成立。 若f k1( )≠ 0,则命题成立,若 f k1( ) =0,则由 f k 1≠0知,一定∈V 使f k1( )=b,设fi( )=di(i=1,2 ?,k), 于是总可取数c≠0,使 c ,则∈V,且 ai+cdi ≠0(i=1,2 ?,k)
高等代数北大版第6章习题答案
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形,都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =,)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈,由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之,若 )()(L M N M x I Y I ∈,则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形,,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ,得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I (),则x ,x 。 在前一情形X x M N ∈U , X M L ∈U 且,x M N ∈U 因而()I U (M L ) 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以 ()(M L )(N L )故 (L )=()(M L )即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1) 次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2) 设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量 乘法; 3) 全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4) 平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111(a ,)((,) ()k 。(a ,)=(ka ,kb +
高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程
一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数,且 K 对复数的加、减、乘、 四则运算 是封闭的,即对K 内任 两个数a 、 b ( a 可 以等于b ), 必有 b K , ab K ,且当b 0时,a/b K ,则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域:Q (i) = { a b i | a, b € Q},其中 i = ?. 1 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素 K ,且 a 0。于是 进而 最后, m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集, 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定 若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念 个代数系统。 1.1.2数域的定义 定义(集合的交、并、差)设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集,记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集,记做A B 。 的元素(记做f(a)),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 B, f (a). 如果f(a) b B ,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的 子集称为A 在f 下的像,记做 f (A),即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ,使得f(a) b ,则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ,我们使用如下记号: 第一学期第一次课 如果f 既是单射又是满射,则称 f 为双射,或称一一对应。