人教版十一章全等三角形的判定hl ppt课件

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三角形全等的判定(hl)旧知回顾

判断两个三角形全等的方法

我们已经学了哪些呢?SSSSASASAAAS

三边对应相等的两个三角形全等。

两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

如图,△ABC 中,∠C =90°,直角边是_____、_____,斜边是______。

我们把直角△ABC 记作Rt△ABC。ACBCAB 思考:

对于两个直角三角形,除了直角相等的条件外,还要满足几个条件,这两个三角形就全等了?

如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

(1)你能帮他想个办法吗?

方法一:测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)

方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS) ∠B=∠F=Rt ∠

①若AB=DF,∠A=∠D,则利用可判定全等;A SA②若AB=DF,∠C=∠E,则利用可判定全等;A AS③若AC=DE,∠

C=∠E,则利用可判定全等;A AS④若AC=DE,∠A=∠D,则

利用可判定全等;A AS⑤若AC=DE,∠A=∠D,AB=DE,

则利用可判定全等;S AS 工作人员是这样做的,他测量了每

全等三角形知识点讲解经典例题含答案

全等三角形 一、目标认知 学习目标: 1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素; 2.探索三角形全等的条件,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式。 重点: 1. 使学生理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式; 2 .三角形全等的性质和条件。 难点: 1.掌握用综合法证明的格式; 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一:全等三角形性质的应用 1、如图,△ABD≌△ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角. 思路点拨:AB=AC,AB和AC是对应边,∠A是公共角,∠A和∠A是对应角,按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解. 解析:AB和AC是对应边,AD和AE、BD和CE是对应边,∠A和∠A是对应角,∠B和∠C,∠AEC和∠ADB是对应角. 总结升华:已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边. 已知两对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角.

举一反三: 【变式1】如图,△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗?为什么? 【答案】证明:由△ABC≌△DBE,得AB=DB,BC=BE, 则AB-BE=DB-BC,即AE=CD。 【变式2】如右图,,。 求证:AE∥CF 【答案】 ∴AE∥CF 2、如图,已知ΔABC≌ΔDEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE 的度数与EC的长。 思路点拨:由全等三角形性质可知:∠DFE=∠ACB,EC+CF=BF+FC,所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析:在ΔABC中, ∠ACB=180°-∠A-∠B, 又∠A=30°,∠B=50°, 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF, 所以∠ACB=∠DFE, BC=EF(全等三角形对应角相等,对应 边相等)。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华:全等三角形的对应角相等,对应边相等。 举一反三: 【变式1】如图所示,ΔACD≌ΔECD,ΔCEF≌ΔBEF,

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形,所以我们要充分的利用它的轴对称性,常作的辅助线是:一利用截取一条线段构造全等三角形,二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论:角平分 线与平行线构成等腰三角形,角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图,在ΔABC 中,D 是边BC 上一点,AD 平分∠BAC ,在AB 上截取AE=AC , 连结DE ,已知DE=2cm ,BD=3cm ,求线段BC 的长。 2. 已知:如图所示,BD 为∠ABC 的平分线,AB=BC ,点P 在BD 上,PM ⊥AD 于M , ?PN ⊥CD 于N ,判断PM 与PN 的关系. 3. 已知:如图E 在△ABC 的边AC 上,且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证:∠ABE=∠C ; (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ,FD ∥BC 交AC 于D ,设AB=5,AC=8,求DC 的长。 . A B C D E P D A C B M N

5、如图所示,已知∠1=∠2,EF ⊥AD 于P ,交BC 延长线于M ,求证:2∠M=(∠ACB-∠B ) 2 1P F M D B A C E 6、如图,已知在△ABC 中,∠BAC 为直角,AB=AC ,D 为AC 上一点,CE ⊥BD 于E . (1) 若BD 平分∠ABC ,求证CE=1 2 BD ; (2) 若D 为AC 上一动点,∠AED 如何变化,若变化,求它的变化范围; 若不变,求出它的度数,并说明理由。 8、如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB , 求证:AC=AE+CD . 二、中点型 由中点应产生以下联想: E D C B A

《全等三角形》典型例题课件.doc

全等三角形知识梳理一、知识网络 性质对应角相等对应边相等 边边边SSS 全等形全等三角形边角边SAS 应用 判定角边角ASA 角角边AAS 斜边、直角边HL 角平分线 作图 性质与判定定理 二、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等。 (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 (二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因 此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 1

