学而思 代数思想在应用数论问题中的应用
两种产品共50件，已知色块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接。这个足球共有多少
常见数学思想方法应用举例
常见数学思想方法应用举例 所谓数学思想,就是对数学知识和方法地本质认识,是对数学规律地理性认识.所谓数学方法,就是解决数学问题地根本程序,是数学思想地具体反映.数学思想是数学地灵魂,数学方法是数学地行为.运用数学方法解决问题地过程就是感性认识不断积累地过程,当这种量地积累达到一定程序时就产生了质地飞跃,从而上升为数学思想. 其实,在初中数学中,许多数学思想和方法是一致地,两者之间很难分割.它们既相辅相成,又相互蕴含.因此,在初中数学教学中,加强学生对数学方法地理解和应用,以达到对数学思想地了解,是使数学思想与方法得到交融地有效方法.比如化归思想,可以说是贯穿于整个初中阶段地数学,具体表现为从未知到已知地转化、一般到特殊地转化、局部与整体地转化,课本引入了许多数学方法,比如换元法,消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等.在教学中,通过对具体数学方法地学习,使学生逐步领略内含于方法地数学思想；同时,数学思想地指导,又深化了数学方法地运用. 初中阶段《数学大纲》要求我们了解地常用地基本数学思想有：整体思想与分类地思想、数形结合地思想、化归地思想、函数与方程地思想,抽样统计思想等. 《数学大纲》中要求“了解”地方法有：分类法、类比法、反证法等.要求“理解”或“会应用”地方法有：建模法、待定系数法、消元法、降次法、代入法、加减法、因式分解法、配方法、公式法、换元法、图象法(也称坐标法)以及平行移动法、翻折法等. 1、 整体思想 整体思想是一种常见地数学方法,它把研究对象地某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部地有机联系,从而在客观上寻求解决问题地新途径.往往能起到化繁为简,化难为易地效果.它在解方程地过程中往往以换元法地形式出现. 例1、整体通分法计算11 2+--x x x 解：原式1 111)1)(1(1122--=----+=--+=x x x x x x x x x 评注：本题若把1,+x 单独通分,则运算较为复杂；一般情况下,把分母为1地整式看作一个整体进行通分,运算较为简便. 例2、整体代入法：（绵阳市05）已知实数a 满足0822=-+a a ,求3412131 1222+++-?-+-+a a a a a a a 地值. 解：化简得原式2)1(2+=a ,由0822 =-+a a 得9)1(2=+a ,∴ 原式92=. 评注：本题通过整体变形代入,起到降次化简地显著效果. 例3、换元法(温州市05)用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时设x 2＋x ＝y,则原方程可变形为（ ） A 、y 2＋y －6＝0 B 、y 2－y －6＝0 C 、y 2－y ＋6＝0 D 、y 2＋y ＋6＝0 解：选A 例4、平移法(泸州05改编)如图,在宽为20m ,长为30m 地矩形地面 上修建两条同样宽地道路,余下地耕地面积为551m 2,试求道路地宽x = m 解析：我们只要用平移法把两条道路分别移到矩形地两侧,合并为一个整体,而面积却没有改变,得方程551)30(20=--x x ）（得.1=x 2、分类思想 分类思考地方法是一种重要地数学思想,同时也是一种解题策略.在数学中,我们常常需要根据研究对象性质地差异,按照一定地标准,把有关问题转化为几个部分或几种情况,从而使问题明朗化,然后逐个加以解决,最后予以总结得出结论地思想方法.
