实数考点梳理

实数考点梳理
实数考点梳理

实数考点梳理

【考点梳理】

考点一、实数的分类

1.按定义分类:

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正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类:

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正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数:整数和分数统称为有理数或者“形如

n m (m ,n 是整数n≠0)”的数叫有理数. 无理数:无限不循环小数叫无理数.

实数:有理数和无理数统称为实数.

要点诠释:

常见的无理数有以下几种形式:

(1)字母型:如π是无理数,24

ππ、等都是无理数,而不是分数; (2)构造型:如2.10100100010000…(每两个1之间依次多一个0)就是一个无限不循环的小数;

(3)根式型:3256、、,…都是一些开方开不尽的数;

(4)三角函数型:sin35°、tan27°、cos29°等.

考点二、实数的相关概念

1.相反数

(1)代数意义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0;

(2)几何意义:在数轴上原点的两侧,与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数;

(3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数?a+b=0.

2.绝对值

(1)代数意义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

可用式子表示为:??

???<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a

(2)几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.距离是一个非负数,所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质,即绝对值是一个非负数.

用式子表示:若a 是实数,则|a|≥0. 要点诠释: 若,a a =则0a ≥;

-,a a =则0a ≤;-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.

3.倒数

(1)实数(0)a a ≠的倒数是a

1;0没有倒数; (2)乘积是1的两个数互为倒数.a 、b 互为倒数1a b ??=.

4.平方根

(1)如果一个数的平方等于a ,这个数就叫做a 的平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.a (a ≥0)的平方根记作a ±.

(2)一个正数a 的正的平方根,叫做a 的算术平方根.a (a ≥0)的算术平方根记作a .

5.立方根

如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.

一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;0的立方根仍是0.

考点三、实数与数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴的三要素缺一不可.

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.

要点诠释:

(1)数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.

(2)实数和数轴上的点是一一对应的.

考点四、实数大小的比较

1.对于数轴上的任意两个点,靠右边的点所表示的数较大.

2.正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数;绝对值大的反而小.

3.对于实数a 、b , 若a-b>0?a>b ;a-b=0?a=b ;a-b<0?a

4.对于实数a ,b ,c ,若a>b ,b>c ,则a>c.

5.无理数的比较大小:

利用平方转化为有理数:如果a>b>0, a 2>b 2?a>b b a >?; 或利用倒数转化:如比较417-与154-.

要点诠释:

实数大小的比较方法:(1)直接比较法:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小.(2)数轴法:在数轴上,右边的数总比左边的数大.

考点五、实数的运算

1.加法

同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0;一个数同0相加,

仍得这个数.

满足运算律:加法的交换律a+b=b+a ,加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c).

2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数.

3.乘法

两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.

几个非零实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数有奇数个时,积为负.几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.

乘法运算的运算律:(1)乘法交换律ab=ba ;(2)乘法结合律(ab)c=a(bc);(3)乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac .

4.除法

(1)除以一个数,等于乘上这个数的倒数.

(2)两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0.

5.乘方与开方

(1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方,a n 所表示的意义是n 个a 相乘.

正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数.

(2)正数和0可以开平方,负数不能开平方;正数、负数和0都可以开立方.

(3)零指数与负指数011(0)(0).p p

a a a a a -==≠,≠ 要点诠释:

加和减是一级运算,乘和除是二级运算,乘方和开方是三级运算.这三级运算的顺序是三、二、一.如果有括号,先算括号内的;如果没有括号,同一级运算中要从左至右依次运算.

考点六、有效数字和科学记数法

一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位为止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.精确度的形式有两种:

(1)精确到哪一位;(2)保留几个有效数字.

把一个数用±a ×10n (其中1≤

<10,n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法.

