1 二次函数的代数综合

二次函数的综合

目录

二次函数的综合 (1)

一、求解析式与平移 (2)

二、增减性、最值 (5)

三、与方程综合 (6)

四、与不等式综合 (7)

五、与一次函数、反比例函数的综合 (9)

求解析式与平移

【题1】（2013?宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．

【题2】（2013福省福州）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx（a≠0）

（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a= ；

当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是

（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b；（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，A n在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，B n，以线段A n B n为边向右作正方形A n B n C n D n，若这组抛物线中有一条经过D n，求所有满足条件的正方形边长．

【题3】（2012江苏泰州市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在

x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y=c bx x ++-2

3

2的图像经过B 、C 两点． （1）求该二次函数的解析式；

（2）结合函数的图像探索：当y>0时x 的取值范围．

【题4】（2010 山东滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是

)3

,0(，以点C为顶点的抛物线

c

bx

ax

y+

+

=2恰好经过x轴上A、B两点．

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2) 求经过A、B、C三点的的抛物线的解析式；

(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了

多少各单位？

增减性、最值

【题5】（2013杭州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

【题6】（2011湖北宜昌）已如抛物线y = ax 2+bx+c 与直线y=m x +n 相交于两点，这两点的坐标分别是(0，

2

1

-

)和(m-b ，m 2 – mb + n ，其中a ，b,c,m ，n 为实数，且a ，m 不为0. (1)求c 的值；

(2)设抛物线y = ax 2

+bx+c 与x 轴的两个交点是(1x ，0)和(2x ，0)，求21x x 的值；

(3)当11≤≤-x 时，设抛物线y = ax 2

+bx+c 与x 轴距离最大的点为P （0x ，0y ），求这时0y 的最小值.

与方程综合

【题7】（2013?资阳）在关于x ，y 的二元一次方程组中． （1）若a=3．求方程组的解； （2）若S=a （3x+y ），当a 为何值时，S 有最值．

【题8】（2012山东泰安）二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，

则m 的最大值为（ ） A.-3 B.3 C.-5 D.9

【题9】 (2011江苏南京)已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）．

⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；

⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．

与不等式综合

【题10】（2013年广州）已知抛物线y 1=2

(0,)ax bx c a a c ++≠≠过点A(1,0)，顶点为B ，且抛物线不经

过第三象限。

（1）使用a 、c 表示b ;

（2）判断点B 所在象限，并说明理由；

（3）若直线y 2=2x+m 经过点B ，且于该抛物线交于另一点C (,8c

b a

+),求当x ≥1时y 1的取值范围。

【题11】（2012四川省资阳）如图是二次函数2

y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式

20a x b x c ++<的解集是

A ．15x -<<

B ．5x >

C ．15x x <->且

D ．15x x <->或

【题12】（2012年四川省德阳市）设二次函数c bx x y ++=2，当1≤x 时，总有0≥y ，当31≤≤x 时，

总有0≤y ，那么c 的取值范围是

A.3=c

B.3≥c

C.31≤≤c

D.3≤c

【题13】（2013?宜昌压轴题）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC 在x 轴正半轴上

滑动，点C 的坐标为（t ，0），直角边AC=4，经过O ，C 两点做抛物线y 1=ax （x ﹣t ）（a 为常数，a ＞0），该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx （k 为常数，k ＞0）

（1）填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A （t ，4） ，k= （k ＞0） ； （2）随着三角板的滑动，当a=时：

①请你验证：抛物线y 1=ax （x ﹣t ）的顶点在函数y=

的图象上；

②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值；

（3）直线OA 与抛物线的另一个交点为点D ，当t≤x≤t+4，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而减小，当x≥t+4时，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而增大，求a 与t 的关系式及t 的取值范围．

y

x

与一次函数、反比例函数的综合

【题14】（13年北京）在平面直角坐标系x O y 中，抛物线

222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 。

（1）求点A ，B 的坐标；

（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；

（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<

方，求该抛物线的解析式。

【题15】（2010 江苏连云港）已知反比例函数y ＝ k

x

的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点（2，

2）

（1）求a 和k 的值；

（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？