浅谈数论在密码学上的应用
硕士研究生《应用密码学》课程论文浅谈数论在密码学上的应用 指导教师：王玉柱 专业：计算机应用技术 学号：1010706 姓名：杨玖宏 日期：2011年6月30日
浅谈数论在密码学上的应用 摘要：众所周知．数论是数学中最古老、最纯粹、最优美的一个学科．不过鲜为人知的还是，数论同时也是一门应用性极强的应用数学学科．著名国际数学大师陈省身教授早在1992年精辟地指出：“数学中我愿意把数论看作应用数学。”我想数学中有两个很重要的数学部门，一个是数论，另一个是理论物理。在本文中我将先扼要介绍下数论中的一些基本概念、几个主要难题，紧接着我们要介绍数论在现代密码学与计算机科学中的应用。 关键词：数论；计算数论；密码学； 1 引言 随着现代计算机网络通信的广泛使用，传统密码受到很大挑战，它们已经不能完全适应网络环境下使用密码的需求。于是在上世纪七十年代，提出了公钥密码的概念，并且利用数论方法设计了第一个公钥密码体制（RSA公钥密码），经过二十多年的研究，RSA已得到了广泛的应用。在RSA密码体制中，使用了一个大整数（目前通常取这个数有1024比特长），它是两个素数的乘积，这个大整数是公开的，而它的两个素因子是保密的。如果有人能将这个大整数分解因子而得到它的两个素因子，就能破译这个密码体制，所以RSA的安全性是建立在大整数因子分解问题的基础之上的。这是一个经典的数论问题，RSA的提出大大推动了大整数因子分解算法的研究。在上世纪八十年代，人们又提出了椭圆曲线公钥密码，它应用了更深刻的数论知识，它的安全性也得到了密码界的公认，现在也正逐步推向应用。公钥密码的出现，使数学在密码研究中发挥了更加核心的作用。 2 数论概述 数论，顾名思义，就是关于数的理论，数学，顾名思义，就是关于数的学问．高斯曾说过一句名言：“数学是科学的女王，而数论是数学的女王”。基础数论作为一门古老的数学学科，在很常时间内都属于一种纯数学，随着现代科技的发展，数论在整个科学中的应用非常重要[1]。数论中许多基本内容，如同余理论、中国剩余定理（CRT）、高次剩余理论等，在现代密码体制、密钥分配与管理、数字签名、身份认证等方面有重要的应用。 1 数论概述 1.1 整除理论 1)整除：设 a 和 b 是两个整数，且 b≠0，如果存在一个整数 q，使等式a=bq 成立，那么我们称 a 能被 b 整除或 b 整除 a，记作 b— a，其性质有： (1) 若 b | a，a ≠0，则 | b | ? | a | ； (2) 若 b | a，a | b，a ≠0，则 a=b 或 b=a； (3) 若 c | b，b | a, 则 c | a；（c≠0） (4) 若 b | a，则 cb | ca（c≠0）； (5) 若 c | a，c | b,则 c | ma+nb，m，n∈Z（c≠0）。 2) 整除的基本定理：对于任意整数 a，b(b≠0)存在唯一的一对整数 q，r，
数学思想方法的应用
数学思想方法的应用 徐英 数学思想是解决数学问题的灵魂，在初中数学中蕴含着丰富的数学思想方法.需要我们去挖掘并实施于解题过程. 数形结合思想指把数量和图形结合起来进行综合分析解决问题的一种数学思想方法.在解决数学问题时，我们可以把代数知识应用到解决几何问题中，也可以用图形来解决代数问题， 例1如图1（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合.设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y 2 m . （1）写出y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 图1 图2 分析：解决问题需要根据图形进行分析，找出y 与x 之间的关系式.如图2，设移动x 秒后点C 移动点C ，三角形与正方形重叠部分为△DCC ′，由图形数据可知△DCC ′为等腰直角三角形，且CC ′=CD=2x ，根据三角形的面积可以写出y 与x 之间的关系式. 解：（1）因为CC ′=2x ，CD=2x ，所以S △CDC ′= 21×2x ×2x=2x 2,所以y ＝2x 2 （2）当x=2,时y=8；当x=3.5时,y=24.5 （3）由2x 2=2 1×10×10=50,解得x 1=5,x 2=-5(舍去). 所以当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5秒. 评注：本题通过图形分析找到y 与x 之间的数量关系，是对数形结合思想方法掌握情况的考查. 所谓建模思想，就是从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题解决的一种数学思想.根据实际问题建立方程模型立方程模型、建立函数模型等等都是建模思想的重要体现. 例2甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x >300）． (1) 请用含x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 分析：本题是一道与购物有关的实际问题，要判断顾客到哪家 图3 超市购物更优惠，我们可以从实际问题构构建函数模型，通过函数的图象比较如何选择，才使购物更实惠。 解：(1)设在甲超市购物的所付的费用为y 甲，在乙超市所付的购物费用为y 乙，
数论与解析数论简史
