柱、锥、台、球表面积和体积

第55课 柱、锥、台、球表面积和体积

【复习目标】

了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；会求一些简单几何体的表面积和体积。

【重点难点】

能运用柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式求一些简单几何体的表面积和体积，

【自主学习】

一、知识梳理

1.空间几何体有关概念

（1）棱柱：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高(公垂线段长也简称高)

直棱柱：

正棱柱:

(2) 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥。其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高(垂线段的长也简称高)． 正棱锥：

（3）棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台。 性质：各侧棱延长后

（4）圆柱：由矩形绕着它的 所在直线旋转一周所形成的几何体。

圆锥：由直角三角形绕着它的一条 所在直线旋转一周所形成的几何体。 圆台：由直角梯形绕着它的 所在直线旋转一周所形成的几何体。 球：由半圆绕它的 所在直线旋转一周所形成的几何体。

2.正棱柱、正棱锥、正棱台及圆柱、锥、台的侧面积公式关系为：

3.柱体、锥体、台体的体积公式有如下关系：

sh V s s s s h V sh V s s s 3

1)(310＝＝＝锥台柱??→?'+'+??←=''=

4.3

2344R V R S ππ＝，＝球球

二、课前预习：

1. 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的AB=3，AD=2，CC 1=1，一条绳子从A 沿着表面拉到点C 1，绳子的最短长度是

2. 若球的半径为R ，则这个球的内接正方体的全面积等于

3. 边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面, 则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是

4. 球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的

5. 正方体的全面积是a 2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是

6. 已知正方体的棱长为a ，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是

【共同探究】

例1. 已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体， E 、F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥A 1-EBFD 1的体积．

例2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC=6,BD=8,E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3。（1）求证：AC ⊥DE;（2）求四棱锥P-ABCD

的体积。

【巩固练习】

1. 半径为R 的球的外切圆柱的表面积是______________．

2．E 是边长为2的正方形ABCD 边AD 的中点，将图形沿EB 、EC 折成三棱锥A-BCE （A ，D 重合）， 则此三棱锥的体积为____________．

3.直三棱柱C B A ABC '''-的体积是V ，D 、E 分别在A A '、B B '上，线段DE 经过矩形A B AB '

'的中心，则四棱锥C-ABED 的体积是________________．

A B

C D P E

4．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________________．

5. 正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个三棱锥，使B ，C ，D 三点重合，那么这个三棱锥的体积为

6. 棱锥V-ABC 的中截面是?A 1B 1C 1，则三棱锥V-A 1B 1C 1与三棱锥A-A 1BC 的体积之比是

7. 棱长为a 的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应 为

8. 已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形

(如图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为

9. 矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面

角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为

10.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距为

11. 如图边长为4的正方形ABCD 所在平面与正PAD ?所在平面互相垂直，Q M ,分别为AD PC ,的中点。（1）求四棱锥ABCD P -的体积;（2

）求证：//PA 平面MBD ;（3）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面⊥PCN 平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。