二次函数思想方法

二次函数思想方法
二次函数思想方法

初三数学(上)期中复习思想方法----二次函数

一、数形结合

1. 抛物线y =-x 2+bx +c 的部分图象如图所示,则关于x 的一元二次方程-x 2

+bx +c =0的解为________.

第1题 第2题 第3题

第1题 第2题 第3题

2. 二次函数的部分图象如图所示,则不等式的解集为________.

3. 如图,直线

与抛物线

交于

两点,则关于x

的不等式

的解集是______.

4. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如右表:

下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x =1;

③当x <1时,函数值y 随x 的增大而增大;④方程ax 2

+bx +c =0

有一个根大于4.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图,抛物线y = ax 2

+bx +c (a ≠0)与y 轴交于点C ,

与x 轴交于A ,B 两点,其中点B 的坐标为B (4,0) , 抛物线的对称轴交x 轴于点D ,CE ∥AB ,并与抛物线的 对称轴交于点E .现有下列结论:① a >0;② b >0 ; ③ 4a +2b +c <0 ;④ AD +CE =4.其中所有正确结论的 序号是 .

二、分类讨论

1.(2018北京)在平面直角坐标系xOy 中,直线y =4x +4与x 轴y 轴分别交于点A ,B ,抛物线y=ax 2+bx -3a 经过点A 将点B 向右平移5个单位长度,得到点C . (1)求点C 的坐标;

(2)若抛物线与线段BC 恰有一个公共点,结合函数图象,求a 的取值范围 .

x -1 0 1 3 y

-3

1

3

1

2.如图,已知抛物线与x轴交于点A、B两点,与y轴交于C点,点B的坐标为,

抛物线与直线交于C、D两点连接BD、AD.

求m的值.

抛物线上有一点P,满足,求点P的坐标.

3.如图,抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,-2.5)三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,

C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;

若不存在,请说明理由.

三、转化(或化归)

1.如图,二次函数y=-x2-x+2象与x轴交于A、B两点,与y轴交

于C点,点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,则

四边形OCDA的面积的最大值是______ .

2.(2017中考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= x2-4x+3与

x轴交于点A 、B (点A 在点B的左侧),与y轴交于点C.

(1)求直线BC 的表达式.

(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1 , y1),Q (x2 , y2) ,

与直线BC交于点N(x3 , y3) ,若x1<x2<x3,结合函数的图象,

求x1+x2+x3的取值范围.

四、函数及方程

2018西城期末)运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出,在不考虑空气阻力的条件下,小球的飞行高度h(m)与它的飞行时间t(s)满足二次函数关系,t与h的几组对应值如下表所示.

t(s)00.51 1.52…

h(m)08.751518.7520…

(1)求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围);

(2)求小球飞行3 s时的高度;(3)问:小球的飞行高度能否达到22 m?请说明理由.

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.

学习二次函数的技巧和方法

二次函数专项知识分析 知识能力目标: 1、 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数 学的方法描述变量之间的数量关系。 2、 能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系,提高有条理的思考和语言 表达能力,能根据具体问题,选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。 3、 会作二次函数的图象,并能根据图象对二次函数的性质进行分析,逐步积累研究函数性质的经验。 4、 能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 5、 理解一元二次方程与二次函数的关系,并能利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根。 考点一 二次函数的图象和性质 1、二次函数的定义和知识点:形如y=ax 2+bx+c(a ≠0,其中a 、b 、c 是常数)的函数为二次函数。 (1)、a 决定抛物线的开口方向和形状大小,当a >0时,开口向上,当a <0时开口向下;︱a ︱的值越大,开口就越小;当b=0时,抛物线的轴对称是Y 轴;当c=0时,抛物线经过原点;当b 和c 同时为0时,其顶点就是原点。 (2)、抛物线y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的顶点坐标是??? ? ? ?--a b a c ,a b 4422,对称轴方程是直线x =a b 2- ,注意:对称轴是由a 和b 决定的,与c 无关,a 和b 同号时,对称轴在Y 轴的左边,a 和b 异号时,对称轴在Y 轴的右边,简称“同左异右”。 (3)、抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与Y 轴的交点坐标为(0,c );求与X 轴的两个交点坐标的方法是令y=0,然后解关于ax 2+bx+c=0的方程,得出的x 的解就是与x 轴的交点的横坐标。这两个交点关于抛物线的对称轴对称。 2、二次函数的图象和性质。 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象是一条抛物线,a 决定抛物线的开口方向。当a >0时,抛物线的开口向上,图象有最低点;函数有最小值;且x >a b 2-时,y 随x 的增大而增大;当x <a b 2- 时, y 随x 的增大而减小;当a <0时,抛物线的开口向下, 图象有最高点,函数有最大值,且x >a b 2-时,y 随x 的增大而减小;当x <a b 2- 时, y 随x 的增大而增大。 注意:函数的最值就是顶点的纵坐标的值,即当 3、图象的平移:将二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象进行平移,就是在顶点式y=a(x-h)2+k