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) (3)已知条件中有一边一角对应相等,可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 全等三角形的判定训练 1.已知AD 是⊿ABC 的中线,BE⊥AD,CF⊥AD,问BE= C F 吗?说明理由。 A F B C D E 2.已知AC= B D,AE =CF,BE=DF ,问AE∥CF 吗? E F A C B D 3.已知AB= C D,BE =DF,AE =CF ,问AB∥CD 吗? A B E F C D 4.已知AC=AB,AE= A D,∠1=∠2,问∠3=∠4 吗? A 1 2 E D 3 4 B C 5. 如图, 已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC请, 说明∠A=∠C. 2

全等三角形中题型归纳讲解

全等三角形中题型归纳 一、含有公共边(线段) 例1已知,如图,AB=CD ,DF ⊥AC 于F ,BE ⊥AC 于E ,DF=BE 。求证:AF=CE 。 二、含有公共角(夹角) 例2已知,如图,AB ⊥AC ,AB =AC ,AD ⊥AE ,AD =AE 。求证:BE =CD 。 三、直角三角形 例3已知:如图,△ABC 中,∠ABC =45°,CD ⊥AB 于D ,BE 平分∠ABC ,且BE ⊥AC 于E ,与 CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连结DH 与BE 相交于点G 。(1) BF =AC (2) CE = BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。 四、角平分线 例4.已知:如图,PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线,?它们交于点P ,PD ⊥BM 于D ,PF ⊥BN 于F .求证:BP 为∠MBN 的平分线. 五、中线(点) 例5如图,在△ABC 中,AD 是中线,BE 交AD 于F,且AE=EF,说明AC=BF 的理由 1 2 F E A C D B A E D C B

六、二次全等 例6已知:如图,AB ⊥BC ,AD ⊥DC ,AB=AD ,若E 是AC 上一点。求证:EB=ED 。 D A E C B 七、线段和差倍分 例7如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求 证:AD +BC =AB . 八、常见辅助线归纳总结 例8如图:四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=AD+BC ,E 是CD 的中点,求证:AE ⊥BE 。 例9在△ABC 中,,AB=AC , 在AB 边上取点D ,在AC 延长线上了取点E ,使CE=BD , 连接DE 交BC 于点F ,求证DF=EF . 九、全等与等腰三角形 例10已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB =DC ,BE 求证:OA =OD . P E D C B A A D B E F C B A E D

八年级数学全等三角形经典例题练习及解析

全等三角形单元 预习测试题 小题3分,共30分) 一、选择题(每 1.下列说法错误的是() A .全等三角形的对应边相等B.全等三角形的对应角相等 C.全等三角形的周长相等D.全等三角形的高相等 2.如图,△ABC≌△CDA,并且BC=DA,那么下列结论错误的是() A .∠1=∠2 B.AC= C A C.AB=AD D.∠B=∠D 第2 题第3 题第5 题第7 题 3.如图,AB∥DE,AC∥DF ,AC= D F ,下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是() A .A B =DE B.∠B=∠E C.EF =B C D.EF∥BC 4.长为3cm,4 c m,6 c m,8cm 的木条各两根,小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根,要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等,则他俩取的第三根木条应为() A .一个人取6cm 的木条,一个人取8cm 的木条B.两人都取6cm 的木条 C.两人都取8cm 的木条D.B、C 两种取法都可以 5.△ABC 中,AB= A C,三条高AD,BE,CF 相交于O,那么图中全等的三角形有() A . 5 对B.6 对C.7 对D.8 对 6.下列说法中,正确的有() ①三角对应相等的两个三角形全等;②三边对应相等的两个三角形全等;③两角、一 边相等的两个三角形全等;④两边、一角对应相等的两个三角形全等. A . 1 个B.2 个C.3 个D.4 个 7.如图,已知△ABC 中,∠ABC=45°,AC =4,H 是高AD 和BE 的交点,则线段B H 的长度为() A .B.4 C.D.5 8.如图,ABC 中,AD 是它的角平分线,AB=4,AC=3,那么△ABD 与△ADC 的面积比是() A .1:1 B.3:4 C.4:3 D.不能确定

