人教版第十一全等三角形的提高拓展训全等三角形经典题doc

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全等三角形的提高拓展训练

知识点睛

全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法:

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角.

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).

要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法:

(1) 边角边定理(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等.

(4) 角角边定理(AAS ):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 拓展关键点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.

例题精讲

板块一、截长补短

【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ?中,60A ∠= ,BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠,

BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.

【例2】 如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作

60DMN ∠=?,射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系?

D

O

E C

B A

N

E

B

M A D

【变式拓展训练】

如图,点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ,MD 与MN 有怎样的数量关系?

【例3】 已知:如图,ABCD 是正方形,∠F AD =∠F AE . 求证:BE +DF =AE .

【例4】 以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?,连结CD 、BE 相交

于点O .求证:OA 平分DOE ∠.

N

C D E

B M A F E

D C B A D

O

E

D C B A

【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示,ABC

?是边长为1的正三角形,BDC

?是顶角为120?的等腰三角形,以D为顶点作一个60?的MDN

∠,点M、N分别在AB、AC上,求AMN

?的周长.

【例6】五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,

求证:AD平分∠CDE

板块二、全等与角度

【例7】如图,在ABC

?中,60

BAC

∠=?,AD是BAC

∠的平分线,且AC AB BD

=+,求ABC

∠的度数.

【例8】在等腰ABC

?中,AB AC

=,顶角20

A

∠=?,在边AB上取点D,使AD BC

=,求BDC

∠.D C

B A

N

M

D C

B

A

C

E D

B

A

D

C

B

A

【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示,在ABC ?中,AC BC =,20C ∠=?,

又M 在AC 上,N 在BC 上,且满足50BAN ∠=?,60ABM ∠=?,求NMB ∠.

【例10】 在四边形ABCD 中,已知AB AC =,60ABD ?∠=,76ADB ?∠=,28BDC ?∠=,

求DBC ∠的度数.

【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示,在四边形ABCD 中,12DAC ?∠=,

36CAB ?∠=,48ABD ?∠=,24DBC ?∠=,求ACD ∠的度数.

【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ?内取一点D ,使DA DB =,

在ABC ?外取一点E ,使DBE DBC ∠=∠,且BE BA =,求BED ∠.

C D

B A D

C B A

D E

C

B A

N M C B A

【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示,在ABC ?中,44BAC BCA ?∠=∠=,M 为ABC

?内一点,使得30MCA ?∠=,16MAC ?∠=,求BMC ∠的度数.

M C

A B

全等三角形证明经典50题(含答案)

1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD

延长AD 到E,使DE=AD,

则三角形ADC 全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12

CD AB

3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2

证明:连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。 所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。 所以 ∠EBF=∠BEF 。

A B

C D

E

F 2

1 D

A

B

C A

D

B

C

又因为 ∠ABC=∠AED 。 所以 ∠ABE=∠AEB 。 所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中, AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。 所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:

过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2 又∵CD=DE

∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS ) ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2

∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC

5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C

证明:

在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB ,AD=AD

∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS ) ∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BD

C

D

B A

B

A C

D

F

2 1 E

AC=AE+CE

CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C

6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 证明:

在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB

所以∠CEB =∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC

所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF

所以AE =AF +FE =AD +BE

12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。

证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;

AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C

AB//ED,AE//BD 推出AE=BD,

又有AF=CD,EF=BC

所以三角形AEF 全等于三角形DCB , D

C

F

E

所以:∠C=∠F

14. 已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C

证明:设线段AB,CD 所在的直线交于E ,(当AD

点是射线BA,CD 的交点,当AD>BC 时,E 点是射线AB,DC 的交点)。 则:

△AED 是等腰三角形。

所以:AE=DE

而AB=CD

所以:BE=CE (等量加等量,或等量减等量) 所以:△BEC 是等腰三角形 所以:角B=角C.

15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB

作B 关于AD 的对称点B‘,因为AD 是角BAC 的平分线,B'在线段AC 上(在AC 中间,因为AB 较短)

因为PC

16. 已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:

AC-AB=2BE

∠BAC=180-(∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE 交AC 于F

因为,∠1 =∠2,BE ⊥AE 所以,△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE

∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C BF=CF

AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC

作AG ∥BD 交DE 延长线于G

AGE 全等BDE AG=BD=5

AGF ∽CDF A B C D P D A

C

B F A

D

C

AF=AG=5

所以DC=CF=2 18.(5分)如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC .

