北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练：立体几何

北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练

立体几何

一、选择、填空题

1、（2015年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，

则该三棱锥的表面积是

A.52+

B.54+

C.522+

D.5

2、（2014年北京高考）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，

()

1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投

影图形的 面积，则（ ）

（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠

3、（2013年北京高考）如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________．

4、（朝阳区2015届高三一模）将体积为1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了n (n ∈N * )次，则第一次挖去的几何体的体积是＿＿＿＿；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是＿＿＿＿＿。

5、（房山区2015届高三一模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．7B．22

3

C．

47

6

D．

23

3

6、（丰台区2015届高三一模）上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是

(A) 4 (B) 5 (C) 32(D) 33

7、（海淀区2015届高三二模）若空间中有(5)

n n≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点

的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n值（）

（A）不存在（B）有无数个（C）等于5 （D）最大值为8

8、（石景山区2015届高三一模）在如图所示的空间直角坐标系O xyz

-中，一个四面体的顶点坐

标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）

A ．①和②

B ．③和①

C ．③和④

D ．④和②

9、（西城区2015届高三一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是 ( )

10、（昌平区2015届高三上学期期末）已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是

A. 若αβ⊥，m β?，则m α⊥

B. 若//αβ，//m α，则//m β

C. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥

D. 若//m α，//m β，则//αβ 11、（朝阳区2015届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是

A ． 426+

B ．8

C ． 423+

D ．43 12、（大兴区2015届高三上学期期末）已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有下列四个命题：①若αβ∥，则l m ⊥；

②若αβ⊥，则l m ∥；③若l m ∥，则αβ⊥；④若l m ⊥，则αβ∥. 以上命题中，正确命题的序号是

N M

D 1

C 1

A 1

D C

B

A

（A ）①② （B ）①③

（C ）②④ （D ）③④

13、（丰台区2015届高三上学期期末）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是

14、（石景山区2015届高三上学期期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）

A.22

B.6

C.23

D. 3

15、（通州区2015高三4月模拟考试（一））在正方体1111ABCD A BC D 中，已知

M ，N 分别是11A B ，1BB 的中点，过点M ，N ，1C 的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是

二、解答题

1、（2015年北京高考）如图，在四棱锥A EFCB -中，EF A ?为等边三角形，平面⊥?EF A 平面EFCB ，EF ∥BC ，BC=4，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=?，O 为EF 的中点． (Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；

(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．

2、（2014年北京高考） 如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -

中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；

（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.

3、（2013年北京高考）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5，

(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；

(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；

(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求

1

BD

BC 的值． 4、（朝阳区2015届高三一模）如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直，已知 AB ∥CD ，AD ⊥CD ， AB = AD =

1

2

CD ．

（1）求证： BF ∥平面CDE ；

（2）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值；

（3）线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？若存在，求出EM

EC

的值；若不存在， 说明理由．

5、（东城区2015届高三二模）如图，三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧

面BEFC ⊥侧面ADEB ，4AB =，60DEB ∠=

，G 是DE 的中点．

（Ⅰ）求证：CE ∥平面AGF ； （Ⅱ）求证：GB ⊥平面BEFC ；

（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P GE B --为45

，若存在，求BP 的长；若不存

在，说明理由．

6、（房山区2015届高三一模）在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ， BC AC ⊥，且22====AE BD BC AC ，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥EM ；

（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ,使得直线MN 与平面EMC

所成的角为60?．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．

7、（丰台区2015届高三一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =PA =4，BE =2． （Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；

（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得

平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AF

AB

的值； 如果不存在，说明理由．

8、（海淀区2015届高三二模）如图所示，在四棱锥P ABCD -中， //AB CD ，AB AD ⊥，

22AB AD AP CD ====， M 是棱PB 上一点.

（Ⅰ）若2BM MP =，求证：//PD 平面MAC ；

（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B AC M --的余弦值为23，求PM PB

的值.

A C

D

E

F

B

9、（石景山区2015届高三一模）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；

(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到 直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．

10、（西城区2015届高三一模）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF ∥AD ，平面 ADEF ⊥

平面 ABCD ，且BC = 2EF ， AE = AF ，点G 是EF 的中点。 （1）证明： AG ⊥平面ABCD 。

（2）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为

69

，求AG 的长。 （3）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG ∥平面ABF ？若存在，求出AM MC

的值；若不存在，

说明理由。

11、（昌平区2015届高三上学期期末）如图，PD 垂直于梯形A B C D 所在的平面，

90ADC BAD ?∠=∠=. F 为PA 中点，2PD =，1

1.2

AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，

线段PC 交DE 于点N .

(I) 求证：AC // 平面DEF ；

(II) 求二面角A BC P --的大小；

(III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与

平面BCP 所成角的大小为6

π

？ 若存在，请求出FQ 的长;

若不存在，请说明理由.

