[状元桥]2016届高三数学(理)二轮复习:解答题专练(五)——函数与导数

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[状元桥]2016届高三数学(理)二轮复习:解答题专练(五)——函数与导数

解答题专练(五)——函数与导数

(见学生用书P 196)

1.(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l .如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角

坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y =a x 2+b

(其中a ,b 为常数)模型. (1)求a ,b 的值;

(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t .

①请写出公路l 的长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.

解析:(1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入y =

a x 2+

b , 得???a 25+b =40,a 400+b

=2.5,解得?????a =1 000,b =0. (2)①由(1)知,y =1 000x 2(5≤x ≤20),则点P 的坐标为? ??

??t ,1 000t 2, 设在点P 处的切线l 分别交x ,y 轴于A ,B 点,y ′=-2 000x 3,

则l 的方程为y -1 000t 2=-2 000t 3(x -t ),

由此得A ? ????3t 2,0,B ? ??

??0,3 000t 2. 故f (t )=

? ????3t 22+? ????3 000t 22 =32t 2+4×106

t 4,t ∈[5,20].

②设g (t )=t 2+4×106t 4,则g ′(t )=2t -16×106t 5.

令g ′(t )=0,解得t =10 2.

当t ∈(5,102)时,g ′(t )<0,g (t )是减函数;

当t ∈(102,20)时,g ′(t )>0,g (t )是增函数.

从而,当t =102时,函数g (t )有极小值,也是最小值,所以g (t )min =300,此时f (t )min =15 3.

故当t =102时公路l 长度最短,为153千米.

2.(2015·江苏卷)已知函数f (x )=x 3+ax 2+b (a ,b ∈R ).

(1)试讨论f (x )的单调性;

(2)若b =c -a (实数c 是与a 无关的常数),当函数f (x )有三个不同

的零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪? ????1,32∪? ??

??32,+∞,求c 的值.

解析:(1)f ′(x )=3x 2+2ax ,令f ′(x )=0,解得x 1=0,x 2=-2a 3.

当a =0时,因为f ′(x )=3x 2>0(x ≠0),所以函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增;

当a >0时,若x ∈? ??

??-∞,-2a 3∪(0,+∞), 则f ′(x )>0,若x ∈? ??

??-2a 3,0,则f ′(x )<0, 所以函数f (x )在? ????-∞,-2a 3,(0,+∞)上单调递增,在? ??

??-2a 3,0上单调递减;

当a <0时,若x ∈(-∞,0)∪? ??

??-2a 3,+∞. 则f ′(x )>0,若x ∈? ??

??0,-2a 3,则f ′(x )<0, 所以函数f (x )在(-∞,0),? ????-2a 3,+∞上单调递增,在?

????0,-2a 3上单调递减.

(2)由(1)知,函数f (x )的两个极值为f (0)=b ,f ? ??

??-2a 3=427a 3+b ,则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ? ????-2a 3=b ? ??

??427a 3+b <0, 从而???a >0,-427a 3<b <0,或???a <0,

0<b <-427a 3.

又b =c -a ,所以当a >0时,427a 3-a +c >0或当a <0时,427a

3-a +c <0.

设g (a )=427a 3-a +c ,因为函数f (x )有三个零点时,a 的取值范围

恰好是(-∞,-3)∪? ????1,32∪? ??

??32,+∞, 则在(-∞,-3)上,g (a )<0,且在? ????1,32∪? ??

??32,+∞上,g (a )>0均恒成立,

从而g (-3)=c -1≤0,且g ? ??

??32=c -1≥0, 因此c =1.

此时,f (x )=x 3+ax 2+1-a

=(x +1)[x 2+(a -1)x +1-a ],

因函数f (x )有三个零点,

则x 2+(a -1)x +1-a =0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a -1)2-4(1-a )=a 2+2a -3>0,且(-1)2-(a -1)+1-a ≠0,

解得a ∈(-∞,-3)∪? ????1,32∪? ??

??32,+∞. 综上,c =1.

3.(2015·陕西模拟)设函数f (x )=e x -ax -1.

(1)若函数f (x )在R 上单调递增,求a 的取值范围;

(2)当a >0时,设函数f (x )的最小值为g (a ),求证:g (a )≤0;

(3)求证:对任意的正整数n ,都有1n +1+2n +1+3n +1+…+n n +1<(n +1)n +1.

解析:(1)由题意知f ′(x )=e x -a ≥0对x ∈R 均成立,又e x >0(x ∈R ),故a 的取值范围为a ≤0.

