导数单元测试(含答案)

导数单元测试

【检测试题】 一、选择题

1. 设函数()y f x =可导，则0(1)(1)

lim 3x f x f x

?→+?-?等于（ ）．

A ．'(1)f

B ．3'(1)f

C ．1

'(1)3

f D ．以上都不对

2. 已知函数f (x )=ax 2

＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）

A.1

B.2

C.－1

D. 0

3 .()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足'

'

()()f x g x =,则

()f x 与()g x 满足（ ）

A ()f x =2()g x

B ()f x -()g x 为常数函数

C ()f x =()0g x =

D ()f x +()g x 为常数函数 4.三次函数x ax y +=3

在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （ ）

A ． 0>a

B ．0

C ．1=a

D ．3

1=

a 5.已知函数y ＝x 3

-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（ ） （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．非充分非必要条件

7．曲线3

()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

A (1,0)

B (2,8)

C (1,0)和(1,4)--

D (2,8)和(1,4)--

8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图

像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） （A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f

9．已知函数()y f x =, ()y g x =的导函数的图象如下左图，那么()y f x =, ()y g x =的图象可能是（ ）

10 . 抛物线2

2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2

121-=?x x ，则m 等

于（ ）

A ．23

B ．2

C ．2

5

D ．3 11. 设点P 在曲线1

2

x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）

()A 1ln 2- ()B

2(1ln 2)- ()C 1ln 2+ ()D 2(1ln 2)+

12. 已知函数()f x =3

2

31ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ）

A .（2，+∞）

B .（-∞，-2）

C .（1，+∞）

D .（-∞，-1）

二、填空题

13．函数32

y x x x =--的单调区间为_____________________________.

14．已知函数3

()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .

15.已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间(1,)+∞内恒成立，则实数a 的范围为______________． 16. f (x )＝ax 3

－3x ＋1对x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝ . 三、解答题：

17．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去

四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？

18．已知函数323

()(2)632

f x ax a x x =-

++- （1）当2a >时，求函数()f x 极小值； （2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。

19.已知函数32

()f x x ax bx c =+++在2

3

x =-与1x =时都取得极值 （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间

（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2

()f x c <恒成立，求c 的取值范围

20.已知函数2

()sin cos f x x x x x =++．

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； （Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，求b 的取值范围．

21. 设函数2

()ln f x x m x =-，2

()g x x x a =-+.

⑴当0a =时，)()(x g x f ≥在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；

⑵当2m =时，若函数()()()h x f x g x =-在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 取值范围； ⑶是否存在实数m ，使函数()f x 和()g x 在其公共定义域上具有相同的单调性，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.

补充经典题：

1.若函数y ＝x 3

－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.

2.已知函数f (x )＝12

x 2

＋ln x .

(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的值域； (2)求证：x ＞1时，f (x )＜23

x 3

.

3.已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间

4.定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，(x －3

2)f ′(x )＜0，若x 1＜x 2，且x 1＋x 2＞3，则有

( )

A. f (x 1)＜f (x 2)

B. f (x 1)＞f (x 2)

C. f (x 1)＝f (x 2)

D.不确定

参考答案

一、选择题

DABAA BCDDA BB 二、填空题

13．递增区间为：（-∞，

13），（1，+∞）递减区间为（1

3

-，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1

3

）∪（1，+∞））

14．(,0)-∞

15．（1，+∞） 16．4

三、解答题：

17．解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 3

2

(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+ '

2

'10125240,0,1,3

V x x V x x =-+===

令得或，103x =（舍去）

(1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值

18．解：（1）

'22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a

=-++=--()f x 极小值为(1)2a

f =-

（2）①若0a =，则2

()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02a

f =-

>，()f x 的极小值为2

()0f a

<，

()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；

③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；

④若2a =，则'

2

()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133

()4()044

f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；

综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。

19．解：（1）3

2

'

2

(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++

由'

2124()0393

f a b -=

-+=，'(1)320f a b =++=得1

,22a b =-=-

'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表： x 2(,)3-∞- 23

- 2

(,1)3- 1 (1,)+∞ '()f x +

0 - 0 + ()f x ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑

所以函数()f x 的递增区间是2

(,)3

-∞-与(1,)+∞,递减区间是2

(,1)3

-

； （2）3

21()2,[1,2]2

f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+

为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2

(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2

(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或

20.（I ）解: （Ⅰ） '

2

()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 '(1)0f =，

即 310,1a a a -++==∴．

（Ⅱ）方法一：由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立， 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立．

设 22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈． 所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥． 即 220x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤．

方法二：由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立．

于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22

202

x x

x +≤+． 20x -≤≤∴． 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤．

21.