全等三角形经典题型50题带答案知识讲解

全等三角形经典题型50题带答案

全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

证明:连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中, AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS ) ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C C D B A B A C D F 2 1 E

全等三角形练习题及解析.doc

全等三角形练习题 一.选择题(共 3 小题) AD⊥BC 于点D,若∠ BAC=128°,∠C=36°,则∠ DAE的度数是()1.(2012?梧州)如图,AE是△ ABC的角平分 线, A. 10°B.12°C. 15°D.18° 2.( 2011?随州)如图,在△ ABC 中 E 是 BC上的一点, EC=2BE,点 D是 AC的中点,设△ ABC,△ ADF,△ BEF 的面积 分别为 S△ABC, S△ADF, S△BEF,且S△ABC=12,则 S△ADF﹣ S△BEF=() A. 1 B.2 C. 3 D.4 3.( 2009?内江)如图,小陈从O点出发,前进 5 米后向右转20°,再前进 5 米后又向右转20°,,这样一直走 下去,他第一次回到出发点O时一共走了() A.60米B. 100米C.90米D. 120米 二.填空题(共 4 小题) 4.( 2009?黔东南州)如图,某村有一块三角形的空地(即△ABC),其中 A 点处靠近水源,现村长准备将它分给甲、 乙两农户耕种,分配方案规定,按每户人口数量来平均分配,且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源(即A点),已知甲农户有 1 人,乙农户有 3 人,请你把它分出来.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不要求证明)._________ .

5.( 2007?资阳)如图,对面积为 1 的△ ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB, BC, CA至点 A1,B1,C ,使得 A B=2AB, B C=2BC, C A=2CA,顺次连接 A ,B , C ,得到△A B C ,记其面积为S ;第二次操作,分别延长 1111111 1 1 1 1 A1B1, B1C1,C1A1至点 A2,B2, C2,使得 A2B1=2A1B1, B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接A2, B2, C2,得到△A2B2C2,记其 面积为S2;;按此规律继续下去,可得到△A5B5C5,则其面积S5= _________ . 6.( 2012?通辽)如图,△S= _________.△CAO ABC 的三边AB、BC、CA长分别 为 40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO: 7.( 2012?通辽)如图,梯形 ABCD中, AD∥BC, DC⊥BC,将梯形沿对角线处,若∠ A′BC=15°,则∠ A′BD的度数为_________.BD折叠, 点 A 恰好落在DC边上的 点 A′ 三.解答题(共 5 小题) 11.(2012?牡丹江)如图①,△ ABC H.易证 PE+PF=CH.证明过程如下: 中. AB=AC, P 为底边BC上一点, PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、 如图①,连接AP. ∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB, ∴S△ABP=AB?PE,S△ACP=AC?PF,S△ABC=AB?CH. 又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC, ∴AB?PE+AC?PF=AB?CH. ∵AB=AC, ∴PE+PF=CH. ( 1)如图②, P 为 BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、 CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加 以证明: ( 2)填空:若∠ A=30°,△ ABC 的面积为49,点 P 在直线 BC上,且 P 到直线 AC的距离为PF,当 PF=3时,则 边上的高CH= _________.点P到AB边的距离PE= _________. AB 12.( 2012?云南)如图,在△ ABC 中,∠ C=90°,点 D 是 AB边上的一点, DM⊥AB,且 DM=AC,过点 M作 ME∥BC 交AB于点 E. 求证:△ ABC≌△ MED.

全等三角形—知识讲解及典型例题解析

中考总复习:全等三角形—知识讲解及典型例题解析 【考纲要求】 1.掌握全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素; 2.探索三角形全等的判定方法,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式; 3. 善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等,灵活选择适当的方法判定两个三 角形全等. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、基本概念 1.全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等; (2)全等三角形对应角相等. 要点诠释: 全等三角形的周长、面积相等;对应的高线,中线,角平分线相等. 3.全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS); (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA); (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS); (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS); (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 考点二、灵活运用定理 三角形全等是证明线段相等,角相等的最基本、最常用的方法,这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征,还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来.应用三角形全等的判别方法注意以下几点: 1. 条件充足时直接应用判定定理 要点诠释:在证明与线段或角相等的有关问题时,常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分,只要认真观察图形,结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等. 2. 条件不足,会增加条件用判定定理 要点诠释:此类问题实际是指条件开放题,即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充三角形全等的条件.解这类问题的基本思路是:执果索因,逆向思维,即从求证入手,逐步分析,探索

