D ．f (a )f (b )>1
6．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )
A ．20
B ．18
C ．3
D ．0
7．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．
8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．
9．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．
10．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值1
2
.
(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．
11．(2012·重庆高考)设f(x)＝a ln x＋1
2x＋3
2x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))
处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．
1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )
2．(2012·沈阳实验中学检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )F (2x －1)的实数x 的取值范围是( )
A ．(－1,2) B.????－1，1
2 C.????12，2
D ．(－2,1)
3． (2012·湖北高考)设函数f (x )＝ax n (1－x )＋b (x >0)，n 为正整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.
(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的最大值．
1．(2012·重庆高考)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
2．(2012·山西联考)已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax (a ∈R)．
(1)当a ＝0时，求f (x )的极值；(2)求f (x )的单调区间．
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用 导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。 导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。 1．导数与函数的极值、最值解读 函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。 函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。 最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。 2．导数在实际生活中的应用解读 生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。 例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602 x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23 2 60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的
导数的简单应用
第三讲导数的简单应用 考点一导数的几何意义1．导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(a x)′＝a x ln a(a>0)； (4)(log a x)′＝1 x ln a(a>0，且a≠1)． 2．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [对点训练] 1．(2018·兰州质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为() A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3) [解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1， ∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x －1上，故选C. [答案]C 2．(2018·大同模拟)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()
A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0 [解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0＝x 30－2x 0，则曲线在(x 0，y 0) 处的切线斜率为y ′＝3x 20－2，当x 0＝1时斜率为1，切线方程为x － y －2＝0，当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1 ＝x 20＋x 0－1＝3x 20－2，解得x 0＝－12，其斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1 ＝0，所以A 正确，故选A. [答案] A 3．(2018·西安质检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 [解析] 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以 令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点 (1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B. [答案] B 4．若曲线y ＝x 在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a ＝________. [解析] y ＝x ＝x 12 ，∴y ′＝12x －12 ，于是曲线在点(a ，a )处的 切线方程为y －a ＝1 2a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2；令y ＝0，得x
高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习p
集合与函数、导数部分易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{}1|2-=x y x 、{ }1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：()0122>--b x a ？ 6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对 称轴进行讨论了吗？ 7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射？ [问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个 A 到 B 上的一一映射. 9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的 图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]() 22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位） [问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =. 10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。 12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法） 13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒 成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？ [问题]：写出函数)0()(>+=m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？ [问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？ 例题讲解 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 【错解】A ?B ?? ?≤-+≤-?5 1212m m ，解得：33≤≤m － 【分析】忽略A =φ的情况.
高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版.doc
2012-2017 年高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版
学科教师辅导教案 学员姓名年级高三辅导科目数学 授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日： —： 历年高考试题汇编（文）——导数及应用 1．（2014 大纲理）曲线y xe x 1在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ） A ．2e B．e C．2D．1 2.(2014 新标 2 理) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= （ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.( 2013 浙江文 ) 已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图 象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 ( B ) 4．（2012 陕西文）设函数 f（x）= 2x +lnx 则（ D ）A ．x= 1为 f(x) 的极大值点B．x= 1为
f(x) 的极小值点 C．x=2 为 f(x) 的极大值点D．x=2 为 f(x) 的极小值点 5.(2014 新标 2 文) 函数f (x)在x x0 处导数存在，若p : f ( x0 )0 ： q : x x0是 f ( x) 的极值点，则 A ．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是 q 的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 【答案】 C 6．（2012 广东理）曲线y x3 x 3 在点 1,3 处的切线方程为 ___________________. 【答案】 2x-y+1=0 7．（2013 广东理）若曲线y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于 x 轴，则k 【答案】 -1 8．（2013 广东文）若曲线y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a ． 【答案】1 2 9 ． ( 2014 广东文 ) 曲线y 5 e x 3 在点 (0, 2) 处的切线方程为.
