第四章 向量组的线性相关性测试题

第四章 向量组的线性相关性测试题

一、选择题

1．下列向量组线性无关的是（ ）。 A. (1,-1,0,2)，(0,1,-1,1)，(0,0,0,0)； B. (a,b,c)，(b,c,d)，(c,d,a)，(d,a,b)； C. (a,1,b,0,0)，(c,0,d,1,0)，(e,0,f,0,1)； D. (1,2,1,5)，(1,2,1,6)，(1,2,3,7)，(0,0,0,1)。

2．设向量组1234,,,αααα线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）。 A. 12233441,,,;αααααααα---- B. 12233441,,,;αααααααα++++ C. 12233441,,,;αααααααα++-- D. 12233441,,,.αααααααα+--- 3．设向量组β可由向量组12,,,m ααα线性表示，但不能由向量组

(I)：121,,

,m ααα-线性表示，记向量组(II): 121,,

,,m αααβ-，则( )。

A. m α不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示；

B. m α不能由(I)线性表示，但能由(II)线性表示；

C. m α能由(I)线性表示，也能由(II)线性表示；

D. m α能由(I)线性表示，但不能由(II)线性表示。 4. 设向量组 (I)：12,,,r ααα可由向量组(II)：12,,

,s βββ线性表示，则

（ ）。

A. 当 r

B. 当 r>s 时，向量组(II)必线性相关；

C. 当 r

D. 当 r>s 时，向量组(I)必线性相关。 5. 下列向量组中，线性无关的是（ ）。

A. (1,2,3,4)，(4,3,2,1)，(0,0,0,0)；

B. (a,b,c)，(b,c,d)，(c,d,e)，(d,e,f)；

C. (a,1,b,0,0)，(c,0,d,2,3)，(e,4,5,5,6)；

D. (a,1,2,3)，(b,1,2,3)，(c,4,2,3)，(d,0,0,0)。

6．向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ）。

A. 12312,,,k αααββ+线性无关；

B. 12312,,,k αααββ+线性相关；

C. 12312,,,k αααββ+线性无关；

D. 12312,,,k αααββ+线性相关。 7．设12,,

,m ααα是n 维向量组，下列命题中正确的是（ ）。

A. 如m α不能由121,,,m ααα-线性表示，则12,,

,m ααα线性无关；

B. 如12,,

,m ααα线性相关，m α不能由121,,

,m ααα-线性表示，则

121,,

,m ααα-线性相关；

C. 如12,,,m ααα中，任意m-1个向量都线性无关，则12,,

,m ααα线性

无关；

D. 零向量不能由12,,

,m ααα线性表示。

8．设 A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则当m>n 时，方阵 AB 的秩（ ）。 A. 大于 m ；B. 等于 m ； C. 小于 m ； D. 不小于 m 。 9．设 123,,ξξξ为3R 的一组基，则下列向量组中仍为3R 的一组基的是（ ）。

A. 1232123,2,ξξξξξξξ++--+-；

B. 122313,,ξξξξξξ+++；

C. 122313,,22ξξξξξξ-++；

D. 1312123,,2ξξξξξξξ++++。 10．设 A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则( )。

A. 当 n>m 时，AB 的行向量组线性无关；

B. 当 n>m 时，AB 的列向量组线性相关；

C. 当 m>n 时，AB 的行向量组线性无关；

D. 当 m>n 时，AB 的列向量组线性相关。

11．设123,,ααα是向量空间3R 的一组标准正交基，下列向量组中仍是3R 的一组标准正交基的是（ ）。

A. 122331,,αααααα+++；

B. 122331,,αααααα---；

C. 122212221

123123123333333333,,ααααααααα-++-++-； D. 111111122331222222,,αααααα+++。

12．向量组123,,ααα与向量组123,,βββ等价的充分必要条件是（ ）。 A. 123123(,,)(,,)r r αααβββ=； B.