要点诠释:

(1)当要表示的数的绝对值大于1时,用科学记数法写成a ×10n ,其中1≤a <10,n 为正整数,其值等于原数中整数部分的数位减去1;

(2)当要表示的数的绝对值小于1时,用科学记数法写成a ×10n ,其中1≤a <10,n 为负整数,其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数(包括小数点前面的零).

实数的考点

实数中考考点分析 在理数和无理数统称实数。实数是初中数学的基础内容,中考重点考查实数基本运算。近几年河北中考中以选择、填空为主,题目简单,属于基础问题。另外出现了趣味性考题考查有理数,估计无理数大小。 考点一:相反数 知识链接:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,实数a的相反数是-a。 例1(2007河北中考1题)的相反数是() A.7 B. C. D. 例2(2010河北中考13题)的相反数是. 例3(2008河北中考13题)若互为相反数,则. 考点二:绝对值 知识链接:一般地,数轴上表示数a的点与原点间的距离叫做数a的绝对值。 (1)a为正数时,|a|=a (2)a为0时,|a|=0 (3)a为负数时,|a|=-a 例1(2006河北中考1题)的值是() A.-2 B.2 C.D.- 考点三:倒数 知识链接:两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数。 例1(2008河北中考1题)的倒数是() A.B.C.D. 例2(2009河北中考16题)若m、n互为倒数,则的值为. 考点四:数轴 知识链接: (1)通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。 (2)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度。 (3)数轴上的点与实数一一对应。

例1(2010河北中考14题)如图7,矩形ABCD的顶点A,B在数轴上,CD = 6,点A对应的数为,则点B所对应的数为. 考点五:科学记数法 知识链接: (1)把一个绝对值大于10的数写成a×10n的形式,(其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数),这种表示方法叫做科学记数法。 (2)绝对值较小的数,可将它们表示成a×10-n的形式,其中n 是正整数,1≤∣a∣<10. 例1(2007河北中考3题)据2007年5月27日中央电视台“朝闻天下”报道,北京市目前汽车拥有量约为3 100 000辆.则3 100 000用科学记数法表示为()A.0.31×107 B.31×105 C.3.1×105 D.3.1×106 例2(2008河北中考4题)据河北电视台报道,截止到2008年5月21日,河北慈善总会已接受支援汶川地震灾区的捐款15 510 000元.将15 510 000用科学记数法表示为()A.B. C.D. 例3(2009河北中考14题)据中国科学院统计,到今年5月,我国已经成为世界第四风力发电大国,年发电量约为12 000 000千瓦.12 000 000用科学记数法表示为.考点六:实数的运算 知识链接:实数运算包括加、减、乘、除、乘方、开方。 例1(2007河北中考12题)比较大小:7 .(填“>”、“=”或“<”) 例2(2009河北中考13题)比较大小:-6 -8.(填“<”、“=”或“>”) 例3(2011河北中考13题),,-4,0这四个数中,最大的数是 例4(2009河北中考1题)等于() A.-1 B.1 C.-3 D.3 例5(2010河北中考1题)计算3×(2) 的结果是() A.5 B. 5 C.6 D. 6 例6(2011河北中考1题)计算30结果是() A 3 B 30 C 1 D 0

(完整版)八年级实数知识点总结

实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数,如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。 一个数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 a (a ≥0) 0≥a ==a a 2 ;注意a 的双重非负性: -a (a <0) a ≥0

1.高考数学考点与题型全归纳——集合

第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 1. 2.集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 1.3.元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2. 集合间的基本关系 2.1.子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B(或B ?A). 2.2.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ,A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B. 两集合相等:A =B ?? ??? ? A ? B ,A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性. 2.4.空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}.