导数在经济学中的应用
引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多
自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一 一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
教育高中数学一对一冲刺课程专题简介
高中数学一对一冲刺课程专题简介 第一讲集合 第二讲函数概念与基本初等函数(基础理论,重难点,高考考点) §2.1函数及其表示 §2.2函数的基本性质 §2.3一次函数和二次函数 §2.4指数与指数函数 §2.5对数与对数函数 §2.6幂函数 §2.7函数的图象 §2.8函数的值域和最值 §2.9函数的应用 第三讲立体几何初步(基础理论,重难点,高考考点) §3.1空间几何体的结构、三视图和直观图 §3.2空间几何体的表面积和体积 §3.3点、线、面的位置关系 §3.4直线、平面平行的判定与性质 §3.5直线、平面垂直的判定与性质 第四讲平面解析几何初步(基础理论,重难点,高考考点) §4.1直线方程和两条直线的位置关系 §4.2圆的方程 §4.3直线与圆、圆与圆的位置关系 第五讲算法初步与框图(基础理论,重难点,高考考点) 第六讲基本初等函数(基础理论,重难点,高考考点) §6.1三角函数的概念 §6.2三角函数的图象和性质 §6.3三角函数的最值与综合应用 §6.4三角恒等变换 §6.5解三角形 第七讲平面向量(基础理论,重难点,高考考点) §7.1向量、向量的加法与减法、实数与向量的积 §7.2向量的数量积和运算律、向量的应用 第八讲数列(基础理论,重难点,高考考点) §8.1数列的概念及其表示 §8.2等差数列及其前n项和 §8.3等比数列的综合应用 §8.4数列的综合应用 第九讲不等式(基础理论,重难点,高考考点) §9.1不等关系与不等式 §9.2一元二次不等式及其解法 §9.3简单的线性规划 §9.4基本不等式 §9.5不等式的综合应用 第十讲计数原理(基础理论,重难点,高考考点) §10.1排列与组合 §10.2二项式定理 第十一讲概率与统计(基础理论,重难点,高考考点)
2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编
导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ，
导数及其应用概念及公式总结
导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数： （1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用 1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y ＝1 3 x 3＋x 在点????1，43处的切线与坐标轴围成的 三角形面积为________． 解析：曲线y ＝1 3x 3＋x 在点????1，43处的切线斜率为y ′|x ＝1＝????13x 3＋x ′x ＝1＝(x 2＋1)|x ＝1 ＝2，所以切线的方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －2 3 ，与x 轴的交点和y 轴的交点为 ????13，0，????0，－23，所求面积为S ＝12×13×23＝19 . 答案：1 9 2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值 点， 则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实 根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1， 即m <－1 2. 答案：m <－1 2 3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0,1]上恒 为单调函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由题意知，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2 ＋2x ＋a x ， ∵f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f ′(x )在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0， ∴2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0,1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2 ＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a ≥0或a ≤－4. 答案：a ≥0或a ≤－4 4．已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＞0，f ′(x )＞0，则函数y ＝xf (x )的递增区间 是________． 解析：当x ＞0时，y ′＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，∴y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增． 又f (x )为奇函数，∴y ＝xf (x )为偶函数，∴y ＝xf (x )在(－∞，0)上递减． 答案：(0，＋∞) 5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元， 已知总收益R 与年产量x 的关系是
专题一 第4讲 导数的简单应用
第4讲 导数的简单应用 [考情分析] 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 考点一 导数的几何意义与计算 核心提炼 1．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)?? ?? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 2．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 例1 (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值为( ) A.74 B ．－74 C.94 D ．－94 答案 B 解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)－1x ， 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－1 2， 解得f ′(2)＝－7 4 . (2)(2020·北京通州区模拟)直线l 经过点A (0，b )，且与直线y ＝x 平行，如果直线l 与曲线y ＝x 2相切，那么b 等于( ) A ．－14 B ．－12 C.14 D.12
答案 A 解析 直线l 经过点A (0，b )，且与直线y ＝x 平行，则直线l 的方程为y ＝x ＋b ，直线l 与曲线y ＝x 2相切，令y ′＝2x ＝1，得x ＝12，则切点为????12，14，代入直线l 的方程，解得b ＝－14. 易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． 跟踪演练1 (1)(2020·内蒙古自治区模拟)曲线y ＝(ax ＋2)e x 在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋b ，则ab 等于( ) A ．－4 B ．－8 C ．4 D ．8 答案 B 解析 y ′＝e x (ax ＋2＋a )， 故k ＝y ′|x ＝0＝2＋a ＝－2，解得a ＝－4， 又切线过点(0,2)，所以2＝－2×0＋b ， 解得b ＝2，所以ab ＝－8. (2)直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切，则a 等于( ) A ．e B ．2e C ．1 D ．2 答案 C 解析 设切点为(n ，a e n ＋n )，因为y ′＝a e x ＋1， 所以切线的斜率为a e n ＋1， 切线方程为y －(a e n ＋n )＝(a e n ＋1)(x －n )， 即y ＝(a e n ＋1)x ＋a e n (1－n )， 依题意切线方程为y ＝2x ＋1， 故????? a e n ＋1＝2，a e n (1－n )＝1， 解得a ＝1，n ＝0. 考点二 利用导数研究函数的单调性 核心提炼 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．