二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)

一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1)首先表示出线段两个端点的坐标 2)用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3)得到一个线段长关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1)首先表示出线段两个端点的坐标 2)用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3)得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴,又不平行于y轴的线段最值问题 1)以此线段为斜边构造一个直角三角形,并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2)根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3)根据“上减下,右减左”分别表示出两直角边长 4)根据勾股定理表示出斜边的平方(即两直角边的平方和) 5)得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7)根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1)一般会给出一点落在抛物线上,从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形,求其周长最值 2)可先设此点坐标,点p到x轴、y轴的距离和再乘以2,即为周长 3)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1)首先判断图形中那些边是定值,哪些边是变量 2)利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边,并求其和的最小值3)周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题(这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴,四边形必有一组对边平行于坐标轴) 1)首先表示出所需的边长及高 2)利用求面积公式表示出面积 3)得到一个面积关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1)分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2)再分别表示出分割后的几个规则图形面积,求和 3)得到一个面积关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1)利用大减小,不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到

(完整版)初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=

12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-m D . 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、(-1,1) B 、(1 ,1) C 、(0 , 1) D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = ( g 为正常数,t 为时间)如图,则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是( ) A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x = -+ D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++,若0a <,0c >,那么它的图象大致是( ) 21、根据所给条件求抛物线的解析式: (1)、抛物线过点(0,2)、(1,1)、(3,5) (2)、抛物线关于y 轴对称,且过点(1,-2)和(-2,0) 22.已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A (0,1),B (2,-1)两点. (1)求b 和c 的值; (2)试判断点P (-1,2)是否在此函数图像上? 23、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边

北师大版数学高一必修1练习 二次函数的性质

[A 基础达标] 1.函数f (x )=-x 2+4x +5(0≤x <5)的值域为( ) A . (0,5] B .[0,5] C .[5,9] D .(0,9] 解析:选D.f (x )=-x 2+4x +5=-(x -2)2+9(0≤x <5),当x =2时,f (x )最大=9;当x >0且x 接近5时,f (x )接近0,故f (x )的值域为(0,9]. 2.已知函数y =x 2-6x +8在[1,a )上为减函数,则a 的取值范围是( ) A .a ≤3 B .0≤a ≤3 C .a ≥3 D .10时,f (x )的对称轴为x =12a ,在????-∞,12a 上是递减的,由题意(-∞,2)?? ???-∞,12a , 所以2≤12a ,即a ≤14 ,综上,a 的取值范围是????0,14. 4.如果函数f (x )=x 2+bx +c 对任意的实数x ,都有f (1+x )=f (-x ),那么( ) A .f (-2)<f (0)<f (2) B .f (0)<f (-2)<f (2) C .f (2)<f (0)<f (-2) D .f (0)<f (2)<f (-2) 解析:选D.函数f (x )=x 2+bx +c 对任意的实数x 都有f (1+x )=f (-x ).可知函数f (x )图像的对称轴为x =12 ,又函数图像开口向上,自变量离对称轴越远函数值越大,故选D. 5.设二次函数f (x )=-x 2+x +a (a <0),若f (m )>0,则f (m +1)的值为( )

初中二次函数的解题方法

初中二次函数的解题方 法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

11.1班沈阳 14号 初中二次函数的解题方法 首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式:一般式:y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐 标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ; 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标 为(h,k),对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方 向与函数y=ax2的图像相同,有时题目会指出让你用配 方法把一般式化成顶点式。 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0 有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] :由 一般式变为交点式的步骤:∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴ y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x- x1)(x-x2) 重要概念:。 1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次 函数图像的顶点P。特别地,当h=0时,二次函数图像 的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号,对称轴在y轴左 b=0,对称轴是y轴;a,b异号,对称轴在y轴右侧