3. 集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A∩B ,即A∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B}. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x|x ∈A ,或x ∈B}. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 2. 已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中元素的互异性可 知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. [题组训练]

实数知识点与对应题型

实数知识点与对应题型 一、平方根:(11——19的平方) 1、平方根定义:如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根。(也称为二次方根),也就是说如果x 2=a , 那么x 就叫做a 的平方根。 2、平方根的性质: ①一个正数有两个平方根,它们互为相反数; 一个正数a 的正的平方根,记作“a ”,又叫做算术平方根,它负的平方根,记作“—a ”,这两个平方根合起来记作“±a ”。( a 叫被开方数, “”是二次根号,这里“”,亦可写成“2”) ②0只有一个平方根,就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。 3、 开平方:求一个数的平方根的运算叫做开平方,开平方和平方运算互为逆运算。 4、(1) 平方根是它本身的数是零。 (2)算术平方根是它本身的数是0和1。 (3)()()()().0,0,0222<-=≥=≥=a a a a a a a a a (4)一个数的两个平方根之和为0 二、立方根:(1——9的立方) 1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根。(也称为二次方根),也就是说如果x 3 =a , 那么x 就叫做a 的立方根。记作“3a ”。 2、立方根的性质: ①任何数都有立方根,并且只有一个立方根,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数,即3a -=3a - ③a a a ==3333)( 3、开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方,开立方与立方运算为互逆运算,开立方的运算结果是立方根。 4、立方根是它本身的数是1,0,-1。 5、平方根和立方根的区别: (1)被开方数的取值范围不同:在±a 中,a ≥0,在a 3中,a 可以为任意数值。 (2)正数的平方根有两个,而它的立方根只有一个;负数没有平方根,而它有一个立方根。 6、立方根和平方根: 不同点: (1)任何数都有立方根,正数和0有平方根,负数没有平方根;即被开方数的取值范围不同:±a 中的被开方数 a 是非负数;3a 中的被开方数可以是任何数. (2)正数有两个平方根,任何数都有惟一的立方根; (3)立方根等于本身的数有0、1、—1,平方根等于本身的数只有0. 共同点:0的立方根和平方根都是0. 三、实数: 1、定义:有理数和无理数统称为实数 无理数:无限不循环小数称(包括所有开方开不尽的数,∏)。 有理数:有限小数或无限循环小数

中考数学总复习知识点总结:实数

第一章中考数学总复习知识点总结:实数考点一、实数的概念及分类(3分) 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如 32 , 7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如 32 , 7+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数,如sin60°等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值(3分) 1、相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。 3、倒数

如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 (3—10分) 1、平方根 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。 一个数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“32,7”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“32,7”。 正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 32,7(32,732,70) 32,7 32,7 ;注意32,7的双重非负性: -32,7(32,7<0) 32,732,70 3、立方根 如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。 一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:32,7,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 (3—6分) 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做32,7的形式,其中32,7,n 是整数,这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 (3分) 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。

实数考点及题型

知识网络结构图 平方根 立方根 、知识性专题 实 数 算术平方根的概念:若 x 2 = a(x >0),则正数x 叫做a 的算术平方根 平方根的概念:若x 2 = a ,则x 叫做a 的平方根 表示:a 的平方根表示为 士 j a , a 的算术平方根表示为_/a 只有非负数才有平方根,0的平方根和算术平方根都是 0 (:]a)2 二a(a _0) a(^0) -a(a <0) 时 a 2 =a 定义:若x 3= a ,则x 叫做a 的立方根 表示:a 的立方根表示为va a 实数 3,i 3 寸 a =a 3 意义佔) 专题1无理数与有理数的有关问题 例 1 在一2, 0, 2 , 1, - , - 0.4 中,正数有() 4 A . 2个 B . 3个 C . 4个 D. 5个 例2请写出两个你喜欢的无理数, 使它们的和为有理数, 你写的两个无理数是 专题2平方根、立方根的概念 例3要到玻璃店配一块面积为 1. 21 m i 的正方形玻璃,那么该玻璃的边长为 _________ - Y 4 例 4 计算 £§+(2010 — J3)0 —-(. <2丿

