6、万有引力定律和航天.(C级).学生版

知识点1 天体的运动 1．人类对天体运动的认识过程

公元150年，希腊天文学家托勒密提出了地心说．他认为地球是静止不动的，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动，地球是宇宙的中心．到了公元1543年，波兰科学家哥白尼发表了《天体运行论》，否定了地心说，提出了日心说．

由于地心说比较符合人们的日常经验（太阳从东边升起，在西边落下，好像太阳绕地球运动），同时也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以地心说统治了人们很长时间．但是随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多．如果把地球从天体运动的中心位臵移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位臵，换一个角度来考虑天体的运动，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了．因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战胜了谬误．

日心说虽然比地心说更进一步，但还需要发展．因为地球、太阳都在不停地运动，不可能静止．太阳与九大行星组成太阳系，只不过是宇宙中的一个小星系，太阳系本身也在宇宙中不停地运动着． 2．开普勒三定律

（1）内容：

①开普勒第一定律：又称轨道定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．

②开普勒第二定律：又称面积定律，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．

③开普勒第三定律：又称周期定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比

值相等．用公式表示：3

2R k T

，其中比例常数k 与行星无关只与太阳有关．

（2）对开普勒三定律的理解

①开普勒三定律是实验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，主要是从运动学的角度描述了行星绕太阳的运动规律．

②开普勒三定律否定了天体运行的圆轨道想法，建立了正确的行星轨道理论，而且准确地给

知识框架

万有引力定律和航天

出了太阳的位臵；它还指出行星绕太阳运行时离太阳较远速率小，离太阳较近速率大；开普勒第三定律提示了周期和轨道半径的关系，该定律具有普遍性，后面将学到的人造卫星也涉及相似的常数，此常数与卫星无关，只与地球质量有关．

（3）天体运动与地面上物体匀速圆周运动的比较：

①天上、地上的物体都遵循牛顿运动定律，当天体轨道近似圆周时，天体运动可看成是匀速圆周运动，与地面上物体的匀速圆周运动遵循的圆周运动规律是相同的．

②向心力来源不同．天体做圆周运动的向心力是天体间的万有引力（即将学到）提供的，地面上圆周运动的向心力可以由任何性质的力充当． ③天体运动时圆周运动的周期都较长，角速度都很小． ④天体运动都较复杂，一般是既有自转，又有公转．

知识点2 万有引力定律 1．万有引力定律的发现历程

在开普勒等科学家的努力下，人们已经清楚行星如何运动，行星运动的轨道怎样，太阳与行星的位臵关系，人们又开始探讨一个新的问题：行星为什么这样运动?

17世纪前，人们思考这类问题后认为：圆周运动是最完美的，因而神圣和永恒的天体必然应该做匀速圆周运动，无需什么动因．

当时的人知识比较缺乏，又受到迷信思想的影响，多数人都赞同这样的观点，这种想法被后来的一些观点所取代，很多科学家的意见不一致．

（1）伽利略：认为一切物体都有合并的趋势，这种趋势导致物体做圆周运动． （2）开普勒：行星绕太阳运动着，一定是受到了来自太阳的类似于磁力的作用．

（3）笛卡儿：认为行星的运动是因为在行星的周围有旋转的物质作用在行星上，使得行星绕太阳运

动．

（4）胡克、哈雷；行星围绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是

圆形的，它所受的引力大小跟行星到太阳的距离的二次方成反比．

（5）牛顿：在前人研究的基础上，凭借他超凡的数学能力证明了，如果太阳和行星问的引力与距离

的二次方成反比，则行星的轨迹是椭圆，并且阐述了普遍意义下的万有引力定律．

2．万有引力定律

（1）推导过程：

①简化轨道：把实际的椭圆轨道看成是圆形轨道，天体做匀速圆周运动．

②圆周运动条件：F F =引力向，即2

v F m r

=．

③开普勒定律的运用由于2r v T π=

，则22221()4r r

F m m T r T

ππ==? 32

2'22224()4r m m m k k T r r r ππ===，其中32r k T

=，'24k k π=，所以2m F r ∝=．

④牛顿第三定律的结论：太阳对行星的引力与行星质量成正比，与距离平方成反比，而根据牛顿第三定律可知太阳对行星的引力与行星对太阳的引力大小相等，性质相同．因此行星对太阳的引