延长AD 至H 交BC 于H; BD=DC; 所以:

∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;

∠ABC=∠ACB; 所以: AB=AC;

三角形ABD 全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CAD;

AD 是等腰三角形的顶角平分线 所以:

AD 垂直BC 19.(5分)如图,OM 平分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N .

求证:∠OAB =∠OBA

因为AOM 与MOB 都为直角三角形、共用OM ,且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB

所以∠MAB=∠MBA

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA

所以∠OAB=∠OBA 20.(5分)如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线

交AP 于D .求证:AD +BC =AB .

证明: 做BE 的延长线,与AP 相交于F 点,

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°,

又∵,AE ,BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中,AE ⊥BF ,且AE 为∠FAB 的角平分线

∴三角形FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中,

∠EBC=∠DFE,且BE=EF ,∠DEF=∠CEB ,

∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形,∴

DF=BC

P

E

D

C B

A

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.(6分)如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B

证明:在AB 上找点E ,使AE=AC

∵AE=AC ,∠EAD=∠CAD ,AD=AD

∴△ADE ≌△ADC 。DE=CD ,∠AED=∠C ∵AB=AC+CD ,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B

D

C

B A

22.(6分)如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M . (1)求证:MB =MD ,ME =MF

(2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.

分析:通过证明两个直角三角形全等,即Rt △DEC ≌Rt △BFA 以及垂线的性质得出四边形BEDF 是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论. 解答:解:(1)连接BE ,DF . ∵DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE ∥BF , 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中, ∵AF=CE ,AB=CD , ∴Rt △DEC ≌Rt △BFA , ∴DE=BF .

∴四边形BEDF 是平行四边形. ∴MB=MD ,ME=MF ; (2)连接BE ,DF .

∵DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE ∥BF , 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中, ∵AF=CE ,AB=CD , ∴Rt △DEC ≌Rt △BFA , ∴DE=BF .

∴四边形BEDF 是平行四边形. ∴MB=MD ,ME=MF . 23.(7分)已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC .

(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积

相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):

(1)DC ∥AE ,且DC=AE ,所以四边形AECD 是平行四边形。于是知AD=EC ,且∠EAD=∠BEC 。由AE=BE ,所以△AED ≌△EBC 。 (2)△AEC 、△ACD 、△ECD 都面积相等。

O

E

D C

B

A

24.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F .

求证:BD =2CE .

证明:延长BA 、CE ,两线相交于点F ∵BE ⊥CE

∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF 和△BEC 中

∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ∴△BEF ≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中

∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD ≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE

25、(10分)如图:DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C 。求证:△AED ≌△BFC 。

26、(10分)如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF 。

求证:AM 是△ABC 的中线。 证明:

∵BE ‖CF

∴∠E=∠CFM ,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF

∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM

∴AM 是△ABC 的中线.

27、(10分)如图:在△ABC 中,BA=BC ,D 是AC 的中点。求证:BD ⊥AC 。

F

E D

C

B

A M

F

E

C

B

A

F

E D

C

B

A

三角形ABD 和三角形BCD 的三条边都相等,它们全等,所以角ADB 和角CDB 相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD 垂直AC

28、(10分)AB=AC ,DB=DC ,F 是AD 的延长线上的一点。求证:BF=CF 证明:在△ABD 与△ACD 中AB=AC

BD=DC AD=AD ∴△ABD ≌△ACD

∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF

∴△FBD ≌△FCD ∴BF=FC

29、(12分)如图:AB=CD ,AE=DF ,CE=FB 。求证:AF=DE 。

因为AB=DC AE=DF, CE=FB

CE+EF=EF+FB

所以三角形ABE=三角形CDF

因为 角DCB=角ABF

D

C

B

A F

D

C

B

A

F

E

D C

B

A

AB=DC BF=CE

三角形ABF=三角形CDE

所以AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.

