离散数学06-7
第六章集合
6.1 判别下列命题是真还是假的，并简单说明你的答案。
（1）Φ
Φ
?
解
命题为真，因为空集是任何集合的子集。
（2）Φ
∈
Φ
解
命题为假，因为空集中没有元素。
（3）}
Φ
{Φ
?
解
命题为真，因为空集是任何集合的子集。
（4）}
Φ
∈
{Φ
解
命题为真，因为集合}
{Φ中有元素Φ。
（5）}}
a
b
c
a
{c
a?
b
b
{,
,
,
,
,
}
{
,
解
命题为真，因为a和b均是集合}}
a
c
b
a中的元素。
b
,
{c
,
{,
,
,
（6）}}
c
a
b
b
a∈
{c
b
a
,
{,
,
,
,
}
{
,
解
命题为假，因为}
c
a
b
{c
a中无元素}
{b
,
a。
b
a为一集合，而集合}}
{b
,
,
,
,
{,
,
（7）}}}
{b
c
a
b
,
a?
b
a
{{
}
,
,
{
,
,
解
命题为真，因为a和b均是集合}}}
{b
a
c
b
a中的元素。
,
,
{{
,
,
（8）}}}
a
c
{b
a∈
b
a
b
,
{{
,
,
,
{
,
}
解
命题为假，因为}
c
a
b
{b
a，注意
{b
a中无元素}
,
{b
,
,
,
a为一集合，而集合}}}
,
,
{{
a
a≠。
,
b
{{b
}
,
{
}}
6.2 设}
a
b
=b
a
A，求出下列各式。
{,
},
,
,
{Φ
（1）}},,{{},{Φ=-b a b a A （2）}},,{,,{Φ=Φ-b a b a A （3）}},{,,{}{b a b a A =Φ- （4）Φ=-A b a }},{{ （5）Φ=-ΦA （6）Φ=-ΦA }{
6.3 举出三个集合B A ,和C ，使得C B B A ∈∈,且C A ?。
解
令Φ=A ，}{Φ=B ，}}{{Φ=C ，显然有C B B A ∈∈,且C A ?。 6.4 对于任意集合A 、B 和C ，判断下列论断是否正确，并论证你的答案。
（1）B A ∈，C B ?，则C A ∈。 解
该论断正确，因为B 为C 的子集且A 为B 的元素，所以A 亦为C 的元素。 （2）B A ∈，C B ?，则C A ?。 解
该论断错误，举反例说明。
令}{a A =，},},{{c b a B =，},,},{{d c b a C =。 显然，B A ∈，C B ?，但C A ?。 注意应为},,},{{}}{{d c b a a ?。 （3）C A ? ，C B ∈，则C A ∈。 解
该论断错误，举反例说明。
令},{b a A =，},,{c b a B =，}},,,{{d c b a C =。 显然，C A ?，C B ∈，但C A ?。 （4）B A ?，C B ∈，则C A ?。 解
该论断错误，举反例说明。
令},{b a A =，},,{c b a B =，}},,,{{d c b a C =。 显然，B A ?，C B ∈，但C A ?。
6.5 设S 表示某林场所有树的集合，S P T N M ?,,,，且M 是珍贵树的集合，N 是果树的集合，T 是去年刚栽的树的集合，P 是果树园中的树的集合。试写出下列各句子所对应的集合表达式。
（1）所有的珍贵树都是去年栽的。 解：T M ?。
（2）所有的去年栽的果树都在果树园中。 解：P T ?。
（3）果树园里没有珍贵树。 解：M P -。
（4）没有一棵珍贵树是果树。 解：P M -。
（5）去年仅栽了珍贵树和果树。 解：)(P M T ?? 6.6 假设C B C A ???
C B C A ???
