Lebesgue积分的三种定义等价性证明及其应用

Lebesgue积分的三种定义等价性证明及其应用

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摘要 (3)

第一章 Lebesgue积分与Riemann积分 (5)

1.1 积分理论的发展 (5)

1.2 在n R上Riemann积分相比较于Lebesgue积分的局限性 (6)

1.3 在n R上Lebesgue积分与Riemann积分的联系 (7)

第二章 Lebesgue积分三种定义等价性证明 (9)

2.1 Lebesgue积分的三种定义 (10)

2.2 三种积分定义的等价性证明 (11)

第三章 Lebesgue积分的应用 (12)

小结 (14)

参考文献 (15)

摘要

Lebesgue积分与Riemann积分都是是分析数学研究的核心内容，这两种积分在分析数学中占有很重要的地位，本文主要研究了在n R上Lebesgue积分与Riemann积分的比较，介绍了Riemann积分的局限性，进而在Lebesgue积分与Riemann积分之间的联系与优越性方面进行一些讨论.本文着重对Lebesgue积分的三种定义给出等价性证明，并在Lebesgue积分的应用方面给出介绍。

关键词

Lebesgue积分Riemann积分等价性

Abstract

Lebesgue integral and Riemann integral are the core of the analyzed mathematical research .The two integrals in the analysis of mathematics are in an important position. We compare Lebesgue integral and Riemann in the article. After introduction of limitations of Riemann integral, we discussed Lebesgue integral to Riemann the integration of the linkage between superiority.The main points of Lebesgue three definitions for equivalence and Lebesgue integration of applications in respect to give a presentation.

Key Words

Lebesgue integral Riemann integral equivalence

第一章 Lebesgue 积分与Riemann 积分

积分是整个分析数学最基本的概念和最基本的运算。已知的积分有两种形式, 一种是作为近代数学核心的Riemann 积分 , 一种是作为现代实变函数论中心的Lebesgue 积分。数学的发展已经表明, 积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命。

第一节 积分理论的发展

微积分所说的积分是起源于17 世纪微积分的创始人牛顿和莱布尼兹所创立的微积分, 经过欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、维尔斯特拉斯、柯西、康托等数学家的努力,积分逐步的发展,后来由Darboux 以更鲜明的形式给出，最终成形于黎曼和达布,现在通常称这种积分为 Riemann 积分，它的重要性是不言而喻的.它对于处理一些逐段连续的以及一致收敛的级数来说比较方便. 并且Riemann 积分至今仍然是微积分学的主要内容之一，我们接下来了解一下Riemann 积分的定义：设)(x f 是定义在闭区间[]b a ,上的有界函数, {)(n ?}是对区间[]b a ,所做

出的划分序列：)(n ?：a=)

(0n x <)(1n x <…<)(n k n

x =b (n …),

|)(n ?|=max{)(n i x -)

(1

n i x -：1n k i ≤≤}，lim|)(n ?|=0. 若令（对每一个i 以及n ） )(n i M =sup{f(x)：)()(1n i n i x x x ≤≤-}，)

(n i m =inf{f(x)：)()(1n i n i x x x ≤≤-}，

则关于)(x f 的Darboux 上、下积分有下述等式成立：

dx x f b

a

)(?

=∑=∞

→n

k n n 1

lim )

(n i M （)(n i x -)(1

n i x -），dx x f b

a

)(?

=∑=∞

→n

k n n 1

lim )(n i m （)(n i x -)

(1n i x -）

， 若)(x f 的Darboux 上、下积分相等，则)(x f 在闭区间[]b a ,上是Riemann 可积的.记其公共值为()b

a f x dx ? ,且称它为)(x f 在闭区间[]

b a ,上的Riemann 积分.