证:

∵AB平行CD(已知)

∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)

∵M在BC的中点(已知)

∴EM=FM(中点定义)

在△BME和△CMF中

BE=CF(已知)

∠B=∠C(已证)

EM=FM(已证)

∴△BME全等与△CMF(SAS)

∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质)

∴E,M,F在同一直线上

31.已知:点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,

BE=DF.求证:△ABE≌△CDF.

证明:

∵AF=CE

∴AF+EF=CE+EF

∴AE=CF

∵BE//DF

∴∠BEA=∠DFC

又∵BE=DF

∴⊿ABE≌⊿CDF(SAS)

32.已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:AE=AF。

连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等D

E

腰△两底角相等得:角ABC=角ADC 在结合已知条件证得:△ADE ≌△ABF 得AE=AF

33.如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.

因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.

又因为AC 是公共边,所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC.

所以BC 等于DC ,角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等于三角形BEC 所以∠5=∠6

34.已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,C 在AF 上,且AD =CF ,求证:△ABC ≌△DEF . 因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF

又因为AB 平行DE ,BC 平行EF

所以角A+角EDF ,角BCA=角F (两直线平行,内错角相等)

然后SSA (角角边)三角形全等

35.已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE 相交于点F ,求证:BE =CD .

证明:因为 AB=AC , 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD ⊥AC ,CE ⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边)

则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE =CD

36、如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F 。 求证:DE =DF . AAS 证△ADE≌△ADF

654

32

1E D

C

B

A

A

C B D

E

F A

37.已知:如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE .若AB = 5 ,求AD 的长?

角C=角E=90度

角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE △ABC ≌△DAE AD=AB=5

38.如图:AB=AC ,ME ⊥AB ,MF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ,ME=MF 。求证:MB=MC 证明∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 ∴∠B=∠C

又∵ME=MF ,△BEM 和△CEM 是直角三角形 ∴△BEM 全等于△CEM ∴MB=MC

39.如图,给出五个等量关系:①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知: 求证:

证明:

已知1,2 求证4

因为AD=BC AC=BD ,在四边形ADBC 中,连AB

所以△ADB 全等于△BCA

所以角D=角C

以4,5为条件,1为结论。

D

C

B

A

E

B

C

M

A

F E A B

C D E

即:在四边形ABCD 中,∠D=∠C ,∠A=∠B ,求证:AD=BC 因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360 ∠D=∠C ,∠A=∠B , 所以 2(∠A+∠D)=360°, ∠A+∠D=180°, 所以 AB//DC

40.在△ABC 中,?=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,

MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,

求证: ①ADC ?≌CEB ?;②BE AD DE +=;

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.

(1)证明:∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°,

而AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E , ∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE .

在Rt △ADC 和Rt △CEB 中,{∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠CBE AC=CB , ∴Rt △ADC ≌Rt △CEB (AAS ), ∴AD=CE ,DC=BE , ∴DE=DC+CE=BE+AD ;

(2)不成立,证明:在△ADC 和△CEB 中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB , ∴△ADC ≌△CEB (AAS ), ∴AD=CE ,DC=BE , ∴DE=CE-CD=AD-BE ;

41.如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB ,AF=AC 。求证:(1)EC=BF ;(2)EC ⊥BF (1)证明;因为AE 垂直AB

所以角EAB=角EAC+角CAB=90度

因为AF 垂直AC

所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以三角形EAC 和三角形FAB 全等 所以EC=BF

A E

B M

C F

角ECA=角F

(2)(2)延长FB 与EC 的延长线交于点G 因为角ECA=角F(已证) 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所以EC 垂直BF

42.如图:BE ⊥AC ,CF ⊥AB ,BM=AC ,CN=AB 。求证:(1)AM=AN ;(2)AM ⊥AN 。

证明: (1) ∵BE ⊥AC ,CF ⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC ,CN=AB ∴△ABM ≌△NAC

∴AM=AN (2)

∵△ABM ≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM ⊥AN

43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF 连接BF 、CE ,

证明△ABF 全等于△DEC (SAS ),

然后通过四边形BCEF 对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC 平行于EF 44.如图,已知AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ,CD 过点E ,则AB 与AC+BD 相等吗?请说明理由

在AB 上取点N ,使得AN=AC

∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN

所以∠ANE=∠ACE 又AC 平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180

F B

C A M N

E

1

23

4

而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE 为公共边,

所以三角形EBN 全等三角形EBD 所以BD=BN

所以AB=AN+BN=AC+BD

45、(10分) 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE .求证:BE ∥CF .

