证明房贷的还款额现值之和等于本金

商业银行经营管理作业

中南财经政法大学 金融学院

贷款作业：

证明：无论采用何种方式还款，还款额的现值之和均等于贷款本金即()

P r C i i

i

=+∑

=n

11,C i 为月度还款额， P 为贷款本金。

方式一：等额本息正常还款

若贷款本金为P ，月利率为r ，期限为n 月，每月还款额为C ，根据现金流贴现(discounted cash flow ，DCF)方法，有：

P=

r C +1+()21r C ++……+()1r 1-+n C +()n

C r 1+ (1) 解得，C=()()1

11r -++n

n

r r P （2） 由（2）式，()=

+∑

=n

1

2

1i i

r C r C +1+()21r C ++……+()1r 1-+n C +()

n

C r 1+ = ()()r r r P n n

+-++1111r +()()()21111r r r r P n n

+-+++……+()()()11111r -+-++n n n

r r r P +()

()()n

n n

r r r P +-++1111r =P （3） 所以，还款额的现值之和等于本金P

方式二：等额本息提前还款，即正常还款 K 期后，在第K+1 期还清所有贷款

前K 期每期还款与方式一相同为C=()()1

11r -++n

n

r r P ，而K+1期还清所有贷款，则K+1期还款额为K 期末剩余本金与之利息之和。

第一个月偿还的利息I 1 = rP ，月度还款额为C ，则第一个月偿

还的本金为P 1 = C ? rP ，将式(2)带入计算得：

=-=P C P r 1()()1

11r -++n

n

r r P -rP=()()n n r C r rP +=-+111 (4) 同理可得：()121-+=

n r C P ，以此类推，()

2

11r C

P n +=-，r C P n +=1 所以第K+1期偿还的本金

=+1k P k n n n P P P --+??++1=r C +1+()21r C ++……+()k n r C -+1=C ()()

k

n k

n r r --+-+11r 1（5）

所以K+1期还款额为P k+1 1+r =C

1+r n ?k ?1r 1+r (

)()()()()()()()()()=+-+++-+=++-++++??++++=+-+---=∑k

k n k n k k n k

n k i i i r r r C r r C r r r r C C r C r C r C 11111r 11111r 1111112n

1()

()()()

P r rP r r r rP n

n n n

=+-+?-++111111 （6） 所以，还款额的现值之和等于本金P

方式三：等额本金正常还款

设本金为P 分n 期还清，则每期偿还本金为

n

P

,第i 期初还款余额为n i )1P(n +-，所以第i 期还款额为()()n

i

r nr n i n P P Pr 1n P r 1n -++=+-+ （7）

()

()(

)()∑∑∑===+-+++=+n i i

n

i i i i

i

r i n r r nr n P r C 11n

1

1Pr 1111= ()()()

()()P r nr n r nr P r r r r nr P

n

n n n

=+---+?-+-++++1111111n 1

（8） 所以，还款额的现值之和等于本金P

方式四：等额本金提前还款，即正常还款 K 期后，在第K+1

期还清所有贷款

前K 期与方式三还款额相同，第K+1期还款额为()r 1)

P(n +-n

k ， 所以，由方式三可得

()()()()()()()

P r n k n P r nr n r nr P r r r r nr P k k k k k

=+-++---+?-+-++++11111111n 1

（9） 因此，各期还款的现值之和等于本金P

()()

()()()

=++-++=++==∑∑1k

1

n

1

1111k i i

i

i i

i

r r n k n P r C r C