数论与解析数论简史 王志伟200800090156 数学与应用数学 数学王子Gauss曾经说过：数学是科学的女王，而数论是数学的女王。Gauss在数学、物理、天文各方面都取得了非凡的成就，但他却始终对数论情有独钟。数论，以其纯粹的数学本质，常常被认为是最美的数学，数学的中心。 与其他数学分支，比如几何、分析不同，数论并非是源于实际需要而创立的一门学科，其起源很有可能是出自数字游戏和Pythagoras学派以数字为图腾的宗教文化。数论曾经被认为是数学家的游戏、最纯的数学学科、唯一不会有什么应用价值的分支。但是现在随着网络加密技术的发展，数论也找到了自己用武之地——密码学。前几年破解MD5码的王小云老师就是山大数论学派出身。而在其他理论中，数论也表现出了一些意想不到的价值。在量子理论中，Hermite算子是最基本的概念之一，它的思想起源就是19世纪Hermite为解决数论问题而创立的Hermite型。我们在代数中常见的理想、环等概念最开始是出自Dedekind的数论著作中。最近的一个例子，Grothendieck为解决Weil猜想而对代数几何进行了革命性的改造。此类例子还有很多，在此不一一列举。 在古代对数论贡献最大的当属古希腊人。最著名的一些成果大概就是Euclid在《几何原本》中提到的Euclid算法、素数无限多个，算数基本定理等内容，这些我们在初等数论中都可以见到。另一个对数论有重大贡献的古希腊人当属Diophantus，他探讨了很多不定方程，为纪念，我们现在就称这些方程为Diophantus方程，著名的费马大定理就是一个Diophantus 方程问题。当然，中国古代在数论方面也作出了一定的贡献：众所周知、大名鼎鼎的中国剩余定理，被数学界唯一承认的中国的定理。 在经过漫长的中世纪之后，数论进入了一个辉煌的发展时期。推动数论发展的第一个重要人物首推Fermat，一个在数论界享有崇高地位的法国律师、业余数学家。Wiles在1994年证明的Fermat's last theorem，即我们所说的费马大定理，就是Fermat所提出的一个猜想。另外，Fermat小定理，关于多角形数的猜想，Fermat数，Mersenne素数性质，Pell方程都有他的贡献，我们证明中常用的无穷递降法，就是费马在证明费马大定理在n=3时最先发明使用的，除了数论，他在其他方面也有一些突出贡献，比如解析几何、微积分。Fermat之后，另一个重要的人物是Euler，他对Fermat的一个猜想：Fermat数都是素数给出了反例，引进了在数论中一个非常重要的数论函数，即Euler函数，并发现了一个数论中非常重要的Euler 公式。另外，笔者在跟同学在参加大学生科技创新项目中研究整数分拆这个课题时，阅读了Geogre Andrew的《The theory of partitions》，有幸了解到Euler在数论中的整数分拆方面也做出了很大的贡献，提出了母函数法，利用幂级数来研究整数分拆，这导致圆法和指数和方法的产生。 。在Euler之后，两个法国人Lagrange、Legendre也在数论方面做出了重要贡献，比如我们熟悉的二次互反律，Euler和Legendre都曾提出猜想，而公式中的符号我们即称作Legendre符号。他们的贡献就不在此细述。而在数论史上做出贡献最大的，我想大多人会同意是Gauss，一个伟大的数
数学思想方法在生活中的应用-精选文档
数学思想方法在生活中的应用 引言 常常有人觉得学数学知识是无用的，日常生活所需要用的单纯的数学知识虽然有，但和汉语语言比起来少之又少，其实那是他不知道数学学习的核心是什么？数学学习就是学习数学的思 想和方法，就像近代数学教学的专家米山国藏老师所说的，纵然有一天，我们把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法将 会铭刻在我们的头脑里，长久的活跃在我们现在和未来的日常生 活之中。 数学是一门基础学科，留心一下，你会发现它之所以是“基础”，是因为它在我们的生活中随处可见，大到天文地理，小到 市场买菜。尤其是一些数学思想方法的应用，如分类讨论思想、 数形结合思想等等。 数学思想是指从某些具体的数学认识过程中提升的正确观 点，在后继认识活动中被反复应用和证实，带有普遍意义和相对稳定的特征。也就是说，数学思想是对数学概念、方法和理论的 本质认识。数学方法是处理数学问题过程中所采用的各种手段、 途径和方式。因此数学思想不同于数学方法。尽管人们常把数学思想与数学方法合为一体，称之为“数学思想方法”，这不过是二者关系密切，有时不易区分开来。事实上，方法是实现思想的 手段，任何方法的实施，无不体现某种或多种数学思想；而数学
思想往往是通过数学方法的实施才得以体现。严格说来，思想是理论性的；方法是实践性的，是理论用于实践的中介，方法要以 思想为依据，在思想理论的指导下实施。数学思想和数学方法既有区别又有密切联系，一般说来，讲数学思想方法时若强调的是指导思想，则指数学思想；强调的是操作过程，则指数学方法； 当二者得兼、难于区分时就不作区分，统称为“数学思想方法”。实际上，通常谈及思想时也蕴含着相应的方法，谈及方法时也同时指对该方法起指导作用的思想。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁.本文主要列举一些常见的数学思想方法：转换思想；分类讨 论思想；数形结合思想；类比思想，并讨论这些数学思想方法在 现实生活中的实际应用。 一、转换思想 转换思想又称转化或化归思想，是一种把待解决的或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或比较容易 解决的问题中去，最终求的原问题解答的数学思想。也是反映数学技巧与手段的十分重要的、得到普遍运用的数学思想。 阿普顿是美国普林斯顿大学数学系毕业的高材生，对没有大学文凭的爱迪生有点瞧不起。有一次，爱迪生让他测算一只梨形灯泡的容积。他拿起灯泡，测出了它的直径高度，然后加以计算。但是灯泡不具有规则形状：它像球形，又不像球形；像圆柱体，