证明B A ?。
方法一：根据集合的定义证明。 证明
对于任意一个A x ∈，根据元素与集合的关系得C x ∈或C x ?。 （1）当C x ∈时，由交集的定义知C A x ?∈，因为C B C A ???，所以C B x ?∈，根据交集的定义得B x ∈。
（2）当C x ?时，由补的定义知C x ∈，由交集的定义知C A x ?∈，因为
C B C A ???，所以C B x ?∈，根据交集的定义得B x ∈。
综上所述，B A ?。 方法二：根据等价变换证明 证明
)()()(C A C A C C A A ???=??=，
因为C B C A ???且C B C A ??? 所以)()()(C A C A C C A A ???=??=
)()(C B C B ???? B U B C C B =?=??=)( B U B =?=
故B A ?。
6.7 设A 、B 、C 是任意三个集合，证明
（1）)()(C B A C B A ?-=-- 证明
方法一：根据集合的定义证明。
（1）对于C B A x --∈?)(，根据差集的定义知，B A x -∈且C x ?，由B A x -∈得A x ∈且B x ?，由B x ?和C x ?得C B x ??，从而有)(C B A x ?-∈，因此，
)()(C B A C B A ?-?--。
（2）对于)(C B A x ?-∈?，根据差集的定义知，A x ∈且C B x ??，由C B x ??知，B x ?且C x ?。由A x ∈和B x ?得B A x -∈，又由B A x -∈和C x ?得
C B A x --∈)(，因此C B A C B A --??-)()(。
综上所述，)()(C B A C B A ?-=--。 方法二：根据等价变换证明。
)()()()()(C B A C B A C B A C B A C B A -=??=??=??=--
（2）B C A C B A --=--)()( 证明
B C A B C A B C A C B A C B A --=-?=??=??=--)()())()()(
（3）)()()(C B C A C B A ?--=-- 证明
)()()()(C B C A C B A C B A ???=??=--
)()(C B C A ??-=
)()(C B C A ?--=
6.8 完成下列题目
（1）设D C B A ??,，那么一定有)()(D B C A ???吗？又是否
)()(D B C A ???一定成立？
解
)()(D B C A ???一定成立。
对于C A x ?∈?，由并集的定义知A x ∈或C x ∈。
若A x ∈，因为B A ?，所以B x ∈，从而有D B x ?∈，因此)()(D B C A ???。 若C x ∈，因为D C ?，所以D x ∈，从而有D B x ?∈，因此)()(D B C A ???。 综上所述，)()(D B C A ???。
)()(D B C A ???一定成立。
对于C A x ?∈?，由交的定义知，A x ∈且C x ∈，因为D C B A ??,，所以由子集的定义知，B x ∈且D x ∈，因此D B x ?∈，故)()(D B C A ???。
（2）设W ?X 且Y ?Z ，那么一定有下面两式吗？
)()(Z X Y W ??? )()(Z X Y W ???
解
)()(Z X Y W ???不一定成立，举反例说明。
令全集},,,,{e d c b a U =，},{b a W =，},,{c b a X =，},{d c Y =，},,{e d c Z =。从而有，},,{e b a Y W =?，},,{c b a Z X =?，显然)()(Z X Y W ???。
)()(Z X Y W ???不一定成立，举反例说明。
令全集},,,,{e d c b a U =，},{b a W =，},,{c b a X =，},{d c Y =，},,,{e d c a Z =。从而有，},{b a Y W =?，}{b Z X =?，显然)()(Z X Y W ???。 6．9 完成下列题目
（1）若C A B A ?=?，一定有C B =吗？ 解
不一定，举反例说明。
令},,{c b a A =，},{b a B =，}{c C =，显然有C A B A ?=?，但C B ≠。 （2）若C A B A ?=?，一定有C B =吗？ 解
不一定，举反例说明。
令},,{c b a A =，},{d a B =，},{e a C =，显然有C A B A ?=?，但C B ≠ （3）若C A B A ⊕=⊕，那么一定有C B =吗？ 解
一定有C B =。
)()(B A A B A A B B ⊕⊕=⊕⊕=⊕Φ=
C C C A A C A A =⊕Φ=⊕⊕=⊕⊕=)()(
6.10 设A 、B 、C 是三个任意的集合，下列式子在什么条件下成立？证明你的结论。 （1）A C A B A =-?-)()(
解
A C A
B A =-?-)()(当且仅当Φ=??
C B A
① =>
假设Φ≠??C B A ，则C B A x ??∈，根据交集的定义知，A x ∈且B x ∈且
C x ∈。因为A C A B A =-?-)()(，所以，由A x ∈得)()(C A B A x -?-∈，根据并
集的定义知，B A x -∈或C A x -∈。
若B A x -∈，则A x ∈且B x ?，与B x ∈矛盾；
若C A x -∈，则A x ∈且C x ?，与C x ∈矛盾。 综上，Φ=??C B A 。 ②<=
对于)()(C A B A x -?-∈?，根据并集的定义知，B A x -∈或C A x -∈。 若B A x -∈，则由差集的定义A x ∈；若C A x -∈，则由差集的定义知A x ∈，从而有A C A B A ?-?-)()(；
对于A x ∈?，因为Φ=??C B A ，所以由交集的定义知，B x ?或C x ?。 若
B
x ?，则)()(C A B A B A x -?-?-∈；若C x ?，则
)()(C A B A C A x --?-∈ ，从而有)()(C A B A A -?-?。
综上所述，A C A B A =-?-)()(。 （2）Φ=-?-)()(C A B A 解
Φ=-?-)()(C A B A 当且仅当C B A ??