2.二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k ) 当 h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a 3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大 小。当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则二次函数图像的开口越小。 有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系,结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c, △及系数的代数符号。 常见问题 1、抛物线中特殊点组成的三角形问题:抛物线线中的特殊三角形主要有两类:(1)、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形;(2)、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。 解决策略是:应用平面几何的有关定理,如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。 2、二次函数的定点和动点问题:求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法,即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。

高中数学-二次函数的性质与图象练习

高中数学-二次函数的性质与图象练习课时过关·能力提升 1函数y=x2-2x+m的单调递增区间为() A.(-∞,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1] D.[-2,+∞) 解析因为二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=1, 所以单调递增区间为[1,+∞). 答案B 2函数f(x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是() A.4 B.-4 C.与m的取值有关 D.不存在 解析因为函数f(x)的图象开口向上,且对称轴x=>0, 所以f(x)在(-∞,0]上为减函数, 所以f(x)min=f(0)=4. 答案A 3二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为() A.-7 B.1 C.17 D.25 解析由已知得-=-2,解得m=-16, 故y=4x2+16x+5.当x=1时,y=4×12+16×1+5=25. 答案D 4已知二次函数f(x)=x2-ax+7,若f(x-2)是偶函数,则a的值为()

A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析由已知得f(x-2)=(x-2)2-a(x-2)+7=x2-(a+4)x+2a+11. 因为f(x-2)是偶函数, 所以其图象关于y轴对称, 即=0,所以a=-4. 答案B 5已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是() 答案D 6已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是() A.[1,+∞) B.[1,2) C.[1,2] D.(-∞,2] 解析由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图象如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图象可知m的取值 范围是[1,2]. 答案C 7已知二次函数f(x)=ax2+bx-1(a≠0).若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于() A.- B.- C.-1 D.0 解析由f(x1)=f(x2)可得f(x)图象的对称轴为x=, 故=-,即x1+x2=-,

最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线 h x =. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0c ,与y 轴交于正半轴;③0

二次函数综合题解题方法与技巧

图1 图 2 压轴题解题技巧练习 引言:解数学压轴题一般可以分为三个步骤:认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃。 一、 动态:动点、动线 1.如图,抛物线与x 轴交于A (x 1,0)、B (x 2,0)两点,且x 1>x 2,与y 轴交于点C (0,4),其中x 1、 x 2是方程x 2-2x -8=0的两个根. (1)求这条抛物线的解析式; (2)点P 是线段AB 上的动点,过点P 作 PE ∥AC ,交BC 于点E ,连接CP ,当△CPE 的面积最大时,求点P 的坐标; (3)探究:若点Q 是抛物线对称轴上的点, 是否存在这样的点Q ,使△QBC 成为等腰三 角形?若存在,请直接写出所有符合条件的 点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 二、圆 2. 如图10,已知点A (3,0),以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点,与x 轴的另一个交点为B ,过B 作⊙A 的切线l. (1)以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C (0,9),求此抛物线的解析式; (2)抛物线与x 轴的另一个交点为D ,过D 作⊙A 的切线DE ,E 为切点,求此切线长; (3)点F 是切线DE 上的一个动点,当△BFD 与EAD△相似时,求出BF 的长 . 2

高一数学二次函数在闭区间上的最值练习题

第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,求)(x f 在][n m x ,∈上的最大值与最小值。 分析:将)(x f 配方,得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422,、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m ,n]上)(x f 的最值: (1)当[]n m a b ,∈-2时,)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-, )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 (2)当),(2m a b -∞∈- 时,)(x f 在[]n m ,上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ,最大值是)(n f (3)当),(2+∞∈-n a b 时,)(x f 在[]n m ,上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ,最小值是)(n f 当0

(完整)初三数学二次函数经典习题

初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 2 2 3x y -=

11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-m D . 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、(-1,1) B 、(1 ,1) C 、(0 , 1) D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = ( g 为正常数,t 为时间)如图,则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是( ) A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x =- + D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++,若0a <,0c >,那么它的图象大致是( ) 21、根据所给条件求抛物线的解析式: (1)、抛物线过点(0,2)、(1,1)、(3,5) (2)、抛物线关于y 轴对称,且过点(1,-2)和(-2,0) 22.已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A (0,1),B (2,-1)两点.