力一定与太阳质量成正比，因此'2m m

F r

∝．

（2）定律内容：

把上面的结论写成等式2mm

F G

r

=，此式即为万有引力定律的公式表达形式． 定律内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正

比，跟它们距离的二次方成反比．

公式中的G 叫做引力常量，11226.6710N m /kg G -=??．

物理意义：对于任何物体来说，G 值都是相同的，它在数值上等于质量为1kg 的两个物体，相距1m

时的相互作用力．

3．对万有引力定律的理解

（1）适用条件：

①当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，直接使用万有引力定律计算．

②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们之间的引力也可直接用公式计算，但式中r 是指两球心间距离．

③当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力． （2）万有引力的性质：

①普遍性：万有引力存在于任何两个有质量的物体之间． ②相互性：万有引力的作用是相互的，符合牛顿第三定律．

③一般物体之间虽然存在万有引力，但是很小，天体与物体之间或天体之间的万有引力才比较显著．因此在涉及天体运动时，才考虑万有引力． （3）万有引力定律的意义：

①万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一，将天地间的规律统一起来，第一次提示了自然界中的一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑． ②消除了人们的迷信思想，使人们有信心、有能力理解天地间的各种事物，解放了思想，在科学文化的发展上起到了积极的推动作用．

知识点3 重力、重力加速度与万有引力的关系 1．地球上的重力和万有引力的关系

在地球表面上的物体所受的万有引力F 引可以分解成物体所受的重力mg 和随地球自转而做圆周运动的向心力F ，如图所示，其中2Mm

F G R

=引，而2F mr ω=，

（1）当物体在赤道上时，F 引、mg 、F 三力同向，此时F 达到最大值

2max F mr ω=，重力加速度达到最小值2min 2F F M

g G

R m

R

ω-=

=-引； （2）当物体在两极的极点时，0F =，F mg =引，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为max 2

M g G

R =； 因为地球自转角速度很小，2

2Mm G mR R ω ，所以在一般情况下计算时认为2

Mm mg G

R =。 2．天体表面的重力和重力加速度

在质量为M 、半径为R 的天体表面上，若忽略天体自转影响，质量为m 的物体的重力加速度g 可以认为是由万有引力产生的，则2

Mm mg G

R =，得：2M

g G

R =（R 为天体半径，M 为天体质量）。 由此可得不同星球表面重力加速度的关系为：2121

2212

g R M g R M =?

3．求某高度处的重力加速度

设离星球表面高度为h 处的重力加速度为h g ，则2()h Mm mg G R h =+，则2

()h

M

g G R h =+， 重力加速度随高度的增加而减小。

星球表面的重力加速度和某高度处的重力加速度之间的关系为：2

2()h g R g R h =

+

例题精讲

【例1】 天文观测表明，几乎所有远处的恒星（或星系）都在以各自的速度背离我们运动，离我们越远的

星体，背离我们运动的速度（称为退行速度）越大；也就是说，宇宙膨胀．不同星体的运行速度v 和它们离我们的距离r 成正比，即v Hr =，式中H 为一常量，称为哈勃常数，已由天文观测测

定．为解释上述现象，有人提出一种理论，认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的．假设大爆炸后各星体都以不同的速度向外匀速运动，并设想我们就位于其中心，则速度越大的星体现在离我们越远，这一结果与上述天文观测一致．

由上述理论和天文观测结果，可估算宇宙年龄T ，其计算式为T ________．根据近期观测哈勃常数2310m/(s .)H ly -=??，ly 是光在一年中进行的距离，由此估算宇宙的年龄约为________年．

【例2】 大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于137亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化至今的大

部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。上世纪末，对1A 型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径R 和宇宙年龄的关系，大致是下面哪个图像（）

【例3】 太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从

的某一规律的图像．图中坐标系的横轴是0lg(/)T T ，纵轴是0lg(/)R R ；这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，0T 和0R 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是（）

【例4】 美国天文学家宣布，他们发现了可能成为太阳系第十大行星的以女神“塞德娜”命名的红色天体，

如果把该行星的轨道近似为圆轨道，则它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的470倍，是迄今为止发现的离太阳最远的太阳系行星，该天体半径约为1000km ，约为地球半径的

．由此可以估算出它绕太阳公转的周期最接近（） A ．15年

B ．60年

C ．470年

D ．104年

【例5】 （1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a 的三次方与它的公

转周期T 的二次方成正比，即，k 是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运

动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k 的表达式。已知引力常量为G ，太阳的质量为M 太。

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为 3.84×108m ，月球绕地球运动的周期为 2.36×106S ，试计算地球的质M 地

。

（G=6.67×10-11Nm 2/kg 2，结果保留一位有效数字）

【例6】 牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万

有引力定律的过程中，牛顿（）

A ．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想

B ．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F ∝m 的结论

C ．根据F ∝m 和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F ∝m 1m 2

D ．根据大量实验数据得出了比例系数G 的大小

【例7】 如下图所示，在半径R ＝20cm 、质量M ＝168kg 的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为