证明:

∵AD 是中线 ∴BD=CD

∵DF=DE ,∠BDE=∠CDF ∴△BDE ≌△CDF ∴∠BED=∠CFD

∴BE ‖CF

46、(10分)已知:如图,AB =CD ,DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,E ,F 是垂足,DE BF . 求证:AB CD ∥.

证明:∵DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,

∴∠DEC=∠AFB=90°, 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中,DE=BF ,AB=CD ,

∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ,

∴∠C=∠A ,

∴AB ∥CD .

47、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB=CD

【待定】

48、 (10分)如图,已知AC ⊥AB ,DB ⊥AB ,AC =BE ,AE =BD ,试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系,并证明你的结论.

结论:CE>DE 。当∠AEB 越小,则DE 越小。

证明:

C D

A

D E

C B

F .3421D C

B A

全等三角形压轴题精选

全等三角形压轴题精选(1) 1.(2016?常德)已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H交BE于F. (1)如图1,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF; (2)如图2,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论. 2.(2015?菏泽)如图,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC. (1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明; (2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.

3.(2015?于洪区一模)如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF. (1)如果AB=AC,∠BAC=90°, ①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为______,线段CF、BD的数量关系为______; ②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由; (2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF ⊥BC(点C、F不重合),并说明理由.

4.(2013?庐阳区校级模拟)如图,将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图1).△ABD不动, (1)若将△ACE绕点A逆时针旋转,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图2),证明:MB=MC. (2)若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图3),判断并直接写出MB、MC的数量关系. (3)在(2)中,若∠CAE的大小改变(图4),其他条件不变,则(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗?说明理由. 5.(2013春?北京校级期中)探究 问题1 已知:如图1,三角形ABC中,点D是AB边的中点,AE⊥BC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE,BF交于点M,连接DE,DF.若DE=kDF,则k的值为______. 拓展

(最新最全)全等三角形练习题综合拔高题

全等三角形拔高题 如图,在厶ABC 中,D 是边BC 上一点,AD 平分/ BAC 在AB 上截取AE=AC 连结DE 已知DE=2cm BD=3cm 求线段BC 的长 2. BD = CE, AD 与BE 相交于点P,求ZAPE 的大小。 3. A 已知等边三角形ABC 中, 若/ BAE 的平分线AF 交BE 于F , AC=8求DC 的长 已知:如图所示,BD 为/ ABC 的平分线,AB=BC 点P 在BD 上 , PMLAD 于 M ?PN1 CD 于 N , 5. 判断PM 与PN 的关系. 4. 如图所示,P 为/ AOB 的平分 线上一点,PCI OA 于 C, ?/ OAP+Z OBP=180° , 若 OC=4cm 求 AO+B (的值. 如图所示,A , E , F , C 在一 条直线上,AE=CF 过E , F 分别作DE?LAC, BF 丄AC,若 EF,为什么?若将△ DEC 的边EC 沿 AB=CD 可以得到BD 平分 AC 方向移动,变为如图所示时,其余条件不变,上述结论是否 成立?请说明理由. 6.如图,△ ABC 中 , D 是BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F ,交AC 的平行线BG 于G 点, DE 丄DF,交AB 于点E,连结EG EF. 求证:BG=CF; 请你判断BE+CF 与 EF 的大小关系,并说明理由。 7.已知:如图 E 在厶ABC 的边 AC 上,且/ AEB= / ABC ⑴求证:/ ABE " C; FD// BC 交 AC 于 D ,设 AB=5 0 (1) (2) 于点N ,试判断线段BN 与CN 的数量关系, 并证明你的结论. 9.已知:如 C 8.如图,在厶ABC 和厶DCB 中,AB= DC AC= DB AC 与 DB 交于点M 求证:△ ABC^A DCB ; 过点C 作CN// BD,过点B 作BN// AC CN 与BN 交 且DOAE, E 为AB 的中点, 1.