① =>
假设C B A ??，则A x ∈?但C B x ??，从而有B x ?或C x ?。
若B x ?，则)()(C A B A B A x -?-?-∈，因为Φ=-?-)()(C A B A ，所以
Φ∈x ，矛盾；
若C x ?，则)()(C A B A C A x -?-?-∈，因为Φ=-?-)()(C A B A ，所以
Φ∈x ，矛盾。
综上所述，C B A ??。 ②<=
假设Φ≠-?-)()(C A B A ，则)()(C A B A x -?-∈?，根据并集的定义知，
B A x -∈或
C A x -∈。
若B A x -∈，则A x ∈且B x ?，从而有C B x ??，即A x ∈?但C B x ??，因此C B A ??，与已知条件矛盾；
若C A x -∈，则A x ∈且C x ?，从而有C B x ??，即A x ∈?但C B x ??，因此
C B A ??，与已知条件矛盾；
综上所述，Φ=-?-)()(C A B A （3）Φ=-?-)()(C A B A 解
Φ=-?-)()(C A B A 当且仅当C B A ??
① =>
假设C B A ??，则A x ∈?但C B x ??，从而有B x ?且C x ?。由A x ∈且B x ?得B A x -∈；由A x ∈且C x ?得C A x -∈。由交集的定义知)()(C A B A x -?-∈，因为Φ=-?-)()(C A B A ，所以Φ∈x ，矛盾。故C B A ??。
② <=
假设Φ≠-?-)()(C A B A ，则)()(C A B A x -?-∈?，则交集的定义知，
B A x -∈且
C A x -∈，从而有A x ∈但B x ?且C x ?，由B x ?且C x ?得C B x ??。因为C B A ??，所以由A x ∈得C B x ?∈，矛盾。
综上所述，Φ=-?-)()(C A B A 。 （4）Φ=-⊕-)()(C A B A 解
Φ=-⊕-)()(C A B A 当且仅当C A B A ?=?
① =>
假设C A B A ?≠?，则B A x ?∈?但C A x ??或C A x ?∈?但B A x ??。 若B A x ?∈但C A x ??，则由B A x ?∈得A x ∈且B x ∈，由A x ∈且C A x ??得C x ?，由A x ∈和C x ?得C A x -∈，由A x ∈且B x ∈得B A x -?，因此
)()()()(C A B A B A C A x -⊕-?---∈，因为Φ=-⊕-)()(C A B A ，所以Φ∈x 。
矛盾，故C A B A ?=?。
若C A x ?∈?但B A x ??，同理可证。 ② <=
假设Φ≠-⊕-)()(C A B A ，则)()(C A B A x -⊕-∈?，根据对称差的定义知
B A x -∈且
C A x -?或C A x -∈且B A x -?。
若B A x -∈且C A x -?，由C A x -?得A x ?或A x ∈且C x ∈。若A x ?，则
B A x -?，与B A x -∈矛盾。若A x ∈且
C x ∈，则C A x ?∈。因为C A B A ?=?。
所以B A x ?∈，从而有A x ∈且B x ∈，由差集的定义知B A x -?，与B A x -∈矛盾，故Φ=-⊕-)()(C A B A 。
若C A x -∈且B A x -?，同理可证。 6.11 对下列情况，说明P 和Q 要满足什么条件。
（1）P Q P =? （2）P Q P =? （3）P Q P =⊕ （4）Q P Q P ?=? 解
（1）Q P ? （2）Q P ? （3）Φ=Q （4）Q P =
6.12 A 和B 是两个集合，对下列情况，说明A 和B 应满足什么条件。
（1）B B A =- （2）A B B A -=- 解
（1）Φ==B A
（2）B A =
6.13 设A 、B 和C 是U 的子集，并已知C A B A ?=?和C A B A ?=?，那么一定有
C B =吗？并论述你的理由。
解
一定有C B =
方法一：根据等价变换证明
C C A A C A C A B A B A B A A B =??=???=???=??=)()()()()()(
方法二：根据集合的定义证明
假设C B ≠，则C x B x ?∈?但或B x C x ?∈但
（1）若C x B x ?∈但，根据元素与集合的关系知A x ∈或A x ?。若A x ∈，则
B A x ?∈，因为
C A B A ?=?，所以C A x ?∈，由交集的定义知C x ∈，与C x ?矛
盾。若A x ?，则由补集的定义知A x ∈，从而有B A x ?∈。因为C A B A ?=?，所以C A x ?∈，由交集的定义知C x ∈，与C x ?矛盾，故C B =。
（2）若B x C x ?∈但，根据元素与集合的关系知A x ∈或A x ?。若A x ∈，则
