直线及其方程题型专练

直线知识点梳理

题型一：直线的倾斜角与斜率

例1：已知两点)5,3(),2,1(--B A 。

（1）求直线AB 的斜率；（2）求直线AB 方程；（3）求直线与坐标轴围成三角形的面积。 思考题1 （1）直线013

cos

3

sin

=--π

π

y x 的倾斜角是（ ）

3.

πA 4.πB 3.πC 2

.πD （2）直线077

cos 7sin =++π

πy x 的倾斜角是（ ）

7-.πA 75.πB 76.πC 7

.πD

（3）斜率为2的直线经过点（3，5），（a ，7），（-1，b ）三点，则a,b 的值是（ ）

0,4.==b a A 3,4.-=-=b a B 3,4.-==b a C 3,4.=-=b a D

（4）已知直线PQ 的斜率为3-，将直线绕点P 顺时针旋转0

60所得到的直线的斜率为（）

3.A 3-.B 0.C 31.+D

（5）直线0=++c by ax 同时经过第一，第三，第四象限，则a,b,c 满足（ ）

0bc 0,ab .<>A 0,0.>>bc ab B 0,0.<

（6）过点），（2-1M 的直线与x 轴，y 轴分别交于P ,Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线方程为（ ）

0y 2x .=+A 042.=--y x B 032.=++y x C 052.=--y x D

（5）若直线l 过点），（21-M 且与点），（3-2-P ，），（04Q 为端点的线段恒相交，则l 的斜

率的取值范围是。

题型二：求直线方程

例2：求适合下列条件的直线的方程： （1）在y 轴上的截距为-5，倾斜角的正弦值是

5

3； （2）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等； （3）经过点A （-1，-3），斜率等于直线x y 3=斜率的2

思考2

（1）直线l 过点M （-2，5），且斜率为直线23+-=x y 的斜率的

4

1，则直线l 的方程为（ ） 01443.=-+y x A 0144y -3x .=+B 014-3y 4x .=+C 01434.=+-y x D

（2）直线14)2(322

2

+=+++-m y m m x m m ）（在x 轴上的截距为1，则实数m 的值为（ ）

212.或

A 21-2.或

B 21-2-.或

C 2

1

2-.或D （3）根据所给条件求直线方程：

①直线过点（-4，0），倾斜角的正弦值为

1010

；

②过点（2，1）且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程； ③直线过点（5，10），且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之积为4的直线方程；

题型三：直线方程的应用

例3：已知点)1,4(-A ，)2,8(B 和直线01:=--y x l ，动点),(y x P 在直线l 上，求

PB PA +的最小值。

思考3:

（1）已知在ABC ?中，顶点)5,4(A ，点B 在直线022:=+-y x l 上，点C 在x 轴上，求

ABC ?周长的最小值。

（2）过点)1,2(P 作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A,B 两点，求： ①ABO ?面积的最小值及此时直线l 的方程；

②求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； ③求PB PA 的最小值及此时直线l 的方程。

（3）直线l 过点)4,6(P ，与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B 点，O 为坐标原点，

点M 为线段AB 上一点，且直线OM 的斜率为4，当A O M ?的面积S 最小时，求点M 坐标。

题型四：对称问题

例

4：已知直线0

1

3

2:=

+

-y

x

l，点)2

,1

(-

-

A。求：

1）点A关于直线l的对称点A'的坐标；

2）直线0

6

2

3:=

-

-

y

x

m关于直线l的对称直线m'的方程；

3）直线l关于点)2

,1

(-

-

A对称点的直线l'的方程。

思考4

（1）光线从)2

,4

(-

-

A点射出，射到直线x

y=上的B点后倍直线x

y=反射到y轴上的C 点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过)6,1

(-

D，求BC所在的直线方程。

（2）求出下面对应的点及线：

1）直线0

1

:=

+

+y

x

l关于点)2,0(P对称的直线；

2）点)2,1

(-

Q关于直线0

2

2

:=

+

-y

x

l对称的点；

3）直线032:=-+-y x l 关于直线x y 2=对称的直线。

题型五：两条直线的位置关系

例5：已知直线062:1=++y ax l 和直线

)1(:22-+y a x l （1）试判断1l 与2l 是否平行； （2）当21l l ⊥时，求a 的值。

思考5

（1）若两直线0)2()1(:1=++++m y m x l ，062:2=++y mx l 平行，则实数m 的值是（ ）。

2-1.或A 1.B 2-.C 不存在.D

（2）若直线024:1=-+y mx l ，052:2=+-n y x l 垂直，垂足为),1(p ，求实数n 的值（ ）。

12.-A 2-.B 0.C 10.D

（3）若曲线4

x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为（ ）。

034.=--y x A 054.=-+y x B 034.=+-y x C 034.=++y x D

（4）已知两直线06:1=++my x l ，023)2(:2=++-m y x m l 。根据下面21l l 的位置关系，求实数m 的值或取值范围。

1）相交； 2）垂直； 3）平行； 4）重合。

（5）已知两条直线04:1=+-by ax l ，0)1(:2=++-b y x a l ，求满足下面条件的b a ,的值。

1）21l l ⊥，且1l 过点)1,3(--；

2）21//l l ，且坐标原点到这两条直线的距离相等。

综合练习

[基础训练A 组]

