2020届人教A版导数及其应用_单元测试-

导数及其应用

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．由抛物线2

12

y x =

与直线4y x =+所围成的图形的面积是 A ．16 B ．338

C ．3

16 D ． 18

【答案】D 【解析】 试题分析：抛物线

2

12

y x =

与直线4y x =+的交点()()2,2,4,8-，结合图形可知围成的面积为4

234221130|1826

S S x dx x --=-=-=?

梯形 考点：定积分的几何意义 点评：若函数

()f x 满足()0f x >，则()b

a

f x dx ?的值等于直线,,0x a x b y ===与()

f x 曲线围成的曲边形的面积

2．已知

的导函数为 ，则 （ 为虚数单位）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D 【解析】

∴ ，故选D

3．已知函数 满足

，当 时， ．若

时，函数 的图象与 轴有三个不同的交点，则正实数 的取值范围是 A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】 【分析】

分情况得到函数 =?2ln x?ax (

)， =ln x?ax ( )，分别对函数求导，得到函数的单调性，得到函数的 【详解】

设 ，可得 ，∴f (x )=2f ( )=2ln ，此时 =?2ln x ?ax (

)，则

，又a ＞0，所以g ′(x )＜0， 为减函数，由题意知 必须在[

，1]上

与 轴有一个交点，所以

且 ，解得0＜a ≤6ln3；当 时， ，所以可得 =ln x ?ax ( )，则

．令g ′(x )＜0，可得

，此时 为

减函数；令g ′(x )＞0，可得

，此时 为增函数．由题意知 必须在[1，3]上与 轴有两个交点，所以 ， 且

，解得

．综上，

，

故选D ． 【点睛】

已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题． 4．若()1

sin22sin 3

f x x x m x =-+在(),-∞+∞单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．11,22??-

???? B ．11,3??-???? C ．11,26??--???? D ．11,66??

-????

【答案】D

【解析】由()1

sin22sin 3

f x x x m x =-+在

()

,-∞+∞单调递增，易知

()′

2

1223

f x cos x mcosx =-+

在()()′

,0f x -∞+∞≥上恒有，即2

12203

cos x mcosx -

+≥， 经整理有24650cos x mcosx -++≥，令t cosx =，则11t -≤≤，

即有24650t mt -++≥在11t -≤≤恒成立，作出()2

465f t t mt =-++的图像如下：

由上图可知，只需()()10{

10

f f -≥≥，即4650{

4650m m --+≥-++≥，解之得11

66

m -≤≤.故选D

点睛：将问题转化为不等式恒成立问题是解决本题的关键. 5．已知曲线y=31x 3

+3

4，则过点P （2，4）的切线方程是

（ ）

A ．4x －y －4=0.

B ．x －4y －4=0.

C ．4x －4y －1=0.

D ．4x+y －4=0.

【答案】A

【解析】y ′=x 2

，当x=2时，y ′=4.∴切线的斜率为4.

∴切线的方程为y －4=4（x －2），即y=4x －4.

6．已知曲线)(x f y =在5=x 处的切线方程是8+-=x y ，则)5(f 及)5('

f 分别为（ ）

A ．3,3

B ．3，－1

C ．－1,3

D ．－1，－1 【答案】B. 【解析】

试题分析：由题意，得383)5(=+-=f ，1)5('

-=f . 考点：导数的几何意义.

7．设 ，则

（ ）

A ．

B ．

C ．1

D ．

【答案】B 【解析】 【分析】

对函数求导得到函数的导函数，代入求值即可. 【详解】

因为 ，所以

. 故答案为:B. 【点睛】

考查了常见函数的导函数的求法，较为基础.

8．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意,2)(,>'∈x f R x 则42)(+>x x f 的解集为

A ．（-1，1） B.（-1，+∞） C.(-∞,-1) D.(-+∞∞,) 【答案】B

【解析】设()()24,()()20g x f x x g x f x ''=--=->则对任意x R ∈都成立；所以函数()g x 是定义域R 上的增函数，且(1)0.g -=所以不等式42)(+>x x f ，即

()0(1)g x g >=-，所以 1.x >-故选B

9．若函数

ln ()x

f x x =

，若(3),(4),(5)a f b f c f ===, 则

A.a b c <<

B.c b a <<

C.c a b <<

D.

b a

c <<

【答案】B 【解析】略

10．设P 为曲线C ： 2

23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42

ππ

，），则点P 横坐标的取值范围为(

)

A ．12?

