一元四次方程的另类解法
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程求根公式的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。 二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。 三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析 【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才
是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）；（2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二
一元四次方程的解法
一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p3 = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。 费拉里发现的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：x4=px2+qx+r 关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数 a，我们有(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2 等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即 q2 = 4(p+2a)(r+a2) 这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以 解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x 的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。最后，对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数 解法(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开 方运算)，这称为阿贝耳定理 一元四次求根公式 对于一般一元四次方程： ax4+bx3+cx2+dx+e=0 设方程的四根分别为： x1=(-b+A+B+K)/(4a) x2=(-b-A+B-K)/(4a) x3=(-b+A-B-K)/(4a) x4=(-b-A-B+K)/(4a) (A,B,K三个字母足以表示任意三个复数，根据韦达定理： 方程四根之和为-b/a,所以当x1，x2，x3的代数式为原 方程的三根时，那么x4形式的代数式必是方程的第四个 根。) 将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得： x1+ x2+ x3+ x4= -b/a x1x2 +x1x3+ x1x4+ x 2 x3 + x2x4+ x3 x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/a x1x2x3 +x1x2x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4= (1/16a3)(-b3+bA2+bB2+Bk2+2ABK)= -d/a x1x2 x3 x4=(1/256a4)(b4+ A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bA BK)=e/a 整理后为： A2+B2+K2=3b2-8ac———————————————— 记为p A2B2+A2K2+B2K2=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e— —记为q A2B2K2=(b3-4abc+8a2d)2————————————— —记为r 由此可知：A2，B2，K2是关于一元三次方程 y3-py2+qy-r=0的三根 从而可解得±y11/2,±y21/2,±y31/2是A，B，K的解。 若y11/2, y21/2, y31/2是A，B，K的一组解（A，B，K 具有轮换性，所以在代入时无须按照顺序） 那么另外三组为 （ y11/2,- y21/2,- y31/2 （- y11/2, y21/2, -y31/2 （-y11/2,- y21/2, y31/2 从而将以上任意一组解代入到所设代数式中，均可解得 原四次方程的四根。 由这种方法来解一元四次方程，只需求界一个一元三次 方程即可，而费拉里的公式则需先解一个三次方程，再 转化成两个复杂的一元二次方程，并且若要以其系数来 表示它的求根公式的话，其形式也是相当复杂的。我的 求解方法尽管在推导公式的过程中有一定的计算量，但 如果要运用于实际求根，尽用结论在计算上绝对要比费 拉里公式简便。那么我下面再介绍一下有关一元三次方 程的改进公式： 对于一般三次方程： ax3+bx2+cx+d=0 设方程的三根分别为： x1=(-b+A+B)/(3a) x2=(-b+wA+w2B)/(3a) x3=(-b+w2A+wB)/(3a) 则 A3+B3=-2b3+9abc-27a2d————记为p A3B3=(b2-3ac)2————— ———记为q 则A3，B3是关于一元二次方程： y2-py+q=0的两根
一元二次方程求根公式
一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式
法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
一元四次方程的求解方法
一元四次方程的求解 对于一般一元四次方程： ax4+bx3+cx2+dx+e=0 设方程的四根分别为： x1=(-b+A+B+K)/(4a) x2=(-b-A+B-K)/(4a) x3=(-b+A-B-K)/(4a) x4=(-b-A-B+K)/(4a) (A,B,K三个字母足以表示任意三个复数，根据韦达定理：方程四根之和为-b/a,所以当x1，x2，x3的代数式为原方程的三根时，那么x4形式的代数式必是方程的第四个根。) 将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得： x1+x2+x3+x4= -b/a x1x2+x1x3+x1x4+ x2x3+x2x4+x3x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/a x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=(1/16a3)(-b3+bA2+bB2+BK2+2ABK)= -d/a x1x2x3x4=(1/256a4)(b4+A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bABK)=e/a 整理后为： A2+B2+K2=3b2-8ac————————————————记为p A2B2+A2K2+B2K2=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e——记为q A2B2K2=(b3-4abc+8a2d)2——————————————记为r
由此可知：A2，B2，K2是关于一元三次方程 y3-py2+qy-r=0的三根 从而可解得±y11/2,±y21/2,±y31/2是A，B，K的解。 将以上解的任意一组代入到所设代数式中，均可解得原四次方程的四根。
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法 邵美悦 2018年3月23日 修改:2018年4月25日 众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法. 1配方法 一元二次方程 ax 2+bx +c =0,(a =0) 的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用 a (x + b 2a )2=b 2?4a c 4a 解出x =?b 2a ±√b 2?4ac 2a .当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2?4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2?4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.2 1值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可. 1
一元二次方程及其解法
第2课时 一元二次方程及其解法 一·基本概念理解 1 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如 b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 22)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 （3）、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
) 04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c （4）、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 （5）、韦达定理 若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则 a b x x -=+21，a c x x =21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用 韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=a b -，二根之积 =a c 也可以表示为a b x x -=+21,a c x x =21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 3、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?
