《工程测试技术》1-5章典型习题解答

典型习题解答

第一章

习题1-3. 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。 解：

幅值谱：2

224)(f a A f x π+=

; 相位谱：)2(

)(a

f

arctg f πθ-=

习题1-5. 求被截断的余弦函数t 0cos ω的傅立叶的变换

??

?≥<=T

t T

t t t x 0

cos )(0ω 解：

[][])

(2)(2sin )(2)(2sin )(2cos )(2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2cos )()(00000

00002f f T

f f f f T f f dt

t f f t f f dt

ft t f t

d ft j ft t f dt

e t x

f x T

T

T

T

T ft j --+

++=

-++==-==????--∞

∞

--πππππππππππ

π

2

22

)2(0

20

224)2(2)()()(f a t

f j a A f j a A dt

e A e Ae dt

e t x dt e t x

f x t f j a ft

j at ft j ft j πππππππ+-=+=

=?===????∞

+-∞

--∞

-∞∞

--图1-1 题1-3图

图1-2 题1-5图

习题1-7. 设有一时间函数)(t f 及其频谱如图1-3所示，现在乘以正弦型振荡)(cos 00m t ωωω>，在这个关系中函数

)(t f 叫做调制信号，正弦型振荡t 0cos ω叫做载波。试求调幅信号t t f 0cos )(ω的傅立叶变换，示意画出调幅信号及其

频谱。

图1-3 （a ） 题1-7图

解：调幅信号t t f t x 0cos )()(ω=其傅立叶变换为：

1)(2

1)(21c o s )(21)(21)()()(0

0000πωππωωωωωωωωωω+===???∞∞+---∞∞---∞∞--∞∞--dt e e e t f te t f dt e t x x t

j t j t j t j t j t

j t j

%1001

)

(1)()()(?-=-=

?ωωA o A A o A A ；

以35.0=τ秒和1=T 秒，2秒和5秒代入两式求解，即得42.0)1

14.3235.0(11

)(2

1=??

+=

ωA ∴%581=?A

%3267.0)214.3235.0(11

)(22

2=?∴=??

+=

A A ω

%892.0)5

14.3235.0(11

)(2

3=?∴=??

+=

A A ω

2-3因题设装置的频率响应函数为

ω

ωτωj j j H 005.011

11)(+=+=

此装置对所给输入信号)(t x ，按线性叠加性和频率保持性 )()()(21t x t x t x += 其中t t x 10cos 5.0)(1=，即0105

.0111===θωX ；

)45100cos(2.0)(02-=t t x ，即022*******.0-===θωX ；

应分别有下列之增益和相移，并保持其原频率。 即0186.2999.010

005.011

)(-∠=??+=

j j H ω 增益0.999 相移 086.2-

0257.26895.0100

005.011

)(-∠=??+=

j j H ω 增益0.895 相移057.26-

[]

)

57.71100cos(179.0)86.210cos(5.057.26)45100(cos 2.0895.0)66.210cos(5.0999.0)(000

00-+-=--?+-?=t t t t t y

2-5 （1）按题意

108

.0)195

100

()(%

5)(11

1%10011)(22=-=∴≤+-=?-=

ωτωτωδj H

且'

0414

2

4

2

2

209)1023.5100(102.8%100)(1111005022)

2(523)(10233.5)

200(108.0108

.020010022-≈??-=-=?=?+-

=∴=?===?==

=

∴=?==----πωτ?ωτδπ

ππωμπωτπππωtg tg f s s f 且

2-9 串联后系统的传递函数可以写成

2

222224.141170

.34.141)5.055.3(225.1n

n n n n n s s s s s ωωωωωω++?+=++?+? ∴总灵敏度123410.3R 02010=?=?=R R 2-10 ○1按题意给数据，当πω2400?=时，

πω2800?=n 即

4.0,

5.0800

400

===ξωωn 当4.0=ξ时18.1]

5.04.02[])5.0(1[1

]2[])(

1[1

)400(2

22

22=??+-=

+-=

∴n

n A ωωξωω

311.1)5.0(15.04.02)

(12)400(2

2=-??-=--=n

n arctg ωωωω

ξ

? 0

6.10)400(-=∴? 即此时的幅值（比）为1.311 ，相移为0

6.10- ○

2上列计算中，只置换7.0=ξ，则01.43)400(98.0)400(-==?A

即此时幅值比为0.98 相移为0

1.43-

第三章

3-4 解：因为电阻应变片灵敏度系数 ε

R R

S ?=

所以，电阻变化量

Ω=???==?-24.021*********

S R R ε

无应变时电流表示值 mA R U I 5.121205.1===

有应变时电流表示值 mA R R U I 475.1224

.1205

.1==?+=

电流表指示值的相对变化量 %2.05

.12475

.125.12=-=

I ε 不能。这个变化量是太小，必须用高灵敏度的微安表方可读出，一般接入电桥。

3-7解：因为电容式传感器

0δεεA

C =

所以，电容的变化量 δδ

εε?-=?20

01

A

C

又电容板板面积 ][)104(2232m r A -?==ππ ][1085.820m F -?=ε 在空气中1=ε，初始间隙 ][103.030m -?=δ 所以，电容的变化量

]

[1094.4)

101()103.0()104(10

85.8362

32

312

PF C -----?±=?±????