(2)由a >0,及f ′(x )=e x -a 可得,

函数f (x )在(-∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,+∞)上单调递增, 故函数f (x )的最小值为g (a )=f (ln a )=e ln a -a ln a -1=a -a ln a -1,则g ′(a )=-ln a ,

故当a ∈(0,1)时,g ′(a )>0,当a ∈(1,+∞)时,g ′(a )<0, 从而可知g (a )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 又g (1)=0,故g (a )≤0.

(3)当a =1时,f (x )=e x -x -1,由(2)可知,e x -x -1≥0,当且仅当x =0时等号成立.

∴当x ≠0时,总有e x >x +1.

于是,可得当x ≠0时,(x +1)n +1<(e x )n +1=e (n +1)x (n ∈N *).

令x +1=1n +1,即x =-n n +1,可得? ??

??1n +1n +1<e -n ; 令x +1=2n +1,即x =-n -1n +1,可得? ??

??2n +1n +1<e -(n -1); 令x +1=3n +1,即x =-n -2n +1,可得? ??

??3n +1n +1<e -(n -2); …

令x +1=n n +1,即x =-1n +1,可得? ??

??n n +1n +1<e -1. 对以上各式求和可得:? ????1n +1n +1+? ????2n +1n +1+? ??

??3n +1n +1+…+? ??

??n n +1n +1<e -n +e -(n -1)+e -(n -2)+…+e -1=e -n (1-e n )1-e =e -n -11-e =1-e -n e -1<1e -1

<1. 故对任意的正整数n ,都有1n +1+2n +1+3n +1+…+n n +1<(n +1)n +1.

4.(2014·长郡二模)已知函数f (x )=a x +x 2-x ln a (a >0且a ≠1).

(1)求函数f (x )的单调区间;

(2)a >1,证明:当x ∈(0,+∞)时,f (x )>f (-x );

(3)若对任意x 1,x 2,x 1≠x 2,且当f (x 1)=f (x 2)时,有x 1+x 2<0,求a 的取值范围.

解析:(1)f ′(x )=a x ·ln a +2x -ln a ,

令g (x )=f ′(x ),

∴g ′(x )=a x (ln a )2+2>0,

∴g (x )是(-∞,+∞)上的增函数,

∵g (0)=0,

∴x >0时,g (x )>g (0)=0,此时f ′(x )>0,

x <0时,g (x )

∴f (x )在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递增.

(2)设h (x )=f (x )-f (-x )=a x -a -x -2x ln a ,

∴h ′(x )=(a x +a -x )ln a -2ln a ,

∵a >1,故ln a >0,

∴h ′(x )≥2a x ·a -x ln a -2ln a =2ln a -2ln a =0, ∴h (x )在(0,+∞)上单调递增;

∴h (x )>h (0)=0,

即x ∈(0,+∞)时,f (x )>f (-x ).

(3)由于x 1≠x 2,且f (x 1)=f (x 2),

由(1)知x 1,x 2异号,不妨设x 1<0,x 2>0,

则x 1,-x 2∈(-∞,0),

由(2)知:当a >1时,f (x 1)=f (x 2)>f (-x 2),

∵x ∈(-∞,0)时,f (x )单调递减,

故x 1<-x 2,

∴x 1+x 2<0,即a >1适合题意;

当0

由(2)知h (x )=a x -a -x -2x ln a ,

h ′(x )=(a x +a -x )ln a -2ln a ≤2ln a -2ln a =0, ∴h (x )在(0,+∞)上单调递减,h (x )

故f (x 1)=f (x 2)

∵x ∈(-∞,0)时,f (x )单调递减,

∴x 1>-x 2,x 1+x 2>0,

即0

综上:a >1.

解答题专练(六)——数列

(见学生用书P 197)

1.(2014·江西卷)已知首项是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0.

(1)令c n =a n b n

,求数列{c n }的通项公式; (2)若b n =3n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .

解析:(1)∵a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,c n =a n b n

, ∴c n -c n +1+2=0,

∴c n +1-c n =2,

∵两个数列{a n },{b n }的首项是1,

∴数列{c n }是以1为首项,2为公差的等差数列,

∴c n =2n -1.

(2)∵b n =3n -1

,c n =a n b n

, ∴a n =(2n -1)·3n -1,

∴S n =1×30+3×31+…+(2n -1)×3n -1,

∴3S n =1×31+3×32+…+(2n -1)×3n ,

∴-2S n =1+2·(31+32+…+3n -1)-(2n -1)·3n =-2-(2n -2)3n , ∴S n =(n -1)3n +1.

2.(2014·湖北卷)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列.

(1)求数列{a n }的通项公式.

(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n +800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.

解析:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ),

化简得d 2-4d =0,解得d =0或d =4.