元高次方程求解方法
一元高次方程的漫漫求解路 若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程 20,0,ax bx c a ++=≠ ① 由韦达定理，①的根可以表示为x =. 若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程.于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？ 数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题.有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ n 次方程的一般表达式是 101100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠.当系数01,,a a 1,,n n a a -???都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式.如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根. 1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根. 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算.这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积.” 代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法. 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程 1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++???++= ② 的求解公式，如二次方程①的求根公式那样.众所周知，方程①的解早在古代的巴比伦、埃
一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 如果 a x =2那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x ] 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 配方法解一元二次方程的步骤： 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 * 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） （1）当b 2-4ac>0时，=1x ，=2x 。 （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）当b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 $ 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 7．x 2＋4x －3=0 8． .03232=--x x 方法四：因式分解法 因式分解的方法： （1）提公因式法： （2）… （3）公式法：平方差： 完全平方： （4）十字相乘法： 一、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x
一元四次方程求根公式
一元四次方程的求根公式-完整 (2012-01-12 14:42:01) 转载▼ 我以前发过了此文，但文中有缺少部分，此次经过更正2013.06.02 一元三次方程求解，中国的范盛金推导的求根公式较为合理，简明 实质上B2-4AC >0时情况可以作为一个通用公式，因为一般实数均可用复数形式表述。按下述方法可以简明地判断重根。 与三次方程不同的是，四次方程求解需要复数运算支持，因为中间数据均会出现复数。我已经发表的复数系统可作为计算的工具使用。关于四次方程求解程序我暂时无时间写，不过可利用QR方法求任意实数多项式方程的所有根（QR 程序我也已发表于博客中，可以引用)。 一元四次方程一般式：ax4+bx3+cx2+dx+e=0（a≠0,a,b,c,d,e∈R）p=-(3b2-8ac) q=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e r=-(b3-4abc+a2d) 2 A=p2-3q B=pq-9r C=q2-3pr 若A=B=0 y1=y2=y3=-p/3=-q/p=-3r/q x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3) X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3) X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3) X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3) 若B2-4AC=0 y1=-p+k y2=y3=-k/2 k=B/A A<>0 ///新补充 x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3) X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3) X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3) X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3) 若B2-4AC<0 T=(2Ap-3B)/(2A1.5 )
冀教版-数学-七年级上册-了解一元三次和一元四次方程的解法
了解一元三次和一元四次方程的解法 塔塔利亚发现的一元三次方程的解法 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0，如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q，两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3，由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3。这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。 费拉里与一元四次方程的解法 卡当在《重要的艺术》一书中公布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后，塔塔利亚谴责卡当背信弃义，提出要与卡当进行辩论与比赛。这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行，代表卡当出场的是卡当的学生费拉里。 