计算方法总结

计算方法思想总结

前言：通过对计算方法这门课的学习，我觉得这种方法完全是建立在计算机的应用与发展之上的，这门课所教授的知识与我们以前所学的大为不同：传统的数学方法是教我们如何将一个复杂的问题以一种简单的、通用的模式求解出来，通过一些法则的应用，使问题可以快速以及准确的求解。而计算方法这门课更加立足于实践，他不需要我们得到完全正确的结果，而是通过近似的方法求得精度要求范围内的值，在实际中满足应用要求即可。这门课多采用迭代的思想，以我们所已知的条件为核心，通过一次次的代入，使得到的结果逐步逼近准确值并满足我们的要求。但这样做可能因选用的方法不当而带来较大的误差，因此对每一种问题，解题的思想都有一个逐步完善的过程。对于同一类问题，课本讲授了多种方法，这是因为早期的方法一般都存在着条件限制或计算上的缺点，大量的数学家们在不断地发明出新的方法，以使前人的方法更加实用，所以这些方法都是循序渐进，逐渐深入的。

第一章绪论

误差的引入：

计算方法解决问题也是通过对实际问题建立数学模型来求解，一般只要这样做就会引起误差，这样的误差称为【模型

误差】；而由于观测及模型的简易问题，还会引起【观测误差和截断误差】；由于计算机位数的限制，又会引起【舍入误差】。

误差的一些概念：

绝对误差：设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，定

义

)(*

x e =*

x

x -

为近似值*x 的绝对误差或简称误差。

设x 为准确值，*x 为x

的一个近似值，如果能对*x 的绝对误差作出估计

ε≤-=||||*x x e

则称ε为*x 的绝对误差界，简称误差界。 相对误差：而在)0(0*≠≠x x 或时，再定义

x

x x x e r *

*

)(-=

或*

*

*

)(x

x x x e r -=

为近似值x*的相对误差。如果能对*x 的相对误差作出估计

r r x

x x e ε≤-=||||*

或直接取 *

||x

r ε

ε=

则称r ε为*x 的相对误差界。

有效数字：设x 的一个近似值*x ，把*x 写成规范化的科学

记数形式（也称规范化的浮点形式）

k n a a a x 10..........021*?±=（有限或无限）

其中k 为整数，...,......,.21n a a a 是9,......3,2,1,0中的一个数字，且01≠a ,r 如果有

n k x x -?≤-102

1||*

则称*x 为x 的具体有n 位有效数字的近似值，简称*x 有n 位有效数字

我们可以得出结论：有效数字越多，其绝对误差限越小。

选用和设计算法应注意的问题：

计算过程对计算机有很大的依赖，而计算机的精度是有一定的限制的，这样就会有【四舍五入】的发生，使每一次计算过程中都产生一定的截断误差，若是计算的方法选择不当，会使误差逐步积累，最终使计算结果与准确值相差极大。因此我们应注意以下几个问题： 1、选用数值稳定的计算公式； 2、防止两个相近数相减；

3、简化计算步骤，减少运算次数；

4、防止大数“吃掉”小数，保护重要的物理力学参数 第二章 线性方程组的数值解法 2.1高斯列主元消去法

高斯消去法就是我们在线性代数中所学的方法，通过不断的消去，将一个方程组化为一个上三角形方程组，通过由下致上的回待，可以求出方程的解。

由于计算机精度的问题，不能表示非常小的数，于是引入高斯列主元消去法，它在高斯消去法的基础上，每次在系数矩阵中依次按列在主对角线及以下的元素中，选取绝对值最大的元素作为主元，将它调至主对角线上，然后用它消去主对角线以下的元素，最后变为同解的上三角方程组去求解。

2.2对称正定矩阵的平方根法

这种方法的核心思想也是高斯消去法，只是采用了不同的求解方式，对于一个方程组我们可以写成A x =b 的形式,数学家们证明有这样一个定理：

如果n 阶方阵A 的各阶顺序主子式不为零，即 a 11≠0,

22

12

2111a a a a ≠0, ， 0≠A

则方阵A 必可作LU 分解，且分解是惟一的。

通过书上讲述的方法我们可以将分解后得到的下三角矩阵L 和上三角矩阵U 求出，则有LU x =b,令U x =y 和Ly=b,运用高斯消去法可以先求出向量y,继而求出结果x 。 2.4线性方程组的迭代解法

当变量的个数较多时，常用迭代解法。线性方程组的迭代解

法，就是根据所给的方程组A x =b,设计出一个迭代公式，首先任意选取一初始向量x )

0(，将x )

0(代入迭代公式，求出x )

1(，又以x )

1(代入同一迭代公式，求出x )

2(，如此反复进行，得到一向量序列：x )

0(，x )

1(， ，x k )

(， 。若这个向量序列收敛，则其极限值就是原线性方程组的解。 迭代法分为：

雅可比迭代法：对于b Ax =，可以变化成另一钟形式

b D x U L D x 11)(--++-=，令)(B 1U L D +-=-，b D d 1-=，于是又有

d Bx x +=，迭代时可以有d Bx x k +=+)