N F

D

C

A

B

E

P

12、（朝阳区2015届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动． （Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）求证：AE PF ⊥； （Ⅲ）若2PB AB =

，二面角E AF B --的余弦值等于

11

11

，试判断点F 在边BC 上的位置，并说明理由.

13、（海淀区2015届高三上学期期末）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，

11BB C C 为菱形，11=60BB C ∠ ，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .

（Ⅰ）求证：1B C ⊥1AC ；

（Ⅱ）设点,E F 分别是11,B C AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）求二面角1B AC C --的余弦值.

D

P

C

B

F

A

E

O

B 1

A 1

C 1

C

B

A

14、（石景山区2015届高三上学期期末）如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面

B C D ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点.

（Ⅰ）求证：平面⊥ABC 平面ADC ；

（Ⅱ）若点Q 在线段AC 上，且满足QC AQ 3=,求证：//PQ 平面BCD ； （Ⅲ）若?=∠60BDC ,求二面角D BM C --的大小

.

15、（通州区2015高三4月模拟考试（一））

如图，在各棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，侧面

11A ACC ⊥底面ABC ，且3

A AC π

∠=

1，点O 为AC 的中点.

（Ⅰ）求证：AC ⊥平面1

AOB ； （Ⅱ）求二面角1B AC B --的余弦值；

（Ⅲ）若点B 关于AC 的对称点是D ，在直线1A A 上是否存在点P ，使//DP 平面1AB C .若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择、填空题 1、C

解析：过P 点做AB 的垂线交于D

2222

1

S ABC =??=

?2

5

1521S S PAC PBC =

??=

=?? 5PD 6PA PB 1,PC 5,BC =∴==== 5522

1

S PAB =??=

? 表面积为52252

5

22S +=+?

+= 2、D （23S S =且13S S ≠）

D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，

设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵()2012D ，

，，()

3102D ，，．

故232S S ==．综上，选项D 正确． 3、答案：

25

5

解析：过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，交B 1C 1于点E 1，

连接D 1E 1，过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1，交D 1E 1于点H ， P 点到直线CC 1的距离就是C 1H ，

故当C 1H 垂直于D 1E 1时，P 点到直线CC 1距离最小，

此时，在Rt △D 1C 1E 1中，C 1H ⊥D 1E 1，D 1E 1·C 1H ＝C 1D 1·C 1E 1，∴C 1H ＝225

55

= 4、答案：

5、D

6、D

7、C

8、D

9、答案：A

解析：几何体为正方体切去右后上方的一个角之后得到的几何体.

10、C 11、A 12、B 13、A 14、D 15、B

二、解答题 1、解析:

(Ⅰ）因为AEF ?是等边三角形，O 为EF 的中点．

所以EF AO ⊥．

又因为平面AEF ⊥平面EFCB ， ?AO 平面AEF ．

所以⊥AO 平面EFCB 所以BE AO ⊥． （Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ． 由题设知EFCB 是等腰梯形． 所以EF OG ⊥．

由(Ⅰ）知⊥AO 平面EFCB ， 又?OG 平面EFCB ， 所以OG OA ⊥．

如图建立空间直角坐标系xyz O -．

则

)

0,0,(a E ，

)

3,0,0(a A ，

)

0),2(3,2(a B -，

)

3,0,(a a EA -=，

)0),2(3,2(--=a a BE ．

设平面AEB 的法向量为),,(z y x n =，

则?????=?=?,

0,0BE n EA n 即?????=-+-=+-.0)2(3)2(,03y a x a az ax 令1=z ，则3=x ，1-=y ．

于是)1,1,3(

-=n ．

平面AEF 的法向量)0,1,0(=p ．

所以5

5

||||,cos -=?>=

由题知二面角B AE F --为钝角，所以它的余弦值为5

5

-

． （Ⅲ）因为⊥BE 平面AOC ，所以OC BE ⊥，即0=?OC BE ． 因为)0),2(3,

2(--=a a BE ，)0),2(3,2(a OC --=，

所以2

)2(3)2(2----=?a a OC BE ． 由0=?OC BE 及20<

4=

a ． 2、⑴证明： AM ED ∥，AM ?面PED ，ED ?面PED .

∴AM ∥面PED .

AM ?面ABF ，即AB ?面ABF 面ABF 面PDE FG = ∴AB FG ∥.

⑵如图建立空间直角坐标系A xyz -，各点坐标如下

()0,0,0A ,()0,2,0E ,()1,0,0B ,()2,1,0C ,()0,1,1F ,()0,0,2P

设面ABF 的法向量为()000,,n x y z = ，()1,0,0AB =

， ()0,1,1AF =

z

y

x

A

B

C

D

E

F

G P

M

H

00

n AB n AF ??=?

??=??

，即00x y z =??+=?，令1y =，∴()0,1,1n =- 又 ()1,1,0BC =

，∴1

1sin ,2

22BC n =

=? 直线BC 与平面ABF 所成的角为

π6

. 设()111,,H x y z ，由PH tPC =

，则()()111,,22,1,2x y z t -=-

∴111

222x t y t z t =??