C A x ?∈，因为C A B A ?=?，所以B A x ?∈，由交集的定义知B x ∈，与B x ?矛
盾。若A x ?，则由补集的定义知A x ∈，从而有C A x ?∈。因为C A B A ?=?，所以B A x ?∈，由交集的定义知B x ∈，与B x ?矛盾，故C B =。
6.14 求下列集合的幂集
（1）}{a （2）}}{{a （3）}}{,{ΦΦ 解
（1）}}{,{2a A Φ= （2）}}}{{,{2a A Φ=
（3）}}}{,{}},{{},{,{2ΦΦΦΦΦ=A
6.15 设}{Φ=A ，))((A B ρρ=，那么下述各式是否成立？
（1）B ∈Φ？ （2）B ?Φ？ （3）B ∈Φ}{？ （4）B ?Φ}{？ （5）B ∈Φ}}{{？ （6）B ?Φ}}{{？ 解： 均成立。
6.16 设}}{,{a a A =，下述各式成立吗？
（1）解
)(}{A a ρ∈？ 成立 )(}{A a ρ?？ 不成立
)(}}{{A a ρ∈？ 成立
)(}}{{A a ρ?？ 成立
（2）若}}{,{b a A =, （1）中各式成立吗?
)(}{A a ρ∈？ 成立 )(}{A a ρ?？ 不成立
)(}}{{A a ρ∈？ 不成立
)(}}{{A a ρ?？ 成立
6.17 设M T S ,,为任意集合，判断下列命题的真假。
（1）Φ是Φ的子集。
（2）如果M S T S ?=?，则M T =。 （3）如果Φ=-T S ，则T S =。
（4）如果U T S =?，则S ?T 。 （5）S S S =⊕ 解
（1）正确。 （2）不正确。 （3）不正确。 （4）正确。
（5）不正确。
6.18 用归纳法证明，三个连续整数的立方和能被9整除。
证明
设三个连续整数分别为n n n ,1,2--，其中2≥n 。 （1）奠基 当2=n 时
3
3
3
)1()2(n n n +-+- =3
33210++ =9，显然结论成立。
（2）归纳假设
当k n =时结论成立，则有3
33)1()2(k k k +-+-能被9整除，即存在一整数0>m ，
使得m k k k 9)1()2(3
33=+-+-。
考察1+=k n 时
3
3
3
3
3
3
)1()32()1()1(k k k k k k +-++-=+++-
=3
33223)1(33*)2(*33*)2(*3)2(k k k k k +-++-+-+-
=27)2(27)2(9)1()2(2333+-+-++-+-K k k k k =27)2(27)2(992+-+-+K k m
27)2(27)2(992
+-+-+K k m 为9的倍数。
命题成立。
6.19 证明，对任意非负整数n ，1221211+++n n 能被133整除。
证明 （1）奠基
当0=n 时，1331211121112122=+=+++n n ，显然能被133整除。 （2）归纳假设
当k n =时命题成立，则1221211+++k k 能被133整除，即存在一整数0>m ，使得1
22
12
11
+++k k =m 133。
当1+=k n 时 2
1
22
1
)1(23
12*12
11
*1112
11
++++++=+k k k k
=1212212*13312*1111*11+++++k k k =1212212*133)1211(*11+++++k k k =1212*133133*11++k m =)1211(*1331
2++k m
命题成立。
第七章 二元关系
7.1 设}2,1{=A ，作出集合A A ?)(ρ。
解
}}2,1{},2{},1{,{)(Φ=A ρ
)}2},2,1({),1},2,1({),2},2({),1},2({),2},1({),1},1({),2,(),1,{()(ΦΦ=?A A ρ 7.2 完成下列题目
（1）设D B C A ??,，证明D C B A ???。
证明
对于B A y x ?∈?),(，则根据笛卡尔积集的定义知A x ∈且B x ∈。因为
D B C A ??,，所以由A x ∈得C x ∈，由B x ∈得D x ∈，从而有D C y x ?∈),(，故
D C B A ???。
（2）给定D C B A ???，那么D B C A ??,一定成立吗？ 解
不一定成立，举反例说明。
令Φ=A ，}2,1{=B ，}3{=C ，}4{=D ，显然有)}4,3{(=??Φ=?D C B A ，但D B ?。
7.3 完成下列题目
（1）设A 是任意一个集合，Φ?A 有意义吗？
（2）给定Φ=?B A ，A 和B 是怎样的集合？ （3）A 是某一集合，那么A A A ??是可能的吗？ 解
（1）有意义， Φ=Φ?A 。 （2）Φ=A 或Φ=B 。 （3）可能，Φ=A 。 7.4 设D C B A ,,,是任意的集合。
（1）证明 )()()()(D B C A D C B A ???=??? 证明
先证)()()()(D B C A D C B A ???????