但是19世纪的数学家们已经认识到，仅有连续函数与积分的古典理论已经不足以解决数学分析中的许多问题.而且随着实分析的理论的研究深入，人们越

来越多的接触到各种奇特的函数，而且在积分处理上还发生了一些困难，因此Riemann 积分还有一定的局限性. 而Riemann 积分是为了解决计算平面上封闭曲线围成图形的面积而产生的，它是从划分闭区间[]b a ,着手，利用极限的思想来定义的. 如果说函数)(x f 在闭区间[]b a ,上Riemann 可积，则函数)(x f 在区间必定有界，换句话说，如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上无界，则)(x f 在闭区间[]b a ,上必定不是Riemann 可积的函数.由定义可以知道这种可积函数必须是差不多基本上连续的。

为了克服古典的Riemann 积分在理论上的局限性，为使积分学有着更广泛的应用,人们期望可以将可积函数类加以扩大,这就需要对 Riemann 积分的概念进行适当的改造.而把积分学推向前进的正是Lebesgue.20世纪初，也就是1902年，Lebesgue 开创了可列可加测度的积分论，即实变函数论，也称为实分析，成功的引入一种新的积分 --—Lebesgue 积分.

如果按照Riemann 的积分思想，必须使得在划分闭区间[]b a ,后，)(x f 在多数小区间i x ?上的振幅能够足够 足够小，这迫使具有较多的激烈振荡的函数被排除在可积函数类外，对此，Lebesgue 提出，不从分割区间入手，而是一分割函数值域着手，它对于我们研究一些特殊的函数积分更为便捷.我们接着熟悉一下一般可测函数的积分定义：假设)(x f 是?E n R 上的可测函数。若积分?+E

dx x f )(，

?-

E

dx x f

)(中至少有一个是有限值，那么我们称

?

E

dx x f )(＝

?

+E

dx x f )(-?-E

dx x f )( 为)(x f 在E 上的积分；当上述右端两个积分值皆为

有限值时，则称)(x f 在E 上是可积的，或者称)(x f 是E 上的可积函数，在E 上可积函数的全体记为()E L .

第二节 在n R 上Riemann 积分相比较于Lebesgue 积分的局限性

在前面我们已经了解到在实变函数中引进Lebesgue 积分的原因是由于Rieman n 积分的局限性以及其不完备性的缺点，现在我们通过下面问题来深刻体会一下：

假设}{k t 是闭区间[]1,0中全体有理数列，现在作一函数列 ：

)(x g t ＝

{

,21,...,,1,0k t t t x =其它

...)3,2,1=k （.

显然有)(1x g ≤≤)(2x g …≤)(x g t ≤)(1x g t +≤…1≤,并且有

∞

→t lim )(x g t ＝)(x g ＝

10{

x x ，为有理数，为无理数，

这里每一个)(x g t 都是闭区间[]1,0上的Riemann 可积函数，并且积分值为0,所以有∞

→t lim

1

()t g x dx ?

＝0.

但是极限函数)(x g 并不是Riemann 可积的，这是因为

dx x g )(1

?

＝1，dx x g )(1

?

＝0，

从而也就是谈不上积分号取极限的问题.

但如果有定义在闭区间[]b a ,上的可积函数列)}({)},({x h x g t t 并且它们满足这样的关系

(),()(1,2,3,...)t t g x M h x M t ≤≤=， ，[]b a x ,∈，

∞

→t lim )(x g t ＝)(x g ，∞

→t lim )(x h t ＝)(x h ，[]b a x ,∈，

那么肯定有∞→t lim

?

b

a

t dx x g )(＝∞→t lim

?b

a

n

dx x h )(，但是)(x g 仍然可以是不存在，然而 ，

上述积分的极限值并不是依赖于)}({x g 本身，而是依赖于)(x g .既然如此就不妨定义其积分为?b

a

dx x g )(＝∞

→t lim

?

b

a

t dx x g )(，这样一来就说明了Riemann 积分的

定义太过于狭窄，因此有时我们用Riemann 积分来解决问题时会显得比较困难，这时候的Riemann 积分就表现出了我们所说的局限性.

