【金版学案】2015-2016高中数学 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积练习 新人教A版必修2

1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

基础梳理 1．表面积公式．

4a __a __2

a ．练习2：圆柱的底面半径是2，高(母线长)为3，下底面积为4π，侧面积为12π，表面积为20π.

练习3：圆台上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为4，上底面积为 4π，下底面积为9π，侧面积为20π，表面积为33π．

2．体积公式．

(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh ． (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝1

3

Sh ．

(3)台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S ，高为h ，则V 3

练习4：正方体的表面积为100，对角线长度为

?思考应用

1．三棱锥、四棱锥、三棱台、四棱台的展开图是什么平面图形？如何计算其表面积？

解析：三棱锥、四棱锥、三棱台、四棱台的侧面展开图如下：

据此可以看出，棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积是围成棱锥的各个面的面积之和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼凑成的，其表面积是围成棱台的各个面的面积之和．

2．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？

解析：(1)柱体、锥体、台体之间的关系：

(2)体积公式之间的关系：

自测自评

1．棱长都是1的三棱锥的表面积为(A )

A . 3

B ．2 3

C ．3 3

D ．4 3

解析：S 表＝4S 正△＝4×

3

4

＝ 3. 2．圆锥的母线长扩大n 倍，底面半径缩小n 倍，那么它的侧面积变为原来的(A )

A ．1倍

B ．n 倍

C ．n 2倍

D .1n

倍

解析：圆锥侧面积S ＝πrl ，设r 缩小n 倍，l 扩大n 倍后S ′＝π×1

n r ×nl ＝πrl ＝S ，

侧面积保持不变．

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(C )

A .

5603 B .580

3

C ．200

D ．240 4．若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的几何体体积是8π

3

．

解析：所得旋转体是底面半径为2，高为2的圆锥，体积V ＝13π×22

×2＝8π3.

基础达标

1．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为(A )

A .

324πR 3 B .38πR 3 C .524πR 3 D .58

πR 3 解析：设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝πR ， ∴r ＝12R.

∴高h ＝R 2

－r 2

＝

32

R. ∴V ＝13πr 2

h ＝13π×14R 2×32R ＝324

πR 3.

2．长方体三个面的面积分别为2，6和9，则长方体的体积是(A )

A ．6 3

B ．3 6

C ．11

D ．12

解析：设长方体长、宽、高分别为a ，b ，c ，不妨设ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc)2

＝108，∴V ＝abc ＝6 3.

3．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有(C )

A ．V 1

B ．V 1

C ．V 2

D ．V 2

4．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，可得这个几何体的体积是(B )

A .

4 0003cm 3 B .8 0003

cm 3

C ．2 000 cm 3

D ．4 000 cm 3

解析：由三视图知，该几何体的底面是边长为20 cm 的正方形，高为20 cm 的四棱锥， 所以其体积为V ＝13×202

×20＝8 0003

(cm 3)．

5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是(B )

A ．1∶3

B ．1∶(3－1)

C ．1∶9

D .3∶2

解析：由题意可知，

截面面积与底面面积之比为1∶3， ∴截面半径与底面半径之比为1∶3， ∴这两段母线长之比为1∶3－1.

6．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2

π cm ，高为2 cm ，AB 、CD 分别是两底面的直径，

AD 、BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm (结果保留根式)．

答案：2 2

巩固提升

7．某四棱台三视图如图所示，则该四棱台的体积是(B )

A ．4

B .143

C .163

D ．6

8．某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．

答案：π3

9．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？

分析：由题目可获取以下主要信息：

①求圆台的表面积应考虑上、下底面及侧面积；

②上、下底面面积易得，主要求侧面积．

解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．

解析：如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角是180°，

故C＝π·SA＝2π×10，

∴SA＝20，

同理可得SB＝40，

∴AB＝SB－SA＝20，

∴S表面积＝S侧＋S上＋S下

＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22

＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202

＝1 100π(cm2)．

故圆台的表面积为1 100πcm2.

10．如右图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．

解析：设AG＝x圆锥高h＝42－22＝23，画轴截面积图(如右图)，则

3

23

＝

2－x

2

.故

圆锥内接圆柱的底半径x＝1.

则圆柱的表面积

S＝2π×12＋2π×1×3＝(2＋23)π.

答案：(2＋2 3 )π

1．柱体、锥体、台体的侧面积、体积公式的关系．

(1)侧面积公式的演变关系：

(2)体积公式的演变关系：

类似地，我们可以推导出圆柱、圆锥、圆台的侧面积与体积公式也有这样的关系．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．

3．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．