分解质因数

中级奥数教程

分解质因数

【知识要点和基本方法】

1．质因数和分解质因数

（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数

（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数，如把12分解质因数得12＝2×2×3＝22×3，这时并称2和3是12的质因数。（3）算术基本定理：任何大于1的整数都能表示成质数的乘积

(4)如果把相同的质因数合并为它的幂，则任一大于1的整数N只能唯一地表成：

N=p1r1 .p1r2 ......p n rn .

（其中质数p1 < p2< p3<.....< p n, r1,，r2。。。。。。，r n是正整数，它们分别是p1,，p2。。。。。。，p n的指数），则上式称为N的标准分解式。（5）质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的公约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。

（6）分解质因数的方法主要是短除法，（在小学阶段）：譬如分解675这个合数，试除时一般从最小质数开始

所以，675＝33×52

2、合数的约数个数与合数的约数和

以前的例子为例可知：

（1）675的约数有1、2、5、9、15、27、45、75、135、225、675共12个，而675的质因数分解式为：675＝33×52

其中指数3时质因数3的个数，指数2时质因数5的个数，那么675的约数的个数12，恰好时各个质因数指数加1的和的乘积：

（3+1）×（2+1）＝12

（2）675的12个约数之和：1+3+5+9+15+25+27+45+75+135+225+675＝1240

但由于675的质因数分解式为675＝33×52，那么675的所有约数之和与675的质因数3和5的方幂恰好有如下关系：

1240＝（1+3+32+33）×（1+5+52）＝40×31＝1240

我们再举一个例子，比如18000＝24×32×53，不妨我们自己验证一下：

（1）合数18000的所有约数的个数为：（4+1）×（2+1）×（3+1）＝60个

（2）合数18000的所有约数和为：（1+2+22+23+24）×（1+3+32）×（1+5+52+53）＝31×13×156＝62868

当然，这不是偶然的，我们可以总结出求一个合数的所有约数的个数和所有约数和有如下结论。

定理若自然数N分解质因数的结果是： N=p1r1 .p1r2 ......p n rn

其中质数p1 . p2 ..... p N为互补相同的质数， r1，r2。。。。。。，r n为正整数，分别是p1,，p2。。。。。。，p n的指数，那么

（1）N的约数个数是：（r1+1）×（r2+1）×.....×（r n+1）

（2）N的所有约数的和是：（1+p1 +p12 +p13 +....+ p1r1）×（1+p2+p22 +p23 +....+ p2r2）×....×（1+p n +p n2 +p n3 +....+ p n rn）特别地，当N只有一个或若干个相同的质因数（即N=p r，p 为质数，r为自然数）时，N的约数有r+1个，所有约数的和为：1+p +p2+p3 +....+ p r

3、定理设合数N只能分解成n个不同质数的积，则有约数2n个

简单归纳说明如下：

设p1， p2 ..... p N为n个互不相同的质数，于是：

当N＝p1时，N有约数2个，1和p1；

当N＝p1× p2时，N有约数4（即22）个，1，p1， p2和p1× p2

当N＝p1× p2× p3时，N有约数8（即23）个，1，p1， p2，p3，p1 p2，p1 p3，p2 p3，p1 p2 p3

当N＝p1 p2 p3..... p n时，N有约数（即2n）个

4、定理：如果一个数是某一质数的平方，那么这个数只有3个约数，反过来，如果一个数只有3个约数，那么这个数一定是某个质数的平方。举例说明如下：

9（即32）的约数有3个分别是1，9和3；

25（即52）的约数为3个分别是1，25和5；

49（即72）的约数为3个分别是1，49和7等等

5、定理（1）如果一个数为一个完全平方数，那么这个数的约数个数一定是奇数；反之，如果一个数的约数个数是奇数，那么这个数一定是一个完全平方数

（2）如果一个数不是完全平方数，那么这个数的约数个数一定是偶数；反过来，如果一个数的约数个数是偶数，那么这个数一定不是完全平方数。举例说明如下：

完全平方数36＝62＝22×32，所以36的约数个数为（2+1）×（2+1）＝9，是奇数。

非完全平方数50＝2×25＝2×52，所以50的约数个数为（1+1）×（2+1）＝6，是偶数。

【例题精讲】

例1 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？

解我们先把5040分解质因数得：

5040＝24×32×5×7

再把这些质数凑成四个连续的自然数的乘积：

24×32×5×7＝7×8×9×10

答这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁

例2 求100以内有6个约数的数有那些？

分析因为一个数N 的约数个数等于这个数的各个不同质因数的个数加1的连乘积，而6只能写成（5+1）或（1+1）×（2+1），

由此可知，此数可能是N＝p5或者N＝p1×p22

当N= p5时，因为N要在100以内，所以P只能取2，由于25＝32，相对应的N是32

当N＝p1×p22，若取p1取2，p2可取3、5、7，则相对应的N有18，50，98。

若取p1取3，p2可取2、5，相对应的N有12，75

若取p1取5，p2可取2、3，则相对应的N有20，45

若取p1取7，p2可取2、3，则相对应的N有28，63

若取p1取11，p2可取2、3，则相对应的N有44，99

若取p1取13，p2可取2，则相对应的N有52

若取p1取17，p2可取2，则相对应的N有68

若取p1取19，p2可取2，则相对应的N有76

若取p1取23，p2可取2，则相对应的N有92

解因为这个数有6个约数，由于：6＝（1+1）×（2+1）或6＝5+1

故在100以内所求的数可以是：25＝32，2×32＝18，2×52＝50，2×72＝98，3×22＝12，3×52＝75，5×22＝20，5×32＝45，7×22＝28，7×32＝63，11×22＝44，11×32＝99，13×22＝52，17×22＝68，19×22＝76，23×22＝92，共16个