《全等三角形》数学培优作业

A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 (考查内容:边角边) 命题人:吴全胜1、已知:如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点。求证:△ABE≌△ACF。 2、已知:点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF. 求证:△ABE≌△CDF. 3、已知:如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,求证:△ABD≌△ACE 4、如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知:如图,AD∥BC,CB AD=。求证:CBA ADC? ? ?。 6、已知:如图,AD∥BC,CB AD=,CF AE=。求证:CEB AFD? ? ?。 7、已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,DB AC=,DF AE=,AD EA⊥,AD FD⊥,垂足分别是A、D。求证:FDC EAB? ? ?

8、已知:如图,AC AB=,AE AD=,2 1∠ = ∠。求证:ACE ABD? ? ?。 9、如图,在ABC ?中,D是AB上一点,DF交AC于点E,FE DE=,CE AE=, AB与CF有什么位置关系?说明你判断的理由。 10、已知:如图,DBA CAB∠ = ∠,BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知:如图,AC和BD相交于点O,OC OA=,OD OB=。 求证:DC∥AB。 12、已知:如图,AC和BD相交于点O,DC AB=,DB AC=。求证:C B∠ = ∠。 13、已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE. 求证:(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D.求证:BD=CD. 15、已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上求证: BE=AD D C A B E

全等三角形经典题型50题带答案

全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE (AAS )∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC 5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C 证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB , ∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB=∠CEF=90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE+∠CFA=180° 所以∠D=∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC=∠FAC 又因为AC =AC 所以△ADC≌△AFC(SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE 12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F= C D B D E A B A C D F 2 1 E

全等三角形解答题--答案

2016暑假作业(七) 全等三角形解答题答案 参考答案与试题解析 一.解答题(共28小题) 1.(2012?邵阳)如图所示,AC、BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.求证:AD∥BC. 【解答】证明:∵AC、BD交于点O, ∴∠AOD=∠COB, 在△AOD和△COB中, ∵ ∴△AOD≌△COB(SAS) ∴∠A=∠C, ∴AD∥BC.2.(2016?重庆校级模拟)如图,A、C、F、B在同一直线上,AC=BF,AE=BD,且AE∥BD.求证:EF∥CD. 【解答】证明:∵AE∥BD, ∴∠A=∠B, ∵AC=BF, ∴AC+CF=BF+CF, ∴BC=AF, 在△EAF和△DBC中 ∵, ∴△EAF≌△DBC(SAS), ∴∠EFA=∠BCD, ∴EF∥CD.

3.(2015?于洪区一模)如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF. (1)如果AB=AC,∠BAC=90°, ①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直,线段CF、BD的数量关系为相等; ②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由; (2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF⊥BC(点C、F不重合),并说明理由. 【解答】证明:(1)①正方形ADEF中,AD=AF, ∵∠BAC=∠DAF=90°, ∴∠BAD=∠CAF,又∵AB=AC, ∴△DAB≌△FAC, ∴CF=BD,∠B=∠ACF, ∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD. ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度. ∵∠BAC=90°, ∴∠DAF=∠BAC, ∴∠DAB=∠FAC, 又∵AB=AC, ∴△DAB≌△FAC, ∴CF=BD,∠ACF=∠ABD. ∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=45°, ∴∠ACF=45°, ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度. 即CF⊥BD. (2)当∠ACB=45°时,CF⊥BD(如图).

全等三角形的判定与性质专题训练

全等三角形判定与性质专题训练 一、全等三角形实际应用问题 1如图,要测量河两岸相对的两点A、B间的距离,先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D,使CD=BC,再在过D点的垂线上取点E,使A、C、E在一条直线上,ED=AB这时,测ED的长就得AB得长,判定△ACB≌△ECD的理由是() A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是() A.PO B.PQ C.MO D.MQ

3、如图所示,将两根钢条AA′,BB′的中点O连在一起,使A A′,BB′可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A′B′的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是()A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图:工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法是:如图在∠AOB的边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,得到∠AOB的平分线OP,做法中用到三角形全等的判定方法是() A、SSS B、SAS C、ASA D、HL