第三节 在n R 上Lebesgue 积分与Riemann 积分的联系

我们由Lebesgue 积分与Riemann 积分的发展史可以看出，在实变函数分析中为了弥补Riemann 积分的不足，数学家们引进了Lebesgue 积分，从而使得可积函数类增加扩大，也使得复杂函数的积分变得更加容易.我们首先了解如下定理：

定理（i ）若)(x f 在I=[]b a ,上是Riemann 可积的，则)(x f 在I =[]b a ,上是Lebesgue 可积的，并且它们的积分值相同；

（ii ）若)(x f 是定义在闭区间[]b a ,上的有界函数，则)(x f 在闭区间

[]b a ,上是Riemann 可积的充分且必要条件是：)(x f 在闭区间[]b a ,上的不连续点

集是零测集.

由这个定理我们知道，如果一个函数Riemann 可积的，则这个函数一定是Lebesgue 可积的，并且它们有相同的积分值.这样我们在计算Lebesgue 积分时，可以先考虑其是否是Riemann 可积的，如果是Riemann 可积的，则可以化成为Riemann 积分来计算.Riemann 积分是数学分析中我们很熟悉的，且对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，Riemann 积分是作为广义积分来定义的.但是广义的Riemann 积分的函数并不一定是Lebesgue 可积的.例如函数：

)(x f =1,[,1),0,2,4,...1,[,1),1,3,5...

x n n n x n n n ∈+=??-∈+=?

则)(x f 为区间),0[+∞上的几乎处处连续的函数，但是)(x f 在区间),0[+∞上的Riemann 积分积分是不存在的.这说明定理中（i ）的结论通常只对于正常积分是成立.另外（在无穷区间上），广义的Riemann 可积的函数倒未必是Lebesgue 可积的.而使（广义）Riemann 可积函数非Lebesgue 可积的原因通常是由于Lebesgue 积分具有绝对可积性.例如，

)(x f ＝1, )(x g ＝

10 {

x x ， 是无理数

，是有理数，([]1,0∈x ).

显然)(x g 在闭区间[]1,0上是有界函数，且有

m （{[]1,0∈x ：)(x f ≠)(x g }）＝0,

但是分段函数)(x g 在闭区间[]1,0上却不是Riemann 可积的函数，而且从定理（ii ）中我们可以看出，对于闭区间[]b a ,的有界函数而言，其Riemann 可积性并非由该函数在不连续点处的性态所致，而是取决于它的不连续点集的测度.