(完整版)全等三角形知识总结及典型例题,推荐文档

全等三角形知识总结及典型例题 (1)定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对 应边,重合的角叫做对应角 (2)“全等”用“≌”表示,读作“全等于”,记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在 对应的位置上。 例1. 如图11.1-3所示,图中两个三角形能完全重合,下列写法正确的是( ) A .△ABE≌△AF B B .△ABE≌△ABF C .△ABE≌△FBA D .△ABE≌△FAB 性质:全等三角形中,对应边相等,对应角相等。 【注意:全等三角形的对应线段(对应边上的中线,对应边上的高,对应角的平分线)相等;全等三角形的周长相等,面积相等。】 例2.如图11.1-7,△ABD≌△ACE,点B 和点C 是对应顶点,AB=8,AD=6,BD=7,则BE 的长是( ) A .1 B .2 C .4 D .6例3.如图11.1-12,△ABD≌△EBC,AB=3cm , BC=4.5cm .(1)求DE 的长; ( 2)判断AC 与BD 的位置关系,并说明理由.(1)“边边边”(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等。 (2)“边角边”(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (3)“角边角”(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (4)“角角边”(AAS ):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 (5)“斜边,直角边”(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 【注意:①三角形全等证明时要注意应用“公共边”、“公共角”、“对顶角”等 。②证明线段或角相等通常转换证明线段或角所在的三角形全等。③在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等。④有两边和一角对应相等,角必须是这两边的夹角。⑤“HL”只适合于Rt⊿ 。⑥利用全等三角形可以测出不能(或不易)直接测量长度的线段长,例如,河宽,或利用全等测量小口瓶的内径等。】 例4(SSS).(1) 如图,点A 、C 、F 、D 在同一直线上,AF=DC ,AB=DE ,BC=EF 求证:DE AB //(2)在ABC ?中,?=∠90C ,D 、E 分别为AC 、AB 上的点,且AD=BD ,AE=BC ,DE=DC .求证:AB DE ⊥例5(SAS).(1)已知:如图,AB=AC ,AD=AE ,∠1 =∠2 。试说明:△ABD ≌△ACE 。 A C B D E

全等三角形经典例题整理

全等三角形的典型习题 一、全等在特殊图形中的运用 1、如图,等边△ABC 中,D 、E 分别是AB 、CA 上的动点,AD =CE ,试求∠DFB 的度数. 2、如下图所示,等边△ABC 中,D 、E 、F 是AB 、BC 、CA 上动点,AD =BE =CF ,试判断△DEF 的形状. 3、如图,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,线段BE 、CD 相交于点H ,线段BE 、AC 相交于点G ,线段BE 、CD 相交于点H .请你解决以下问题: (1) 试说明BE =CD 的理由; (2) 试求BE 和CD 的夹角∠FHE 的度数 A A

C B Ex1、如下图所示,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,且点B 、A 、D 在同一直线上,AC 、BE 相交于点G ,AE 、CD 相交于点F ,试说明AG =AF 的理由. Ex2、如图,四边形ABCD 与BEFG 都是正方形,AG 、CE 相交于点O ,AG 、BC 相交于点M ,BG 、CE 相交于点N ,请你猜测AG 与CE 的关系(数量关系和位置关系)并说明理由. 4、△ABC 是等腰直角三角形,AB =AC ,∠BAC =90°,∠B =∠C =45°,D 是底边BC 的中点,DE ⊥DF ,试用两种不同的方法说明BE 、CF 、EF 为边长的三角形是直角三角形。 A

二.证明全等常用方法(截长发或补短法) 5、如图所示,在△ABC 中,∠ABC =2∠C ,∠BAC 的平分线交BC 于点D .请你试说明AB +BD =AC 的理由. Ex1,∠C +∠D =180°,∠1=∠2,∠3=∠4.试用截长法说明AD +BC =AB . Ex2、五边形ABCDE 中,AB =AE,∠BAC +∠DAE =∠CAD,∠ABC +∠AED =180°,连结AC ,AD .请你用补短法说明BC +DE =CD .(也可用截长法, 自己考虑) 6、如图,正方形ABCD 中,E 是AB 上的点,F 是BC 上的点,且∠EDF =45°.请你试用补短法说明AE +CF =EF . B B F C