例5已知b = a 3 + 2c ,其中b 的算术平方根为19, c 的平方根是土 3,求a 的值. 专题3实数的有关概念及计算 例6把下列各数分别填入相应的集合里: 3 8, . 3,- 3.14159 , ' , 22 , - 3 2 , 3 7 7 0,- 0. 02 , 1.414 , 8 1). (1) 正有理数集合:{ ⑵有理数集合:{ …}; ⑶无理数集合:{ …}; ⑷实数集合:{ …}. 已知a , b 为数轴上的点,如图 13-14所示,求 13 - 14 2 互为相反数,则 的值为 a —b 例 10 已知 a , b , c 都是实数,且满足(2 — a )2 + J a 2 +b+c + c + 8 = 0,且 ax 2 + bx + c = 0,求代数式3x 2 + 6x + 1的值. -.7 , 1.2112111211112…(每两个相邻的 2中间依次多1个 例7 个. 如图13- 13所示,在数轴上点A 和B 之间的整数点有 1} 专题 4非负数的性质及其应用 值. 若(V3 -a)与 b -1

实数知识点汇总及经典知识讲解

)(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数?????????????????--???---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、ΛΛΛΛ?????????????实数第二章 实数 一、 平方根、立方根 1..算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么正数x 叫做a 的算术平方根,记作a 。0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 2.平方根:一般地,如果一个数x 的平方根等于a ,即x 2=a ,那么数x 就叫做a 的平方根。 正数有两个平方根(一正一负)它们互为相反数;0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根。 3.正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。 4. (1)())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a (2)若b 3=a ,则b 叫做a 的立方根。 (3 (0)(0).a a a a a ≥?==?-

减。运算中有括号的,先算括号内的,同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法:数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 (1)在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数大,左边的点表示的数小。(2)正数大于零,负数小于零;两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的较小。(3)设a,b是任意两实数, 若a-b>0,则a>b; 若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a

实数考点及题型

实数考点及题型 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

实 数 知识网络结构图 例4 计算10 21)32010(8-??? ??--+. 例5 已知b =a 3+2c ,其中b 的算术平方根为19,c 的平方根是±3,求a 的值. 专题3 实数的有关概念及计算 例6 把下列各数分别填入相应的集合里:38,3,-, 3π,722,32-,8 7-,0,-0.??02,,7-…(每两个相邻的2中间依次多1个1). (1)正有理数集合:{ …}; (2)有理数集合:{ …}; (3)无理数集合:{ …}; (4)实数集合:{ …}.

例7 如图13-13所示,在数轴上点A 和B 之间的整数点有 __个. 例8 已知a ,b 为数轴上的点,如图13-14所示,求 b a b a ++的值. 专题4 非负数的性质及其应用 例9 若2)3(a -与1-b 互为相反数,则b a -2的值为 . 例10 已知a ,b ,c 都是实数,且满足(2-a )2+82++++c c b a =0,且ax 2+bx +c =0,求代数式3x 2+6x +1的值. 例11 已知实数x ,y 满足022132=+-+--y x y x ,求y x 5 42-的平方根. 例12 若a ,b 为实数,且1 1122++-+-=a a a a b ,求3-+-b a 的值. 二、规律方法专题 专题5 实数比较大小的方法 1.平方法 当a >0,b >0时,a >b b a >?. 例13 比较32和23的大小. 2.移动因数法 利用a =2a (a ≥0),将根号外的因数移到根号内,再比较被开方数的大小. 例14 比较34和25的大小. 3.作差法 当a -b =0时,可知a =b ;当a -b >0时,可知a >b ;当a -b <0时,可知a <b . 例15 比较34与63的大小. 4.作商法

