人教版高中数学必修5《算法与程序框图》教案(有答案)

算法与程序框图

※知识回顾

1．算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．

2．程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．

3．程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构．

4．算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言．

5．算法的基本特征：

①明确性：算法的每一步执行什么是明确的；

②顺序性：算法的“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续；

③有限性：算法必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行；

④通用性：算法应能解决某一类问题．

※典例精析

例1．如图所示是一个算法的程序框图，则该程序框图所表示的功能是

解析：首先要理解各程序框的含义，输入a，b，c三个数之后，接着判断a，b的大小，若b小，则把b赋给a，否则执行下一步，即判断a与c的大小，若c小，则把c赋给a，否则执行下一步，这样输出的a是a，b，c三个数中的最小值．所以该程序框图所表示的功能是求a，b，c三个数中的最小值．

评注: 求a，b，c三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程序框图来表示．

例2．下列程序框图表示的算法功能是（ ）

（1）计算小于100的奇数的连乘积 （2）计算从1开始的连续奇数的连乘积

（3）计算从1开始的连续奇数的连乘积， 当乘积大于100时，计算奇数的个数 （4）计算 ≥1×3×5××n 100成立时n 的最小值

解析：为了正确地理解程序框图表示的算法，可以将执行过程分解，分析每一步执行的结果．可以看出程序框图中含有当型的循环结构，故分析每一次循环的情况，列表如下: 第一次:13,5S i =?=；第二次:135,7S i =??=；

第三次:1357,9S i =???=，此时100S <不成立，输出结果是7，程序框图表示的算法功能是求使 ≥1×3×5××n 100成立时n 的最小值．

选D ．

评注:通过列表，我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量是怎样变化的，这正是程序运行的本质所在．本题若要求编写求使 ≥1×3×5××n 100成立时n 的最小值的程序框图或程序时，很容易弄错输出的结果，应注意．

例3．在音乐唱片超市里，每张唱片售价为25元，顾客如果购买5张以上（含5张）唱片，则按九折收费，如果购买10张以上（含10张）唱片，则按八折收费，请设计算法步骤并画出程序框图，要求输入张数x ，输出实际收费y (元)．

分析:先写出y 与x 之间的函数关系式，有25(5)22.5(510)20(10)x x y x x x x

=≤

，再利用条件结构画程序框图．

解： 算法步骤如下: 第一步，输入购买的张数x ，第二步，判断x

是否小于5，若是，计算25y x =；

27?x =

否

是 输出X

1i i =+ 11?i >

否

否则，判断x

是否小于10，若是，计算22.5y x =；否则，计算20y x =． 第三步，输出y ． 程序框图如下:

评注:凡必须先根据条件做出判断，然后再决定进行哪一个步骤的问题，在画程序框图时，必须引入判断框，采用条件结构设计算法．如果变量分三级(或以上)时，就需要用到条件结构的嵌套，不能忽视结果中“是”、“否”的书写，否则不知道执行哪一条路径．一般地，分n 段的分段函数，需要引入1n -个判断框．条件结构有以下两种基本类型．

例4．画出求222

111

123100+

+++ 的值的程序框图． 分析:这是一个有规律的数列求和问题，每次都进行了相同的运算，故应用循环结构进行算法设计． 解:程序框图如下:

(1)当型循环 (2)直到型循环

评注: (1) 解题关键是选择好计数变量i 和累加

变量S 的初始值，并写出用i 表示的数列的通项公式是；(2)循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和，累乘求积等问题．在循环结构中，要注意根据条件，设计合理的计数变量、累加(积)变量以及它们的初始值等，特别要注意循环结构中条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次或少一次循环．（3）循环结构分为两类：一类是当型循环结构，如下左图所示；另一类是直到型循环结构，如下右图所示．

变式训练画出求222

111147100++++ 的值的程序框图． 解：程序框图如下:

例5．某工厂2005年的生产总值为200万元，技术改进后预计以后后每年的年生产总值都比上一年增长5%．设计一个程序框图，输出预期年生产总值超过300万元的最早年份及2005年到此年份之前(不包此年份)的年生产总值的和．

分析:本例可用循环结构来实现． (1) 确定“循环体”:设a 为某年的年生产总值， n 为年份，S 为年产值的总和，则循环体为

(2)初始化变量: n 的初始值为2005，a 的初始值为200，S 的初始值为0． (3)设定循环控制条件:300a > 解: 程序框图如下:

评注:本问题的关健是设计好循环体，注意S S a =+与n 之间的对 应关系．本题若将S S a =+放在1n n =+之后，则输出时须重新 赋值1n n =-，否则n 的值为超过300万的年份的下一年．本题 也可用当型循环结构来表示．

变式训练：设计一个程序框图，求使1235000S n =????> 的最小n 的值，并输出此时S 的值． 解：程序框图如下：

※基础自测

,0.05,1.