数论应用
适用专业与学时分配：教学内容与时间安排表 3．课程教学目的与要求： 本课程的教学目的要求是使学生掌握初等数论的基本理论和方法，具备进行数论理论研究的能力，以及将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力。 4．本门课程与其他课程关系： 《初等数论》是本专业的专业必修课，是基础课程，为《数论及其应用》、《密码学基础》、《现代密码学》、《应用密码学》和《密码分析》等课程的前期准备课程。 5．推荐教材及参考书： 推荐教材： 《初等数论》于秀源瞿维建山东教育出版社。 参考书： 《初等数论》潘承洞潘承彪北京大学出版社； 《数论导引》华罗庚科学出版社； 《初等数论》闵嗣鹤严士健高等教育出版社； 《AN INTRODUCTION TO THE THEORY OF NUMBERS》H.Davenport； 《Elementary Methods in Number Theory》 Melvyn B.Nathanson Springer-Verlag； 《ELEMENTARY NUMBER THEORY and its applications》Kenneth H.Rosen 机械 工业出版社。 6．课程教学方法与手段： 整除理论以及简单的不定方程求解问题是初等数论中最基础，也是比较重要的一部分，但这部分内容，学生较为熟悉，因此出个别地方外，学生可以自学。 课堂教学主要是通过大量例题的讲解，使学生加深对定义和定理的理解，学会解题和制设新题的基本技巧，注意对逻辑推理的严密性，数学语言的规范性以及文字叙述准确性的基础训练。同余和同余方程的基础理论、二次剩余、整数的平方
和表示，以及原根和连分数的基础理论，是初等数论中的重要组成部分，是学生深入学习数论的基础，也是将来从事数论理论研究的基础。对这一部分的教学，要着重使学生充分理解概念、定义的内涵、掌握基本方法、了解重要结论以及应用这些知识去解决问题，因此，课堂教学以教师讲解为主，辅以学生的自学。对数论的应用，以及超越数和代数数的基本知识，除个别内容外，自学较为困难，因此因以课堂教学为主。 7．课程考试方法与要求： （1）本课程每学期末应进行考试，成绩占总成绩的７０％左右，期中考核一般占总成绩的２０％左右，平时成绩占总成绩的１０％。 （2）期末考试一律准备Ａ、Ｂ卷（含标准答案和评分标准），平行班考试卷统一。 （3）本课程应建立试卷库，实行考教分离。 8．实践教学内容安排： 无 二、教学内容纲要 第一章 整除理论（14学时） 1．主要内容 第一节 数的整除性 2学时 第二节 带余数除法 2学时 第三节 最大公约数 2学时 第四节 辗转相除法 2学时 第五节 算术基本定理 2学时 第六节 函数 ][x 和}{x 2学时 第七节 素数 2学时 2．基本要求 整除理论是初等数论中最基础，也是比较重要的一部分，要求学生掌握。但这部分内容，学生较为熟悉，因此出个别地方外，学生可以自学。课堂教学主要是通过大量例题的讲解，使学生加深对定义和定理的理解，学会解题和制设新题的基本技巧，注意对逻辑推理的严密性，数学语言的规范性以及文字叙述准确性的基础训练。 第二章 同余（7学时） 1．主要内容 第一节 同余的基本性质 1.5学时 第二节 完全剩余系 1.5学时 第三节 简化剩余系 1.5学时 第四节 Euler 定理 1.5学时
数学思想方法和应用题教学
数学思想方法和应用题教学 所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性概括和认识.而数学方法是解决数学问题的途径，是数学思想的反映.教学中教师应该注重数学思想方法的渗透，数学思想方法应该与整个数学知识的讲授融为一体，才有利于学生真正地理解和掌握所学知识，提高学生学习能力.下面笔者就谈谈在应用题教学中所渗透的几种数学思想方法. 一、应用题教学中要运用方程思想 例如，七年级数学教材一道习题：某中学的学生自己独自整修操场，七年级学生单独完成工作需要6小时，八年级学生单独完成工作需要5小时，如果现在由七、八年级学生一起先工作1小时，再由八年级学生单独完成剩余部分，问总共需要多少时间？ 对于刚上七年级的学生来说，不少人还是习惯于用算术方法来解题，而不习惯从列方程的角度来想问题，所以他们会这样解： 七八年级一起做1小时工作量：（1÷6+1÷5）×1=1130， 八年级完成剩余部分所需时间：（1-1130）÷15=196 总共需要时间：1+196=256（小时）