对于)()(),(D C B A y x ??∈? ，则有B A x ?∈，D C y ?∈，根据交集的定义知，A x ∈，B x ∈，C y ∈，D y ∈。由A x ∈和C y ∈得C A y x ?∈),(；由B x ∈和D y ∈得
D
B y x ?∈),(。由交集的定义知)()(),(D B
C A y x ??∈ ，故
)()()()(D B C A D C B A ???????。
再证)()()()(D C B A D B C A ???????
对于)()(),(D B C A y x ???∈?，则有C A y x ?∈),(且D B y x ?∈),(，根据笛卡尔积集的定义知A x ∈，C y ∈，B x ∈，D y ∈。根据交集的定义知，由A x ∈和B x ∈得
B A x ?∈，由
C y ∈和
D y ∈得D C y ?∈，从而有)()(),(D C B A y x ???∈，故
)()()()(D C B A D B C A ???????。
综上所述，)()()()(D B C A D C B A ???=???。 （2）判断下述式子是否恒等式？
)()()()(D B C A D C B A ???=???
解
不为恒等式，举反例说明。
令}1{=A ，}2{=B ，}3{=C ，}4{=D
则)}4,2(),3,2(),4,1(),3,1{()()(=???D C B A ，)}4,2(),3,1{()()(=???D B C A 。 显然，)()()()(D B C A D C B A ???≠???。
)()()()(D B C A D C B A ?-?=-?-
解
不为恒等式，举反例说明。
令}1{=A ，}1{=B ，}3{=C ，}4{=D
则Φ=-?-)()(D C B A ，)}3,1{()()(=?-?D B C A 。 显然，)()()()(D B C A D C B A ?-?≠-?-。
)()()()(D B C A D C B A ?⊕?=⊕?⊕
解
不为恒等式，举反例说明。
令}1{=A ，}1{=B ，}3{=C ，}4{=D
则Φ=?Φ=⊕?⊕}4,3{)()(D C B A ，)}4,1(),3,1{()()(=?⊕?D B C A 。 显然，)()()()(D B C A D C B A ?⊕?≠⊕?⊕ 7.5 设C B A ,,是任意的集合
（1）证明 )()()(C B C A C B A ???=?? 证明
先证)()()(C B C A C B A ??????
对于C B A y x ??∈?)(),(，则B A x ?∈，C y ∈。根据交集的定义，由B A x ?∈得A x ∈和B x ∈。由A x ∈和C y ∈得C A y x ?∈),(；由B x ∈和C y ∈得
C
B y x ?∈),(，从而有)()(),(
C B C A y x ???∈，因此
)()()(C B C A C B A ??????。
再证C B A C B C A ??????)()()(
对于)()(),(C B C A y x ???∈，则C A y x ?∈),(且C B y x ?∈),(。由C A y x ?∈),(得A x ∈且C y ∈；由C B y x ?∈),(得B x ∈且C y ∈。由A x ∈和B x ∈得B A x ?∈，从而有C B A y x ??∈)(),(，因此C B A C B C A ??????)()()(。
综上所述，)()()(C B C A C B A ???=??。 （2）判断下述式子是否是恒等式？
)()()(C B C A C B A ???=?? )()()(C B C A C B A ?-?=?- )()()(C B C A C B A ?⊕?=?⊕
解
I ．)()()(C B C A C B A ???=??为恒等式。 先证)()()(C B C A C B A ??????