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数;下面以a >0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标. 注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M 为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值);方 法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。

高中数学二次函数教案人教版必修一

二次函数 一、考纲要求 1、掌握二次函数的概念、图像特征 2、掌握二次函数的对称性和单调性,会求二次函数在给定区间上 的最值 3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式(三个二次)之间的紧 密关系,提高解综合问题的能力。 二、高考趋势 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系,加上三次函数的导数是二次函数,因此二次函数在高中数学中应用十分广泛,一直是高考的热点,特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点,另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。 三、知识回顾 1、二次函数的解析式 (1)一般式: (2)顶点式: (3)双根式: 求二次函数解析式的方法: ○1已知时,宜用一般式○2已知时,常使用顶点式○3已知时,用双根式更方便

2、 二次函数的图像和性质 二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线,对称轴的方程为 顶点坐标是( ) 。 (1)当0>a 时,抛物线的开口 ,函数在 上递减,在 上递增,当a b x 2- =时,函数有最 值为 (2)当0x f , 当 时,恒有 ()0.-=?ac b 时,图像与 x 轴有两个交点,.),0,(),0,(21212211a x x M M x M x M ?=-= 四、基础训练 1、已知二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的对称轴方程为x=2,则在f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)中,相等的两个值为 ,最大值为 。 2函数()322+-=mx x x f ,当]1,(-∝-∈x 时,是减函数,则实数m 的取值范围是 。 3函数()a ax x x f --=22的定义域为R ,则实数a 的取值范围是

初中数学二次函数解析

初中数学二次函数解析 一、选择题 1.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表: 下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线 9 2 t=; ③足球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解:由题意,抛物线的解析式为y=ax(x﹣9),把(1,8)代入可得a=﹣1, ∴y=﹣t2+9t=﹣(t﹣4.5)2+20.25, ∴足球距离地面的最大高度为20.25m,故①错误, ∴抛物线的对称轴t=4.5,故②正确, ∵t=9时,y=0,∴足球被踢出9s时落地,故③正确, ∵t=1.5时,y=11.25,故④错误,∴正确的有②③, 故选B. 2.抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1.若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t=0(t为实数)在﹣2<x<3的范围内有实数根,则t的取值范围是() A.-12<t≤3B.-12<t<4 C.-12<t≤4D.-12<t<3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y=-x2?2x+3,将一元二次方程-x2+bx+3?t=0的实数根看做是y=-x2?2x+3与函数y=t的交点,再由﹣2<x<3确定y的取值范围即可求解. 【详解】 解:∵y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1, ∴b=?2, ∴y=-x2?2x+3,

二次函数压轴题解题技巧

二次函数压轴题解题技巧 引言:解数学压轴题一般可以分为三个步骤:认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃。 一、动态:动点、动线 1.如图,抛物线与 x 轴交于 (1,0)、(2,0)两点,且1>2,与 y轴交于点 (0,4), A x B x x x C 其中 x1、 x2是方程 x2-2x-8=0的两个根. (1)求这条抛物线的解析式; (2)点 P是线段 AB上的动点,过点 P 作 PE∥AC,交 BC于点 E,连接 CP,当△ CPE的面积最大时,求点 P 的坐标; (3) 探究:若点 Q 是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点,使△成为等腰三角 Q QBC 形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. y C E B A 二、圆 OP 2.如图1,在平面直角坐标系xOy,二次函数 y= ax2+bx+ c( a>0)的图象顶点为D,与 轴交于点,与 x 轴交于点、,点在原点的左侧,点 B 的坐标为 (3 , 0) ,=, C A BA OB OC 1 tan ∠ACO=3.x y (1)求这个二次函数的解析式; (2)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于点 M、N,且以 MN为直径的圆与 x 轴相切,求该圆的半径长度; (3)如图 2,若点G(2 ,y) 是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上的一动点,当点 P 运动到什么位置时,△AGP的面积最大?求此时点P 的坐标和△ AGP的最大面积. y y A B E O x AC B x C C G D D 图 1图 2

最新2018高中数学二次函数试题(含答案)