全等三角形各类题型讲解

全等三角形及其应用 【知识精读】 1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。 2. 全等三角形的表示方法:若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,记作“△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读 作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等; 4. 寻找对应元素的方法 (1)根据对应顶点找 如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 (2)根据已知的对应元素寻找:全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成 ①翻折:如图(1),?BOC≌?EOD,?BOC可以看成是由?EOD沿直线AO翻折180?得到的; ②旋转:如图(2),?COD≌?BOA,?COD可以看成是由?BOA绕着点O旋转180?得到的; ③平移:如图(3),?DEF≌?ACB,?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移动而得到的。 5. 判定三角形全等的方法:SAS,SSS,ASA,AAS,HL 6. 注意问题:(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等; (2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA;b :有两边和其中一角对应相等,即SSA。 【分类解析】 (1)证明线段(或角)相等 例1:如图,已知AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC (2)证明线段平行

初二数学 全等三角形经典模型及例题详解

辅助线模型 考点分析: 全等三角形是初中数学中的重要内容之一,是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL,如果所给条件充足,则可直接根据相应的公理证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析,先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了。 典型例题 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中; (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等; (3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法: ①延长中线构造全等三角形; ②利用翻折,构造全等三角形; ③引平行线构造全等三角形; ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种: (1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题, 思维模式是全等变换中的“对折”。 例1:如图,Δ ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD 平分∠ABC交AC 于点D,CE 垂直于 BD,交BD 的延长线于点E。求证:BD=2CE。 思路分析: 1)题意分析:本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用

2)解题思路:要求证 BD=2CE,可用加倍法,延长短边,又因为有 BD 平分∠ABC 的条件,可以和等腰三角形的三线合一定理结合起 来。解答过程: 证明:延长BA,CE 交于点F,在ΔBEF 和ΔBEC 中, ∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°, ∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。 在ΔABD 和ΔACF 中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°, ∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。 解题后的思考:等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力,而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系,为同学们开拓了一个广阔的探索空间;并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想,它是解决问题的关键。 (2)若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构 造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 例2:如图,已知ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 又是BC 边上的中线。求证:ΔABC 是等腰三角形。 思路分析: 1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2)解题思路:在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件,一般这些条件都是解题的突破口,本题给出了AD 又是BC 边上的中线这一条件,而且要求证AB=AC,可倍长AD 得全等三角形,从而问题得证。 解答过程:

中考全等三角形知识总结和经典例题

长安教育中心 全等三角形复习 [知识要点] 一、全等三角形 1.判定和性质 注:① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; ② 全等三角形面积相等. 2.证题的思路: ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ? ?? ?????? ????? ??)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角()找已知边的对角()找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边() 找直角() 找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) 运用 1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等。而全等 的判定却刚好相反。 2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与 对应角是关键。在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便。 3,当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用SAS找全等三角形。 4、用在实际中,一般我们用全等三角形测等距离。以及等角,用于 工业和军事。有一定帮助。 5、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

【精选】八年级全等三角形中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难) 1.已知:在平面直角坐标系中,A 为x 轴负半轴上的点,B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1,以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?,若2OA =,4OB =,试求C 点的坐标; (2)如图2,若点A 的坐标为() 23,0-,点B 的坐标为()0,m -,点D 的纵坐标为n ,以 B 为顶点,BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问:当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不 变时,整式2253m n +-的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由; (3)如图3,E 为x 轴负半轴上的一点,且OB OE =,OF EB ⊥于点F ,以OB 为边作等边OBM ?,连接EM 交OF 于点N ,试探索:在线段EF 、EN 和MN 中,哪条线段等于EM 与ON 的差的一半?请你写出这个等量关系,并加以证明. 【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化,值为3-3)EN=1 2 (EM-ON),证明见详解. 【解析】 【分析】 (1)作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?,由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标; (2)作DP ⊥OB 于点P ,可以证明AOB BPD ?,则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值,从而可以求出结论2253m n +-3- (3)作BH ⊥EB 于点B ,由条件可以得出 ∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?,则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1 2 (EM-ON). 【详解】 (1)如图(1)作CQ ⊥OA 于Q,

全等三角形经典培优题型含答案解析

全等三角形经典培优题型 含答案解析 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.

