高等数学A普通班教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲

Advanced Mathematics A

课程代码：03100A01, 03100A02课程性质：公共基础理论课(必修)

适用专业：各工科专业总学分数：11

总学时数：176修订年月：2016年1月

编写年月：2016年1月执笔：张丽丽，韩晓卓

课程简介(中文)：

高等数学是高等学校工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，其思想、方法和技术已经广泛深入到自然科学、工程技术、管理学、经济学及社会科学等各个领域。高等数学A是工科专业课程的基础和工具，也是一种现代科学语言，它的内容包括：函数、极限、连续；一元和多元函数微积分；常微分方程；空间解析几何和向量代数；无穷级数。

课程简介(英文)：

Advanced mathematics is a compulsory public basic theory course for all majors of science and engineering. Its idea, methodology and technique have made wide effect on various fields such as natural science, engineering, management science, economics and social science. Advanced Mathematics A is not only the basis and a tool for engineering courses, but also a modern scientific language. Its content includes: functions, limits and continuity, calculus of unary and multivariate functions, ordinary differential equations, the geometry of space and vector algebra, infinite series, etc.

一、课程目的

高等数学是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的,通过本课程的学习，要使学生获得：

1．函数、极限、连续,

2．一元函数微积分学,

3．常微分方程，

4．向量代数和空间解析几何，

5．多元函数微积分学，

6．无穷级数（包括傅里叶级数），

等方面的基本概念、基本理论、基本思想、基本方法和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识去分析和解决问题的能力以及比较熟练的运算能力。

二、课程教学内容及学时分配

(一) 教学内容

1．函数、极限、连续

函数：映射的概念，函数的概念及表示法，函数的四种特性，反函数与复合函数，函数的运算，初等函数；

极限：数列极限的定义，收敛数列的性质（唯一性，有界性，保号性，收敛数列与其子数列间的关系）；函数极限及单侧极限的定义，函数极限的性质（唯一性，局部有界性，局部保号性，函数极限与数列极限的关系），曲线的水平渐近线；无穷小与无穷大的概念及其关系，曲线的铅直渐近线；极限的运算法则；两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），两个重要极限；无穷小的比较。

函数的连续性：函数连续及左右连续的定义，间断点及其分类；连续函数的运算与初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（有界性与最大值最小值定理，零点定理和介值定理）。

2．一元函数微分学

导数与微分：导数与单侧导数的定义，导数的几何意义，平面曲线的切线和法线，函数的可导性与连续性的关系；函数四则运算的求导法则，反函数和复合函数求导法则，基本初等函数的导数公式；高阶导数的概念与求解，几个初等函数的n阶导数，莱布尼兹公式；隐函数和参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求法，相关变化率；微分的定义，微分的几何意义，微分的运算法则（含微分形式的不变性），微分在近似计算中的应用。

微分中值定理与导数的应用：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则；泰勒公式；函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点；函数极值的概念及其求法，简单的最大值最小值应用问题；函数图形的描绘；弧微分，曲率的定义及其计算，曲率圆与曲率半径。3．一元函数积分学

不定积分：原函数与不定积分的定义，基本积分表，不定积分的性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分，可化为有理函数的积分（包括三角函数有理式及简单无理函数的积分）。

定积分及其应用：定积分的概念与性质；积分上限的函数及其导数，牛顿—莱布尼茨公式；定积分的换元法和分部积分法；无穷限的反常积分，无界函数的反常积分；定积分的元素法；定积分在几何学上的应用（平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线的弧长）；定积分在物理学上的应用(变力沿直线所作的功，水压力，引力)。

4．常微分方程

微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程，伯努利方程；三类可降阶的高阶微分方程；高阶线性微分方程解的结构；常系数齐次线性微分方程；常系数非齐次线性微分方程；用微分方程解简单的应用问题。

5．向量代数与空间解析几何

向量代数：向量概念，向量的线性运算，空间直角坐标系，向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算，向量的模、方向角、方向余弦和投影；向量的数量积和向量积，两向量的夹