?-∞ ???

， B ．[]10-， C ．[]01， D ．12??-+∞????

，

【答案】D

【解析】()[)221,f x x =+∈'+∞,解得1

2

x ≥-

,故选D . 11．如果函数 的导函数的图像如图所示，给出下列判断： ①函数 在区间

内单调递增；

②当 时，函数 有极小值； ③函数 在区间 内单调递增； ④当 时，函数 有极小值. 则上述判断中正确的是（ ）

A．①②B．②③C．③④D．③

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函数的导数与原函数的图象之间的关系，即可得到函数的单调性与极值，得到答案. 【详解】

由题意，根据函数的导函数的图像可得：

①函数在区间内单调递减，在区间上单调递增，所以不正确；

②当时，，且函数在单调递减，在上单调递增，所以时，函数有极小值，所以是正确的；

③当时，，所以函数在区间内单调递增是正确的；

④当时，不是函数的极值点，所以函数有极小值是不正确的，故选B. 【点睛】

本题主要考查了导函数的图象与原函数的性质之间的关系，其中熟记导函数与原函数之间的关系正确作出判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

二、填空题

12．设函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是___.

【答案】

【解析】

f′(x)＝3x2－x－2，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.

f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7，∴f(x)的最小值为，∴m<

13．若对任意的都成立，则的最小值为．

【答案】

【解析】试题分析：令 ，则 ，当 时， ，所以时，

的图象与直线 相切，过点 、 的直线方程为

，则时，

在直线 下方，在直线

的上方，所以

对任意的

都成立，则

的最小值为

．

考点：1、函数的最值；2、函数图象．

14．14．已知函数( 为常数)，直线与函数

的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为，则 的值为_______.

【答案】

【解析】因为所以

再由

的判别式为零得

考点：导数几何意义. 15．设，若

时，恒有

，则

_____.

【答案】-1

【解析】令 ，得 ，即 ，令 ，因为 ，

且 在 上恒成立，即 是函数 的极小值，又

，

则 ，解得 .

16．对于三次函数3

2

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设'()f x 是函数

()y f x =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点

00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有

“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数

32115

()33212f x x x x =-+-

，请你根据这一发现，计算123()()()201520152015f f f +++ 2014()2015

f +=________．

【答案】2014 【解析】

试题分析：解：2

()3f x x x '=-+，由()210f x x ''=-=得，01

2

x =

，0()1f x =，则1(,1)2为()y f x =的对称中心，则120141()()2()2201520152f f f +==， 123()()()201520152015f f f +++2014()20142015

f ???+= 考点：本题考查新定义，导数的应用，函数的对称性

点评：解决本题的关键是审清题意，理解函数的对称中心，若函数f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b ，则函数关于点(a,b)对称

三、解答题

17．已知()()3

2

ln ,2f x x x g x x ax x ==+-+．

（1）若函数()g x 的单调递减区间为1,13??

- ???

，求函数()y g x =的图像在点()1,1P -处的切线方程；

（2）若不等式()()22f x g x '≤+恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）450x y -+=；（2）[)2,-+∞．

【解析】试题分析：⑴求出()g x 的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入求出a 的值，得到函数()g x 的解析式，求出()g x 的导数在1x =-的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程

⑵求出不等式，分离出参数A ，构造函数()h x ，利用导数求出()h x 的最大值，令a 大于等于最大值，求出a 的范围；

解析：（1）()2

321g x x ax =+-'，由题意，知23210x ax +-<的解集是1,13??- ???