当d =0时,a n =2;

当d =4时,a n =2+(n -1)·4=4n -2,

从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n -2.

(2)当a n =2时,S n =2n .显然2n <60n +800, 此时不存在正整数n ,使得S n >60n +800成立.

当a n =4n -2时,S n =n [2+(4n -2)]2

=2n 2. 令2n 2>60n +800,即n 2-30n -400>0,

解得n >40或n <-10(舍去),

此时存在正整数n ,使得S n >60n +800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的n .

当a n =4n -2时,存在满足题意的n ,其最小值为41.

3.(2014·湖南卷)已知数列{a n }满足a 1=1,|a n +1-a n |=p n ,n ∈N *.

(1)若{a n }是递增数列,且a 1,2a 2,3a 3成等差数列,求p 的值;

(2)若p =12,且{a 2n -1}是递增数列,{a 2n }是递减数列,求数列{a n }

的通项公式.

解析:(1)因为{a n }是递增数列,

所以a n +1-a n =|a n +1-a n |=p n .

而a 1=1,因此a 2=p +1,a 3=p 2+p +1.

又a 1,2a 2,3a 3成等差数列,

所以4a 2=a 1+3a 3,

因此3p 2

-p =0,解得p =13,p =0.

当p =0时,a n +1=a n ,这与{a n }是递增数列矛盾.

故p =13.

(2)由于{a 2n -1}是递增数列,因而a 2n +1-a 2n -1>0, 于是(a 2n +1-a 2n )+(a 2n -a 2n -1)>0.①

但122n <12

2n -1, 所以|a 2n +1-a 2n |<|a 2n -a 2n -1|.②

由①②知,a 2n -a 2n -1>0,

因此a 2n -a 2n -1=? ????122n -1=(-1)2n 22n -1

.③ 因为{a 2n }是递减数列,同理可得a 2n +1-a 2n <0,

故a 2n +1-a 2n =-? ??

??122n =(-1)2n +122n .④ 由③④即知,a n +1-a n =(-1)n +1

2n

. 于是a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)

=1+12-122+…+(-1)n 2n -1

=1+12·1-? ????-12n -11+12

=43+13·(-1)n 2n -1

. 故数列{a n }的通项公式为a n =43+13·(-1)n 2n -1

. 4.已知f (x )=-4+1x 2,点P n ?

????a n ,-1a n +1在曲线y =f (x )上且a 1=1,a n >0(n ∈N *).

(1)求证:数列??????1a 2n 为等差数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)设数列{a 2n ·a 2n +1}的前n 项和为S n ,若对于任意的n ∈N *,存

在正整数t ,使得S n

解析:(1)证明:∵-1a n +1=-4+1a 2n ,∴1a 2n +1-1a 2n =4.

∴????

??1a 2n 是以1为首项,4为公差的等差数列. ∴1a 2n

=4n -3. ∵a n >0,∴a n =

14n -3. (2)令b n =a 2n ·a 2n +1=

1(4n -3)(4n +1) =14? ??

??14n -3-14n +1. ∴S n =b 1+b 2+…+b n

=14? ????1-15+15-19+…+14n -3-14n +1=14? ????1-14n +1<14

, ∵对于任意的n ∈N *,S n

∴14≤t 2-t -12,∴t ≥32或t ≤-12,

∴存在最小的正整数t =2符合题意.

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高三数学高考模拟题 (一) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三数学高考模拟题(一) 一. 选择题(12小题,共60分,每题5分) 1. 已知集合{}{} M N x x x x Z P M N ==-<∈=?13302,,,,又|,那么集合 P 的子集共有( ) A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 16个 2. 函数y x =-的反函数的图象大致是( ) A B C D 3. 已知直线l 与平面αβγ、、,下面给出四个命题: ()//(),()()////12314若,,则若,若,,则若,,则l l l l l ααββαββγαγγγββ αβαβ⊥⊥⊥⊥⊥?⊥⊥? 其中正确命题是( ) A. (4) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (2)(3) 4. 设cos ()31233 x x x =-∈-,且,,则ππ 等于( ) A B C D ....±±±± ππππ 18929518 5. 设a b c a b c =+=-=sin cos cos 1313221426 2 2 ,,,则、、之间的大小关系是( )

