单利制与复利制

存款与贷款问题

一、单利制与复利值

单利：每期所生利息不计入下一期本金(本金固定不变)；

复利：每期所生利息要加入本金中作为下一期的本金再计利息，逐期滚算(本金不断变大).

为了表述方便，设定以下符号：

m —利息p —现值(即本金)F —终值(即本息和)r —每一利息期的利率（折现率）n —计算利息的期数.

若按照单利计算，则

利息计算公式：m=n ×p ×r ；

终值(即本息和)计算公式:F=p+m=p+n ×p ×r =p(1+n ×r)

若按照复利计算，则

终值(即本息和)计算公式：F=p ×(1+r)n

利息计算公式：m=p ×(1+r)n －p

二、整存整取定期存储问题

案例.小王从1992年起，每年1月1日在银行新存入a 元一年定期，若年利率r 保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年1月1日将所有存款及利息取回，她可取回的钱数(元)为_____________。

解法1：1993年1月1日存款后本息和为()1a r a ++元；

1994年1月1日存款后本息和为()()()()211111a r a r a a r r ??++++=++++??????

元；1995年1月1日存款后本息和为

()(){}

()()()()22311111111a r r r a a r r r ????++++++=++++++????元；………………………………………………………………………………………………

2011年1月1日存款后本息和为()()()()231911111a r r r r ??+++++++++??

?元；2011年1月1日的本息和为()()()()()2319111111a r r r r r ??++++++++++??

?()()()()()()2021

111111111r r r a r a r r ?++?+=+=?+?+到2012年1月1日将所有存款及利息取回，她可取回的钱数(元)为()()()

21

1111r r a r +?+?+。解法2：2011年1月1日存的a 元到2012年1月1日共存了1年，其本息和为()1a r +元；

2010年1月1日存的a 元到2012年1月1日共存了2年，其本息和为()21a r +元；

2009年1月1日存的a 元到2012年1月1日共存了3年，其本息和为()31a r +元；

………………………………………………………………………………………………1992年1月1日存的a 元到2012年1月1日共存了20年，其本息和为()20

1a r +元；2012年1月1日取款总额为为逐年存款本息总和()1a r ++()21a r ++()31a r ++…+()191a r ++()

20

1a r +()()()()()()2021111111111r r r a r a r r ?++?+=+=?+?+元。三、等额本息还款的解题策略

从房产公司购买住宅一套，价值22万元，首次付款2万元后，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清购房款的本利和，问每年应付多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款多付多少元？策略一、归纳法(从特殊到一般)

先考虑第一次、第二次、……付款后还欠多少元，再推出第n 次付款后还欠多少元.解：设每年应付款x 元

第一次分期付款后还欠：x

a ?×=03.12000001第二次分期付款后还欠：x

x x a a ?×?×=?×=03.1)03.1200000(03.112x

x ??×=03.103.12000002第三次分期付款后还欠：x

x x x a a ?×??×=?×=03.1)03.103.1200000(03.1223x

x x ???×=03.103.103.120000023………………………………………………………………………………………………第15次分期付款后还欠：

x x x x x a a ?????×=?×=03.103.103.103.120000003.11314151415??由题意0

15=a 0

03.103.103.103.1200000131415=?????×x x x x ??即15

1503.120000003

.1103.1×=?x 16753

≈∴x 实际付款约为（元）

271295200001516753=+×实际付款比一次性付款多（元）

51295220000271295=?模型：贷款a 元，年利率为r ,分n 次还清，约定：⑴贷款整一年后开始还款，每年还款一次，每次还款x 元；⑵贷款分n 次还清。

第1次还款后欠银行()1a r x +?元；

第2次还款后欠银行()()()()()2

11111a r x r x a r x r +?+?=+?++????元；

第3次还款后欠银行

()()()()()()()321111111a r x r x r x a r x r r ????+?+?+?=+?++++????元；………………………………………………………………………………………………第n 次还款后欠银行()()()()21

11111n n a r x r r r ???+?+++++++??

?根据题意()()()()21

111110n n a r x r r r ???+?+++++++=??

?，即

()()()11111n

n r a r x r ?++=?+策略二、整体考虑将借款与还款分开考虑，都到还清之日结算应相等。借归借，还归还。

解：到还清之日，即第15次还款后，所有借款的本利和为：15

03

.1200000×到还清之日，即第15次还款后，所有借款的本利和为：0

03.103.103.11314=++++x x x x ??（这里第一次还款要计算14年利息，第二次还款要计算13年利息，————，最后一次还款后不记利息）

由题意可知：15131403

.120000003.103.103.1×=++++x x x x ??以下同上。

模型：贷款a 元，年利率为r ,分n 次还清，约定：⑴贷款整一年后开始还款，每年还款一

次，每次还款x 元；⑵贷款分n 次还清。

(请仿照上例自己概括)策略三、利用递推数列

根据题意找出每一年还款后与前一年还款后的函数关系，即递推关系。

解：设每年还款x 元，并假设第k 年还款后还欠款k a 元.

则x

a ?×=03.12000001)

2(,03.11≥??=?k x a a k k 利用代定系数法解得：)3

100(03.131001x a x a k k ?=??数列}3100{x a n ?是以3

10003.120000031001x x x a ??×=?为首项，1.03为公比的等比数列。

1

03.1)3

10003.1200000(3100?×??×=?∴k k x x x a 03

10003.1310003.103.120000014141515=+???×=∴x x x a 16753≈∴x （以下同上）

模型：贷款a 元，年利率为r ,分n 次还清，约定：⑴贷款整一年后开始还款，每年还款一次，每次还款x 元；⑵贷款分n 次还清。

(请仿照上例自己概括)