要，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量m ＝1kg 、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是d ＝2m ，试求它们之间的相互吸引力．

61

3

2a k T

=

【例8】 两个质量均为M 的星体，其连线的垂直平分线为AB 。O 为两星体连线的中点（如图所示），一个

质量为M 的物体从O 沿OA 方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是（） A ．一直增大 B ．一直减小 C ．先减小，后增大

D ．先增大，后减小

【例9】 地球赤道上物体的重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上的

物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的（）

A ．

a

g

B ．

a

a

g + C ．

a

a

g - D ．

a

g

【例10】英国《新科学家（New Scientist ）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500

双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R 约45 km ，质量M 和半径R 的关系满足（其中c 为光速，G 为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（） A ．8210/m s

B ．10210/m s

C ．12210/m s

D ．14210/m s

【例11】已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天，利用上

述数据以及日常的天文知识,可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为（） A ．0.2

B ．2

C ．20

D ．200

【例12】火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度

2

g

竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为起动前17

18

，已知地球半径为R ，求火箭此时离地面的高度（g 为地面附近的重力加速度）。

2

2M c R G

=

【例13】已知月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8

（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多

少？

（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物

体的水平射程之比为多少？

知识点4天体质量和密度的计算 1．天体质量的计算

（1）建立天体的运动模型

由于天体（如太阳）的质量通常都比较大，根据一般的方法是难以测定的，必须设计恰当的方法才能解决．在天文学上，通常是通过绕该天体运行的行星的一些信息来实现对该天体（我们称之为中心天体）质量或密度的测量．

我们通常以某一行星为研究对象，把该行星看成质点，它绕中心天体做匀速圆周运动，建立的是匀速圆周运动模型．

（2）已知行星的公转半径r ，公转周期T ，设行星的质量为m ，中心天体质量为M ．

那么由万有引力定律得：22

2(

)F m r m r T

πω==向 根据圆周运动规律，F F =万向，即2

22()Mm G m r r T π=，所以232

4r M GT π=．

即如果知道绕中心天体（如太阳）运行的行星（如地球）的运行半径和运行周期，就可以求中心天体的质量．

（3）已知天体：半径R 和天体表面的重力加速度g ，根据2Mm

mg G R =得2gR M G

=．

（4）已知行星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度v 和轨道半径r ，根据2

2GMm v m r r

=，

得：2

rv M G

=．

（5）已知行星绕中心天体运行的线速度v 和周期T ，根据22GMm mv r T π

=?和22GMm mv r r

=

得：32v T

M G

π=．

2．天体密度的测定

知识框架

（1）天体质量测出后，如果能求出天体的体积，那么天体的密度可以测定，即

33

323

24343

M r r R V

GT R GT πρπ==

=?

式中r 为行星的公转轨道半径，R 为中心天体的半径，T 为行星的公转周期． 若行星为中心天体的近地卫星，则r R ≈，中心天体的密度2

3GT π

ρ=

． （2）天体半径与天体表面的重力加速度已知时，根据2gR M G =，求出天体质量2

gR M G

=，则天体密

度233443

M gR g

V GR

G R ρππ===

?． 3．“星体自转不解体”模型

指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴（某点）做匀速圆周运动，其特点为：

①具有与星球自转相同的角速度和周期；

②万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力．

因此，它既不同于星球表面附近的卫星环绕星球做匀速圆周运动（二者轨道半径虽然相同，但周期不同），也不同于同步卫星的运转（二者周期虽相同，但轨道半径不同）．这三种情况又极易混淆，同学们应弄清．

知识点5 圆周运动各物理量与轨道半径的关系

1．基本方法：将天体运动或卫星运动看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，因此可以根据万有

引力定律、牛顿第二定律及向心力公式来求解各类问题．

222

22

4πMm v r F G m mr m r r T ω====

式中M 为中心天体的质量，m 为环绕天体的质量，n a v ω、、和T 分别表示环绕天体做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度和周期．根据问题的特点条件，灵活选用的相应的公式进行分析求解． 2．当天体做稳定的匀速圆周运动时，天体a 、v 、ω、T 、、r 间的关系如下：

222

22221(')4πGM ma a a g r r v

m v v r Mm F G F r m r m r T T T ωωω?

→=→???→=??

===?

?=→→??