A b c a B c a b C a c b D c b a ....>>>>>>>> 6. ()15+x n 展开式的系数和为a x n n ,()572+展开式的系数和为 b a b a b n n n n n n ,则lim →∞-+234等于( ) A B C D ....- --12131 71 7.椭圆 x y M 22 4924 1+=上有一点,椭圆的两个焦点为F F MF MF MF F 121212、,若,则⊥?的面积是( ) A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 8. 已知椭圆x y t 22 1221 1+-=()的一条准线的方程为y =8,则实数t 的值为( ) A. 7和-7 B. 4和12 C. 1和15 D. 0 9. 函数y x x x =+2sin (sin cos )的单调递减区间是( ) A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z .[].[].[].[]28278 27821588 58 3878 ππππ ππππππ ππ ππππ-+∈++∈-+ ∈+ +∈,,,, 10. 如图在正方体ABCD -A B C D 1111中,M 是棱DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A B 11上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角( ) A. 是π4 B. 是π 3 C. 是π 2 D. 与P 点位置有关 1 A 11. 在平面直角坐标系中,由六个点O(0,0)、A(1,2)、B(-1,-2)、C(2,4)、D(-2,-1)、E(2,1)可以确定不同的三角形共有( )

高三数学模拟试题及答案word版本

高三数学模拟试卷 选择题(每小题5分,共40分) 1.已知全集U ={1,2,3,4,5},集合M ={1,2,3},N ={3,4,5},则M ∩(eU N )=( ) A. {1,2} B.{4,5} C.{3} D.{1,2,3,4,5} 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为( ) A. 1 B. i C. -1 D. - i 3.正项数列{a n }成等比,a 1+a 2=3,a 3+a 4=12,则a 4+a 5的值是( ) A. -24 B. 21 C. 24 D. 48 4.一组合体三视图如右,正视图中正方形 边长为2,俯视图为正三角形及内切圆, 则该组合体体积为( ) A. 23 B. 43 π C. 23+ 43 π D. 5434327π+ 5.双曲线以一正方形两顶点为焦点,另两顶点在双曲线上,则其离心率为( ) A. 22 B. 2+1 C. 2 D. 1 6.在四边形ABCD 中,“AB u u u r =2DC u u u r ”是“四边形ABCD 为梯形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设P 在[0,5]上随机地取值,求方程x 2+px +1=0有实根的概率为( ) A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 8.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<2 π ) 的图象(部分)如图所示,则f (x )的解析式是( ) A .f (x )=5sin( 6πx +6π) B.f (x )=5sin(6πx -6π) C.f (x )=5sin(3πx +6π) D.f (x )=5sin(3πx -6 π ) 二、填空题:(每小题5分,共30分) 9.直线y =kx +1与A (1,0),B (1,1)对应线段有公 共点,则k 的取值范围是_______. 10.记n x x )12(+ 的展开式中第m 项的系数为m b ,若432b b =,则n =__________. 11.设函数 3 1 ()12 x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、,则 1234()f x x x x =+++ ; 12、设向量(12)(23)==,,,a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--,c 共线,则=λ 11.2 1 1 lim ______34 x x x x →-=+-. 14. 对任意实数x 、y ,定义运算x *y =ax +by +cxy ,其中 x -5 y O 5 2 5

全国高考数学复习微专题:函数的图像

函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点: 做草图的原则是:速度快且能提供所需要的信息,通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性,对于一个陌生的可导函数,可通过对导函数的符号分析得到单调区间,图像形状依赖于函数的凹凸性,可由二阶导数的符号决定(详见“知识点讲解与分析”的第3点),这两部分确定下来,则函数大致轮廓可定,但为了方便数形结合,让图像更好体现函数的性质,有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来,下面以常见函数为例,来说明作图时常体现的几个信息点 (1)一次函数:y kx b =+,若直线不与坐标轴平行,通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点:两点确定一条直线 信息点:与坐标轴的交点 (2)二次函数:()2 y a x h k =-+,其特点在于存在对称轴,故作图时只需做出对称轴一侧的图像,另一侧由对称性可得。函数先减再增,存在极值点——顶点,若与坐标轴相交,则标出交点坐标可使图像更为精确 特点:对称性 信息点:对称轴,极值点,坐标轴交点 (3)反比例函数:1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞U ,是奇函数,只需做出正版轴图像即可(负半轴依靠对称做出),坐标轴为函数的渐近线 特点:奇函数(图像关于原点中心对称),渐近线 信息点:渐近线 注: (1)所谓渐近线:是指若曲线无限接近一条直线但不相交,则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制,例如在反比例函数中,x 轴是渐近线,那么当x →+∞,曲线无限向x 轴接近,但不相交,则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。 (2)水平渐近线的判定:需要对函数值进行估计:若x →+∞(或-∞)时,()f x →常

【典型题】数学高考模拟试题(带答案)