如果运用方程解问题会更简单.设总共需要时间x小时.根据题意很容易发现等量关系：七年级工作量+八年级工作量=1，所以列方程为： 16+x5=1，解得x=256. 答：总共需要时间256 小时. 从这道题解法对比看到，用方程来解简单明了，相比算术方法需要反向思考而言，列方程是用顺向思维解决问题，思维过程比较简单，这样顺着题目中的数量思考解题容易了许多. 二、应用题教学中要渗透数形结合思想 例如，甲、乙分别从A、B两地骑自行车同时相向匀速而行，经过2小时后两人相距30千米，再经过2小时两人又相距30千米，求A、B两地的距离. 解：设A、B两地距离为x千米.由题意画以下直线形示意图. 图1 图2 从图1可以看到2小时两人总行程为（x-30）千米，从图2可以看到4小时两人总行程为（x+30）千米.根据甲乙两人速度和不变，得出方程 x-302+x+304，解得x=90. 答：A、B两地距离为90千米.
丘成桐大学生数学竞赛,代数与数论,考纲
Algebra,Number Theory and Combinatorics(second draft) Linear Algebra Abstract vector spaces;subspaces;dimension;matrices and linear transformations;matrix algebras and groups;determinants and traces;eigenvectors and eigenvalues,characteristic and minimal polynomials;diagonalization and triangularization of operators;invariant subspaces and canonical forms;inner products and orthogonal bases;reduction of quadratic forms; hermitian and unitary operators,bilinear forms;dual spaces;adjoints.tensor products and tensor algebras; Integers and polynomials Integers,Euclidean algorithm,unique decomposition;congruence and the Chinese Remainder theorem;Quadratic reciprocity;Indeterminate Equations.Polynomials,Euclidean algorithm, uniqueness decomposition,zeros;The fundamental theorem of algebra;Polynomials of integer coefficients,the Gauss lemma and the Eisenstein criterion;Polynomials of several variables, homogenous and symmetric polynomials,the fundamental theorem of symmetric polynomials. Group Groups and homomorphisms,Sylow theorem,finitely generated abelian groups.Examples: permutation groups,cyclic groups,dihedral groups,matrix groups,simple groups,Jordan-Holder theorem,linear groups(GL(n,F)and its subgroups),p-groups,solvable and nilpotent groups, group extensions,semi-direct products,free groups,amalgamated products and group presentations. Ring Basic properties of rings,units,ideals,homomorphisms,quotient rings,prime and maximal ideals,fields of fractions,Euclidean domains,principal ideal domains and unique factorization domains,polynomial and power series rings,Chinese Remainder Theorem,local rings and localization,Nakayama's lemma,chain conditions and Noetherian rings,Hilbert basis theorem, Artin rings,integral ring extensions,Nullstellensatz,Dedekind domains,algebraic sets,Spec(A). Module Modules and algebra Free and projective;tensor products;irreducible modules and Schur’s lemma;semisimple,simple and primitive rings;density and Wederburn theorems;the structure of finitely generated modules over principal ideal domains,with application to abelian groups and canonical forms;categories and functors;complexes,injective modues,cohomology;Tor and Ext. Field