，

即方程23210x ax +-=的两根分别是1,13

-． 将1x =或13

-代入方程23210x ax +-=，得1a =-，

∴()3

2

2g x x x x =--+， ()2

321g x x x '=--，∴()14g '-=，

∴()g x 的图像在点()1,1P -处的切线斜率()14k g ='-=，

∴函数()y g x =的图像在点()1,1P -处的切线方程为： ()141y x -=+，即

450x y -+=；

（2）∵()()22f x g x '≤+恒成立，

即22ln 321x x x ax ≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立，

整理可得31

ln 22a x x x ≥-

-

对一切()0,x ∈+∞恒成立， 设()31ln 22h x x x x =--，则()2

131

22h x x x

=-+'， 令()0h x '=，得1

1,3

x x ==-（舍），

当01x <<时， ()()0,h x h x '>单调递增；当1x >时， ()()0,h x h x '<单调递减， ∴当1x =时， ()h x 取得最大值()12h =-，∴2a ≥-． 故实数a 的取值范围是[)2,-+∞．

点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程及函数恒成立的问题，考查了函数的单调性与导数的关系以及函数解析式的求解及常用方法。解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围。

18．已知函数f （x ）=e x -x 2+a ，x ∈R ，曲线y =f （x ）在（0，f （0））处的切线方程为y =bx ．

（1）求f （x ）的解析式；

（2）当x ∈R 时，求证：f （x ）≥-x 2+x ；

（3）若f （x ）≥kx 对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1) ;(2)详见解析；（3） 【解析】 【分析】

（1）由题意利用导函数与原函数的关系得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；

（2）构造函数φ（x ）=f （x ）+x 2-x =e x -x -1，利用导函数的性质确定其最小值即可证得题中的不等式； （3）将原问题转化为

≥k 对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，然后构造函数结合(2)中的

结论求解实数k 的取值范围即可.

【详解】

（1）f（x）=e x-x2+a，f'（x）=e x-2x．

由已知? ，f（x）=e x-x2-1．

（2）令φ（x）=f（x）+x2-x=e x-x-1，φ'（x）=e x-1，由φ'（x）=0，得x=0，

当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；

当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．

∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x2+x．

（3）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立

?≥k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，

令g（x）=，x＞0，

∴g′（x）=，

由（2）可知当x∈（0，+∞）时，e x-x-1＞0恒成立，

令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．

∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=0．

∴k≤g（x）min=g（1）=e-2，∴实数k的取值范围为（-∞，e-2]．

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．

19．已知函数，其中为常数，且.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（2）求函数在区间上的最小值的表达式.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：

详解：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，结合两直线垂直的条件，解方程可得；（2）对讨论，当时，当时，当时，判断导数的符号，得到单调性，即可得到最小值．

（），

（1）因为曲线在点处的切线与直线垂直，

所以，即，解得.

（2）当时，在上恒成立，

这时在上为增函数

∴

当时，由得

∵对于有，在上为减函数，

对于有，在上为增函数，

∴

当时，在上恒成立，

这时在上为减函数，

∴.

点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，结合函数的单调性，属于中档题．

20．（题文）设函数有两个极值点、，且．

（）求的取值范围，并讨论的单调性．

（）证明：．

【答案】(1)；单调性见解析.

(2)证明见解析.

【解析】试题分析 :（1）先确定函数的定义域然后求导数，由题意知，是方程的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式（）＞和（）＜，求出单调区间；

（2）是方程的根，将用表示，消去得到关于的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．

试题解析 :

（）由题意知，函数的定义域是，

，

且有两个不同的实数根，，故的判别式，即，且，，①

又，故．因此的取值范围是．

当变化时与的变化情况如下表：

因此在区间和是增函数，在）上是减函数．

（）由题意和①知，，，

于是．

设函数，则．

当时，，

当时，，故在上是增函数．

于是，当，．因此.

21．函数在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ），成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）函数的减区间是，增区间是；（3）的取值范围是.

【解析】试题分析：（1），所以由题意，解得；（2）由导函数易知，函数的减区间是，增区间是；（3），设，解得的取值范围是.

试题解析：

(Ⅰ)，依题意得，，则有

?．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，

由于在区间上为增函数，且，

则当时，；当时，，

故函数的减区间是，增区间是．

(Ⅲ) 由得，所以，

设，只须，

由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．

即（当且仅当时取等号）所以函数，

故的取值范围是．

点睛：本题考查导数的综合应用。含参的函数恒成立不等式问题，常用的方法是分离参数法，本题中，分离参数得，则设，只须，通过求导，得到答案。