费拉里(Ferrari L.，1522~1565)出身贫苦，少年时代曾作为卡当的仆人。卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，当其数学才能被卡当发现后，卡当就收他作了学生。 费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。 一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了一元二次方程从而得解的。于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。 费拉里的方法是这样的： 方程两边同时除以最高次项的系数可得 4320 x bx cx dx e ++++= (1) 移项可得 432 x bx cx dx e +=--- (2) 两边同时加上 2 1 () 2 bx ，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为
一元二次方程的解法—公式法
课题：1.2一元二次方程的解法 (4) 班级 姓名 【学习目标】 1、会用公式法解一元二次方程. 2、用配方法推导一元二次方程的求根公式，明确运用公式求根的前提条件是b 2 －4ac ≥0． 【重点难点】 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 难点：掌握一元二次方程的求根公式及代入时的符号问题. 【新知导学】 读一读：阅读课本P 14-P 16 想一想: 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2. 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 把常数项移到方程右边，得 配方，得 即2224()24b b ac x a a -+= 当 0≥时 ，2422b b ac x a a -+=± 即42b b ac x a -±-= 。 3.在上述配方过程中，若240b ac -≥＜ 0时，方程有实数根吗？ 练一练： 1.方程4-x 2=3x 中a= ，b= ，c= ， b 2-4ac= 2. 用公式法解方程0232 =+-x x 【新知归纳】 一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax
（1） 当_____________时，它的实数根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根 公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （2） 当_____________时，方程没有实数根。 【例题教学】 例1.用公式法解方程： （1）22330 x x -+= （2）x x 2322=- （3）a a a =-+)2)(2(51 （4）23(1)y y += 例2.已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？ 【当堂训练】 1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x=21214412-± B. x=2 1214412-±- C. x= 21214412+± D. x=64814412-± 2.用公式法解下列方程： （１）2220x x +-=； （２）2 30x x -=
一元n次方程的求根公式a
一元 n 次方程的求根公式（一） 寻玉殿 当n 为不小于5的奇数时，一元n 次实系数方程 12 32 2 24 36 120 n n n n n n x nAx t A x t A x t A x B -----++++++= 有解，且必有一根为x = + 。 其中自然数i 满足3 21n i -≤≤，对于不同的奇数n ，i t 是特定的常数。 特别的（1）当5n =时， 15t = 原方程化为 532550 x Ax A x B +++= 则此方程必有一根为 5 x = + 。 （2）当7n =时，114t = 27t = 原方程化为 7523371470 x Ax A x A x B ++++= 则此方程必有一根为 x = + 。
（3）当9n =时，127t = 230t = 39t =原方程化为 97253349273090 x Ax A x A x A x B +++++= 则此方程必有一根为x = + 。 （4）当11n =时，144t = 277t = 355t = 411t = 原方程化为 119273543511447755110 x Ax A x A x A x A x B ++++++= 则此方程必有一根为 x = + 等等！ 对于不同的奇数n ，有着相对应之特定的i t 值，就决定了这套5至n 次 系列高次方程的存在形式及数学模型。
而对于n为偶数时，只要设 2 y x ，依然可以采用此套求根公式！ 所以这一套高次方程的模型不一而足，穷尽n次。 此方程的原雏产生于1995年，当时我就其中n等于5时一例在《中学生 数理化》刊物投过稿件，但没有被采纳，所以搞得此方程泥牛入海，一直搁浅至今。当时虽然没有完善到n次，但足以奠定并拓开了我日后的探索之路。本来欲将此高次方程向数学学会申报定理，但由于“黑规矩”肆无忌惮的盗稿窃稿，本人一直心有余悸，畏葸犹豫。几十年的经验总结及对此方程的不断更进完善，方形成这套较令人乐观的数学模型。今天，偶见互联网上已经有涉及此 5次方程课题的文志！唯恐被他人误为抄袭之嫌，所以，挑灯不寐，连夜及时将我这套高次方程的数学模型整理打印出炉，大白于天下，作为我申报定理的一个-“前哨站”，希望互联网有一片正大光明的天地为我们莘莘学子的科学探索之路打开通途。 作者寻玉殿 2017年5月3日星期三整理完毕
一元四次方程求根公式(精度高)
目录 前言 一·一元三次方程求根公式 二·笛卡尔待定系数法结合一元三次方程韦达定理 三·费拉里配方法 四·误差计算方法 五·两个求根公式精度对比 六·计算器使用注意事项 附录一·一元四次方程有一三重根时的另一种求根公式 附录二·一元四次方程有一对重根时的另一种求根公式 附录三·43x x 取第一种算法的证明过程 附录四·费拉里配方法的详细计算过程