全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法: (1) 边角边定理(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS ):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 拓展关键点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础. 全等三角形证明经典题 1已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 2已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 A D B C

全等三角形知识点总结及对应练习题

全等三角形专题讲解 (一)知识储备 1、全等三角形的概念: (1)能够重合的两个图形叫做全等形。 (2)两个三角形是全等形,就说它们是全等三角形。两个全等三角形,经过运动后一定重合,相互重合的顶点叫做对应顶点;相互重合的边叫做对应边;相互重合的角叫做对应角。 (3)全等三角形的表示: 如图,△ABC和△DEF是全等三角形,记作△ABC≌△DEF,符号“≌”表示全等,读作“全等于”。 注意:记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 2、全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等,对应角相等。【例1】 如图,△ABC≌△DEF,则有:AB=DE,AC=DF,BC=EF;∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。 3、全等三角形的判定定理: “边角边”公理: 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。【例2】 “角边角”公理: 两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。【例3】 “角角边”公理: 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。【例4】 “边边边”公理: 三边对应相等的两个三角形全等。【例5】 “斜边直角边“公理

斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。【例6】 (二)双基回眸 1、下列说法中,正确的个数是() ①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等 A.4 B.3 C.2 D.1 2、如果ΔABC≌ΔDEF,则AB的对应边是_____,AC的对应边是_____,∠C的对应角是_____, ∠DEF的对应角是_____. 3、如图,△ABC≌△BAD,A和B、C和D是对应顶点,如果AB=5,BD =6,AD=4, 那么BC等于() A.6 B.5 C.4 D.无法确定 4、如图,△ABC≌ΔADE,若∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC 的度数 为() A.40°B.35°C.30°D.25° 5、能确定△ABC≌△DEF的条件是() A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠E B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E 6、如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是() A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙

全等三角形经典例题详解

【例题精选】: 例1:已知:如图,过?ABC的顶点A,作AF⊥AB且AF=AB,作AH⊥AC,使AH=AC,连结BH、CF,且BH与CF交于D点。 求证:(1)BH=CF(2)BH⊥CF 例2:已知,如图:BD、CE是?ABC的高,分别在高上取点P与Q,使BP=AC,CQ=AB。求证: AQ=AP 例4:已知:如图,AD∥BC,AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA,DC过点E。求证:AB=AD+BC

例5:已知:如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD 、CE ⊥AB 于E ,且 ∠B+∠D =180?。 求证:AE=AD+BE 例:已知:如图,在?ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 分别在AC 、AB 边上,∠EDF=90?。 求证:BF CE EF +> 例1分析:从图中可观察分析,若证BH=CF ,显然,若能证出?ABH ≌?AFC ,问题就能解决。从已知看,已经知道AF=AB ,AC=AH 。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等,显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看,∠BAF 和∠HAC 都是直角。而图中的∠BAC 显然是公共角,根据等式性质,问题可以顺利解决。 证明: (1)∵AF ⊥AB ,AH ⊥AC ∴∠BAF=∠HAC=90? ∴∠BAF +∠BAC=∠HAC +∠BAC ∴即∠F AC=∠BAH 在?ABH 和?AFC 中 ()()() AB AF BAH FAC AH AC =∠=∠=???? ???已知已证已知

