故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞
21、(13分) 已知函数2
()1f x x ax =++，()f x 在[3,1)x ∈-上恒有()3f x ≥-成立，求
实数a 的取值范围. 解：由于2
2
2()1()124a a f x x ax x =++=++- (i)当32
a -<-即6a >时，易知()f x 为[3,1)x ∈-上的增函数， 则min 13()(3)10333
f x f a a =-=-≥-?≤，此时a 无解； (ii)当312
a -≤-<即26a -<≤时，则2min ()()134424a a f x f a =-=-≥-?-≤≤，此时24a -<≤；
(iii)当12
a -≥即2a ≤-时，易知()f x 为[3,1)x ∈-上的减函数， 则min ()(1)235f x f a a ==+≥-?≥-，此时52a -≤≤-；
综上所述，a 的取值范围{|54}a a -≤≤.
均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题 一、选择题 1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ） A ．x 2+1≥x B ．11 2+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ） Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．2 10 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ） Ａ．（a+b ）(b a 1 1+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋ x 1 ≥2 D ．当00且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ） A ．13- B ．13+ C ．223+ D ．223- 二．填空题： 8．设x>0，则函数y=2－ x 4 －x 的最大值为 ；此时x 的值是 。 9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。 10．函数y=1 4 2-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 11．函数f(x)=2 42 +x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为 _______________．
八个著名的不等式
第八讲 几个著名的不等式 在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式 定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则 ()2 221 1n n b a b a b a Λ++≤()( ) 2 22212 222 1 n n b b b a a a ΛΛ++?++ 等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。 [一般形式的证明] 作函数 ()()()() ( ) ( ) )(22 2 222122112 2 22212 2 222 11≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ 0≤?∴ 此时04412122 1≤?? ? ????? ??-??? ??=?∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a ?? ? ????? ??≤??? ??∴∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 12122 1，得证。 [向量形式的证明] 令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ = ()()( ) 2 22212 222 1 2211cos n n n n b b b a a a B A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++?+++= ≤=++=?θ ()1cos 1≤≤-θ 两边同时平方得： ()2 221 1n n b a b a b a Λ++≤()( ) 2 22212 222 1 n n b b b a a a ΛΛ++?++，得证。
初中不等式与不等式组超经典复习
第九章不等式与不等式组 第一节、知识梳理 一、学习目标 1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义. 2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式. 3.会用数轴表示出不等式的解集. 二、知识概要 1.不等式：一般地，用不等号“＞”、“＜”表示不等关系的式子叫做不等式. 2.不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 3.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集. 4.一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 5.不等式的性质： 性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 6.三角形中任意两边之差小于第三边. 三、重点难点 重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解. 四、知识链接 本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础. 五、中考视点 不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求范围等.
1. 常用的不等号有哪些？ 常用的不等号有五种，其读法和意义是： （1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小. （2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大. （3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小. （4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量. （5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量. 2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？ （1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示. （2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义. （3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来. 根据下列关系列不等式：a的2倍与b的的和不大于3.前者用代数式表示是2a+ b.“不大于”就是“小于或等于”. 列不等式为：2a+b≤3. 3. 用数轴表示不等式注意什么？ 用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边界点不在范围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画. 在同一个数轴上表示下列两个不等式：x＞-3；x≤2.