5、如图,有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等,则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是:( ) A 、带①去, B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去

二、证两次全等相关问题 1:如图:已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证: CF=DF

全等三角形经典题型50题含答案

全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS ) ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C 证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB , AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°, 求证:AE=AD+BE 证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB =∠CEF =90° 因为EB =EF , CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC 所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE 12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, C D B D C B A F E A B A C D F 2 1 E

全等三角形的提高拓展训练全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形的提高拓展训练 知识点睛 全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法: (1) 边角边定理(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS ):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 拓展关键点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础. 例题精讲 板块一、截长补短 【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ?中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠, BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明. D O E C B A D

全等三角形压轴题训练(含答案)

《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图,在ABC ?中,,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===,则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图,在Rt ABC ?中,90C ∠=?,以顶点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交边 ,AC AB 于点,M N ,再分别以,M N 为圆心,大于12 MN 长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线AP 交边BC 于点D ,若4,25CD AB ==,则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图,在Rt ABC ?中,90,12,6C AC BC ∠=?==,一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动,要使ABC ?和QPA ?全等,则AP 的长为 . 4.如图,//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===,则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①,在ABC ?中,90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ,点,A B 在直线l 的同侧,,BD l AE l ⊥⊥,垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②,在Rt ABC ?中,90,4ACB AC ∠=?=,将斜边AB 绕点A 逆时

针旋转90°至AB ',连接B C ',求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③,在EBC ?中,60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==,点O 在BC 上,且2OC =,动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动,连接OP ,将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上,求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①,在四边形ABCD 中,,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点,且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ,使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???,再证AEF AGF ???,可得出结论,他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②,在四边形ABCD 中,,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点,且EF BE FD =+,上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③,在四边形ABCD 中,180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上,点F 在CD 的延长线上,仍然满足EF BE FD =+,请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系,并给出证明过程.

三角形培优训练 题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。 7、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。 1、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围. 2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.

全等三角形练习题(很经典)

第十二章 全等三角形 第Ⅰ卷(选择题 共30 分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列说法正确的是( ) A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示,a,b,c 分别表示△ABC 的三边长,则下面与△ABC 一定全等的三角形是( ) 3.如图所示,已知△ABE ≌△ACD ,∠1=∠2,∠B=∠C , 下列不正确的等式是( ) A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后 仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是 ( ) A .BC= B / C / B .∠A=∠A / C .AC=A /C / D .∠C=∠C / 5.如图所示,点B 、C 、E 在同一条直线上,△ABC 与△CDE 都是等边三角形,则下列结论不一定成立的是( ) A.△ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA 6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离,先在AB 的垂 线BF 上取两点C,D ,使CD=BC ,再作出BF 的垂线DE , 使A,C,E 在一条直线上(如图所示),可以说明 △EDC ≌△ABC ,得ED=AB ,因此测得ED 的长就是AB 的长,判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角 7.已知:如图所示,AC=CD ,∠B=∠E=90°,AC ⊥CD ,则不 正确的结论是( ) A .∠A 与∠D 互为余角 B .∠A=∠2 C .△ABC ≌△CE D D .∠1=∠2 8. 在△ABC 和△FED 中,已知∠C=∠D ,∠B=∠E ,要判定 这两个三角形全等,还需要条件( ) 第3题图 第5题图 第7题图 第2题图 第6题图 A B C D

全等三角形经典题型题带标准答案

全等三角形经典题型题带答案

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全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS )∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C 证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥ AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB =∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC 所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE 12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E

全等三角形拓展题---尖子生专用

全等三角形拓展题---尖子生专用

全等三角形综合应用 知识点: 1、全等三角形的判定方法: 2、角平分线的性质与判定: 例题讲解 2016武汉江汉区压轴题.(本题12分)△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是△ABC的中线,以AC为边作等边△ACE,BE分别与直线AD、AC交于点F、G,连接CF (1) ①如图1,若△ABC、△ACE位于AC异侧,求∠EFC的度数 ②试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系,并说明理由 (2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧,试完成备用图,并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系 解:(1) ①∵AB=AE,∴设∠ABE=∠AEB=α ∵AB=AC,AD是△ABC的中线 ∴设∠BAD=∠CAD=β 又2α+2β+60°=180°,α+β=60° ∴∠AFE=∠DFC=α+β=60° ∴∠EFC=180°-60°-60°=60°