【典型题】数学高考模拟试题(带答案) 一、选择题 1.已知长方体的长、宽、高分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ) A .25π B .50π C .125π D .都不对 2.()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是( ) A . B . C . D . 3.设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M ?N 中元素的个数为( ) A .2 B .3 C .5 D .7 4.设01p <<,随机变量ξ的分布列如图,则当p 在()0,1内增大时,( ) ξ 0 1 2 P 12 p - 12 2 p A .()D ξ减小 B .()D ξ增大 C .() D ξ先减小后增大 D .()D ξ先增大后减小 5.设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}A =,{2,3,4}B =,则()C U A B ?等于( ) A .{5,6} B .{3,5,6} C .{1,3,5,6} D .{1,2,3,4} 6.已知a 与b 均为单位向量,它们的夹角为60?,那么3a b -等于( ) A 7B 10 C 13 D .4 7.函数()ln f x x x =的大致图像为 ( )

A . B . C . D . 8.已知复数 ,则复数在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 9.已知双曲线C :22221x y a b -= (a >0,b >0)的一条渐近线方程为5 2 y x =,且与椭圆 22 1123x y +=有公共焦点,则C 的方程为( ) A .221810 x y -= B .22145 x y -= C .22 154 x y -= D .22 143 x y -= 10.已知非零向量AB 与AC 满足 0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ? ?? 且1 2AB AC AB AC ?=,则ABC 的形状是( ) A .三边均不相等的三角形 B .等腰直角三角形 C .等边三角形 D .以上均有可能 11.已知ABC 为等边三角形,2AB =,设P ,Q 满足AP AB λ=, ()()1AQ AC λλ=-∈R ,若3 2 BQ CP ?=-,则λ=( ) A . 12 B 12 ± C 110 ± D . 32 2 ± 12.设集合(){} 2log 10M x x =-<,集合{} 2N x x =≥-,则M N ?=( )

高三数学模拟试卷精编(含答案及解析)

高三数学模拟试题 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.) 1.已知集合A ={}1Z x x x ≤∈,,B ={}02x x ≤≤,则A I B = . 答案:{0,1} 考点:集合的运算 解析:∵A ={}1Z x x x ≤∈, ∴A ={﹣1,0,1} ∵B ={}02x x ≤≤ ∴A I B ={0,1} 2.已知复数z =(1+2i)(a +i),其中i 是虚数单位.若z 的实部与虛部相等,则实数a 的值为 . 答案:﹣3 考点:复数的运算 解析:z =(1+2i)(a +i)=a ﹣2+(2a +1)i 由z 的实部与虛部相等得:a ﹣2=2a +1,解得a 的值为﹣3. 3.某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是 . 答案:18 考点:系统抽样方法 解析:根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,已知 其中三个个体的编号为5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为18.

4.3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖,甲、乙两人同时各抽取1张奖券,两人都未抽得特等奖的概率是 . 答案:13 考点:古典概型 解析:甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的情况,其中两人都未抽得 特等奖有2种情况,所以P =2 6 =13 . 5.函数2()log (1)f x x x =+-的定义域为 . 答案:[0,1) 考点:函数的定义域 解析:由题意得:0 10x x ≥??->? ,解得0≤x <1,所以函数的定义域为[0,1). 6.下图是一个算法流程图,则输出的k 的值为 . 答案:3 考点:算法初步 解析:n 取值由13→6→3→1,与之对应的k 为0→1→2→3,所以当n 取1时,

(完整版)高三数学函数专题复习策略

高三数学试卷中函数专题复习策略 一、《考试说明》对函数部分的要求 1.函数.理解函数的概念、定义域、值域、奇偶性,了解函数的单调性、周期性、最大值、最小值; 2.基本初等函数.了解幂函数的概念及图象,理解指数函数、对数函数的概念及图象和性质,理解指数及对数的运算. 3.函数与方程.了解函数的零点与方程根的联系,能够用二分法求相应方程的近似解. 4.函数模型及应用.理解常见的函数模型在实际问题中的应用. 5.理解导数的几何意义,会根据公式、四则运算法则、复合函数求导法则求函数的导数,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,函数的极大值、极小值,闭区间上函数的最大值、最小值. 二、函数部分命题特点 函数是高中数学的核心内容,是学习高等数学的基础,作为高中数学中最重要的知识模块,贯穿着中学数学的始终.综观近几年的高考情况,函数命题呈现如下特点: 1.知识点覆盖面全.近几年高考题中,函数的所有知识点基本都考过,特别是函数的图象性质、导数的几何意义与应用以及函数与不等式的综合基本上年年必考. 2.题型难度涉及面广.在每年高考题中,低档、中档、高档难度的函数题都有,且填空、解答题型都有. 3.综合性强.为了突出函数在中学数学中的主体地位,近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透,例如,解析几何中经常涉及函数的值域的求法,三角、数列本质上也是函数问题. 三、函数复习中关注方面 (一)关注函数的定义域 定义域的求法实际上就是解不等式,考生必须能够做到以下两点:一是熟知定义域常见要求,如分式的分母不为零;偶次根号下非负;对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;零次幂的底数不为零;三角函数中的正切、余切的定义域等等;二是熟练掌握常见不等式的解法,如二次不等式、分式不等式、根式不等式、三角不等式以及简单的指对数不等式. 例1.(2012年江苏卷)函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 . 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