不等式理论简史及离散型Hilbert不等式
不等式理论简史及离散型Hilbert不等式 [论文摘要]本文首先介绍了不等式理论发展的历史，然后引入了离散型Hilbert不等式，介绍了Hilbert不等式的一个初等证明，最后对Hilbert不等式的推广形式作了简要的总结。 [关键词]不等式理论 Hilbert不等式初等证明权函数 [Abstract]In this passage,we introduce the history of inequality theory first.Then we introduce the Hilber t’s inequality with a primary prof.At the end,we make a summary of a series forms of Hilbert’s inequality. [Keywords]Theory of inequality Primary proof of Hilbert’s inequality Weight function
1引言 1.1 选题背景 众所周知，不等式理论在数学理论中占有重要地位，它渗透到数学的各个领域，因而有必要对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识。 Hilbert不等式提出以来，众多数学家给出了各种证明，本文介绍了一个初等证明。同时，总结了Hilbert不等式的各种推广形式。 1.2本文的主要内容 本文的工作主要有三个方面： （1）、介绍不等式理论的发展历史 （2）、介绍Hilbert不等式并给出了一个初等证明 （3）、总结Hilbert的各种推广形式 2 不等式理论简史和Hilbert不等式 2.1 不等式理论简史 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前,对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。 在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,分别是: Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中对不等式的哲学 (philosophy) 给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。A. M.Fink 认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式. Hardy认为, 基本的不等式是初等的.自从著名数学家 G. H. Hardy,J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。
不等式与不等式组知识点归纳
第九章 不等式与不等式组 一、知识结构图 二、知识要点 （一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。 2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。 4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。 ????????????????????????????????与实际问题 组一元一次不等式法 一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321
（二、）不等式的基本性质 不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。 用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或c b c a >)；如果0,>c b a ，那么bc ac <(或c b c a <)；如果0,<(或c b c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形 式。 （注：①传递性：若a ＞b ,b ＞c ,则a ＞c . ②利用不等式的基本性质可以解简单的不等式） （三、）一元一次不等式
高中数学竞赛均值不等式讲义
均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.
高一数学必修 不等式知识点总结
不等式 一、基本不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③ a b a c b c >?+>+；④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >；⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >． 3、设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．4、均值不等式定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即 2a b ab +≥．5、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +??≤>> ???；④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ．6、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ． 例：（13-14耀华7）若2-m 与|m |-3异号，则m 的取值范围是 A、m >3 B、-33 解析：由题.323,03020302><<-∴? ??>-<-???<->-m m m m m m 或或得答案：D 例：（13-14蓟县11）已知实数的最小值为则且、y x y x R y x 12,1,+=+∈解析：22323))(12(12+≥++=++=+y x x y y x y x y x 当且仅当222y x =
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数
不等式的综合运用