一、选择题

1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（）

A ．1=+b a

B ．1=-b a

C ．0=+b a

D ．0=-b a

2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）

A ．012=-+y x

B ．052=-+y x

C ．052=-+y x

D ．072=+-y x

3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）

A ．0

B ．8-

C ．2

D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（）

A ．第一、二、三象限

B ．第一、二、四象限

C ．第一、三、四象限

D ．第二、三、四象限

5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）

A ．045,1

B ．0135,1-

C ．0

90，不存在 D ．0180，不存在

6．若方程014)()32(2

2

=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（）

A ．0≠m

B ．2

3-

≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2

3

-

≠m ，0≠m 二、填空题

1．点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________。

2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________。 3.若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为___________________。 4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则2

2

x y +的最小值是________________。 5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

三、解答题

1．已知直线Ax By C ++=0，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么条件时是x 轴； （3）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（4）系数满足什么条件时只与x 轴相交；

2．求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程。

3．经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。

4．过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．

直线和方程 [综合训练B 组]

一、选择题

1．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）

A ．524=+y x

B ．524=-y x

C ．52=+y x

D ．52=-y x

2．若1(2,3),(3,2),(,)2

A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）

Ａ．21 Ｂ．21

- Ｃ．2- Ｄ．2

3．直线x a y

b

221-=在y 轴上的截距是（）

A ．b

B ．2b -

C ．b 2

D ．±b

4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（）

A ．(0,0)

B ．(0,1)

C ．(3,1)

D ．(2,1)

5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）

A ．平行

B ．垂直

C ．斜交

D ．与,,a b θ的值有关

6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）

A ．4

B

C

D 7．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）

A ．3

4

k ≥

B ．324k ≤≤

C ．3

24

k k ≥≤

或 D ．2k ≤ 二、填空题

1．方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。

2．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 3．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则2

2

b a +的最小值为。

4．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n 重合，则n m +的值是___________________。

５．设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点。

三、解答题

1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2．一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。

4．直线1y x =+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2

P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值。

[提高训练C 组]

一、选择题

1．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）

A ．-

13

B ．3-

C ．

13

D ．3

2．若()()

P a b Q c d ，、，都在直线y mx k =+上，则PQ 用a c m 、、表示为（）

A ．()a c m ++12

B ．()m a c -

C ．

a c m -+12

D ．a c m -+12

3．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（）

A ．

2

3 B ．

32 C ．32- D ．2

3

- 4．△ABC 中，点(4,1)A -,AB 的中点为(3,2)M ,重心为(4,2)P ，则边BC 的长为（）

A ．5

B ．4

C ．10

D ．8

5．下列说法的正确的是 （）

A ．经过定点()

P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程

x a y

b

+=1表示 D ．经过任意两个不同的点()

()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程

()()()()y y x x x x y y --=--121121表示

6．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（）

A ．360x y +-=

B ．320x y -+=

C ．320x y +-=

D ．320x y -+=

二、填空题

1．已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于直线x y -=对称，直线3l ⊥2l ，则3l 的斜率是______。2．直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转0

90得直线l ，则

直线l 的方程是。

3．一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________。 4．若方程02222=++-y x my x 表示两条直线，则m 的取值是。 5．当2

1

0<

1．经过点(3,5)M 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？

2．求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程。

3．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 2

1=上，求2

2PB PA +取得最小值时P 点的坐标。

4．求函数()f x =的最小值。

答案[基础训练A 组]

一、选择题

1.D tan 1,1,1,,0a

k a b a b b

α=-=--

=-=-= 2.A 设20,x y c ++=又过点(1,3)P -，则230,1c c -++==-，即210x y +-= 3.B 42,82m k m m -=

=-=-+ 4.C ,0,0a c a c

y x k b b b b

=-+=->< 5.C 1x =垂直于x 轴，倾斜角为090，而斜率不存在 6.C 2

2

23,m m m m +--不能同时为0 二、填空题

1.

22d == 2.234:23,:23,:23,l y x l y x l x y =-+=--=+ 3.250x y --='101

,2,(1)2(2)202

k k y x --=

=-=--=-- 4.822x y +

可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d ==

5.2

3

y x =

平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点(3,2) 三、解答题

1.解：（1）把原点(0,0)代入Ax By C ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零即0A ≠且0B ≠；（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即0B =且0C ≠；（4）0,A C ==且

B ≠（5）证明：

()

00P x y ，在直线

Ax By C ++=0

上

00000,Ax By C C Ax By ∴++==--()()000A x x B y y ∴-+-=。

2.解：由23503230x y x y +-=??--=?，得1913

9

13x y ?