②过点C作CH⊥BE于H ∵∠AEB+∠AEC=60°,∠ABE+∠BAD=60° ∴∠BAD=∠HEC 可证:△ABD≌△EHC(AAS) ∴HE=AD 易证:△CFH≌△CFD(AAS) ∴FH=DF ∴EF-FH=AF-DF 即EF-AF=2DF (3) 作图、证明的过程一样 AF-EF=2DF 2016武珞路中学.(本题10分)已知等边三角形ABC,M为AB上的一点,以CM为边作等边△CMN,连接BN (1) 求证:AM=BN (2) 作MH⊥BC于H,连接AH.若AH∥MN,AM=1,求CH的长

∴BH=AM=1 ∴BM=HC ∵MH⊥BC,∠MBH=60° ∴BM=2BH=2 ∴CH=2 2016武珞路中学.(本题10分)如图1,已知等腰△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,以AB为边向外作等边△ABE,直线CE与直线AD交于点F (1) 若AF=10,DF=3,试求EF的长 (2) 若以AB为边向内作等边△ABE,其它条件均不改变,请用尺规作图补全图2(保留作图痕迹),找出EF、AF、DF三者的数量关系,并证明你的结论 .解:(1) 设∠BAD=∠CAD=α,∠AEC=∠ACE=β 在△ACE中,2α+60+2β=180°,α+β=60° 连接BF ∴∠BFD=∠CFD=60° ∴BF=CF=2DF=6 在EC上截取EG=CF,连接AG

全等三角形判定综合训练

全等三角形——全等三角形的判定综合训练 班别 姓名 学号 一、学习目标: 能够识别并熟练掌握全等三角形的几种判定方法。 二、知识回顾:全等三角形有哪几种判定方法? 1、如图:△ABC 与△DEF 中, ∵?? ???===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF ( ) 2、如图:△ABC 与△DEF 中, ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF ( ) 3、如图:△ABC 与△DEF 中, ∵ ?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF ( ) 4、如图:△ABC 与△DEF 中, ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF ( ) 5、如图:∠____=∠_____=90° Rt △ABC 与Rt △DEF 中, ∵?? ?==_________ ___________________ __________ ∴Rt △ABC≌Rt △DEF( )

三、练习: 1、已知AB=CD,BE=DF,AF=CE,则AB与CD有怎样的位置关系? 2、已知O是AB中点,OC=OD,AOD BOC ∠=∠,求证:AC BD = 3、已知:如图, ∠1=∠2 , ∠3=∠4求证:AC=AB. 4、已知:如图, E、D、B、F在同一条直线上, AD∥CB , ∠BAD=∠BCD , DE=BF. 求证:AE∥CF. 5、如图,△ABC中,D是BC上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分别为垂足,且AE=AF, 试说明:DE=DF,AD平分∠BAC.

全等三角形培优训练一(整理)

全等三角形提优训练(一) (全等三角形的性质与判定的应用) 知识点 全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法: 一、全等三角形 注:①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; ②全等三角形面积相等. 全等三角形证明的思路:

?? ? ?? ??? ???? ? ? ????? ?? ? ?? ?????? ???????)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角()找已知边的对角()找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边()找直角()找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 练习: 1、如图,在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A’BC’的位置时,AA’∥BC ,∠ABC =70°,则∠CBC’为________度. 2、如图∠1=∠2=200,AD =A B, ∠D=∠B ,E 在线段BC 上,则∠A EC= 3、如图所示,ABC ADE △≌△,BC 的延长线交DA 于F ,交DE 于G , 105ACB AED ∠=∠=,15CAD ∠=,30B D ∠=∠=,则1∠的度数为 4、已知:如图,△OAD ≌△OBC ,且∠O=70°,∠C=25°,则∠A EB=________度. 5、如图,D E ,分别为ABC △的AC ,BC 边的中点,将此三角形沿DE 折叠,使点C 落在AB 边上的点P 处.若48CDE ∠=°,则APD ∠等于 6、如图,在Rt △A BC 中,已知∠A CB =90°,∠A=50°,将其折叠,使点A 落在边CB 上点A ′处,折痕为CD,则∠A′DB = 7、如图,已知△ABC 为 等 边三角形, 点D 、E 分别在变边BC 、AC 上,且AE=CD,AD 与BE 相交于点F,则:∠BFD= 8、如图,点A 、C 、B 在同一直线上,△DAC 和△EBC 均是等边三角形,AE 与BD 交于点O ,AE 、