二、二次函数(命题人:华师附中 郭键) 1.(人教A 版第27页A 组第6题)解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++,且()10f =,()30f =,求()1f -的值. 变式1:若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-,与y 轴的交点坐标为(0,11),则 A .1,4,11a b c ==-=- B .3,12,11a b c === C .3,6,11a b c ==-= D .3,12,11a b c ==-= 变式2:若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称,则c =_______. 变式3:若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ,且2212269 x x +=,试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到? 2.(北师大版第52页例2)图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像. 变式1:已知二次函数()2 f x ax bx c =++,如果()()12f x f x =(其中12x x ≠),则122x x f +??= ??? A .2b a - B .b a - C . c D .244ac b a - 变式2:函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-,那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是 A .()()()110f f f <-< B .()()()011f f f <-< C .()()()101f f f <<- D .()()()101f f f -<< 变式3:已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示, 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________. 3.(人教A 版第43页B 组第1题)单调性 x y O

2020年初三数学二次函数经典练习全集

1.一跳水运动员从米高台上跳下,他的高度h(单位:米)与所用的时间t(单位:秒)的关系为h=-5(t-2)(t+1),你能帮助该运动员计算一下他跳起来后多长时间达到最大高度?最大高度是多 少米? 2.篱笆墙长30m ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围. 3.已知二次函数y=ax 2 +bx +c ,当 x=0时,y=0;x=1时,y=2;x=-1时,y=1.求a 、b 、c ,并写出函数解析式. 4.求经过A(0,-1)、B(-1,2),C(1,-2)三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式. 5.已知二次函数为x =4时有最小值-3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1,求此二次函数解析式. 6. 已知抛物线经过点(-1,1)和点(2,1)且与x 轴相切. (1)求二次函数的解析式; (2)当x 在什么范围时,y 随x 的增大而增大; (3)当x 在什么范围时,y 随x 的增大而减小. 7.已知122 12 ++-=x x y (1)把它配方成y =a(x-h)2 +k 形式; (2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值; (3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标; (4)作出函数图象; (5)x 取什么值时y >0,y <0; (6)设图象交x 轴于A ,B 两点,求△AMB 面积. 8.在长20cm ,宽15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形,写出余下木 板的面积y(cm 2 )与正方形边长x(cm)之间的函数关系,并注明自变量的取值范围. 9.已知二次函数y=4x 2 +5x +1,求当y=0时的x 的值. 10.已知二次函数y=x 2 -kx-15,当x=5时,y=0,求k . 12.已知二次函数y=ax 2+bx +c 中,当x=0时,y=2;当x=1时,y=1;当x=2时,y=-4,试求a 、b 、c 的值. 13.有一个半径为R 的圆的内接等腰梯形,其下底是圆的直径. (1)写出周长y 与腰长x 的函数关系及自变量x 的范围; (2)腰长为何值时周长最大,最大值是多少? 14.二次函数的图象经过()()()4,2,4,0,0,4--C B A 三点: ① 求这个函数的解析式 ② 求函数图顶点的坐标 ③ 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积。 15.如图,抛物线y=x 2 +bx+c 与x 轴的负半轴相交于A 、B 两点,与y 轴的正半轴相交于C 点,与双曲线y= x 6 的一个交点是(1,m),且OA=OC.求抛物线的解析式. 16.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米.点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米,秒的速度移动.如果P 、Q 同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么 (1)设△POQ 的面积为y ,求y 关于t 的函数解析式; (2)当△POQ 的面积最大时,将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ,试判断点C 是否落在直线AB 上,并说明理由; (3)当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似. 17、水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克. 经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.

求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种基本方法 二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式: 1、一般式:y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式:y=a(x -h)2+k (a ≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h 。 3、交点式:y=a(x -x 1)(x -x 2) (a ≠0),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式: y=a(x -x 1)(x -x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式: 1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离,通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点(x 1、m)(x 2、m),则设成: y=a(x -x 1)(x -x 2)+m (a ≠0),再将另一个坐标代入式子中,求出a 的值,再化成一般形式即可。 探究问题,典例指津: 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解:设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得:?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得:?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x -4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(,求这条抛物线的解析式。 分析:此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2,重新设顶点式y=a(x -h)2+k (a ≠0),其中点(h,k)为顶点。 解:依题意,设这个二次函数的解析式为y=a(x -4)2 -1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

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