高中数学常见函数图像

高中数学常见函数图像1. 2.对数函数:

3.幂函数: 定义形如αx y=(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. 图像 性质过定点:所有的幂函数在(0,) +∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).单调性:如果0 α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,) +∞上为增函数.如果0 α<,则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴.

函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时, max 1y =; 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 当()2x k k π =∈Z 时, max 1y =; 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数. 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ; 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数. 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数. 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴

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六大注意 1 考生需自己粘贴答题卡的条形码 考生需在监考老师的指导下,自己贴本人的试卷条形码。粘贴前,注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误,如果有误,立即举手报告。如果无误,请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。万一粘贴不理想,也不要撕下来重贴。只要条形码信息无误,正确填写了本人的考生号、考场号及座位号,评卷分数不受影响。 2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等 拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况,尽管这种可能性非常小。如果有,及时举手报告;如无异常情况,请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。写好后,放下笔,等开考信号发出后再答题,如提前抢答,将按违纪处理。 3 注意保持答题卡的平整 填涂答题卡时,要注意保持答题卡的平整,不要折叠、弄脏或撕破,以免影响机器评阅。 若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的,及时报告监考老师用备用卡解决,但耽误时间由本人负责。不管是哪种情况需启用新答题卡,新答题卡都不再粘贴条形码,但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。 4 不能提前交卷离场 按照规定,在考试结束前,不允许考生交卷离场。如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束,由监考老师报告主考,由主考根据情况按有关规定处理。 5 不要把文具带出考场 考试结束,停止答题,把试卷整理好。然后将答题卡放在最上面,接着是试卷、草稿纸。不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场,试卷全部收齐后才能离场。请把文具整理好,放在座次标签旁以便后面考试使用,不得把文具带走。 6 外语听力有试听环 外语考试14:40入场完毕,听力采用CD播放。14:50开始听力试听,试听结束时,会有“试听到此结束”的提示。听力部分考试结束时,将会有“听力部分到此结束”的提示。听力部分结束后,考生可以 开始做其他部分试题。 高考数学模拟试题 (一)

高三数学模拟试题及答案

高三数学模拟试题及答案 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 设集合≤ ≤ , ≤ ≤ ,则 2. 计算: A. B.- C. 2 D. -2 3. 已知是奇函数,当时,,则 A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知向量 ,则的充要条件是 A. B. C. D. 6. 已知函数,则下列结论正确的是 A. 此函数的图象关于直线对称 B. 此函数的最大值为1 C. 此函数在区间上是增函数 D. 此函数的最小正周期为 8. 已知、满足约束条件, 若,则的取值范围为 A. [0,1] B. [1,10] C. [1,3] D. [2,3] 第二部分非选择题共100分 二、填空题本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分,每小题5分,满分30分。 一必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答。 9. 已知等比数列的公比为正数,且,则 = . 10. 计算 . 11. 已知双曲线的一个焦点是,则其渐近线方程为 . 12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64,则展开式的常数项为 . 13. 已知 依此类推,第个等式为.

二选做题:第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的只算前一题得分。 14. 坐标系与参数方程选做题已知曲线C的参数方程为θ为参数,则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的最大值为 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.本小题满分12分 某连锁超市有、两家分店,对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计:分店的销售量为200件和300件的天数各有15天; 分店的统计结果如下表: 销售量单位:件 200 300 400 天数 10 15 5 1根据上面统计结果,求出分店销售量为200件、300件、400件的频率; 2已知每件该商品的销售利润为1元,表示超市、两分店某天销售该商品的利润之和,若以频率作为概率,且、两分店的销售量相互独立,求的分布列和数学期望. 19.本小题满分14分 已知数列中,,且当时,, . 记的阶乘 ! 1求数列的通项公式;2求证:数列为等差数列; 3若,求的前n项和. 20.本小题满分14分 已知椭圆:的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 . 1求椭圆的方程; 2设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹的方程; 3设O为坐标原点,取上不同于O的点S,以OS为直径作圆与相交另外一点R,求该圆面积的最小值时点S的坐标. 21.本小题满分14分