实数知识点题型归纳

第六章实数 知识讲解+题型归纳 知识讲解 一、实数的组成 1、实数又可分为正实数,零,负实数 2.数轴:数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二、相反数、绝对值、倒数 1. 相反数:只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零. 性质:互为相反数的两个数之和为0。 2.绝对值:表示点到原点的距离,数a的绝对值为 3.倒数:乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1 a . 0没有倒数。 4.相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是非负数(0和正数);倒数是它本身的数是±1. 三、平方根与立方根 1.平方根:如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作(a>=0) 特性:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根还是零。负数没有平方根。正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根,零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。 2.立方根:如果一个数的立方等于a,则称这个数为a立方根。数a的立方根用3a表示。 任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根,零的立方根是零。 开立方:求一个数的立方根(三次方根)的运算,叫做开立方。四、实数的运算 有理数的加法法则: a)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; b)异号两数相加。绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。 2.有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法法则: a)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都得零. b)几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负,为偶数,积为正 c)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0 4.有理数除法法则: a | |a

实数知识点总结汇编

第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 (3分) 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数,如sin60o 等(这类在初三会出现) 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b ,反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值是它本身,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于

一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。 一个数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 a (a ≥0) 0≥a ==a a 2 ;注意a 的双重非负性: -a (a <0) a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。 一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法

实数知识点及易错题型

《实数》复习与回顾 一、知识梳理 1.平方根 (1)算术平方根的定义:一个正数x的平方等于a,即_____,那么这个正数x就叫做a的________.0的算术平方根是_____。 (2)平方根的定义:如果一个数x的平方等于a,即_____,那么这个数x就叫做a的_______。 (3)平方根的性质:一个正数有_____个平方根,它们________;0只有_____个平方根,它是_____;负数_____平方根。 (4)开平方:求一个数a的________的运算,叫做开平方。 2.立方根 (1)立方根的定义:如果一个数x的_____等于a,即_____,那么这个数x就叫做a的立方根。 (2)立方根的性质:每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____;0的立方根是_____;负数的立方根是_____。 (3)开立方:求一个数a的________的运算叫做开立方。 3.实数 (1)无理数的定义:无限不循环小数叫做_____。 (2)实数的定义:_____和_____统称实数。 (3)实数的分类:①按定义分:________________________;②按性质分:________________________。 (4)实数与数轴上的点的对应关系:_____与数轴上的点是_____对应的。 (5)有关概念:在实数围,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数

围的意义_____。 4.实数的运算: (1)实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样,而且有理数的运算律对__________仍然适用。 (2)两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根, 算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根,用式子表示为 __________;__________。 二、考点例析 考点1 平方根、立方根的定义与性质 例1 (1)下列各数是否有平方根?若有,求出其平方根;若没有,说明理由。 ①625 ②(-2)2 ③(-1)3 (2)下列各数是否有立方根?若有,求出其立方根。 ①27 1 ②-343 ③-2 2 分析:(1)要判断一个对象有无平方根,首先要对这个对象进行转 化,直到能看出它的符号,然后依据平方根的性质进行判断。 (2)因为正数、0、负数均有立方根,所以所给各数都有立方 根。 解:(1)①因为625>0,故其平方根有两个,即±625=±25;② 因为(-2)2=4>0,故其平方根有两个,即±2)2( =±2; ③因为(-1)3=-1<0, 故其不存在平方根。 (2)由立方根的性质可知,所给各数均有立方根。

实数知识点归纳和练习

个性化简案 学生姓名:年级:七科目:数学 授课日期:月日上课时间:时分------ 时分合计:小时 教学目标1、掌握平方根、立方根的计算方法 2、掌握实数的运算方法 重难点导航重点:平方根、立方根的计算难点:实数的运算 教学简案: 1、教学流程 知识点讲解---例题讲解---随堂练习---出门考---作业布置 2、本次作业布置 实数练习3、上节课作业情况 □完成□讲解存在的问题:□未完成□未讲解原因: 4、教学反馈 知识点掌握情况: 上课状态: 课后建议: 授课教师评价:今日学生课堂表现符合共项(大写)审核人签字(姓名、日期) □准时上课:无迟到和早退现象 □今天所学知识点全部掌握:教师任意抽查一知识点,学生能完全掌握□上课态度认真:上课期间认真听讲,无任何不配合老师的情况 □海豚作业完成达标:全部按时按量完成所布置的作业,无少做漏做现象课前:课后:学生签字: 教师签字: 备注:请交至行政前台处登记、存档保留,隔日无效(可另附教案内页)大写:壹贰叁肆签章:

个性化教案(真题演练) 1.正方形ABCD在数轴上的位置如图所示,点A、D对应的数分别是0和﹣1,若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上翻滚,翻滚一次后,点B所对应的是1,则连续翻滚2019次后,数轴上表示2019的数所对应的点是() A.A B.B C.C D.D 2.已知a和b都是无理数,且a≠b,下面提供的6个数a+b,a﹣b,ab,,b﹣2,2a可能成为有理数的个数() A.3个B.4个C.5个D.6个 3.下列说法正确有()个 ①整数就是正整数和负整数;②任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示;③﹣a表示负数; ④近似数2.35所表示的准确数a的范围是:2.345≤a≤2.355;⑤如果一个数的平方是它的相反 数,那么这个数是0;⑥如果一个数的立方根是它的相反数,那么这个数是1或﹣1. A.1 B.2 C.3 D.4

实数知识点总结及练习题

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数? ???????? ? ???????--???---)()32,21() 32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ??? ?????????? 实数第一章 勾股定理 姓名 座号 班级 一、勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 二、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 三、勾股数:满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数。常见的勾股数组有:(3,4,5);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25);(6,8,10);(9,12,15);(这些勾股数组的倍数仍是勾股数) 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π +8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;

二、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。 表示方法:记作“a ”,读作根号a 。 性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 2、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根)。 表示方法:正数a 的平方根记做“a ± ” ,读作“正、负根号a ”。 性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 开平方:求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。 0≥a 注意a 的双重非负性: a ≥0 3、立方根 一般地,如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根(或三次方根)。 表示方法:记作3a 性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数:a+b=0,a=—b , 2、绝对值:若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。 3、倒数:如果a 与b 互为倒数,则有ab=1 4、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的常用方法 (1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。

实数考点及题型.docx

实数 知识网络结构图 算术平方根的概念:若 x 2 = ( > 0) ,则正数 x 叫做 a 的算术平方根 a x 平方根的概念:若 x 2= a ,则 x 叫做 a 的平方根 表示: a 的平方根表示为 a ,a 的算术平方根表示为 a 只有非负数才有平方根, 0 的平方根和算术平方根都是 0 平方根 ( a )2 a(a 0) 意义 a( a 0) a 2 a a( a <0) 实 数 定义:若 x 3= a ,则 x 叫做 a 的立方根 表示: a 的立方根表示为 3 a 立方根 意义 3 a 3 a (3 a )3 a 整数 有理数 有限小数 实数 分数 无限循环小数 无理数:无限不循环小数 一、知识性专题 专题 1 无理数与有理数的有关问题 例 1 在- 2, 0, 2,1,3 ,-中,正数有 ( ) 4 A .2个B . 3 个 C .4个 D .5 个 例 2 请写出两个你喜欢的无理数, 使它们的和为有理数, 你写的两个无理数是 . 专题 2 平方根、立方根的概念 例 3 要到玻璃店配一块面积为 1.21 m 2 的正方形玻璃, 那么该玻璃的边长为 m . 1 1 例 4 计算 8 (20103)0 . 2