S S a a a a n n =+=+=+

一、选择题

1．下列说法正确的是（ ）

A ．算法就是某个问题的解题过程；

B ．算法执行后可以产生不同的结果；

C ．解决某一个具体问题算法不同结果不同；

D ．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施．

1．解析：选项A ，算法不能等同于解法；选项B ，例如：判断一个正整数是否为质数，结果为“是质数”和“不是质数”两种；选项C ，解决某一个具体问题算法不同结果应该相同，否则算法构造的有问题；选项D ，算法可以为很多次，但不可以无限次．选B ．

2、如图所示的程序框图中，则第3个输出的数是( ) A ．1 B ．

32 C ．2 D ． 52

2．解析：前3个分别输出的数是1，

3

2

，2．故选C ． 3．如图给出的是求20

1

614121+???+++的值的一个程序框图，

开始

1

2

A =

1N =

1

2

A A =+

1N N =+

4?N >

结束

是 否

输出A

开始

00S T ==，

T T n =+ S S n =+

2?n ≥

结束

是

否 输出S T 、

输入n

1n n =- 1n n =- 其中判断框内应填入的条件是（ ）

A ．i >10?

B ．i < 10?

C ．i >20?

D ．i < 20? 3．解析：通过列表，我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量 是怎样变化的， 第一次:1

1,,42

i S n ===， 第二次:11

2,,624

i S n ==

+=，…依此可知循环的条件是i >10?．选A 4．阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2550，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2500 D ．2500，2550

第3题图

第4题图

4．解析：依据框图可得

1009896...22550S =++++=，999795...12500T =++++=．选A ．

5．2006年1月份开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过1600元的免征个人工资、薪金所得税，超过1600元部分需征税．设全月总收入金额为x 元，前三级税率如下左表所示：

开始

结束

输入x

输出0

输出①

输出②

0

1600

2100

否

否

否

是

是

是

级数 全月应纳税金额1600x -

税率 1 不超过500元部分 5% 2 超过500至2000元部分 10% 3 超过2000至5000元部分

15% ……

……

……

当工资薪金所得不超过3600元，计算个人所得税的一个算法框图如图． 则输出①、输出②分别为( )．

A ．0.05;0.1x x

B ．0.05;0.1185x x -

C ． 0.0580;

0.1;x x - D ．0.0580;

0.1185x x --

5．解析: 设全月总收入金额为x 元， 所得税额为y 元，则y 与x 之间的函数关系为

0(01600)(1600)5%(16002100)25(2100)10%(21003600)x y x x x x <≤??

=-<≤??+-<≤?

选D ．

二、填空题

6．执行右边的程序框图，若p =0．8，则输出的n =________．

开始

S=0 输入G i ，F i

i=1 S= S ＋G i ·F i

i ≥5? i= i ＋1

N

Y 输出S 结束

6．解析:第一次循环后，10.82S =<，此时n =2；第二次循环后，11

0.824

S =+<，此时n =3；第三次循环后，111

0.8248

S =

++>，此时4n =，输出，故填4． 7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：

在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为________. 解析:由流程图

1122334455

S G F G F G F G F G F =++++4.50.12 5.50.20 6.50.407.50.28.50.08=?+?+?+?+? 6.42=

故填6．42．

8．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =________.

序号i 分组 （睡眠时间）

组中值（i G ）

频数 （人数）

频率（i F ）

1 [4,5) 4.5

6 0.12

2 [5,6) 5.5

10 0.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4 [7,8)

7.5 10 0.20

5

[8,9]

8.5

4

0.08

8．解析：2461002550S =++++= 三、解答题

9．请阅读下面程序框图，说明此程序的功能

解：程序功能是求s 的值．2

6

122...2s =++++，并输出s

10．已知函数22(2)(0)4

(0)(2)(0)x x y x x x ?+

==??->?

，请画出程序框图，要求输入自变量x 的值，输出函数值y ． 10．解:

11．画出一个计算151015100????? 的程序框图． 11解：程序框图如下

12、甲、乙两位同学为解决数列求和问题，试图编写一程序．两人各自编写的程序框图分别如图1和如图2．

（Ⅰ）根据图1和图2，试判断甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是否一致? 当n ＝20时分别求它们输出的结果；

（Ⅱ）若希望通过对图2虚框中某一步（或几步）的修改来实现“求首项为2，公比为3的等比数列的前n 项和”，请你给出修改后虚框部分的流程图．

开始

输入n

i ＝1

S ＝0

a ＝2

S ＝S ＋a

a ＝a+2

i ＝i+1

i>n 输出S

结束

是

否

图2

开始 输入n

i ＝0

S ＝0

i=i+1

S=S+2

输出S

结束 i ≤n?

否

是

图1

12、解：（Ⅰ）输出结果一致．当n＝20时，

图1的结果为2＋4＋6＋…＋38＋40＝2×（1＋2＋3＋…＋20）＝420

图2的结果为2＋4＋6＋…＋38＋40＝2×（1＋2＋3＋…＋20）＝420 （Ⅱ）修改后虚框部分的流程图为