得A x ∈或B x ∈。由A x ∈和C y ∈得C A y x ?∈),(；由B x ∈和C y ∈得
C B y x ?∈),(。根据并集的定义，由C A y x ?∈),(或C B y x ?∈),(有)()(),(C B C A y x ???∈，因此)()()(C B C A C B A ??????。
再证C B A C B C A ??????)()()(
对于)()(),(C B C A y x ???∈，则C A y x ?∈),(或C B y x ?∈),(。由C A y x ?∈),(得A x ∈且C y ∈；由C B y x ?∈),(得B x ∈且C y ∈。由A x ∈或B x ∈得B A x ?∈，从而有C B A y x ??∈)(),(，因此C B A C B C A ??????)()()(。
综上所述，)()()(C B C A C B A ???=??。 II ．)()()(C B C A C B A ?-?=?-为恒等式。 先证)()()(C B C A C B A ?-???-
对于C B A y x ?-∈?)(),(，则B A x -∈且C y ∈。根据差集的定义，由B A x -∈得
A x ∈且
B x ?。由A x ∈和
C y ∈得C A y x ?∈),(；由B x ?和C y ∈得C B y x ??),(。
根据差集的定义，由C A y x ?∈),(或C B y x ??),(有)()(),(C B C A y x ?-?∈，因此
)()()(C B C A C B A ?-???-。
再证C B A C B C A ?-??-?)()()(
对于)()(),(C B C A y x ?-?∈，则C A y x ?∈),(且C B y x ??),(。由C A y x ?∈),(得A x ∈且C y ∈；由C B y x ??),(且C y ∈得B x ?。由A x ∈且B x ?得B A x -∈，从而有C B A y x ?-∈)(),(，因此C B A C B C A ?-??-?)()()(。
综上所述，)()()(C B C A C B A ?-?=?-。 III ．)()()(C B C A C B A ?⊕?=?⊕为恒等式。 先证)()()(C B C A C B A ?⊕???⊕
得A x ∈且B x ?或A x B x ?∈且。
(a ) 当A x ∈且B x ?时。由A x ∈和C y ∈得C A y x ?∈),(；由B x ?和C y ∈得
C B y x ??),(。根据对称差的定义，由C A y x ?∈),(或C B y x ??),(有)()(),(C B C A y x ?⊕?∈，因此)()()(C B C A C B A ?⊕???⊕；
（b ）当A x B x ?∈且时，由A x ?和C y ∈得C A y x ??),(，由B x ∈和C y ∈得
C B y x ?∈),(，由对称差的定义知，由C A y x ??),(和C B y x ?∈),(得)()(),(C B C A y x ?⊕?∈，因此)()()(C B C A C B A ?⊕???⊕。
再证C B A C B C A ?⊕??⊕?)()()(
对于)()(),(C B C A y x ?⊕?∈?，则C
A y x ?∈),(且C
B y x ??),(或
C A y x ??),(且C B y x ?∈),(。
（a ）当C A y x ?∈),(且C B y x ??),(时，由C A y x ?∈),(得A x ∈且C y ∈，由
C B y x ??),(且C y ∈得B x ?。根据对称差的定义，由A x ∈和B x ?得
B A B A x ⊕?-∈，再由B A x ⊕∈且
C y ∈得C B A y x ?⊕∈)(),(，因此
C B A C B C A ?⊕??⊕?)()()(。
（b ）当C A y x ??),(且C B y x ?∈),(时，由C B y x ?∈),(得B x ∈且C y ∈，由
C A y x ??),(且C y ∈得A x ?。根据对称差的定义，由A x ?和B x ∈得
B A A B x ⊕?-∈，再由B A x ⊕∈且
C y ∈得C B A y x ?⊕∈)(),(，因此
C B A C B C A ?⊕??⊕?)()()(。
综上所述，)()()(C B C A C B A ?⊕???⊕。
7.6 设Z 是所有整数的集合。
（1）有一个自然的方式将Z Z ?中的有序对，解释为平面上的几何点吗？
（2）设1R 是Z Z ?上的二元关系，使得有序对)),(),,((d c b a 属于1R ，当且仅当
d b c a -=-。那么，1R 的几何解释是什么？
（3）设2R 是Z Z ?上的二元关系，使得)),(),,((d c b a 属于2R ，当且仅当
10)
()(2
2
≤-+-d b c a ，那么2R ，21R R ?，21R R ?，21R R -和21R R ⊕的几何解
释各是什么？
解
（1）Z Z ?中有序对解释为平面上坐标均为整数的格点。
（2）1R 为平面上两个不同的格点连线斜率为1的格点对以及相同的格点对的全体。 （3）2R 表示平面上距离小于或等于10的格点对的全体。
21R R ?：平面上两个不同的格点连线斜率为1的格点对以及相同的格点对的全体，或
平面上距离小于或等于10的格点对的全体。
21R R ?：平面上两个不同的格点连线斜率为1的格点对以及相同的格点对，且两点间
距离小于或等于10的格点对的全体。
21R R -：平面上两个不同的格点连线斜率为1的格点对以及相同的格点对且两点间距
离大于10的格点的全体。
21R R ⊕：平面上两个不同的格点连线斜率为1的格点对以及相同的格点对，且两点间
距离大于10的格点对的全体，或平面上两点间距离小于或等于10的格点对，且两个不同的格点连线斜率不为1的格点的全体。
7.7 }4,3,2,1{=A ，用图形表示下列二元关系。
（1）)}4,4(),3,3(),2,2(),1,1{(1=R 解
（2）)}1,3(),3,1(),3,2(),2,1{(2=R 解
（3）)}1,2{(3=R
1
2 3
4
4
解
7.8 已知}3,2,1{=A
)}3,1(),1,3(),2,2(),1,1{(1=R )}3,1{(2=R
)}3,3(),2,2(),1,1{(3=R
指出1R ，2R 和3R 有哪些性质？
解
1R 有对称性；
2R 有反自反性、反对称性和传递性；
3R 有自反性、对称性、反对称性和传递性。
7.9 Z 是整数集。下列关系中，哪些是自反的、反自反的、对称的、反对称的或传递的？
（1）}10||,|),{(2121211≤-∈=i i Z i i i i R 且 解