123123123(,,)(,,,,,)r r ααααααβββ=；

C. 123123123(,,)(,,,,,)r r βββαααβββ=；

D. 123123123123(,,)(,,)(,,,,,)r r r αααβββαααβββ==。

13. 设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，AB 为可逆矩阵，且m n ≠，则下列结论正确的是（ ）。

A. A 的行向量组线性相关；

B. A 的列向量组线性无关；

C. B 的行向量组线性无关；

D. B 的列向量组线性无关； 二、填空题

1．设123(3,5,6),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)T T T T βααα=-===--，则将向量β表示成123,,ααα的线性组合，为 . 2．判断下述向量组的线性相关性：

（1）123(1,1,1),(1,2,3),(1,6,3)T T T ααα===，123,,ααα是线

性 .

（2）123(1,2,3),(1,4,1),(1,14,7)T T T ααα==-=，123,,ααα是线性 .

3．设112223334441,,,b a a b a a b a a b a a =

+=+=+=+，则向量组1234,,,b b b b 线

性 .

4．设123(1,1,0),(1,1,1),(2,,)T T T a b ααα===，则当a = 时，123,,ααα线性无关.

5．矩阵112210

21

5

1203131

1041?? ?-

?

?- ?

-??

列向量组的一个最大无关组是 ，及秩为 .

6．设向量组B 能由向量组A 线性表示，则()R A 与()R B 一定满足 .

7．设A 是43?的矩阵，()2R A =，102020103B ?? ?

= ? ?-??，则

()R AB = .

8．已知向量组1234,,,αααα线性无关，则（1）向量组

1223344,,,a a a a a a a a ++++线性 ，（2）向量组12233

44

,,,a a a a a a a a ++

+-线性 . 9．{

}11211(,,),

,,0T n n n V x x x x x x R x x ==∈+

+=，问1V 是不是向

量空间？

10．2V ={

}1211(,,),

,,1T n n n x x x x x x R x x =∈+

+=，问2V 是不是

向量空间？

11．1(1,1,0)α=，2(1,0,1)α=，3(0,1,1)α=是一组基，则(2,0,0)u =在这组基下的坐标是 。

12.（1）若12,ξξ是AX=0的解，则12a b ξξ+是 的解。 （2）若12,ηη是AX=b 的解，则1

2

12()ηη+是 的解；12ηη-是 的解。

13.从2R 的基1211,,01αα????== ? ?-????到基1211,12ββ????

== ? ?????的过渡矩阵

为 。

14.Ａ，Ｂ均为m n ?矩阵，且齐次线性方程组0Ax =的解均为0Bx =的解，

则R(A)与R(B)一定满足R(A) R(B)。 三、计算题

1. 求下列向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量用这个最大线性无关组线性表示：

()()()1231,2,1,3,4,1,5,6,1,3,4,7T T T

ααα==---=---。

2.求123412341

2342320

354_20876_30

x x x x x x x x x x x x --+=??

++=??++=?的基础解系及通解。

3.求123412341

23452311

53612426

x x x x x x x x x x x x -+-=??

++-=-??+++=-?的一个特解及对应齐次方程的基础解系，并

求其通解。

4.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为３，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且1(2,3,4,5)T η=，23(1,2,3,4)T ηη+=，求其通解。

5.已知4阶方阵()1234,,,A αααα=，1234,,,αααα均为4维列向量，其中

234,,ααα线性无关，且1232ααα=-，如果1234βαααα=+++，求线性方

程组Ax β=的通解。 四、证明题

1.设1121212,,,r r b a b a a b a a α==+=++

+，且向量组12,,

,r a a α线性

无关，证明向量组12,,

,r b b b 线性无关。

2. 设Ａ，Ｂ都是n 阶矩阵，且ＡＢ＝０。证明()()R A R B n +≤。

3. 设A *是n 阶方阵Ａ的伴随矩阵，证明()()()(),1101n R A n R A R A n R A n *?=?

==-??<-?

，，。

4. 设A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，且m n >，证明0AB =。