例 5 已知 b = a 3+2c ,其中 b 的算 平方根 19, c 的平方根是± 3,求 a 的 . 3 数的有关概念及 算 例 6 把下列各数分 填入相 的集合里: 3 8 , 3 ,-, , 22 , 3 2 , 7 , 3 7 8 0,- 0. ? ? 7 ,? ( 每两个相 的 02 ,, 2 中 依次多 1个 1). (1) 正有理数集合: { ? } ; (2) 有理数集合: { ? } ; (3) 无理数集合: { ?} ; (4) 数集合: { ? } . 例 7 如 13-13 所示,在数 上点 A 和 B 之 的整数点有 __ 个. a b 例 8 已知 a ,b 数 上的点,如 13-14 所示,求 的 . a b 4 非 数的性 及其 用 例 9 若 ( 3 a)2 与 b 1 互 相反数, 2 的 . a b 例 10 已知 a ,b ,c 都是 数,且 足 (2 - a ) 2+ a 2 b c c 8 =0,且 ax 2 + bx +c = 0,求代数式 3x 2+6x + 1 的 . 例 11 已知 数 x , y 足 2x 3y 1 x 2 y 2 0 ,求 2x 4 y 的平方根. 5

最新初中数学实数知识点总复习

最新初中数学实数知识点总复习 一、选择题 1.若30,a -=则+a b 的值是( ) A .2 B 、1 C 、0 D 、1- 【答案】B 【解析】 试题分析:由题意得,3﹣a=0,2+b=0,解得,a=3,b=﹣2,a+b=1,故选B . 考点:1.非负数的性质:算术平方根;2.非负数的性质:绝对值. 2.一个自然数的算术平方根是x ,则它后面一个自然数的算术平方根是( ). A .x +1 B .x 2+1 C 1 D 【答案】D 【解析】 一个自然数的算术平方根是x ,则这个自然数是2,x 则它后面一个数的算术平方根是 . 故选D. 3的平方根是( ) A .2 B C .±2 D .【答案】D 【解析】 【分析】 ,然后再根据平方根的定义求解即可. 【详解】 ,2的平方根是, . 故选D . 【点睛】 正确化简是解题的关键,本题比较容易出错. 4.1,0( ) A B .﹣1 C .0 D 【答案】B 【解析】

【分析】 将四个数按照从小到大顺序排列,找出最小的实数即可. 【详解】 四个数大小关系为:10-<< < 则最小的实数为1-, 故选B . 【点睛】 此题考查了实数大小比较,将各数按照从小到大顺序排列是解本题的关键. 5.下列实数中的无理数是( ) A B C D .227 【答案】C 【解析】 【分析】 无限不循环小数是无理数,根据定义解答. 【详解】 =1.1是有理数; ,是有理数; 是无理数; D. 227 是分数,属于有理数, 故选:C. 【点睛】 此题考查无理数的定义,熟记定义是 解题的关键. 6.设,a b 是不相等的实数,定义W 的一种运算;()()()2 a b a b a b a b =+-+-W ,下面给出了关于这种运算的四个结论:①()6318-=-W ;②a b b a =W W ;③若0a b =W ,则 0b =或0a b +=;④()a b c a b a c +=+W W W ,其中正确的是 ( ) A .②④ B .②③ C .①④ D .①③ 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简()()()2a b a b a b +-+-,然后各式利用题中的新定义化简得到结果,即可作出判断. 【详解】

(完整版)新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题

新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题

注意掌握以下公式:① 2 a ? =?? ② 33a a =- 将考点与相关习题联系起来 考点一、关于“……说法正确的是……”的题型 1、下列说法正确的是( ) A .有理数只是有限小数 B .无理数是无限小数 C .无限小数是无理数 D . 4 π 是分数 2、有下列说法:①有理数和数轴上的点一一对应;②不带根号的数一定是有理数;③负数没有立方根;④17是17的平方根。其中正确的有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 3、下列结论中正确的是 ( ) A .数轴上任一点都表示唯一的有理数 B .数轴上任一点都表示唯一的无理数 C. 两个无理数之和一定是无理数 D. 数轴上任意两点之间还有无数个点 考点二、有关概念的识别 1、下面几个数:. 0.34,1.010********.064-3π,22 7 5 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、下列说法中正确的是( ) A. 813 B. 1的立方根是±1 C. 1=±1 D. 55的平方根的相反数 3、一个自然数的算术平方根为a ,则与之相邻的前一个自然数是 考点三、计算类型题 126,则下列结论正确的是( ) A.4.5