1R 有自反性和对称性。
（2）}8,|),{(2121212≥∈=i i Z i i i i R 且 解
2R 有对称性。
（3）|}|||,|),{(2121213i i Z i i i i R ≤∈=且 解
3R 有自反性和传递性。
7.10 }3,2,1{=A ，试判断下图))()()((d c b a 所表示的A 上的二元关系各有哪些性质？
解
（a ）有反自反性和对称性。 （b ）反对称性和传递性。
1
2 3 4
（c ）反自反性、反对称性。 （d ）反自反性。
7.11 已知}4,3,2,1{=A ，举出A 上一个二元关系R ，使R 恰有自反性、对称性、传递性和反对称性。
解
)}4,4(),3,3(),2,2(),1,1{(=R
7.12 已知)}3,1(),1,2(),2,1{(1=R ，)}3,2(),1,1{(2=R ，求21R ，21R R ，21~
~R R 。
解
)}3,2(),2,2(),1,1{(2
1=R
)}1,2(),3,1{(21=R R )}1,3(),1,2(),2,1{(~
1=R )}2,3(),1,1{(~
2=R )}1,3(),1,2{(~~
21=R R
7.13 设}3,2,1,0{=A ，A 上两个二元关系分别为： }2/1|),{(1i j i j j i R =+==或 }2|),{(2+==j i j i R
(a) (b)
(c)
2 3
1
2
2
试求（1）21R R （2）12R R （3）121)(R R R
解
)}3,2(),1,2(),2,1(),1,0(),0,0{(1=R
)}1,3(),0,2{(2=R )}1,2(),0,1{(21=R R )}2,3(),1,2(),0,2{(12=R R )}2,2(),1,1(),0,1{()(121=R R R
7.14 设1R ，2R 是A 上二元关系，且1R 和2R 是A 上对称的二元关系，证明：若1221R R R R ?，则1221R R R R =。
证明
对于12),(,,R R y x A y x ∈∈?，根据复合关系的定义，A z ∈?使得2),(R z x ∈且1),(R y z ∈。因为1R 和2R 是A 上对称的二元关系，所以1),(R z y ∈且2),(R x z ∈，从而有21),(R R x y ∈。已知1221R R R R ?，则12),(R R x y ∈。根据复合关系的定义知，A y ∈?1使得21),(R y y ∈且11),(R x y ∈。因为1R 和2R 是A 上对称的二元关系，所以11),(R y x ∈且21),(R y y ∈，从而有21),(R R y x ∈，因此2112R R R R ?。
综上所述，1221R R R R =。
7.15 R 是集合A 上的一个二元关系，}),(|),{(R x y y x R ∈=。 R 是自反的，R ~
是自反的吗？ R 是对称的, R ~是对称的吗？ R 是传递的， R ~
是传递的吗？若肯定是，请证明之，否则举反例说明。
解
若R 是自反的，则R ~
是自反的。
因为R 是自反的，则对于A x ∈?有R x x ∈),(，根据逆的定义知R x x ~),(∈，所以R ~
是自反的。
若R 是对称的, 则R ~
是对称的。
对于A y x ∈?,，若R y x ~
),(∈，则R x y ∈),(。因为R 是对称的，所以R y x ∈),(，
华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013-2014学年第 一 学期 考试科目： 离散结构 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题，共6页。 ②所有解答必须写在答卷上，写在试卷上不得分。 一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分） 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生，r:他可以在宿舍使用电脑，下列命题“除非他不是新生，否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集，下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x
2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系，它可以既满足对称性，又满足反对称性 B 、存在这样的关系，它可以既不满足对称性，又不满足反对称性 C 、存在这样的关系，它可以既满足自反性，又满足反自反性 D 、存在这样的关系，它可以既不满足自反性，又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是：______。 A 、R 是自反的，则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的，则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的，则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的，则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上，P 是所有人的集合，=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲}，=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲}，则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是：______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中，子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列，能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1，2，2，3，4，5
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={
《离散数学》及答案
《离散数学》+答案 一、选择或填空: 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6） 44
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).