∴?ABH ≌?AFC (边角边) ∴BH=FC (全等三角形对应边相等) (2)设AC 与BH 交于点P 在?APH 中 ∵∠HAP=90? ∴∠2+∠3=90?(直角三角形中两个锐角互余) ∵∠1=∠2(全等三角形对应角相等) ∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3=90? 在?PDC 中 ∵∠1+∠4=90? ∴∠HDC=90? ∴BH ⊥CF 例2分析:从要证的结论AQ=AP ,只有在?ABP 和?QCA 中找对应原素,不难发现,已经有BP=AC 、CQ=AB ,也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等,全等就可以了,问题的关键在于如何找出∠1=∠2?再分析已知条件,不难看出,既然BD 、CE 都是高,就有∠BDA=∠CEA=90?,这样就可看出∠1和∠2都是∠BAC 的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2,这样问题就可以迎刃而解了。 证明: ∵BD ⊥AC 于D CE ⊥AB 于E ∴∠BDA=∠CEA=90? ∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90? ∴∠1=∠2 在?ABP 和?PCA 中 ()()() AB CQ BP AC =∠=∠=???? ???已知已证已知12 ∴?ABP ≌?QCA (边角边) ∴AQ=AP (全等三角形对应边相等) 例3分析:从要证明的结论AE=EB 看,我们不难看出,应当在?ADE 和?BCE 中去寻找答案,而要证明?ADE ≌?BCE ,比较明显的有一组对顶角相等,即∠AED=∠BEC ,另外可以通过等式性质得到,OA -OD=OB -OC ,即AD=BC ,那么这两个三角的全等条件仍然差一个,从证明的结论AE=BE 上分析,不可能再寻找边的对应相等了,那么只有找一组对应角是否相等就可以了,如能否证出∠A=∠B (或∠ADE=∠BCE ),∠A=∠B 除了是?ADE 和?BCE 的对应角外,它们还是?AOC 和?BOD 的对应角,只要?AOC ≌?BOD ,那么就可以推出∠A=∠B ,这样问题便迎刃而解了,同学们自己分析一下?AOC 和?BOD 全等条件够吗? 证明: 在?AOC 和?BOD 中

全等三角形(知识点讲解)经典例题含答案

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 全等三角形(知识点讲解)经典例题含答案全等三角形一、目标认知学习目标:1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素;2.探索三角形全等的条件,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式。 重点: 1. 使学生理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式; 2 .三角形全等的性质和条件。 难点: 1.掌握用综合法证明的格式; 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等经典例题透析类型一:全等三角形性质的应用1、如图,△ABD≌△ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角.思路点拨: AB=AC,AB 和 AC 是对应边,∠A 是公共角,∠A 和∠A 是对应角,按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解.解析:AB 和 AC 是对应边,AD 和 AE、BD 和 CE 是对应边,∠A 和∠A 是对应角,∠B 和∠C,∠AEC 和∠ADB 是对应角.总结升华:已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边.已知两对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角.第 1 页共10 页 1/ 10

举一反三:【变式 1】如图,△ABC≌△DBE.问线段 AE 和 CD 相等吗?为什么?【答案】证明:由△ABC≌△DBE,得 AB=DB,BC=BE,则AB-BE=DB-BC,即 AE=CD。 【变式 2】如右图,求证:AE∥CF,。 【答案】∴AE∥CF2、如图,已知ΔABC≌ΔDEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE 的度数与 EC 的长。 思路点拨: 由全等三角形性质可知:∠DFE=∠ACB,EC+CF=BF+FC,所以只需求∠ACB 的度数与 BF 的长即可。 解析:在ΔABC 中,∠ACB=180°-∠A-∠B,又∠A=30°,∠B=50°,所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF,所以∠ACB=∠DFE, BC=EF(全等三角形对应角相等,对应边相等)。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华:全等三角形的对应角相等,对应边相等。 举一反三:【变式 1】如图所示,ΔACD≌ΔECD,ΔCEF≌ΔBEF,第 2 页共 10 页

全等三角形经典例题(含答案)

……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 全等三角形证明题精选 一.解答题(共30小题) 1.四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.(1)求证:△ADE≌△CBF; (2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO. 2.如图,已知点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,∠A=∠D.(1)求证:AC∥DE; (2)若BF=13,EC=5,求BC的长. 3.如图,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD=AE.求证:BE=CD.

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………(1)求证:△AOD≌△BOC; (2)求证:AD∥BC. 5.如图:点C是AE的中点,∠A=∠ECD,AB=CD,求证:∠B=∠D. 6.如图,已知△ABC和△DAE,D是AC上一点,AD=AB,DE∥AB,DE=AC.求证:AE=BC.

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………8.如图,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:AB∥DE. 9.如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB 求证:AE=CE.

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………10.如图,点A、C、D、B四点共线,且AC=BD,∠A=∠B,∠ADE=∠BCF,求证:DE=CF. 11.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CE∥DF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB. 12.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.(1)求证:BD=CE; (2)求证:∠M=∠N.

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