?→=

??万向∝轨道所在处重力加速度

知识点6 人造卫星和宇宙速度 1．人造卫星的动力学特征

人造卫星绕地球运行而不逃离地球，地球对其的万有引力是唯一束缚力．故此，任何卫星在正常

运行时，其轨道平面必须经过地球质心（可粗略地认为质心与地心重合）．否则，卫星便会在地球引力作用下，逐渐偏离既定的轨道而坠落．如图所示三种轨道中，b 、c 轨道经过地心，可以存在，而a 轨道不存在．

2．人造卫星的运动学特征（1m 为地球质量，r 为卫星轨道半径）

人造卫星绕地球做圆周运动时，由万有引力提供环绕地球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律： （1）由2

1222m m v G m r r

=

得v =∴r 越大，v 越小．

（2）由2

122

2

m m G

m r r ω=

得ω=∴r 越大，ω越小． （3）由122224m m G m r r T

π

=

得T =∴r 越大，T 越大．

取6400km r R ==代入有min 84min T =．这是地球卫星的最小周期，任何实际卫星的周期均大于该值． 3．三种宇宙速度

（1）第一宇宙速度（环绕速度）

卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度17.9km/s v =，此值为人造卫星在地面附近做匀速圆周运动所必须具有的速度，叫第一宇宙速度．同时它也是发射卫星的最小速度，小于这个速度，不可能发射卫星．

求第一宇宙速度有两种方法： ①由2

2Mm v G m R R

=

，得v =

②由2

v mg m R

=

，得v

其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，M 为该星球的质量，R 为该星球的半径，g 为该星球表面的重力加速度．依据已知条件，灵活选用计算公式． （2）第二宇宙速度（脱离速度）

卫星或飞船要想脱离地球的引力束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，称为第二宇宙速度，其大小为11.2km/s ． （3）第三宇宙速度（逃逸速度）

地面上的物体发射出去，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，称为第三宇宙速度，其大小为16.7km/s ．

4．人造卫星的有关问题

（1）注意区别人造卫星的发射速度和运行速度

人造卫星的发射速度和运行速度是两个不同的概念．所谓发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装臵时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服

地球引力上升一定高度，进入运行轨道．注意：发射速度不是应用“多极运载火箭”发射时，被发射物离开地面发射装臵时的初速度，这是因为多级火箭在高空还要消耗燃料，不断供应能量．要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．若发射速度等于第一宇宙速度，卫星只能“贴着”地面近地运行．如果使人造卫星在距离地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度．

所谓运行速度，是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度．当卫星“贴着”

地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度．根据v =

动半径r 越大），运行速度越小．实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，所以卫星的实际运行速度一定小于发射速度．人造卫星的发射速度与运行速度之间的大小关系是：

11.2km/s 7.9km/s v v >>发射运行≥．

（2）注意区别天体半径R 和卫星轨道半径r

卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径，所以r R h =+。当卫星贴近天体表面运动时，0h →，可以近似认为轨道半径等于天体半径。 （3）注意区别自转周期和公转周期

卫自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间，公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动一周的时间。一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如：地球的自转周期为24小时，公转周期为365天。

（4）注意区别近地卫星与同步卫星（通信卫星）

①近地卫星其轨道半径r 近似等于地球半径R ，其运动速度7.9/v km s =

=，是所有卫星的最大绕行速度；运行周期85min T =，是所有卫星的最小周期；向心加速度29.8/a g m s ==，是所有卫星的最大加速度。

②地球同步卫星是指，位于赤道上方，相对于地面静止的、运行周期与地球的自转周期(24h)T =相等的卫星，这种卫星主要用于全球通信和转播电视信号．又叫做同步通信卫星．

同步卫星是本考点的一个重要问题，也是近年来高考的热点，其特点可概括为“六个一定”． 位臵一定（必须位于地球赤道的上空） 周期一定(24h)T = 高度一定4( 3.610km)h ≈? 速率一定 3.1km/s v ≈（）

向心加速度一定2(0.228m/s )n a ≈

运行方向一定（自西向东运

行）

一颗同步卫星可以覆盖地球大约40%的面积，若在此轨道上均匀分布3颗通信卫星，即可实现全球通信（两极有部分盲区）．为了卫星之间不相互干扰，相邻两颗卫星对地心的张角不能小于

3?，这样地球的同步轨道上至多能有120颗通信卫星．可见，空间位臵也是一种资源．

5．卫星的超重与失重

卫星在进入轨道的加速上升过程及返回前的减速下降阶段，由于具有向上的加速度而超重；

卫星在进入轨道后的正常运转过程中，做匀速圆周运动，由万有引力完全充当向心力，产生指向地心的向心加速度，卫星上的物体对支持面和悬绳无弹力作用，处于完全失重状态．平常由压力产生的物理现象都会消失，水银压强计失效、天平失效，但弹簧秤不失效，只是测不出重力了．