第二章 Lebesgue 积分三种定义等价性证明

第一节 Lebesgue 积分的三种定义

通常定义Lebesgue 积分的方法主要有三种。下面现分别详细描述这三种定

义，再依次证明它们之间的等价性。

定义1 设()f x 是()n E R mE ?<∞上的非负可测函数. 我们定义()f x 是E 上的Lebesgue 积分 ()()()sup {():()E

E

h x f x x E

f x dx h x

dx h x ≤∈=

?? 是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞；若()E

f x dx ? <∞，则称()f x 在E 上Lebesgue 可积。

设()f x 是n

E R ?上的可测函数，若积分(),()E E

f x dx f x dx +

-?? 中至少有一个是

有限值，则称()()()E

E

E

f x dx f x dx f x dx +-=-???为()f x 是E 上的勒贝格积分;当

上式右端两个积分值皆为有限时,则称()f x 是E 上是勒贝格可积的。

定义2 设()f x 是()n E R mE ?<∞上的非负可测函数。即存在1,A B R ∈，使

()[,]f E A B ?。若012:n D A y y y y B =<<<<= 是[A,B]的任意分割，设

1{|(),}i i i E x y f x y x E -=≤<∈，任取1[,]i i i y y ξ-∈ 1,2,,i n =???，作和1

i i i mE ξ=∑，

如果存在一个常数J, 使对[,]A B 的任意分割和介点i l 的任意选取，都有

1lim n

i i i mE λξ→=∑存在，且0

1

lim n

i i i mE λξ→=∑=J ，则称()f x 在E 上是可积的。

定义3设()f x 是()n E R mE ?<∞上的有界可测函数。作E 的任意分割

1

:n

i i D E E ==?，其中i E 为互不相交的非空可测子集。设sup ()i

i x E B f x ∈= ，

inf ()i

i x E A f x ∈=，则D 的大和及小和为1n D i i i S B mE ==∑ 1

n

D i i i s A m

E ==∑设()f x 在E 上

的上下积分为()sup D E

D

f x dx S =?，()sup D E

D

f x dx S =?。若()()E

E

f x dx f x

dx =??，则称()f x 在E 上是可积的。

第二节 三种积分定义的等价性证明

证明1 定义1 ?定义2

设()f x 是E 上的有界可测函数，按定义1可积，()E

J f x dx =<∞?；由文献[1]

中的定理知，设1

n

i i E E ==?，i E 都可测且两两不相交，则有

1

2

()()()()n

E

E E E f x dx f x dx f x dx f x dx =++???+?

??

?

设()A f x B ≤≤，对区间[A,B]进行分割：012n A y y y y B =<<

1{|(),}i i i E x y f x y x E -=≤<∈，任取1[,)i i i y y ξ-∈， 对0ε?>，只要mE

ε

λ<，

那么就有

11

1

|()||()|i

n n n

i i i i E

E i i i mE f x dx mE f x dx ξξ===-=-=∑∑∑??

11

1

|[()]||[]|i

i

n

n

i i i E E i i f x dx y y dx ξ-==-≤-≤

∑∑??1

i

n

E i dx mE mE

ε

λε=<

=∑?

故0

1

lim ()n

i i E

i mE f x dx J λξ→===∑?，这样()f x 在E 上按定义2是可积的，且积

分值相同。

证明2 定义2?定义3

设()f x ’在E 上有界可测，()A f x B ≤≤，且按定义2可积，

()E

J f x dx =<∞?，

则对区间[A,B]进行分割：012n A y y y y B =<<，0δ?>，当|λδ<时，有0

1|lim |n

i i i mE J λξε→=-<∑，设

inf{()}sup{()}i

i

i i x E x E A f x B f x ∈∈== 于是，1i i i i y A B y -≤≤≤，1

n

i i D i J AmE s ε=-<=∑，

有sup ()D D E

D

J S S f x dx ε-≤≤=?而 0δ?>，1[,]i i i y y ξ-?∈，使i i B mE

ε

ξ<+

，

于是1

1

n n

i i i i i i B mE mE mE

ε

ξ==<+

∑∑，1

1

n n

i i i i i mE mE J ξδεδ===+<++∑∑由δ的任意性可

知 1

n

D i i i S B m

E J ε==≤+∑，有

()inf D D E

D

f x dx S S J ε=≤≤+?

从而()()E

E

J f x dx f x dx J εε-≤≤≤+??

由ε的任意性可知，()()E

E

f x dx f x dx J ==??，这样()f x 在E 上按定义3是可积

的，且积分值相同。

证明3 定义3?定义1

()f x 在E 上按定义3是可积，由文献[3]可得出f 在E 的任意可测子集上可积。

令{|0()}E x E f x '=∈≤，{|()0}E x E f x ''=∈≤ 则

()()(),E

E

E

f x dx f x dx f x dx +-=-?

??

而'''()sup{:D E

f x dx s D =?是'E 的可测分划，'D s 是小和数}，设J={():()E

h x dx h x ?是E 上简单函数0()()}h x f x +≤≤，又设集K={'':D s D 是'E 的可测分划，'D s 是小和数，对'D s '

1

,n i i i A mE ==∑'inf ()i

i x E A f x ∈=，显然'

'1

0,,n

i i i A E E =≥= 令

(){

1,2,0,i i A x E h x i n x E '

∈==???''

∈ 则()h x 是定义在

E

上的简单函数且0()(),h x f x +≤≤并且

''

1

()n

i i D E

i h x dx AmE s ===∑?