=????=??

，再设20x y c ++=，则4713c =-472013x y +-=为所求。

3.解：当截距为0时，设y kx =，过点(1,2)A ，则得2k =，即2y x =； 当截距不为0时，设

1,x y a a +=或1,x y a a

+=-过点(1,2)A ， 则得3a =，或1a =-，即30x y +-=，或10x y -+=

这样的直线有3条：2y x =，30x y +-=，或10x y -+=。 4.解：设直线为4(5),y k x +=+交x 轴于点4

(

5,0)k

-，交y 轴于点(0,54)k -， 1416

5545,4025102S k k k k

=?-?-=--=

得22530160k k -+=，或22550160k k -+= 解得2,5k =

或8

5

k = 25100x y ∴--=，或85200x y -+=为所求。

[综合训练B 组]

一、选择题

1.B 线段AB 的中点为3(2,),2

垂直平分线的2k =，3

2(2),42502

y x x y -=---= 2.A 2321,,132232

AB

BC m k k m --+===+-

3.B 令0,x =则2y b =-

4.C 由13kx y k -+=得(3)1k x y -=-对于任何k R ∈都成立，则30

10

x y -=??-=?

5.B cos sin sin (cos )0θθθθ?+?-=

6.D 把330x y +-=变化为6260x y +-=

，则d ==

7.C 3

2,,4

PA PB l PA l PB k k k k k k ==≥≤,或 二、填空题

1.2方程1=+y x

2.724700x y ++=，或724800x y +-=

设直线为7240,3,70,80x y c d c ++====-或

3.3

22b a +的最小值为原点到直线1543=+y x 的距离：155

d =

4．

44

5

点(0,2)与点(4,0)关于12(2)y x -=-对称，则点(7,3)与点(,)m n 也关于12(2)y x -=-对称，则3

712(2)22

3172n m n m ++?-=-???-?=-?-?，得235215m n ?=????=??

5.11

(,)k k

1=+by ax 变化为()1,()10,ax k a y a x y ky +-=-+-=

对于任何a R ∈都成立，则0

10

x y ky -=??-=?

三、解答题

1.解：设直线为2(2),y k x -=+交x 轴于点2

(

2,0)k

--，交y 轴于点(0,22)k +， 122

2221,4212S k k k k

=?+?+=++=

得22320k k ++=，或22520k k ++= 解得1

,2

k =-

或2k =- 320x y ∴+-=，或220x y ++=为所求。

2.解：由4603560

x y x y ++=??

--=?得两直线交于2418(,)2323-

，记为2418

(,)2323A -，则直线AP 垂直于所求直线l ，即43l k =

，或245

l k = 43y x ∴=

，或24

15

y x -=， 即430x y -=，或24550x y -+=为所求。 1. 证明：,,A B C 三点共线，AC AB k k ∴=

即

()()()

c y f a f b f a c a b a

--=--

()[()()]c c a

y f a f b f a b a -∴-=--

即()[()()]c c a

y f a f b f a b a

-=+

-- ()f c ∴的近似值是：()()()[]f a c a

b a

f b f a +---

3.解：由已知可得直线//CP AB ，设CP

的方程为,(1)3

y x c c =-

+>

3AB c ===

，3y x =+过1(,)2P m

得

13,2m =+=

[提高训练C 组]

一、选择题 1.A 1

tan 3

α=- 2.D

PQ a =

==-3.D (2,1),(4,3)A B -- 4.A (2,5),(6,2),5B C BC = 5.D 斜率有可能不存在，截距也有可能为0

6.B 点(1,1)F 在直线340x y +-=上，则过点(1,1)F 且垂直于已知直线的直线为所求 二、填空题

1.2-1223131

:23,:23,,,2222

l y x l x y y x k k =+-=-+=

+==- 2.70x y +-=(3,4)P l 的倾斜角为0

4590135,tan1351+==- 3.4160x y -+=，或390x y +-= 设44

4(3),0,3;0,34;33412y k x y x x y k k k k

---=+==

-==+-++= 2413110,31140,4,3

k k k k k k --=--===-或

4.1

5.二0

21

,1210

1k x ky x k k kx y k k y k ?

=?-?

三、解答题

1.解：过点(3,5)M 且垂直于OM 的直线为所求的直线，即

33

,5(3),3552055

k y x x y =--=--+-=

2.解：1x =显然符合条件；当(2,3)A ，(0,5)B -在所求直线同侧时，4AB k =

24(1),420y x x y ∴-=---=420x y --=，或1x =

3.解：设(2,)P t t ，

则2

2

22222

(21)(1)(22)(2)101410PA PB t t t t t t +=-+-+-+-=-+

当710

t =

时，2

2PB PA +取得最小值，即77(,)510P

4.解：()f x =(,0)x

到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作点(1,1)关于x 轴对称的点(1,1)-

min ()f x ∴==