角，向量平行与垂直的条件。

空间解析几何：曲面方程与空间曲线方程的概念，平面方程(点法式、一般式、截距式)，两平面的夹角，点到平面的距离；空间直线的方程(一般式,对称式、参数式)，两直线的夹角，直线与平面的夹角,点到直线的距离；平面与平面、平面与直线、直线与直线平行与垂直的条件，平面束；曲面研究的基本问题，球面，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面，锥面，母线平行于坐标轴的柱面，常用的二次曲面的方程及其图形；空间曲线的方程(一般方程、参数方程)，空间曲线、曲面和立体在坐标面上的投影。

6．多元函数微分学

多元函数的基本概念：平面点集与n维空间，多元函数的概念，二元函数的表示与图形，二元函数的极限与连续性，有界闭区域上连续多元函数的性质(有界性、最值定理、介值定理)。

偏导数与全微分：多元函数的偏导数的定义及其计算法，高阶偏导数的概念与求解；全微分的定义，二元函数可微的必要条件和充分条件；多元复合函数的求导法则与高阶偏导数，全微分形式的不变性；隐函数的求偏导公式（一个方程的情形）；方向导数和梯度。

多元函数微分学的应用：一元向量值函数及其导数，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，最大值、最小值问题及其简单应用，条件极值，拉格朗日乘数法。

7．多元函数积分学

重积分：二重积分的概念与性质；二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；三重积分的概念与性质；三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；重积分的应用（立体体积、平面薄片的质量、曲面的面积、质心、转动惯量、引力）。

曲线积分：两类曲线积分的概念与性质，两类曲线积分的计算法，两类曲线积分的关系；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数的全微分求积。

曲面积分：两类曲面积分的概念与性质，两类曲面积分的计算法，两类曲面积分的关系；高斯公式，斯托克斯公式。

8．无穷级数

常数项级数：常数项级数的概念，收敛数列的基本性质，几何级数的敛散性；正项级数的概念与审敛法(收敛的充要条件、比较审敛法、比较审敛法的极限形式、极限审敛法、比值审敛法、根值审敛法)，P—级数的敛散性；交错级数的概念与莱布尼兹定理；绝对收敛与条件收敛的概念及其关系，绝对收敛级数的性质。

幂级数：函数项级数的概念，幂级数的概念及其收敛性(阿贝尔定理，幂级数的收敛半径、收敛域的求法），幂级数的四则运算，幂级数的和函数的基本性质与求解；函数展开成幂级数(泰勒级数，麦克劳林级数），几个常用函数的幂级数。

傅里叶级数：三角级数概念与三角函数系的正交性，周期为 2和周期为l2的周期函数的傅里叶级数，狄利克雷充分条件，函数展开为正弦或余弦级数。

(二）课程内容的重点、难点

1．函数、极限、连续

重点：函数概念，复合函数概念，基本初等函数的性质及其图形，极限概念，极限运算法则，连续概念，闭区间上连续函数的性质。

难点：极限的ε—N、ε—δ定义，求极限，函数的连续性和间断点。

2．一元函数微分学

重点：导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系，导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，初等函数的一阶、二阶

导数的求法，罗尔定理和拉格朗日定理，函数极值、曲线凹凸性和拐点的概念，用导数判断函数的单调性、凹凸性，求极值和拐点的方法，导数的应用。

难点：复合函数的求导法，隐函数和参数式所确定的函数的高阶导数，泰勒公式。3．一元函数积分学

重点：不定积分和定积分的概念及性质，定积分的定义及其思想，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元积分法与分部积分法，积分上限函数及其求导定理，牛顿—莱布尼兹公式，用定积分表达一些几何量（如面积、体积、弧长）。

难点：积分上限函数的求导，换元积分法，广义积分，用定积分求功、引力等。

4．微分方程

重点：可分离变量的微分方程、齐次方程及一阶线性微分方程的解法，可降阶的微分方程的解法，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的解法。

难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，列微分方程解应用问题。

5．向量代数与空间解析几何

重点：空间直角坐标系，向量的概念及其表示，向量的运算（线性运算、数量积、向量积），向量的坐标表达式以及用坐标进行向量运算的方法，两向量的夹角，向量平行和垂直的充要条件，向量的方向角和方向余弦，平面方程和直线方程及其求法，点到平面与点到直线的距离公式，常见二次曲面的方程及其图形。