2015年高中数学导数解答题尖子生辅导(有答案)
高中数学导数尖子生辅导 一．解答题（共30小题） 1．（2014?遵义二模）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）证明：f（x2）＞． ，其对称轴为 ，得 ，∴ ）当）在 减．∴ 2．（2014?武汉模拟）己知函数f（x）=x2e﹣x （Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
． ）设切点为（ ﹣ ， 的斜率为负数，∴（ 时， ，解得 时，）单调递增；当 时，函数）取得极小值，也即最小值，且= ）∪ 3．（2014?四川模拟）已知函数f（x）=lnx+x2． （Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值； （Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．
结合题意，列出方程组，证得函数 ，，当且仅当 ∴，可得 ，令 ， ，得 ∵，∴ ）单调递减；若当）取得极小值，极小值为 ，由④ 式变为 所以函数
，即，也就是 4．（2014?河西区三模）已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0，且f′（x） ≥0在R上恒成立． （1）求a，c，d的值； （2）若，解不等式f′（x）+h（x）＜0； （3）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由． ∴x+c，有 上恒成立，即 =a ，于是由二次函数的性质可得 ，解得：， ）∵．∴ 时，解集为（时，解集为（）时，解集为 ）∵，∴= ∴
《导数及其应用》文科单元测试题(详细答案)
《导数及其应用》单元测试题（文科） （满分：150分时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）1．函数的导数是（） (A)(B)(C) (D) 2．函数的一个单调递增区间是（） (A) (B) (C) (D) 3．已知对任意实数，有，且时，，则时（） A．B． C．D． 4．若函数在内有极小值，则（） （A）（B）（C）（D） 5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（） A． B． C． D． 6．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 7．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
8．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（） A．B．C．D． 9．设在内单调递增，，则是的（） Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件 10．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）（A）y （B） （C） （D）O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分） 11．函数的单调递增区间是＿＿＿＿． 12．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为
，则＿＿． 13．点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是 14．已知函数 (1)若函数在总是单调函数，则的取值范围是. (2)若函数在上总是单调函数，则的取值范围. （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是. 三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 16．设函数在及时取得极值．
导数及其应用.知识框架
要求层次重难点 导数及其应用导数概念及其 几何意义 导数的概念A了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义． 导数的几何意义C 导数的运算 根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数． 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数）B 导数公式表C 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其 中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其 中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式 函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题B 定积分与微积 分基本定理 定积分的概念A了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 微积分基本定理A 高考要求 模块框架 导数及其应用
了解微积分基本定理的含义． 一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '． 知识内容 x 0x y x O D C B A
高中数学培训班一对一辅导答题技巧
高中数学培训班一对一辅导答题技巧怎么让数学这个科目变成自己的优势呢？其实，高中数学要变成优势并不难。接下来一对一辅导教你如何进行高三复习？ 高三的数学教材是人教版，只有54页，好像就一个最基本的导数和统计，不知道大家现在是不是也用的这本书。这个别落下，估计可以拿到8分左右。 这个几十页的教材学完后，就开始复习了。若平时只有三四十分，说明有很多最基本解题思路的都是没有掌握的。如果把这些最基本的答题技巧都掌握了的话，效果肯定会好很多。 高三一对一辅导一般来说，老师会分三轮复习，第一轮是细到每个知识点的复习（我觉得基本上就是快速的讲一轮新课了）；第二轮是梳理一遍，整理归纳；第三轮式 选择题 一、易错点归纳： 九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。 针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。 二、答题方法：
选择题十大速解方法： 排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法; 填空题四大速解方法： 直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。 解答题 专题一、三角变换与三角函数的性质问题 1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h ④结合性质求解。 2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。 专题二、解三角形问题 1、解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。 (2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。 2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。③求结果。④再反思：在实施边角
