7.2.1等差数列(1)

7.2.1等差数列（1）

教学目标:

1．通过现实生活中的具体实例，概括出等差数列的概念，推导出等差数列的通项；

2．掌握等差数列的概念，能判断一个数列是否为等差数列；理解通项公式的推导过程及其

中蕴含的数学方法，会求等差数列的通项公式并加以应用；

3．在探索活动中锻炼学生观察分析能力，帮助学生形成由特殊到一般的归纳能力。

教学重点：等差数列概念的理解和使用概念解决问题；

教学难点：通项公式的推导过程及其中蕴含的数学方法，从函数的角度理解通项公式。

教学过程设计:

㈠情景导入

引例1：教材P8例3（2）

根据()?

??=≥∈-=*-1002,1511a n N n a a n n 写出此数列的前4项。 【问题1】此数列特别之处在于哪里？

依据此规律，可以对这个数列如何命名？

引例2:：⑴奥运会举办的年份： 2004,2000,1996,1992,1988,1984

⑵鞋子的尺码： ,5.36,37,5.37,38,5.38,39

⑶一学期内每天在校做眼保操的次数： ,2,2,2,2,2,2

【问题2】观察以上3个数列，说说它们有哪些共同特点？（数列中相邻两项差都相等）

追问1：你所指的相邻两项是什么意思？请结合引例2的第一个数列具体地说。

（41988199219841988==-=- ）

追问2：可以用数学语言描述吗？

（数列中每一项与前一项的差都相等）

追问3：数列{}n a 中每一项都可以和它的前一项作差吗？

（第一项与前一项无法作差，所以应该明确规定从第二项起）

追问4：如果对于数列{}n a 满足上述规律，可以用怎样的代数式来表示上述规律？

（d a a a a a a ==-=-=- 342312）

㈡探求新知

⑴等差数列的定义：

【问题3】像引例2中这样的数列，我们应该对其如何命名？

如何定义呢？

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么

这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差（common difference ），用d 表示。

【问题4】你能举出一个等差数列吗？

比如： ,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1

追问1：针对学生举例，随机改动几个项，新数列还是等差数列吗？

① ,10,9,8,7,6,5,4,3 ② ,9,7,5,3,1 ③ ,10,7,4,1

④ ,10,9,6,5,2,1

追问2：比如数列： ,53,43,33,23,3,3b b b b b +++++是等差数列吗？

【问题5】你认为在等差数列的定义中有哪几个关键点？(①同一常数，②从第二项起)

【问题6】如果用数学符号表示等差数列定义，你将如何表示？

追问1：d a a a a a a ==-=-=- 342312就这样写下去写得完吗？

如果写不完，能否用一个统一的式子来表示？

（d a a n n =--1()2,≥∈*n N n 或d a a n n =-+1()*∈N n 均可）

追问2：将上述两式联立，得到n n n n a a a a -=-+-11()2,≥∈*n N n

可以用这个式子表示等差数列吗？这个等式还有其他形式吗？ 满足此式的数列是等差数列吗？

（ 可以 n n n n a a a a -=-+-11()?≥∈*2,n N n

112+-+=n n n a a a ()?≥∈*2,n N n 211+-+=

n n n a a a ()2,≥∈*n N n ） 归纳：①{}n a 是等差数列?211+-+=n n n a a a ()

2,≥∈*n N n ②一般地，设b A a ,,是等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项。

如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数。

⑵等差数列的通项公式：

【问题7】你能说出这三个数列的公差吗？

⑴ 2004,2000,1996,1992,1988,1984 4=d

⑵ ,5.36,37,5.37,38,5.38,39 5.0-=d

⑶ ,2,2,2,2,2,2 0=d

追问1：你能说出公差d 对等差数列的单调性的影响吗？

追问2：你能说出数列⑴中第17项17a 吗？如何求出来的？数列⑴通项公式是什么？

【问题8】你能否根据等差数列定义，用已知的首项1a 和公差d 来表示n a 呢？

【问题9】等差数列的通项公式中涉及几个量？它们分别是？

在推导等差数列通项公式时运用了什么数学方法？

㈢问题解决

例1：求出下列等差数列中的未知项。

⑴ 9,,3a ； ⑵ 10,,,2-c b ； ⑶ ,,9,,3,g f e -。

追问1：能不能不求公差d ，而直接求出未知项？

追问2：等差数列 ⑶中，-45是否是该数列中的项？如果是，是第几项？

追问3：若已知等差数列中的任意两项，能求公差吗？如果能，尝试将你的结论用一

个公式来表达。 即等差数列{}n a 中, n a 与m a 是常数,试求出公差d

该公式与通项公式之间有何联系？

例2：已知数列{}n a 的通项公式为q pn a n +=，（其中q p ,为常数，且0≠p ）。 判断数列{}n a 是否是等差数列，并证明你的结论。

追问1：若数列{}n a 为等差数列，则其通项公式n a 是否一定表示为q pn a n +=（其中

q p ,为常数）的形式？q p ,与等差数列的哪些基本量有关系？

追问2：你能否举出一个具体的等差数列{}n a 的通项公式，并指出首项1a 和公差d 吗？

练习：教材第13页练习7.2.1(1) 1，3，4，5 第14页练习7.2.1(2) 1，

㈣回顾反思

①本节课的知识结构和研究展望：

②本节课中研究主体涉及的数学方法及其内涵：

③等差数列的数学史介绍：

当人类祖先需要用一组数有序地表达一类事物、记录某个变化过程时,数列也就应运而生了。而等差数列是人类历史上最为悠久的数学知识之一。

1937年在捷克摩拉维亚出土的幼狼胫骨上（约3万年前），人们发现了55道刻痕，被认为是人类原始数学活动的一种证据！它们代表什么？是数字游戏？是星星数目？还是月相变化记录？

经过考古学家论证：它们按5个刻痕一群排列（5进制雏形），其对应的数列应为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55。显然，这是一个公差为5的等差数列。

在古代两河流域的泥版文献上，有各种各样的数表，如：乘法表、倒数表、平方表、立方表等，这些数表上的数构成了各种数列。

在古埃及的《莱茵德纸草书》（约公元前1650年）中载有：“10人分10斗麦子，从第二人开始，各人所得依次比前一人少8

1，问各得多少？”这样一个等差数列问题。 在我国古代很早就有等差数列问题。在半坡遗址出土的陶器上，就有排成等差数列的点状花纹。战国时期楚国的铜环权（约公元前2世纪），其重量有大致按等差数列配置的。

细察以上案例，它们均涉及生产活动、社会分配等生活实际，这从侧面说明数学源于生活，根植于生活。

㈤作业布置

练习部分7.2 A 组1-7,9-12

【课后思考1】数列{}n a 中，从第三项起，每一项和它的前一项的差是同一个常数，

这样的数列是等差数列吗？如果不是，数列{}n a 和等差数列有联系吗？

【课后思考2】如果数列{}n a 满足：121++--=-n n n n a a a a ()

2,≥∈*n N n ，

数列{}n a 是等差数列吗？

【课后思考3】可否设q pn a n +=（其中q p ,为常数），用待定系数法来解决例1？

（上海市松江一中 何 霄）