难点：向量的向量积，利用平面、直线的相互关系解决有关问题，曲线、曲面的投影，平面束。

6．多元函数微分学

重点：多元函数的概念和连续性，偏导数和全微分的概念及求解，多元复合函数偏导数的求法，曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，方向导数和梯度，多元函数极值和条件极值的概念，拉格朗日乘数法。

难点：求抽象复合函数的二阶偏导数，隐函数的偏导数，求条件极值的拉格朗日乘数法。7．多元函数积分学

重点：二重积分、三重积分的概念和思想，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），两类曲线和曲面积分的概念及计算方法，格林公式，高斯公式。

难点：三重积分的计算方法，格林公式，高斯公式。

8．无穷级数

重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，几何级数和P—级数的收敛性，正项级数的比值和根值审敛法，莱布尼兹判别法，比较简单的幂级数的收敛域和和函数的求法，用间接法展开函数为幂级数。

难点：正项级数的比较审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，求幂级数的收敛域及和函数，函数展开为泰勒级数，函数展开为傅里叶级数。

(三) 学时分配

本课程的教学时数为176学时，分上、下两学期，各学期的教学内容及课时分配如下表：（课内外学时比例均为1:2）

三、课程教学的基本要求

通过本课程的学习，学生应掌握掌握如下内容：

1)正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：

函数，极限，无穷小，连续，导数，微分，极值，最值，不定积分，定积分，微分方程，偏导数，全微分，条件极值，重积分，曲线积分，曲面积分，无穷级数。

2)正确理解下列基本定理和公式并能正确运用：

极限的主要定理，罗尔定理和拉格朗日中值定理，洛必达法则，泰勒公式，积分上限函数的求导定理，牛顿—莱布尼兹公式，线性微分方程解的结构，格林公式，高斯公式。

3)牢固掌握下列公式：

+两个重要极限，基本初等函数的导数公式，基本积分公式，函数x e、sin x、ln(1)x 及()μx+1的麦克劳林公式。

4)熟练运用下列法则和方法：

极限的求解方法，导数的四则运算法则和复合函数的求导法，隐函数和参数方程求导法，换元积分法和分部积分法，各类简单微分方程的求解法，多元函数偏导数的求解法，重积分的计算法，常数项级数的审敛法。

5)会综合运用微积分和常微分方程的方法解一些简单的应用问题

具体各部分的重点难点内容请见附件。

本课程的教学，包括以下主要工作：

1.课堂讲授

本课程是工科各专业本科学生重要的公共基础理论必修课，本课程教学质量的优劣从一定程度上标志着本科教学水平的高低。在本课程的教学过程中，要突出基本概念、基本思想、基本理论、基本方法和基本应用，教师应尽量结合学生的专业情况，讲授一些与学生专业相关的实际例子；把握并保证教学模块中重点、难点内容的教学效果；在教学中采用板书和多媒体教学相结合的手段，充分运用精品课程录像、微课程录像、网络等资源，以提高学生的

学习兴趣和高等数学课程的趣味性；引入和采用翻转课堂等与传统教学相结合的教学改革模式，以培养学生多方面的能力。

2.课堂讨论

课堂讨论主要以分组讨论为主，目的是培养学生的团结合作能力、语言表达能力和主动学习的积极性等，活跃课堂学习气氛，让学生真正做学习的主人。教师应认真组织，安排讨论内容，鼓励学生积极参与，及时有效地指导学生，以达到上述目的并做好总结。

3.课外作业

课外作业的内容基于对基本概念、基本理论和基本方法的理解和应用。

4.

成绩以闭卷统一考试为主，结合平时作业、平时测验和上课情况，综合考评学生。

四、本课程与其它课程的联系与分工

先修课程：中学数学

后续课程：作为公共基础课，它是许多后继专业基础课和专业课的基础。

五、建议教材及教学参考书

［1］同济大学数学系编，《高等数学》，第七版，高等教育出版社，2014年7月出版

［2］张小柔等编，《高等数学习题课教程》，科学出版社,2003.6出版

［3］彭辉，叶宏编，《高等数学辅导与同济六版上下册配套》，山东科学技术出版社，2007年8月出版

［4］同济大学数学教研室编，《高等数学附册学习辅导与习题选解》，高等教育出版社， 2003年1月出版