不等式的综合应用 1. 不等式理论的应用主要体现在以下几个方面： （1）运用不等式研究函数问题（单调性、最值等）. （2）运用不等式研究方程解的问题. （3）利用函数性质及方程理论研究不等式问题. 例如解集之间的包含关系，函数的定义域、值域及最值问题，解析几何中有关范围问题等，都与解不等式的知识相关联. 2、不等式的解法及证明的基本应用： ①求函数的定义域、值域和最大值、最小值问题 ②判断函数的单调性及求相应的单调区间； ③利用不等式讨论方程实根的个数、分布范围和解含参数的方程； ④将不等式同数学其他知识结合起来，解决一些有实际应用价值的综合题。 3.不等式在实际中的应用是指用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.在解题时要过“阅读理解”关，阅读关是指读懂题目，能够概括出问题涉及哪些内容；理解关是指准确理解和把握这些量之间的关系，然后建立数学模型，再讨论不等关系，最后得出问题的结论. 4、解不等式应用问题的几个主要步骤： ① 审题，必要时画出示意图； ② 建模，简历不等式模型，即根据题意找出常量与变量间的不等关系，注意文字语言、符号语言、图形语言的转换； ③ 求解，利用不等式的有关知识解题。 5.运用基本不等式求最值，常见的有两类（已知x 、y 都为正数） （1）若x+y=S(和为定值)，则当 时，积xy 取得最大值 ; （2）若xy=P （积为定值），则当 时，和x+y 取得最小值 . 基础自测 1.已知a 1>a 2>a 3>0，则使得（1-a i x ）2<1(i=1,2,3)都成立的x 的取值范围是 . 2.若 则a 的取值范围是 3.若关于x 的不等式4x -2x+1-a ≥0在［1，2］上恒成立，则实数a 的取值范围为 . 4.已知点P （x,y ）在曲线 上运动，作PM 垂直于x 轴于M ，则△OPM （O 为坐标原点）的周长的最小值为 . 题型分析： 题型一 利用不等式求函数的值域 有些函数的值域可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出货求出。 例1、 求下列函数的值域 （1） （2） ,011log 22<++a a a x y 1=
第41讲--基本(均值)不等式
第41讲 基本(均值)不等式 夯实基础 【p 87】 【学习目标】 1．了解基本(均值)不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【基础检测】 1．若函数f(x)＝x ＋1 x －2 (x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 2．若a>0，b>0，且1 4 a ＋4 b ＝1，则ab 的最大值为______________． 3．若a>0，则a ＋8 2a ＋1 的最小值为__________． 4．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝????x ＋1x ??? ?y ＋1 y 的最小值为________．
【知识要点】 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥ __2ab__(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥__2__(a ，b 同号)； (3)ab ≤ ????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4) ????a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0， (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4 (简记：和定积最大)．
均值不等式含答案
课时作业15均值不等式 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 5 3 1.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( ) A V 【答案】 当且仅当3x=5y时取等号. 4 2?函数f(x)=x+~+3在(一8,一2］上( ) x A.无最大值，有最小值7 B.无最大值，有最小值一1 C.有最大值7,有最小值一1 D.有最大值一1,无最小值 【答案】D 4 【解析】Vx^-2, ：.f(x)=x+~+3 ?V = __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+3 4 =—1,当且仅当一x=—即x=—2时，取等号,
有最大值一1，无最小值.
1 4 3?己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ . 【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数，可把x+1看成一个整体，然后 将函数用x+1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的 形式特点，从而能用均值定理来处理. 【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0. “ r ?+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1 = 吊 4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)?苗+5=9 4 当且仅当x+l= 勒，即X=1时，等号成立. mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数? 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分)???当x=\时， 工+7x+l° 灯仆-1 — $ 函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9. 【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) — 【解析】 斤胃字E+芥沁+树+2胡畔 4. 求函数y= 以+7卄10 ~x+1 (Q-1)的最小值. mx+n
关于用微积分理论证明不等式的方法
关于用微积分理论证明不等式的方法 学校代码专业代码本科毕业论文(设计) 题目:关于用微积分理论证明不等式的方法 学院: 专业: 学号: 姓名: 指导教师: 年 5月 13日 填写说明 一、毕业论文(设计)须用70克A4纸计算机双面打印,具体打印格式参见教务处主页《山西财经大学普通全日制本科毕业论文(设计)写作指南》。 二、毕业论文(设计)必须按规定的要求进行装订。 1、装订顺序
封面 学术承诺 目录 中文摘要、关键词 英文摘要、英文关键词 正文 参考文献 附录(可选) 致谢 山西财经大学本科毕业论文(设计)指导教师评定表 山西财经大学本科毕业论文(设计)答辩成绩与总成绩评定表 2、装订。由学生自主装订。装订线在左侧。 3、理工科毕业设计的软件要以光盘的形式附在论文的后面(装入小袋,封口),不要单独保存,不能丢失。 4、如果毕业论文(设计)因专业特殊,无法打印的部分可以手写或手绘,但需保持页面整洁,布局合理。 毕业论文(设计)学术承诺 本人郑重承诺:所呈交的毕业论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不存在抄袭情况,论文中不包含其他人已经发表的研究成果,也不包含他人或其他教学机构取得研究成果。 作者签名:日期:
毕业论文(设计)使用授权的说明 本人了解并遵守山西财经大学有关保留、使用毕业论文的规定。 即:学校有权保留、向国家有关部门送交毕业论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 (保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名:指导教师签名: 日期:日期: 目录 中文摘要Ⅰ 英文摘要Ⅱ 第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法 1 第一节用可导函数的单调性证明不等式法 1 第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法 2 第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法 3 第四节用柯西中值定理证明不等式法 4 第五节上述几种方法小结 6 第二章用微积分理论证明不等式其他几种方法7 第一节用导数定义证明不等式法7 第二节用函数的凹凸性证明不等式8 第三节用泰勒公式证明不等式法9 第四节用幂级数展开式证明不等式法10
方程与不等式之不等式与不等式组难题汇编含答案
方程与不等式之不等式与不等式组难题汇编含答案 一、选择题 1．若关于x 的不等式组21x x a -?无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a <- C ．3a > D ．3a ≥ 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围． 【详解】 ∵关于x 的不等式组21x x a -? 无解， ∴a-1≥2, ∴a ≥3. 故选:D. 【点睛】 考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2．若a b <，则下列变形错误的是（ ） A ．22a b < B ．22a b +<+ C ．1122a b < D ．22a b -<- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质解答. 【详解】 ∵a b <，∴22a b <，故A 正确； ∵a b <，∴22a b +<+，故B 正确； ∵a b <，∴1122 a b <，故C 正确； ∵a b <，∴2-a>2-b ，故D 错误， 故选：D. 【点睛】 此题考查不等式的性质，熟记性质定理并运用解题是关键. 3．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的
平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（ ） A ．210x +90（15﹣x ）≥1.8 B ．90x +210（15﹣x ）≤1800 C ．210x +90（15﹣x ）≥1800 D ．90x +210（15﹣x ）≤1.8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,利用要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地建立不等式即可解题. 【详解】 解：由题可知只需要小明在15分钟之内走过的路程大于1800即可, 即210x+90（15﹣x ）≥1800 故选C. 【点睛】 本题考查了一次不等式的实际应用,属于简单题,建立不等关系是解题关键. 4．若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式2(1)x x a ++<成立，则a 的取值范围是( ) A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．8a > D ．8a < 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出不等式24x <的解集，再求出不等式2(1)x x a ++<的解集，即可得出关于a 的不等式并求解即可． 【详解】 解：由24x <可得：x ＜2； 由2(1)x x a ++<可得：x ＜ 23a -； 由题意得：23 a -≥2，解得：a≥8； 故答案为A ． 【点睛】 本题主要对解一元一次不等式组、不等式的解集等知识，根据题意得到关于a 的不等式是解答本题的关键． 5．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜ 13，则关于x 的不等式（m+n ）x ＞n ﹣m 的解集是（ ） A ．x ＜﹣12 B ．x ＞﹣12 C ．x ＜12 D ．x ＞ 12
基本(均值不等式)不等式知识点基础练习
VIP 免费 欢迎下载 学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语： 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求 x 1+y 1的最小值. 点拨：∵x 、y 为正数，且x +2y =1， 日期： 2012- 时间：
∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22， 当且仅当 x y 2=y x ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. （2）注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨： 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104 xy <≤相矛盾。 解析：z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< -x ∴2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 技巧三： 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 当 ,即 时,4 21)591 y x x ≥+? =+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。 22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t -+-++==++） 当,即t=时,4 259y t t ≥?=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ()(0,0)() A y mg x B A B g x =+ +>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。 例：求函数22 4 y x = +的值域。 24(2)x t t +=≥，则2 24 y x = +221 4(2)4 x t t t x =+=+≥+