答 100以内有6个约数的数有32，18，50，98，12，75，20，45，28，63，44，99，52，68，76，和92共16个。

例3 下面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式

abc×d＝1995

分析：先将1995分解质因数得：1995＝3×5×7×19

再将质因数适当搭配，使之转化成一个三位数与一个一位数相乘的形式，且三位数的三个数字各不相同即可。

解：因为1995＝3×5×7×19＝3×665＝5×399＝7×285，显然只有7×285符合要求。

答：所求算式是285×7＝1995，

例4 将下列八个数：15，18，21，22，42，44，50，60

分为个数相等的两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分法？

分析：将所给的每一个数分解质因数，并分为个数相等的两组使各组所含相同质因数的个数一样多

解 15＝3×5，18＝2×32，21＝3×7，22＝2×11，42＝2×3×7，44＝22×11，50＝2×52，60＝22×3×5

这八个数乘积是：28×36×54×72×112

因此，每组数的乘积应为：24×33×52×7×11

所以，这两组数应为：15，44，21，60

及18，22，42，50，或者为15，22，42，60，及18，44，21，50

每一组数的积的质因数分解式均为（1）

例5.A=61×62×63×…×86×87×88.问A能否被6188整除？

分析：可以先将6188分解质因数，6188＝22×7×13×17，接下来再看看A是否含有与6188相同的因数。

解 6188＝22×7×13×17，而 63＝7×9，65＝5×13，68＝17×4＝17×22

于是63×65×68＝22×7×13×17（9×5）＝6188×45。所以，6188能整除A

例6.小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？

分析：由题意可设小明家的电话号码是abcabc0

解设电话号码为abcabc0

abcabc0＝abc×1001×10＝2×5×7×11×13×abc

因为电话号码是连续七个质数的乘积，而abc是三位数，故abc＝3×17×19＝969，故小明家电话号码是9699690

例7.有一个自然数，它的个位数是零，它共有8个约数，这个数最小是多少？

分析因为8＝7+1＝（1+1）×（3+1）＝（1+1）×（1+1）×（1+1），另外，此题要求这个自然数的个位是零，它必须含有质因数2和5，不能只有一个指数为7的质因数，所以这个约数的个数8只能写成：（1+1）×（3+1）或（1+1）×（1+1）×（1+1）

可求解如下：

解因为8＝7+1＝（1+1）×（3+1）＝（1+1）×（1+1）×（1+1），又因为这个自然数必含2，5这两个不同的质因数，又要求最小，所以这个自然数应为2×3×5＝30

答：个位是零又有8个约数的最小自然数是30

在这一讲中，我们研究了一个数的约数个数，这些约数的和的求法，同时我们还研究了n个不同质数相乘的积约数个数为2n，并且知道质数的平方的约数只有三个，完全平方数的约数个数是奇数，非完全平方数的约数个数是偶数，应用这些知识，我们可以解决许多问题。

【课后练习题】

1、把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出他们分别有多少个两位数的约数

（1）146；（2）255；（3）360;(4)400

2、已知自然数a有2个约数，那么3a有多少个约数？

3、165有多少个约数？这些约数的和是的多少？

4、有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？

5、三个连续自然数的乘积是120，求这三个数

6、小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910”。你能算出小明的名次、年龄与他这次考试分数吗？

7、学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大1岁，四个人的年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少？

8、在算式AB×CD＝1995中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母所代表的数字的和

9、自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值

10、如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数都能被30整除，求这两个数

11、一个整数a与1080的积是一个平方数，当a最小时，这个平方数是多少？

12五个孩子的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440，求这五个孩子的年龄

13、求1155的两位约数中最大的一个是多少？

14、三个自然数a、b、c，已知a×b＝30、b×c＝35、a×c＝42，求a×b×c是多少？

15、将750元奖金平均分给若干获奖者，如果每人所的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数。

16、将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99.

17、若一个自然数N分解质因数得N＝2r×3p×7，式中r、p为自然数，问N共有多少个约数？

18、自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和改数本身），试问，数a×b能不能恰好有1000个自然数因数（包括1和该数本身）

19、四个连续自然数的积为1680，则这四个数中最小的是

20、a、b、c三个数都是两位整数，且a

21、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420，如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？

22、555 555的约数中，最大的三位数是

23、设n是满足下列条件的自然数，它们是75的倍数且恰好有75个自然数因数（包括1和本身），求n/75的最小值

24、求自然数N，使得它能倍5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身）

25、已知（1/a+1/b+1/c+1/d+1/36）+1/45＝1，且a，b，c，d正好是四个连续的自然数，则b+d等于多少？