导数的概念及其应用
导数的概念与计算 一、基础知识 1、几何意义：函数)(x f y =在点x=0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）. (2) 1 )'(-=n n nx x . (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 4、导数的运算法则 （1）)(')('))'()((x g x f x g x f ±=± （2）)(')()()('))'()((x g x f x g x f x g x f += （3）) () (')()()(')')()(( 2 x g x g x f x g x f x g x f -=. 备注：准确理解曲线的切线，需注意的两个方面： （1）直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点． （2）曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3 在其过（0,0）点的切线y ＝0的两侧． 二、典型例题 1、求曲线132 3 +-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程 2、若直线y=x 是曲线ax x x y +-=233的切线，则a= 3、若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 导数几何意义的应用，需注意以下两点： (1) 当曲线y ＝f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0； (2) 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝f ′（x 0）（x －x 0）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 4、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e )＋ln x ，则f(e )＝________ 三、随堂练习 1、（2016年全国II 卷） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.当 4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程 2、（2016年全国III 卷）已知为偶函数，当 时， ，则曲线在点处的切线方程式 _____________________________. 3、[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则 a ＝________． 4、[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________． 5、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.求b ； 6、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.求a ； 7、[2012·课程标准卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 8、[2011·课标全国卷] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x ，曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.求a ，b 的值； 导数的综合应用 ()f x 0x ≤1()x f x e x --=-()y f x =(1,2)
导数在实际生活中的应用1教案
导数在实际生活中的应用1 教学目标 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题 教学过程 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方 面： （1）与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题。 2、解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域， 通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 3三．例题讲解 4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的 尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为 128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++> 求导数，得'2512()2S x x =-。 令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。 于是宽为128128816x ==。
全国版2022高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2讲导数的简单应用试题1理含解析
第三章 导数及其应用 第二讲 导数的简单应用 练好题·考点自测 1.[2021陕西模拟]若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是( ) A .(-∞,-2] B .(-∞,-1] C .[2,+∞) D .[1,+∞) 2.下列说法错误的是( ) A.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 B.若x 0是可导函数y =f (x )的极值点,则一定有f'(x 0)=0 C.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值 D.函数f (x )=x sin x 有无数个极值点 3.[2020安徽安庆一中5月模拟]函数y =f (x )的导函数的图象如图3-2-1所示,给出下列命题: ①(0,3)为函数y =f (x )的单调递减区间; ②(5,+∞)为函数y =f (x )的单调递增区间; ③函数y =f (x )在x =0处取得极大值; ④函数y =f (x )在x =5处取得极小值. 其中正确的命题序号是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③④ 4.[2017全国卷Ⅱ,11,5分][理]若x =-2是函数f (x )=(x 2 +ax -1)e x -1 的极值点,则 f (x )的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e -3 D.1 5.[2021河南省名校第一次联考]已知函数f (x )=x (x -c )2 在x =2处取极大值,则c = . 6.[2021武汉市部分学校质检]设函数f (x )=ln 1+sinx 2cosx 在区间[-π4,π 4]上的最小值和最大值分别为m 和M ,则 m +M = . 拓展变式 1.[2020全国卷Ⅰ,21,12分][理]已知函数f (x )=e x +ax 2 -x. (1)当a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)当x ≥0时,f (x )≥1 2x 3 +1,求a 的取值范围. 2.已知函数g (x )=1 3x 3 -a 2x 2 +2x +5. (1)若函数g (x )在(-2,-1)内单调递减,则a 的取值范围为 ;