等式与不等式的区别与联系
等式与不等式的区别与联系 教学目标： 1、复习等式与不等式的意义及性质。 2、复习一元一次方程与一元一次不等式（组）的意义。 3、熟练掌握解一元一次方程与一元一次不等式（组）。 4、研究等式与不等式区别及内在联系。 5、会根据题意列出一元一次方程（组）、不等式（组），从而解决带有实际意义的简单问 题。 教学重点：等式与不等式的区别与联系。 教学难点：等式、不等式、方程的综合运用。 思想品德教育：通过对本节课中一些问题的讨论，使学生初步感受归纳的思想方法。教学过程： 1、提问：什么叫等式？什么叫不等式？ 练习：说出哪些是等式？哪些是不等式？ 2、提问： ①等式和不等式的性质是什么？ ②等式性质有两条，不等式性质有三条，主要区别在哪里？ ③为什么不等式的性质1有同一个整式，但性质2和性质3没有？举例说明。 练习：
3、提问： ①什么叫做方程的解？ 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 ②什么叫做不等式的解？ 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，简称这个不等式的解集。 ③解与解集的意义一样吗？ 练习：在数轴上表示“解”或“解集” 4、提问： ①什么叫做一元一次方程及标准形式？ax+b=0(a≠0) ②什么叫做一元一次不等式及标准形式？ax+b <0 或ax+b >0(a≠0) 练习： （1）已知关于x的方程x+2k=4(x+k)+1有正数解，则k的取值范围是什么？ （2）要使方程2x= -4m+1的解在-3和2之间（包括-3和2),求m值。 5、提问： ①列方程解应用题的关键是什么？ ②用不等式解应用题的关键是什么？ ③用不等式解应用题应当注意什么？ 练习： 某校师生组织春游，如果单独租用45座客车若干辆刚好做满，如果租用60座客车可少租一辆且余30个座位。 （1）求该校参加春游人数。 （2）已知45座客车租金为250元，60座客车租金为300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多一辆，所以租金比单独租用一种客车要省，且租金不超过1500元，请你设计一下方案，租金多少元？
均值不等式练习题
均值不等式知识点: 二、习题讲解： 例1： (1)求y = x+Z(x>O)的最小值 (2)求y = x + 2(x ≥ 2)的最小值 X (3)己知x>2,求y = x+ —的最小值x-2 变式训练： 4 1.已知x>o,求y = 2- X -一的最大值 X 2.当x>-l时，求f(x)= x+ —的最小值 x + 1 3?已知xv-?求函数y=4x-2+—-一的最上值 4 4x-5 4?己知JU b. c ∈ R ?求证：a2 +b2 + c2≥ ab+bc+ ac y= 2-3x--(x>0)的最大值是2-4石 5?X 6.y = ZxH—-—,x>3 x-3 7.y = 2sinx÷-—,xu(O,τr) Sin X
例2： (1)已知OVXV丄，求y =ZX(I-2x)的最衣值 2 2 (2)已知：a、b都是正数，Ka + b = l, α=a÷i, β = b+-f求a+β的最小值a b 变式训练： 1.己知OVXV 求函数y =x(l - 3x)的最大值 2.当0 Cx <4时，求y =χ(8 - 2x)的最人值。 3.设0 2.设x ∈f θ,-1,则函数y = 2血x + 1的最小值为 2 丿 sin2x 5 Z X Y - — 4x+ S 3.己知Xnz 则f(x)=-~~ 的最小值 2 2x-4 y=手宀的最小值是 4. √X 2 + 2 IK X 2 + 7x+10 “ 一… 求y= (x>-l)的值域。 χ- + 5 6求函数y =-==的值域。 7?设x ，y,z 为正实数.且满足x-2y+3z = 0 ?则的最小值 例 4：己知a,b,cwR+,且a + b+c = l?求证：丄 + —+ - ≥9 变式训练： 1 4 1.己知a >0,b >0,a +b= 2 >则y = — +二的最小值是 2正数x 5y 满足X +2y = l,求l∕x+l∕ y 的最小值。 例3：求函数y = X - +3x+3 x+1 (x>-l)的1?小值 变式训 练:
世界数学史上的十个著名不等式
数学史上的十个著名不等式 在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式． 一、平均不等式（均值不等式） 设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数． 当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当 时等号成立． 平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一． 设，，…，是个正的变数，则 （1）当积是定值时，和有最小值，且 ； （2）当和是定值时，积有最大值，且
两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值． 在中，当时，分别有， 平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立； （3），当且仅当时等号成立； （4），当且仅当时等号成立． 二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 对任意两组实数，，…，；，，…，，有 ，其中等号当且仅当 时成立． 柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是： （1），，则 （2）
（3） 柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位． 三、闵可夫斯基不等式 设，，…，；，，…，是两组正数，，则 （） （） 当且仅当时等号成立． 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式： 右图给出了对上式的一个直观理解． 若记，，则上式为 四、贝努利不等式