()1k (。不断地进行迭代，直到

结果满足我们的要求为止。这种方法中初值的设定是任意的，只是为了有一个初始值以展开运算，过程中我们始终牢记最终结果满足迭代方程，从而当计算精度达到某一值时，我们就认为迭代停止。

高斯赛德尔迭代法：基本思路一样只是迭代公式变为了：

b D Ux L D x k k 1)(1)1()L ()(--++++-=，令U L D G 1)(-+-=，b L 11)D (d -+=，则

得1)()

1(d Gx x

k k +=+

超松弛迭代法：基本思想也是迭代，但引入了一个适当的松弛因子ω,从而得到一个加速迭代公式)()()()

1(k k k Ax b x x -+=+ω。

第三章 方程的近似解法 3.1跟的搜索与二分法

跟的搜索思想来源于连续函数的性质，即如果当f(x)在[a,b]上连续，又f(x)*f(b)<0,则方程f(x)=0在[a,b]内至少有一

个实根。寻找方程f(x)=0的有根区间，通常用如下两种方法：（1）作图法 （2）逐步搜索法

由跟的搜索方法又可进一步导出二分法，通过求区间中点值可以缩小搜索范围，当二分的次数足够大时，有根区间将非常小，这时的中点值可以满足我们应用时的精度要求。 3.2迭代法

一说迭代法，我们就意识到无限逼近，其实迭代法思想大同小异，同上一章的迭代思想，我们可以将方程f(x)=0变换得x=）（x ?，从而得迭代公式)(1n n x x ?=+，当迭代次数逼近无限时，

就可以认为)(*

*x x ?=。

3.3牛顿法

牛顿法也是一种迭代法，用于求f(x)=0的近似解。这里我们以另种方式逐步逼近准确值，即在根x *的附近在曲线上找一点，过此点作方程曲线的切线，它与x 轴有一个交点x 1,找x 1在曲线上的对应点并作切线，与x 轴交于x 2,如此反复进行，也可无限接近真实根x *。 3.4截弧法

实际问题中，f(x)往往比较复杂，从而)('

x f 的计算变得更加复

杂，每计算一次)('

x f

的值要花费不少时间，为了解决这个问

题，从而引入截弧法。这种方法与牛顿法思路几乎一样，只是避免了求导，最终得到的一般得到公式为

)()

()()

(111--+---

=n n n n n n n x x x f x f x f x x

第四章 插值与数据拟合

插值法与拟合法都是在已知有限个点的情况下，求出近似函数，但插值法要求所求函数必须过所有已知点，而拟合法则无此要求。

一般插值法的缺点： *不直观 *没有继承性

*高阶插值函数会出现龙格现象 4.1拉格朗日插值

列范德蒙行列式

n n

n

n

n n n x x x x x x x x x x x x

22222121102001

111

=)(1j i n

n

i j x x -∏≤<≤ 将求得的值回带，可得：

)

()(0

0k j

k j n

k

j i n k n x f x x x x x y --∑

∑=≠==

4.3差商与牛顿插值公式

拉格朗日插值法解决了一般插值法不直观的缺点，这里我们引入牛顿插值公式，可以解决继承性问题。 定义：（1）称f[x 0,x 1]=0

101)

()(x x x f x f --为函数f(x)关于点x 0,x 1的一

阶差商。

（2）f[x 0,x 1,x 2]=

020112]

[],[x x x x f x x f ---为二阶差商

（3）

10110]

,,[],,[],,,[x x x x f x x f x x x f i i i i --=

- 为i 阶差商

用电子计算机解题时，可以先构造差商表，然后按下述公式计算牛顿插值多项式：

]

,,,[)]([)()(101

10i j i j n i x x x f x x x f x N -∏∑+=-==

在差商表中，每次新来一个数（即每增加一个测量点），以前计算的结果完全可以保留，只需要计算后面的新数，解决了继承性问题。

4.5三次样条插值（样条函数）

拉格朗日插值法和牛顿插值法其实都是一般多项式插值函数的另一种写法，因此，它们都不能解决龙格现象，从而我们引入另一种方法，即样条函数。

1、首先我们想到的是分段函数，但同一个分界点在不同段的导数时不同的，会出现尖角。工程中，此处是整个系统的薄弱环节。

2、在区间[a,b]上给出一中分划

b x x x x x a n n =<<<<<=?-1210:

如果函数是s(x)满足条件

（1）s(x)是定义在区间[a,b]上的二次连续可读函数；

（2）在每个子区间[x i-1,x i ](i=1,2,...,n)上，s(x)是不超过三次的多项式。

则称s(x)是对应于分划 的三次样条函数。若在节点x i 处给定函数值),,1,0)((n i x f y i i ==，并且样条函数是s(x)满足条件

（3）s(x i )=i y ,i=0,1,2,...,n 则称s(x)为函数f(x)的三次样条插值函数。

4.6曲线拟合的最小二乘法

现实中，运用插值法我们经常遇到两个问题，一个是测量点太多，计算繁琐；一个是测量点本身就有误差，在进行插值，就把误差也考虑进去了，所以我们进一步讨论曲线拟合的最小二乘法，而其核心思想是根据偏差的平方和为最小的条件来选择）（x ?。

第五章 数值积分与数值微分 问题的提出：

)()()()(a F b F a

b

x F dx x f b a

-==?