数学思想方法在解决问题中的应用
数学思想方法在解决问题中的应用 章丘市刁镇中心小学师霞 所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。 所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。 在小学数学中常用的思想方法有，数形结合思想方法、对应的思想方法、假设的思想方法、比较思想方法、类比思想方法、符号化思想方法、分类思想方法、转化思想方法、排列组合的思想方法、整体思想方法等。 一、分类的思想 分类思想是根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程。一般我们分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。 在一年级数学中就有分类思想的涉及，按一定的标准对物体进行分类。 比如整理房间，以及画出该行中与其他几项不同类的一种，所以对这种直观明了的类掌握的都不错。 重要的是分类时应让学生感受到对同样一些事物进行分类时我们可以有不同的分类标准，分类的标准不一样，结果也就不一样。 在二年级第八单元数学广角中就涉及了简单的排列组合也有分类的思想，用1，2，3能摆成几个两位数？ 生1；12、13、23、32、21、31。 生2：12、31、21、23、13、32。 生3: 12、13、21、23、31、32。 此时因为排成的数较少，大部分同学都能说完整，但是如果是用4，5，6，7能摆成几个两位数呢，学生自己写在本子上。 发现大部分同学都有遗漏，那么如何写这些数字才能保证不遗漏呢？有学生能够说出按顺序写这些数的意思。 比如在1，2，3的排列中生3回答的就有一定顺序他根据十位数是几进行了分类。12，13十位数是1；21，23十位数是2；31，32十位数是3。因此在写4，5，6，7排成的两位
Strongart数学笔记：代数数论入门指南
代数数论入门指南 一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。 先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X). 代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为： Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]
假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A. 假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n 其中σ_i是L的K-共轭。 若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中 a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为： Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a) 这里f"(a)称为a的微分或差分（different）. 通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]). 代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。基本假设是这样的：A是分式域为K的Dedekind整环，L/K是n次可分扩张，B是A在L内的整闭包。
五、代数与数论综合问题
五、代数与数论综合问题 例1、试确定所有正整数n (3)n ≥，使得0123 n n n n n c c c c +++∣ 2. 解：由二项式定理和组合数定义，对所有正整数3n ≥，有 01232n n n n n n n c c c c c =++++?+0123n n n n c c c c ≥+++21(1)(6)6 n n n =+-+ 因此存在正整数l ，使得21(1)(6)32l n n n ++-+=? ① 这样1n +和26n n -+可以写成32αβ?的形式，其中0α=或1，N β∈ 下面分两种情况讨论： ⑴ 4β≥，这时16(1)n ?+， 将①式中的第二项改写为 226(1)3(1)8n n n n -+=+-++， 由此得 28(6)n n ?-+，且216|(6)n n -+/，则26n n -+只能为8或24. 当268n n -+=时，解得1n =-或2； 当2624n n -+=时，解得1 (12 n = ±。它们都不满足题设. ⑵ 3β≤，这时由132n αβ+=?，可以求得 1n +只能为 1、2、4、8、3、6、12、24， 相应的n 为 0、1、3、7、2、5、11、23， 26n n -+为 6、6、12、48、8、26、116、512。 再由①式及3n ≥知，满足条件的n 有三个，分别是3、7、23. 例2、是否存在无穷多个正整数对(,)m n ，使得21mn ?