(完整版)高三数学第一轮复习函数测试题

高三数学第一轮复习《函数》测试题 一、选择题(共50分): 1.已知函数y f x =+()1的图象过点(3,2),则函数f x ()的图象关于x 轴的对称图形一定过点 A. (2,-2) B. (2,2) C. (-4,2) D. (4,-2) 2.如果奇函数()f x 在区间[](),0a b b a >>上是增函数,且最小值为m ,那么()f x 在区间[],b a --上是 A.增函数且最小值为m B.增函数且最大值为m - C.减函数且最小值为m D.减函数且最大值为m - 3. 与函数() lg 210.1x y -=的图象相同的函数解析式是 A .121()2y x x =-> B .121y x =- C .11 ()212 y x x =>- D .121y x = - 4.对一切实数x ,不等式1||2++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是 A .-∞(,-2] B .[-2,2] C .[-2,)+∞ D .[0,)+∞ 5.已知函数)12(+=x f y 是定义在R 上的奇函数,函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线 x y =对称,则)()(x g x g -+的值为 A .2 B .0 C .1 D .不能确定 6.把函数)(x f y =的图像沿x 轴向右平移2个单位,所得的图像为C ,C 关于x 轴对称的图像为x y 2=的图像,则)(x f y =的函数表达式为 A. 2 2 +=x y B. 2 2 +-=x y C. 2 2 --=x y D. )2(log 2+-=x y 7. 当01a b <<<时,下列不等式中正确的是 A.b b a a )1()1(1->- B.(1)(1)a b a b +>+ C.2 )1()1(b b a a ->- D.(1)(1) a b a b ->- 8.当[]2,0∈x 时,函数3)1(4)(2 --+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值,则a 的取值范围是 A.1[,)2-+∞ B. [)+∞,0 C. [)+∞,1 D.2 [,)3+∞ 9.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1 (0,)3 C.1[,1)7 D.11[,)73 10.某种电热水器的水箱盛满水是200升,加热到一定温度,即可用来洗浴。洗浴时,已知每分钟放水34升,在放水的同时按t 分钟注2 2t 升自动注水。当水箱内的水量达到最小值时,放水程序自动停止,现假定每人洗浴用水量为65升,则该热水器一次至多可供 A .3人洗浴 B .4人洗浴 C .5人洗浴 D .6人洗浴 二、填空题(共25分) 11.已知偶函数()f x 在[]0,2内单调递减,若()()0.511,(log ),lg 0.54 a f b f c f =-==,则,,a b c 之间的大小关系为 。 12. 函数log a y x =在[2,)+∞上恒有1y >,则a 的取值范围是 。 13. 若函数14455ax y a x +?? = ≠ ?+?? 的图象关于直线y x =对称,则a = 。 14.设()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数,若23 (1)1,(2)1 a f f a ->=+,则a 的取值范围是 。 15.给出下列四个命题:

高中数学函数知识点总结(经典收藏)

高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、,,,如:集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么? A 表示函数y=lgx 的定义域, B 表示的是值域,而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? (答:,,)-? ?? ???1013 显然,这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是,这里千万小心,还有一个B 为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质: {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 要知道它的来历:若B 为A 的子集,则对于元素a 1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择,所以,总共有 2n 种选择,即集合A 有2n 个子集。 当然,我们也要注意到,这2n 种情况之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为21n -,非空真子集个数为22n - ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂

2020年高三数学 高考模拟题(试卷)带答案

伽师县第一中学2018-2019学年第一次高考模拟考试 数学(国语班) 考试时间:120分钟 姓名: ___ __ ___ 考场号:______座位号:__ 班级:高三( )班 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。 1、已知集合, ,则集合 ( ) A. B. C. D. 1、【解析】 根据题意,集合,且 , 所以 ,故选B . 2、设复数满足,则 ( ) A . B. C. D. 2、【答案】A 3、已知函数,若,则 ( ) A. B. C. 或 D. 0 3、【解析】 由函数的解析式可知,当时,令,解得; 当时,令,解得(舍去), 综上若,则,故选D . 4、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B. C. D. 1 4、【解析】由三视图可得该几何体为底面是等腰直角三角形,其中 腰长为1,高为2的三棱锥,故其体积为, 故选A. 5、某校高二年级名学生参加数学调研测试成绩(满分120分) 分布直方图如右。已知分数在100110的学生有21人,则 A. B. C. D. 5、【解析】由频率分布直方图可得,分数在100110的频率为, 根据,可得.选B . 6、执行如图的程序框图,若输出的值是,则的值可以为( ) A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017 6、【解析】①,;②,;③,;④,;, 故必为的整数倍. 故选C. 7、设等比数列的公比,前n 项和为,则 ( ) A. 2 B. 4 C. D. 7、【解析】由题 ,故选C . 8、设,满足约束条件,则的最小值为( ) A. 5 B. -5 C. D. 8、【解析】 画出约束条件所表示的平面区域,如图所示, 由图可知,目标函数的最优解为, 由,解得 ,所以 的最小值为 , 故选B . 9、的常数项为 A. 28 B. 56 C. 112 D. 224 9、【解析】的二项展开通项公式为.令,即.常数项为, 故选C . ()327,1 { 1ln ,1x x f x x x --<=?? ≥ ??? ()1f m =m =1e e 1 e e 1m <3271m --=0m =1m ≥1ln 1m ?? = ? ?? 1m e =()1f m =0m =13122 3 111112323 V =????={}n a 2q =n S 4 2 S a =15217 2 ()44211512 S q a q q -==-