,从而'D s J ∈,于是sup sup K J ≤，反过来，若()h x 是E

上简单函数，使0()()h x f x +≤≤，则有''()0,h x x E =∈，从而有E 的可测分划D 使''

'1n

i D E E ==+ ，使

,(){0,i i C x E h x x E '

∈=''

∈ i=1,2,…，n

而()(),h x f x +≤于是'0(),,i i C f x x E +≤≤∈ 从而''inf (),.i

i i i x E C A f x x E +∈≤=∈

{}'

'1

1

()sup ,i i i

n n

i i i i D D E

D i i h x dx C m

E A mE s s ===≤=≤∑∑?

得sup{():()

E

h x dx h x ?是E 上简单函数，0()()}sup sup .h x f x J K +≤≤=≤故sup sup J K ≤，从而sup J 为有限数并且sup (),E

J f x dx +=?即按照第三种定义计算出的积分值()E

f x dx +?与按

照第一种定义计算出的积分值相等；同理可证

''''''''''

1

()[()]sup{{:,inf {()}}sup{():()i

n

i i i D D E

E

E

x E i f x dx f x dx s s AmE A f x h x dx h x -

∈==-===-=∑?

??是E 上简单函数，0()()}h x f x ≤≤-，这样()f x 在E 上按定义1是可积的，且积分值相同。

第三章 Lebesgue 积分的应用

我们知道有些函数在区间上虽然不Riemann 可积，但是却Lebesgue 可积.这里有一道例题，我们来讨论一下：

例.函数3,()1x f x ?=??在无理点

，在有理点

在闭区间]1,0[上是否Riemann 可积？是否

Lebesgue 可积？如果可积并且计算闭区间]1,0[上的积分值.

解析：在闭区间]1,0[上，除了点x =1外，)(x f 都间断，因而)(x f 在区间]1,0[上不Riemann 可积，但是)(x f 在闭区间]1,0[上有界可测，所以)(x f 在闭区间]1,0[上Lebesgue 可积.因为)(x f =(),..x a e φ，)(x ?=3x ，所以

?1

)()(dx x f L =?1

)()(dx x L ?=dx x L ?1

3)(

而)(x ?=3x 在闭区间]1,0[上Riemann 可积.从而有

?

10

)()(dx x f L =dx x L ?10

3)(=dx x R ?1

3)(=

4

1

. 从这道题中我们可以看出Lebesgue 积分与Riemann 积分在计算上还是一定的不同.其中Lebesgue 积分更占优势.

例.求积分dm x

x 2

1

0)1ln (

?- 解析：设)(x g n =x nx n 21ln -，1≥，x ∈（0,1）,则)(x g n 非负并且连续，进

而可测，且)(1

x g n n ∑∞

==2)1ln (x x -，用分步积分知xdx nx R n 2101ln )(?- =22

n ,所以

有

)(x g n 1 ∈（

（0，1））,)()(1

0x g L n ?dm=22

n

, dm x g n n ∑?

∞

=11

)(=∑∞

=1

22n n =32

π<∞，

由Levi 定理我们知道)(1

x g n n ∑∞

=收敛且和函数2

)1ln (x x -可积，并且有

dm x x 21

0)1ln (?-=dm x g n n )(101?∑∞==dm x g n n ∑?∞=110)(=32

π. 从这个例子可以看出，如果我们充分地利用Lebesgue 积分的性质，各种收敛定理，以及理解掌握Lebesgue 积分与Riemann 积分的之间的关系，就可以使问题得以解决.

小结

通过上述讨论，我们可以了解到Lebesgue 积分与Riemann 积分的发展史、积分理论的建立、Riemann 积分相比较Lebesgue 积分的局限性和不完备性、以及Lebesgue 积分的优越性主要都表现在哪里, 这些都说明了Lebesgue 积分是Riemann 积分的发展和延伸，是Riemann 积分的一种推广,它能够解决Riemann 积分在一些函数积分上所不能解决的问题，但是其本身也存在着不足,同时也说明数学是在不断的发展与前进的.它会随着人们对它们的不断认识与理解、研究与探索，从而发展出更广义的,更完美的积分，性质更好的，更能解决一些奇特复杂函数的积分，我们也相信积分的发展也会越来越完善.

参考文献

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