=??=-?∴()2,,22H t t t - 又 H ∈面ABF ，()21,,22BH t t t =--

∴0n BH ?=

∴220t t +-=，∴23t =，∴422,,333H ??

???，∴424,,333PH ??=- ???

∴222

4242333PH ??????

=++-= ? ? ???????

3、解：(1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .

因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .

由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .

如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．

设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则1110,0,

A B AC ??=???=??

n n 即340,40.y z x -=??=? 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．

同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈n ，m 〉＝

16

||||25

?=n m n m .

由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，

所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (3)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD ＝λ1BC

，

所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.

所以AD

＝(4λ，3－3λ，4λ)． 由AD ·1

A B ＝0，即9－25λ＝0，解得9

25

λ=. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .

此时，19

25

BD BC λ==

. 4、

5、（Ⅰ）证明：连接CD 与AF 相交于H ，则H 为CD 的中点，连接HG ．

因为G 为DE 的中点， 所以HG ∥CE ．

因为CE ?平面AGF ，HG ?平面AGF ，

所以CE ∥平面AGF ． ………4分

（Ⅱ）证明：1BE =，2GE =，在△GEB 中，60GEB ∠=

，3BG =．

H

G

D

E

B

C F

A

P

y

z

x

因为222

BG BE GE +=， 所以GB BE ⊥．

因为侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，

侧面BEFC 侧面ADEB BE =，

GB ?平面ADEB ，

所以GB ⊥平面BEFC ． ………8分

（Ⅲ）解：,,BG BE BC 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -．

假设在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45

． 平面BGE 的法向量(0,0,1)=m ，设(0,0,),[0,1]P λλ∈．

(3,0,0),G (0,1,0)E ．

所以(3,0,)GP λ=- ，(3,1,0)GE =-

．

设平面PGE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,

0.GP GE ??=???=??

n n 所以30,

30.

x z x y λ?-+=??-+=??

令1z =，得y λ=，3

x λ

=

，

所以PGE 的法向量为(,,1)3

λ

λ=n ．

因为1?=m n ， 所以2

22

1113

2

λλ?

++?

=，解得[]30,12λ=∈，故32BP =． 因此在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45

，

且3

2

BP =

. ………14分 6、（I ）证明： ,AC BC M = 是AB 的中点CM AB ∴⊥． 又 EA ⊥平面ABC ，CM EA ⊥．

E A A B A C M =∴⊥ 平面AEM

∴EM CM ⊥ ……………4分

（Ⅱ）以M 为原点，分别以MB ,MC 为x ，y 轴，如图建立坐标系M xyz -， 则(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(2,0,2),(2,0,1)M C B D E -

( 2.0.1),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0)ME MC BD BC =-===-

设平面EMC 的一个法向量111(,,)m x y z = ，则11120

20

x z y ?-+=??=??

取1111,0,2x y z ===所以(1,0,2)m =

设平面DBC 的一个法向量222(,,)n x y z =，则22222020

x y y ?-+=?

?=??

取1111,1,0x y z ===，所以(1,1.0)n =

6

63

21,cos =?=

?=

n

m n m n m 所以平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值

6

6

. ……………9分 （Ⅲ）设(,,)N x y z 且DN DC λ=

,01λ≤≤

2,,2)(2,2,2),22,2,22x y z x y z λλλλ

∴--=--=-==-（

(22,2,22)MN λλλ=--

若直线MN 与平面EMC 所成的角为0

60，则

()()()

2

360sin 14212322222,cos 02

22

=

=-++--+-=

λλλλλm MN 解得：1

2

λ=

，所以符合条件的点N 存在，为棱DC 的中点. ………………14分

A

B C

D E

P

y

z x

G

P

E

D

C

B

A

7、解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ．

因为PA //BE ，且4PA =，2BE =， 所以BE //AG 且BE AG =，

所以四边形BEGA 为平行四边形． 所以EG //AB ，且EG AB =．

因为正方形ABCD ，所以CD //AB ，CD AB =， 所以EG //CD ，且EG CD =． 所以四边形CDGE 为平行四边形． 所以CE //DG ．

因为DG ?平面PAD ，CE ?平面PAD ，

所以CE //平面PAD ． ……………………4分 （Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，

(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，

所以(4,4,4)PC =- ，(4,0,2)PE =-

， (0,4,4)PD =-

．

设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =

，

所以0020

0m PC x y z x z m PE ??=+-=?????-=?=???

． 令1x =，则1

12x y z =??

=??=?

，所以(1,1,2)m = ．

设PD 与平面PCE 所成角为α，

则43

sin cos ,6642

m PD

m PD PD m

α?-=<>===?

． 所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值是

3

6

． ……………………9分 （Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =- ，(4,4,2)DE =-

．

设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =

，

则0220

(4)20

0n DE x y z a x z n FE ??=-+=?????-+=?=???

． A

D E

P

y

z F