高三数学模拟试题(文科)及答案

高三数学模拟试题(文科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1.已知x x x f 2)(2 -=,且{}0)(<=x f x A ,{} 0)(>'=x f x B ,则B A I 为( ) A .φ B .{}10<x x 2.若0< B .b a > C . a b a 11>- D .b a 1 1> 3.已知α是平面,b a ,是两条不重合的直线,下列说法正确的是 ( ) A .“若αα⊥⊥b a b a 则,,//”是随机事件 B .“若αα//,,//b a b a 则?”是必然事件 C .“若βαγβγα⊥⊥⊥则,,”是必然事件 D .“若αα⊥=⊥b P b a a 则,,I ”是不可能事件 4.若0x 是方程x x =)2 1 (的解,则0x 属于区间( ) A .( 2 3 ,1) B .( 12,23) C .(13,1 2 ) D .(0, 1 3 ) 5.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为( ) A . 3 4 9m B . 337m C .327m D .32 9 m 6.若i 为虚数单位,已知),(12R b a i i bi a ∈-+=+,则点),(b a 与圆222=+y x 的关系为 ( ) A .在圆外 B .在圆上 C .在圆内 D .不能确定 7.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,设命题p : A c C b B a sin sin sin = =,命题q : ABC ?是等边三角形,那么命题p 是命题q 的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件. C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 8.已知函数12 ++=bx ax y 在(]+∞,0单调,则b ax y +=的图象不可能... 是( )

2018届高三数学复习函数的性质(1)专题练习

函数的性质一 一、 填空题 1. 函数245y x mx =-+在[2,)+∞上是增函数,则(1)f -的取值范围是 2. 若函数12()21 x x m f x ++=-是奇函数,则m = 3. 函数211 x y x -=-的递减区间是 . 4. 已知()y f x =是奇函数,若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= . 5. 已知函数53()8f x x px qx =++-满足(2)10f -=,则(2)f = . 6. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增,则满足1(21)()3 f x f -<的x 的取值范围是 . 7. 若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 8. 若函数()log (2)a f x ax =-在[0,1]上单调递减,则实数a 的取值范围是 . 9. 设()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“(),()f x g x 均为偶函数”是“()h x 是偶函数”的 条件. 10. 设()f x 是R 上的奇函数,()g x 是R 上的偶函数,若函数()()f x g x +的值域为[1,4]-,则 ()()f x g x -的值域为 . 11. 已知奇函数()f x 的定义域为R ,若(1)f x +为偶函数,且(1)2f =,则(4)(5)f f +的值为 . 12. 已知()f x 在R 上是单调函数,且满足对任意x R ∈,(()2)3x f f x -=,则(3)f = . 二、选择题 13. 以下函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) .A y =.B 2(1)y x =- .C 2x y -= .D 0.5(1)y log x =+ 14. 设函数(),()f x g x 的定义域为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是( ) .A ()()f x g x 是偶函数 .B ()|()|f x g x 是奇函数 .C |()|()f x g x 是奇函数 .D |()()|f x g x 是奇函数 15. 定义在区间R 上的奇函数()f x 为增函数,偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图像与()f x 的图像重合,设0a b >>,给出下列不等式,其中成立的是( )

高中数学函数知识点(详细)

第二章 函数 一.函数 1、函数的概念: (1)定义:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中 的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作:y =)(x f ,x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域. (2)函数的三要素:定义域、值域、对应法则 (3)相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义 域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域: (1)定义域定义:函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 (2)确定函数定义域的原则:使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 (3)确定函数定义域的常见方法: ①若)(x f 是整式,则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1. 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2. 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数,则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零,如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (4)求抽象函数(复合函数)的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1)求)31(x f -的定义域 3、值域 : (1)值域的定义:与x 相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 (2)确定值域的原则:先求定义域 (3)常见基本初等函数值域: 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数(正余弦、正切)

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