+，21n m ?+？ （2013年英国数学奥林匹克） 解：存在。构造数列{}n a ，12a =，25a =，213n n n a a a ++=-， 则 213n n n a a a +++= ， 等号两边同乘 2n n a a +- ， 得： 22 212133n n n n n n a a a a a a ++++-=- ① 我们说明 2 121n n n a a a +++=，采用数学归纳法 1n =时，12a =，25a =，313a =，22131a a a +=成立 假设n t =时成立，则当1n t =+时，由归纳假设 21211(3)t t t t t t a a a a a a ++++==- 即 221113t t t t a a a a ++++= ②
常见的数学思想方法在小学数学教学中的应用
常见的数学思想方法在小学数学教学中的应用 何永贵 转化思想 在小学数学教学中，转化思想是一种常见的数学运用方法，其主要功能是将不同类型的元素转化为相同类型的元素。转化思想的运用能够将数学题型化繁为简、化难为易，使学生快速解答题型［2］。在小学数学中，转化思想被经常应用，如:异分母加减法。14+23，教师应引入转化思想，教育学生异分母转化法，将数学题转化为同分母加减法:312+812，使答案一目了然。除此外，分数与小数的加减法也需要渗透转化思想，如:0．5+14就可转化为0．5+0.25，使问题更加容易解决，提高学生问题解答能力。 分类思想 分类思想主要是将某问题视为整体，并在一定分类标准上将整体划分为相应部分，以此达到快速解答问题的目的。如:在小学几何教学中的三角形教学中，将所有三角形分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，此三类三角形直接囊括了所有三角形的特征。分类方法是小学数学中的重要数学思想方法，为确保分类方法的合理性，教学应教育学生在采用此方法解题时遵循以下几项原则:统一性原则、不重复与遗漏原则、层次性原则等。 数形结合 数形结合是将抽象的知识转化为直观概念，提高学生理解能力，实现解决问题的目标。小学思维正处于过度其，形象思维较强而逻辑思维较差，数形结合能够巧妙引导学生结合形象思维与抽象逻辑，提高学生的思维能力。如分数的算式14×15可借用图形达到结果直观的目的。将矩形分为数个1×1cm的格子，并用\表示整个矩形的14，用/表示整个矩形的15，可直观看出两者间的公共部分，即为两者之积。 3小学数学教学中数学思想方法实现的路径 把握时机，适时渗透数学思想方法 在小学数学的教学活动中，教师应把握关键时机适时渗透数学思想，以此达到更好的教学效果，培养学生们的思维能力，增加学生的学习任务。在数学知识的形成、解决问题等教学环节中，只有恰当把握时机，适时渗透数学思想方法，才能达到最优的教学效果。如:在三角形的学习中，教师为每一学生分别准备4cm、5cm、6cm、10cm四个小棍，请学生随机摆成不同的三角形。学生在动手操作时可得知只有4cm、5cm、6cm与5cm、6cm、10cm两组小
数学在密码学中的应用浅析
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/c48192388.html, 数学在密码学中的应用浅析 作者：黄耀 来源：《现代交际》2017年第22期 摘要：密码学作为一门交叉学科，涉及学科广泛，其中应用数学占很大比例，其地位在 密码学中也越来越重要，本文简单介绍密码学中涉及数学理论和方法计算的各种算法基本理论及应用，并将密码学的发展史分为现代密码学和传统密码学，列举二者具有代表性的明文加密方法，并分别对其中一种方法进行加密思想的概括和阐述。 关键词：密码学应用数学应用 中图分类号：TN918 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2017）22-0196-01 随着信息时代的高速发展，信息的安全越来越重要，小到个人信息，大到国家安全。信息安全主要是将计算机系统和信息交流网络中的各种信息进行数学化的计算和处理，保护信息安全，而密码学在其中正是处于完成这些功能的技术核心。在初期的学习当中，高等数学、线性代数、概率论等都是必须要学习的基础学科，但是涉及密码学的实际操作，数论和近世代数的数学知识仍然会有不同程度的涉及和应用，本文在这一基础上，讨论密码学中一些基本理论的应用。 一、密码学的含义及特点 密码学是由于保密通信所需从而发展起来的一门科学，其保密通讯的接受过程如下：初始发送者将原始信息（明文）进行一定方式转换（加密）然后发送，接受者收到加密信息，进行还原解读（脱密），完成保密传输信息的所有过程，但是由于传输过程是经由有线电或无线电进行信息传输，易被窃取者在信息传输过程中窃取加密信息，在算法未知的情况下恢复信息原文，称为破译。保密信息破译的好坏程度取决于破译者的技术及经验和加密算法的好坏。 实际运用的保密通信由两个重要方面构成：第一是已知明文，对原始信息进行加密处理，达到安全传输性的效果；第二是对截获的加密信息进行信息破译，获取有用信息。二者分别称为密码编码学和密码分析学，二者互逆，互相反映，特性又有所差别。 密码体制在密码发展史上是指加密算法和实现传输的设备，主要有五种典型密码体制，分别为：文学替换密码体制、机械密码体制、序列密码体制、分组密码体制、公开密钥密码体制，其中密码学研究目前较为活跃的是上世纪70年代中期出现的公开密钥密码体制。 二、传统密码应用 密码体制在1949年香农的《保密系统的通信理论》发表之前，密码传输主要通过简单置换和代换字符实现，这样简单的加密形式一般属于传统密码的范畴。置换密码通过改变明文排