全等三角形综合练习

全等三角形综合练习(四) (补充资料一) 1. 已知:如图,△ABC 中,∠C =2∠B ,∠1=∠2。求证:AB =AC+CD 。 2. 已知:AD 平分BAC ∠,AC AB BD =+。求证:2B C ∠=∠。 3. 如图,已知AB AC =,AD AE =,BAC DAE ∠=∠。求证:BD CE =。 4. 如图,在ABC △中,90C ∠=o ,D E ,分别为AC AB ,上的点,且AD BD =,AE BC =, DE DC =。求证:DE AB ⊥。 B 1 2 D C A A E D B C B C D

5. 如图1所示,A ,E ,F ,C 在一条直线上,AE =CF ,过E ,F 分别作DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,若AB =CD , 可以得到BD 平分EF ,为什么?若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动,变为图2时,其余条件不变,上述结论是否成立?请说明理由。 6. 如图,△ABC 中,D 是BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F ,交AC 的平行线BG 于G 点,DE ⊥DF ,交AB 于点E ,连结EG 、EF 。 (1)求证:BG =CF 。 (2)请你判断BE +CF 与EF 的大小关系,并说明理由。 C A B F E G D C A B G E F D C D B A F E G 图1 图2

7. 已知:∠AOB =90°,OM 是∠AOB 的平分线,将三角板的直角顶P 在射线OM 上滑动,两直角边分 别与OA 、OB 交于C 、D 。PC 和PD 有怎样的数量关系,证明你的结论。 8. 如图:BE ⊥AC ,CF ⊥AB ,BM =AC ,CN =AB 。求证:(1)AM =AN ;(2)AM ⊥AN 。 A B M O P C D A M N E F B C 1 2 3 4

全等三角形培优竞赛训练题

全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF , G为DF中点,连接EG, CG. (1 )直接写出线段EG与CG的数量关系; (2)将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转450,如图2所示,取DF中点G,连接EG, CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中厶BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1) 中的结论是否仍然成立? 图1图2图3

学习参考

2、数学课上,张老师出示了问题:如图1 ,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点. AEF 90°,且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证:AE= EF. 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M ,连接ME,则 AM = EC,易证△ AME =△ ECF ,所以AE EF . 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论AE=EF'仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条 件不变,结论AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由 图1图2图3

3、已知Rt A ABC 中,AC BC,Z C 90, D 为AB 边的中点,EDF 90° EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB (或它们的延长线)于E、F. 1 当EDF绕D点旋转到DE AC于E时(如图1),易证S A DEF S A CEF S A ABC- 2 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是 否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S A DEF、S A C EF、S A ABC又有怎样的数量关 系?请写出你的猜想,不需证明 F 图 1图2

全等三角形证明经典40题(含答案)

1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 的长. 解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4 即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=2 2. 已知:BC=ED ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠ 2 证明:连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A D B C

3. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC ∠FDE =∠GDC (对顶角) ∴△EFD ≌△CGD EF =CG ∠CGD =∠EFD 又,EF ∥AB ∴,∠EFD =∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD =∠2 ∴△AGC 为等腰三角形, AC =CG 又 EF =CG ∴EF =AC 4. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠ C 证明:延长AB 取点E ,使AE =AC ,连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠CAD ∵AE =AC ,AD =AD ∴△AED ≌△ACD (SAS ) ∴∠E =∠C ∵AC =AB+BD ∴AE =AB+BD ∵AE =AB+BE ∴BD =BE ∴∠BDE =∠E B A C D F 2 1 E A

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