前言 该文档是在word2003编辑的，如果用更高版本的word 浏览或编辑，某些数学公式可能无法正常显示。 一元四次方程有两种解法，一种是笛卡尔待定系数法，一种是费拉里配方法。两种解法都需要求解一元三次方程。因此先介绍一元三次方程的解法。 在求根公式计算过程中，经常会发生相近数相减，因此精度会随之下降，这里给出两个数发生相近数相减的判定条件： 将两个数写成a+b 的形式，在判断是否发生相近数相减前，先计算两个中间变量b a i +， b a d +： 1·0≥ab 0=+b a i ，b a d +=1 2·0 一元三次方程的一般形式： ()033212000 0a y a y a y a ,a +++=≠ 将（0）式首一化，得 ()3212301y a y a y a +++= 用新未知数x y α=-替代y ，对（1）式进行变换，得 ()()()322321121233320x a x a a x a a a αααααα+++++++++= 取113a α=-，可使2x 项消失，如此得到 ()30 2x px q ++= 此处2321312111233 27p a a ,q a a a a =-=-+ 令 x u v =+ 则得 ()()33333333x u v uv u v u v uvx =+++=++ 将（3）式与（2）式比较系数可知 ()3334uv p ,u v q =-+=- 仔细观察（4）式可以发现，3u 与3v 是一元二次方程3203p z qz ??+-= ??? 的根， 利用一元二次方程的求根公式，有 3 12q u R =-= 3 22q v R =- 又 x u v =+ 所以，可以解得 x =, 即 x = 这就是求解一元三次方程的求根公式，也叫Cardan 公式 （但要注意讨论23 427 q p ?=+的取值，当为负值时，给出的则为复数根；具体讨论情况略） 一元四次方程的一般形式： 1432023400 0a y a y a y a y a a ++++=≠ 将其首一化，得 14322340y a y a y a y a ++++= 以14 a y x =-代入，则可化为 420x px qx r +++= 此处 23422121213111343 1311882256164 a a p a a ,q a a ,r a a a a a a =-+=-+=-+-+ 由于恒等式 22422222024p p x px qx r x qx r x p ,αααα??+++=++++----= ??? 故原方程转化为 ()2222220524p p x x qx p r αααα??????++--++-+=?? ? ??????? 取适当的α使关于x 的二次方程22 2204p x qx p r ααα??-++-+= ???有重根，亦即 22 24204p q p r ?ααα??=-?+-+= ??? 而232 288804p p r q ?ααα??=----+= ???是实系数一元三次方程，解该方程，它有三个根，设其任一根为()123i i ,,α= 将i α代入（5）式得 2222024i i i p q x x ααα????++--= ? ???? ?，将其分解为以下两个方程 222424i i i i p q x x p q x x αααα????++=-?? ??????????++=-? ?????? 分别解以上两个一元二次方程，即可得到原一元四次方程的四个实根。 （注：此处也要注意讨论参数的取值范围，详细讨论过程略） 参考《高等数学引论》 华罗庚著 一元高次方程的漫漫求解路 若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程 2 0,0,ax bx c a ++=≠ ① 由韦达定理，①的根可以表示为2b x a -±=。 若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？ 数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ n 次方程的一般表达式是 101100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠。当系数01,,a a 1,,n n a a -???都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。 1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。” 代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程 1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++???++= ② 一元二次方程求根公 式 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往 能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程 ；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若 配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑 运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才 能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 高次方程求根公式的故事 1545年意大利学者卡丹将一元三次方程ax3 +bx2+cx+d=0的求根公式公开发表，后来人们就把它叫做“卡丹公式（也有人译作“卡尔丹公式”）。事实上，发现公式的人并不是卡丹本人，而是塔尔塔利亚。 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了。他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。 后来，意大利医生兼数学家卡丹请求塔尔塔利亚把解方程的方法告诉他，但遭到了拒绝。尽管卡丹千方百计地想探听塔尔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔尔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓对此保守秘密，于是塔尔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。 六年后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作中将经过改进的三次方程的解法公开发表。他在书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友——布里西亚的塔尔塔利亚。塔尔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为“卡丹公式”，而塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。 卡丹没有遵守誓言，因而受到塔尔塔利亚及许多文献资料的指责。但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔尔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作对塔尔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。 一元三次方程应有三个根。塔尔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大一元三次、四次方程的一般解法
一元高次方程求解方法
一元二次方程求根公式讲解学习
高次方程求根公式的故事