数学思想方法在生活中的运用
数学思想方法在生活中的运用摘要:现阶段的数学学习过程中，正不断的从多元化角度来开展，尤其是在数学思想方法方面，不能总是局限在理论层面上，应坚持加强在生活中的应用，开展这样学习方式的好处在于，能够促进学生的知识能力以及个人素养的提升，为学生以后学习奠定坚实的基础。相对而言，数学思想方法在生活中的应用，不能总是按照老旧的模式来开展，应不断得开阔综合应用，促使数学思想方法在生活中更好的展示出来，而后才能得到良好的指引。文章针对数学思想方法在生活中的应用展开讨论，并提出合理化建议。 关键词:数学思想;方法;生活;应用 与既往学习有所不同，现如今的学习创新力度正在不断的提升，通过对数学思想方法在生活中有效的应用，可以最大限度的开阔学生的思维。从长远的角度来分析，数学思想方法的转变，已经成为了必然的趋势，固有的一些学习模式，或者是应用方法，偏向于老旧的模式，造成思维受限，无法提升学生的生活能力。所以，应加强数学思想方法的合理拓展，加强在生活中的有效应用。 一、数学思想方法的特点 首先，数学思想方法的研究和实践，是前人不断积累的结果。例如，数学思想方法的几何知识应用，充分证明了三角形才是最稳定的图形，这对于很多的生活内容与工作内容，都具有良好的推动作用，对于生活中的数学而言，必须在日后更好的展现。其次，数学思想方法的研究过程中，会与生活的不同内容来进行良好的结合，确保数学
思想方法的实用性得到良好的提升。第三，数学思想方法的内容较为丰富。现阶段的很多学生对于自身的生活都在高度关注，他们希望在生活的质量上更好的提升。利用数学思想方法来解决生活的问题，能够获得较为充足的依据，对于学生产生的指导效果较为显著。但是，数学思想方法的应用，学生必须不断的去学习和总结，从而在生活经验上持续性的增加。 二、数学思想方法在生活中的应用 (一)化繁为简的方法 例如，学生在上学、放学的路线选择上，可以根据“两点之间、线段最短”的原则来选择，一方面可以减少弯路，另一方面还能够对数学思想方法的具体实践，达到深有感悟的效果，从而在今后的学习和进步中，不断的取得更好的成效。化繁为简的思想，在于通过生活上的实践来完成，帮助学生对于数学思想方法，能够拥有正确的认知，在日后的成长、进步过程中，不断的获得更好的成就。从这一点来看，化繁为简的方法应用，能够帮助学生在自身的生活方面，对于一些难以解答的问题，做出更好的分类处理，从细节上出发，从而在生活问题的解决过程中，不断的取得更好的成绩。 (二)分类的方法 例如，学生在日常生活当中，对于不同的时间安排，都要拥有明确的内容、明确的努力，从清晨起床、到夜晚睡眠，都必须控制好时间，这样才能减少浪费的现象。另一方面，在日常的知识学习过程中，要对于课堂上的学习、笔记，课下的复习，以及考前的预习等，都做
(教学研究)常见数学思想方法应用举例
常见数学思想方法应用举例 所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识.所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映.数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为.运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想. 其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割.它们既相辅相成，又相互蕴含.因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法.比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用. 初中阶段《数学大纲》要求我们了解的常用的基本数学思想有：整体思想与分类的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想，抽样统计思想等. 《数学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。要求“理解”或“会应用”的方法有：建模法、待定系数法、消元法、降次法、代入法、加减法、因式分解法、配方法、公式法、换元法、图象法(也称坐标法)以及平行移动法、翻折法等. 1、整体思想 整体思想是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.往往能起到化繁为简，化难为易的效果.它在解方程的过程中往往以换元法的形式出现. 例1、整体通分法计算
什么是数论
什么是数论 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。 数论的发展简况 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。 自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。 在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。