离散数学(西安交大版)习题解第一部分(集合论部分)
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离散数学习题解答 习题一（第一章集合） 1. 列出下述集合的全部元素： 1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15} 2）B={x|x∈N∧4+x=3} 3）C={x|x是十进制的数字} [解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14} 2）B=? 3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合} 2）{小于7的非负整数集合} 3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}； 2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}； 3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性： 1）??? 2）?∈? 3）??{?} 4）?∈{?} 5）{a，b}?{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}?{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。因为空集是任意集合的子集； 2）假。因为空集不含任何元素； 3）真。因为空集是任意集合的子集； 4）真。因为?是集合{?}的元素； 5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A?B∧B∈C，则A∈C。 [解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。 3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B?C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B?C，则A?C。 3）如果A?B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A?B∧B∈C，则A?C。 [解] 1）真。因为B?C??x（x∈B?x∈C），因此A∈B?A∈C。 2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B?C，但A?C。 3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A?B∧B∈C，但A?C。 4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A?B∧B∈C，但A?C。6．求下列集合的幂集： 1）{a，b，c} 2）{a，{b，c}} 3）{?} 4）{?，{?}} 5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}} [解] 1）{?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}} 2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}} 3）{?，{?}} 4）{?，{?}，{{?}}，{?，{?}}} 5）{?，{{a，b}}} 7．给定自然数集合N的下列子集：
离散数学作业答案
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
西安交大离散数学复试题
请判断下列各题的正确性。 ⑴2A∩2B=2A∩B。 ⑵A\B=A当且仅当B=。 ⑶(A′C)\(B′D)=(A\B)′(C\D)。 ⑷设|A|=5，则A上恰有31个不同的等价关系。 ⑸设R非空集合A上的关系，R是A上可传递的，当且仅当R○RíR。 ⑹若R1，R2均为非空集合A上的等价关系，那么R1○ R2也为A上的等价关系。 ⑺设
图2 题1(15)图 2 (8分) 设(G,*)为循环群，生成元为a，设(A,*)和(B,*)均为(G,*)的子群，而ai和aj分别为(A,*)和(B, *)的生成元。 ①证明(A∩B,*)是(G,*)的子群。 ②请问：(A∩B)是否为循环群。如果是，请给出其生成元。 3 (10分) 设(A,,)是环，AA={f |f是A到A的函数}。定义AA上的运算à和*如下，设f,gAA, 对于任意的xA。 (fàg)(x)=f(x)g(x)； (f*g)(x)=f(x)g(x)； 证明：(AA,à,*)是环。 4 (6分) 设A=
厦门大学离散数学2015-2016期末考试试题答案年
一（6%）选择填空题。 (1) 设S = {1，2，3}，R 为S 上的二元关系，其关系图如右图所示，则R 具有（ ）的性质。 A. 自反、对称、传递； B. 反自反、反对称； C. 自反、传递； D. 自反。 (2) 设A = {1, 2, 3, 4}， A 上的等价关系 R = {
(4)没有不犯错的人。 五（10%）在自然推理系统Ｐ中构造下面推理的证明： 如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，则他一定学过DELPHI语言且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者Ｃ++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。 六（10%）在自然推理系统中构造下面推理的证明（个体域：人类）： 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。 七（14%）下图给出了一些偏序集的哈斯图，判断其是否为格，对于不是格的说明理由，对于是格的说明它们是否为分配格、有补格和布尔格（布尔代数）。 八（12%）设S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}，“ ”为S上整除关系， (1)画出偏序集> ,S的哈斯图； < (2)设B = { 2, 3, 4, 6, 12}，求B的极小元、最小元、极大元、最大元，下界，上界。 九（8%）画一个无向图，使它是： (1)是欧拉图，不是哈密尔顿图； (2)是哈密尔顿图，不是欧拉图； (3)既不是欧拉图，也不是哈密尔顿图； 并且对欧拉图或哈密尔顿图，指出欧拉回路或哈密尔顿回路，对于即不是欧拉图也不是哈密尔顿图的说明理由。 十（8%）设6个字母在通信中出现的频率如下： 12 13 :c :b% 45 :a% % :e% :f 9 5 : d% % 16 用Huffman算法求传输它们的最佳前缀码。要求画出最优树，指出每个字母对应的编码，n个按上述频率出现的字母需要多少个二进制数字。 并指出传输)2 ( n 10≥