（1）F(x)可以表示，但涉及大量计算； （2）f(x)不是初等函数； （3）f(x)没有明确表达式。 拉格朗日求积公式

??

?=∑==dx x l x f dx x L dx x f b a k n

k b

a

b a

)()()()(0

其中：)()()(0k i

k i

n

k x f x x x x x f x L --∑===

i k

i

n

k i i k x x x x x l --∑

=≠=0)(

?=dx

k l k

b a n k )()

(λ

?

=∑=)()()(0

k n k n

k b a

x f dx x f λ

5.1梯形公式、辛普生公式与柯斯特公式

这些求解方法都来源于积分的定义，即求积分就是求曲线所包围的面积，为了得到尽可能准确的解，他们用不同的方法划分积分面积，并随着划分次数的增加，误差也越来越小。 复化梯形公式： ?

+-=-∑-≈2

)

()()(110k k N k b a

x f x f N a b dx x f

)]()(2)([21-N 1

b f x f a f h

k k +∑+== 辛普生公式：

)]()2

()([6)(b f b

a f a f a

b dx x f b

a

+++-≈

? 柯斯特公式：

?

?≈dx x p dx x f b a b

a

)()(4

)](7)(32)(12)(32)(7[90

a

-b 321b f x f x f x f a f ++++=

5.2龙贝格求积公式

梯形公式的优点是算法简单，但是要达到同样的精度要求，积分区间等分为小区间的个数N 要很大，为提高收敛速度，我们引入了龙贝格求积公式。

龙贝格算法是建立在所谓区间逐次分半算法基础上的一种加速方法。 5.3高斯公式

当给定点的个数的时候，我们怎样安排才能使所求积分的精度尽可能的高呢？为解此问题，我们引入了高斯公式求积分。

我们考虑积分区间为[-1,1]的求积公式 ?

=∑≈)()(0

11

-k k n

k x f A dx x f

定理:如果节点x 0,x 1, ,x n 是n+1次多项式

ω(x)=(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2) (x-x n )的根，并且ω(x)与任意一个次

数不超过n 的多项式q(x)正交，即?

=0)()(11

-dx x q x ω

则求根公式对一切次数不超过2n+1的多项式都准确成立，

此时求积系数为dx x x x x A k k k ?-=-)

(')()

(1

1

ωω

第六章 常微分方程初值问题的数值解法

在大一学高等数学的时候，我们就接触过微分方程的解法，我们讨论过以下类型的微分求解：

?

??==00)(),('y t y y t f y i 、可分离变量法 ii 贝努力方程 )()()(n y x Q y x P dx

dy

=+ iii 、y (n)=f(x) iv 、),(''

'y y f y

=

但实际中的许多微分方程并不符合上述解法所要求的特殊形式，所以我们又引入了新的解法。

6.1欧拉方法

欧拉折线法（单步显示法）

欧拉折线法的基本思想是用一系列直线所组成的折线去近似地代替曲线，并用这些直线交点处的纵坐标y i 作为精确解y(x i )的近似值。

计算公式为：???=+=+=+),2,1()

,(01 n nh x x y x hf y y n

n n n n

预报——校正法

利用单步显示法，每一步都存在截断误差，当反复叠加，会造成误差不断积累，使最终的误差非常大，所以我们用梯形代替矩形求解，引入“预报-校正法”。

计算公式：???

?

???

++==++=+)

,(),()(211

21211

k y h x hf k y x hf k k k y y n n n n n n

6.2龙格——库塔方法

上述两种方法的优点是算法简单，但是由于它们的精度比较低，不满足工程计算的要求，所以一般都不使用，为提高精度，引入龙格——库塔方法，实际中最常用的是四阶龙格——库塔方法，其公式为：

????

?

?????

???

++=++=++==++++=+)

,()2

1,2()21,2(),()22(6

13423

12143211

k y h x hf k k y h x hf k k y h x kf k y x hf k k k k k y y n n n n n

n n n n n 6.4微分方程组及高阶微分方程 P 阶常微分方程一般表示为：0,,',,)

(=）（p y y y x F

上式可重新表示为：),,',,()1(-=p p

y y y x f y

引入变量

y 1=y,y 2='y ,)

1(-=p p y y

?????????????=====-)

,,,,(21.

1.

43'

3.

221.

p p

p p y y y x f y y y y y y y y y 然后利用我们前面所讲的方法（如四阶龙格-库塔方法）就可以求解了。

任意阶常微分方程可化简为一阶常微分方程组，即求解一阶微分方程组，就能解任意阶常微分方程。 第七章 矩阵的特征值与特征向量的计算 7.1幂法与反幂法

这两种算法又引入了迭代法的思想，运用已知的关系式及线性代数中我们学到的一些定理，通过一系列变换，我们可以

得到一个迭代公式，可以任意选定一个初值，将它带入

迭代公式进行反复循环，而当某次的迭代结果已满足精度要求时，就可以结束循环。