实数知识点总结

平方根的有关概念 例1:写出下列各数的算术平方根。 81 」 2 (1)0.0009 ;(2)方;(3) -5 49 ?平方根 1. 定义:如果一个数的平方等于 a ,这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。即如果x 负平方根用“-2 a ”表示,根指数是2时,通常省略不写。 一 J. a 记作士 Pa ,读作“正、负根号 a ”。 实数 那么x 就叫做a 的平方根。如: _22 =4,所以4的平方根是_2 ; 9 25 所以 9 3 — 的平方根是 二—;02 = 0 ,所以 25 5 0的平方根是0。 2.表示方法 一个数a 的正的平方根,用符号“ 2 a ” 表示,a 叫做被开方数, 2叫做根指数, 如Va 记作需,读作“根号a ”,

温馨提示 ① 任何数的平方都不能为负数,所以负数没有平方根。 ② “ 5是25的平方根”这种说法是正确的,反过来说“ 25的平方根是5”就错了,因为“正 数有两个平方根”,所以必须说“ 25的平方根是土 5”。 ③求一个数的平方根就是把平方后等于这个数的所有数都求出来, 个数的平方根,只要把这个数平方,看其是否等于另一个数即可。 3?平方根的性质 (1 )一个正数a 有两个平方根,它们互为相反数,记作 a 。 (2) 零的平方根是零。 (3) 负数没有平方根。 厂温馨提示 条件。 例2:判断下列说法是否正确,并说明理由。 (1) 一 6的平方根是36;( 2)1的平方根是1;( 3)-9的平方根是—3 ;( 4) 361 二-19 ; (5) 9是一 9 2的算术平方根。 而判断一个数是不是另 ①a _ 0时, 、a 表示a 的算术平方根, -,a 表示a 的平方根。 ②因为负数没有平方根,所以被开方数 a _ 0。女口 x - 3中隐含着x-3_0,即x_ 3这一■ ③ G/a f=a (a H 0 ), J a 2=* a, a -a, a : 0. -0,

北师大版八年级上册第二章实数知识点梳理及题型解析

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第二章《实数》知识点梳理及题型解析 一、知识归纳 (一)平方根与开平方 1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根。 即a x =2 ,x 叫做a 的平方根。 2.平方根的性质与表示 ⑴表示:正数a 的平方根用a ±表示,a 叫做正平方根,也称为算术平方根,a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根:a ± (根指数2省略) 0有一个平方根,为0,记作00= ,负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方:求一个数a 的平方根的运算。 a a =2==???-a a 00<≥a a ()a a =2 (0≥a ) ⑷a 的双重非负性 0≥a 且0≥a (应用较广) 例:y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位,它的正的平方根的小数点就相应地 向右或向左移动一位。 区分:4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后, 得____ 3.计算a 的方法????? ?? ??精确到某位小数  =非完全平方类 =完全平方类 773 294 *若0>>b a ,则b a > (二)立方根和开立方 1.立方根的定义 如果一个数的立方等于a ,呢么这个数叫做a 的立方根,记作3a 2. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0. 3. 开立方与立方 开立方:求一个数的立方根的运算。 ()a a =3 3 a a =3 3 33a a -=- (a 取任何数) 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *0的平方根和立方根都是0本身。 (三)推广: n 次方根 1. 如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ,这个数就叫做a 的n 次方 根。 当n 为奇数时,这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时,这个数叫做a 的偶次方根。 2. 正数的偶次方根有两个:n a ±;0的偶次方根为0:00=n ;负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。 (四)实 数 1. 实数:有理数和无理数统称为实数 实数的分类:

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