?-=?π

传感器的灵敏度 )(1094.43m PF c

S μδ

-?=??=

仪表指示的变化范围

][47.251001094.413

格±=????±=-B 3-11

解：(1) 系统方框图

p ?

x

90pC/MPa 0.005V/pC 20mm/V (2)系统总灵敏度

MPa mm S /920005.090=??=

第四章

4-1解：（a ） 单臂电桥输出电压 当ε=2με时

y

e =

00

4e R R

?=4

se ε=

4

3

2210

6

???-=3?6

10-[]V

当ε=2000με时 y

e =

4

e s ??ε=3?3

10

-[]V

（b ） 双臂电桥的输出电压

当ε=2με时 y

e =

2

e s ??ε=6?6

10

-[]V

当ε=2000με时

y

e =

2

e s ??ε=6?3

10

-[]V

（c ） 双臂电桥较之单臂电桥输出灵敏度提高一倍。

4-2

解： 半桥双臂时，电压输出 y

e =

R

R e

??

2

（1）当两桥臂各串联电阻R 时，其电阻相对变化量为R

R 22，既没有变化，故灵敏度不变。

（2） 当两桥臂各并联电阻R 时，

'1R =R 1+R 1 即并联电阻值'R =2R ，同理并联后电阻变化'R ?=2R ? 故电阻相对变化 '

'R R ?=2

2R R ?=R R ? 也没有变化，故这种方法也不能提高灵敏度。

4-4

解：电桥输出电压

y

e =K ()t u ε0

式中 K —— 与电阻应变片灵敏度及电桥接法有关的系数。

所以 y

e =()t B t A t KE 100cos 10cos 10000

sin +? =t t KEB t t KEA 100cos 10000sin 10cos 10000sin ?+?

=

()()t t KEB t t KEA 990010100sin 2

9990sin 10010sin 2

++

+

其频谱如图4-1所示：

2

KEB

2

KEA

2

KEA 2

KEB

9900 9990 10010 10100

图4-1 题4-4图

4-5

解：（1） ()t x a 所包含的各分量频率及幅值

()t x a ()()t t t 0cos 3cos 20cos 30100ωΩ+Ω+=

t t t t t 000cos 3cos 20cos cos 30cos 100ωωω?Ω+?Ω+=

载波频率 c

f =10 kHz 幅值为100

c

f +Ω

f =10500 Hz 幅值为15

c

f -Ω

f =9500 Hz 幅值为15

c

f +3Ω

f =11500 Hz 幅值为10

c

f -3Ω

f =8500 Hz 幅值为10

调幅波所占频宽 3000850011500=-=B Hz (2) 调制信号 t t t x Ω+Ω+=3cos 20cos 30100)(

调制信号的频谱图4-2（a ）所示，调幅波的频谱如图4-2（b ）所示。

图4-2 题4-5图

4-9

（1）? ；（2）√；（3）√；（4）√

第五章

5-1．求()t h 自相关函数，

()t h =()()

??

??

?<>>=-0000t a t e

at

解：()()()()τ

τττa t a at h e a

dt e e dt t t t h R -+-∞-∞

∞

-=

=+=

??

210

5-2．假定有一个信号()t x ，它是由两个频率，相角均不相同的余弦函数叠加而成，其数学表达式为 ()()()

2

2

2

1

1

1

c o s c o s θθ+++=t w A t w A t x

求该信号的自相关函数。 解：()=τx

R

()()[]()[]()[]{}dt

t w A t w A x t w A t w A T T

T T 2

2

2

1

1

1

22

2

2

2

1

1

1

cos cos cos cos 1lim

00

θτθτθθ++++++++?

-∞

→上式中被积函数可以展开成为：

()()[]()()[]()()[]()[]()

2211212211212222122111121cos cos cos cos cos cos cos cos θθτθτθθτθθτθ+++++++++++++++w t w A A t w w A A t w w A t w w A 式中后两项是频率为1

w 和2

w 的两个余弦波相乘，根据正，余弦函数的正交性，它们相乘后的积分平均值为零。前两

项可利用三角函数的积化和差公式化为：

()()[]111121cos cos θτθ+++t w w A =

()()[]τθτ1

1

1

1

2

1

cos 22cos 2

w w t w A -+++ ()()[]222222

cos cos θτθ+++t w w A =

()()[]τθτ2

2

2

2

2

2cos 22cos 2

w w t w A -+++

上两式右端方括号中的第一项，分别是频率为1

2w 和2

2w 的余弦波，它们在很长的时间间隔(

)

∞→0

T 上的积分平均值

也是零。这样，在被积函数中只剩下两个常数项：

()

()

ττ2

2

21

2

1cos 2

cos 2

w A w A -+

-

又 ()

ττ1

1cos cos w w =-

()ττ2

2

cos cos w w =-

所以

()[]τττττττ22212122

22

212

102222

212

10cos 2

cos 2cos 2cos 21lim cos 2cos 21lim 000000w A

w A t w A w A T dt w A w A T R T T T T T T x +=???? ??+=???? ?

?+=-∞→-∞→? 由此可见：自相关函数保留了原信号中的全部周期分量的频率信息；周期信号自相关函数为各周期分量自相关函数的

叠加。

5-4

解：由图可见， ()()T R

R xy

x

+=ττ

()()()()[]dt T t y t x T

dt t x t x T T

T T

T ??

++=+∞

→∞

→0

1

lim

1

lim

ττ 所以 ()()[]T t y t x ++=+ττ 即 ()()

T t

y t

x +=0

故该系统为一阶纯时延环节。

5-7

()πππππππ

=??

?

??+==??-∞

∞-2121221

2122

sin df dt t c