【例14】科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t ，若已知万有

引力常量为G ，月球绕地球运动（可视为匀速圆周运动）的周期为T ，光速为c ，地球到月球的距离远大于它们的半径。则可求出地球的质量为（） A ．233

2

c t π

B ．233

2

4c t GT π

C ．233

24c t GT π

D ．233

2

16c t GT π

【例15】2009年12月24日,美国的一个研究小组宣布，他们在蛇夫星座中发现一颗富含水份的行星“GJl214b”。

“GJl214b”距离地球约40光年，体积约为地球的2.7倍，质量约是地球的6.5倍，环绕着一颗比太阳小且温度低的红矮星运行，轨道半径为209万公里，公转周期为38小时。已知地球半径为6400km ，地球表面的重力加速度g 取29.8/m s ，引力常量G 取11226.6710N m kg --???。由以上信息可估算出（）

A ．红矮星的质量

B ．红矮星的密度

C ．“GJl214b”行星的质量

D ．“GJl214b”行星的密度

【例16】科学家观察到太阳系外某恒星有—行星，并测得该行星绕恒星运行一周所用的时间为1200年。

行星与恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。假定行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆形轨道。则利用以上数据可以求出的量有（） A ．行星与地球的质量之比 B ．恒星与太阳的质量之比 C ．恒星与太阳的密度之比

D ．行星与地球的运行速度之比

【例17】1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的

人，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为1T （地球自转周期），一年的时间2T （地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离1L ，地球中心到太阳中心的距离为2L ．你估算出（）

例题精讲

A ．地球的质量

B ．太阳的质量

C ．月球的质量

D ．可求月球、地球及太阳的密度

【例18】组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率。如果超过了该速率，

星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T 。下列表达式中正确的是（） A ． B ． C ．

D ．

【例19】中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登

月及月球基地选址做准备.设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A ．计时表一只，B ．弹簧测力计一个，C ．已知质量为m 的物体一个，D ．天平一台（附砝码一盒）。在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N 圈所用的时间为t 。飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，科学家利用上述两次测量数据便可计算出月球的半径和质量。若已知万有引力常量为G ，则：

（1）简述机器人是如何通过第二次测量得到物体在月球上所受的重力F 的； （2）试利用测量数据（用符号表示）求月球的半径和质量。

【例20】天文观测上的脉冲星就是中子星，其密度比原子核还要大．中子

星表面有极强的磁场，由于处于高速旋转状态，使得它发出的电磁波辐射都是“集束的”，像一个旋转的“探照灯”，我们在地球上只能周期性地接收到电磁波脉冲（如图所示）．设我们每隔0.1s 接收一次中子星发出的电磁波脉冲，万有引力常量11226.6710N m /kg G -=??，球的体积34

3

V r π=．

（1）为保证该中子星赤道上任意质点不会飞出，求该中子星的

最小密度；

（2）在（1）中条件下，若该中子星半径为10km r =，求中子星上极点A 的重力加速度g ．

G

gR m 2

=地2

2

32

24GT L m π=太2

13

1

24GT L m π=月GM R T /23

π=GM R T /323

π=ρπG T /=

ρπG T /3

=

【例21】据美国媒体报道，美国和俄罗斯的两颗通信卫星11日在西伯利亚上空相撞。这是人类有史以来

的首次卫星碰撞事件。碰撞发生的地点位于西伯利亚上空490英里（约790公里），恰好比国际空间站的轨道高270英里（434公里），这是一个非常常用的轨道，是用来远距离探测地球和卫星电话的轨道。则以下相关说法中，正确的是（）

A ．碰撞后的碎片若受到大气层的阻力作用，轨道半径将变小，则有可能与国际空间站相碰撞

B ．在碰撞轨道上运行的卫星的周期比国际空间站的周期小

C ．发射一颗到碰撞轨道运行的卫星，则发射速度要大于7.9km/s

D ．在同步轨道上，若后面的卫星一旦加速，将有可能与前面的卫星相碰撞

【例22】绳系卫星是由一根绳索栓在一个航天器上的卫星，可以在这个航天器的下方或上方随航天器一起

绕地球运行。如图所示，绳系卫星系在航天器上方，当它们一起在赤道上空绕地球作匀速圆周运动时（绳长不可忽略）。下列说法正确的是（） A ．绳系卫星在航天器的前上方 B ．绳系卫星在航天器的后上方 C ．绳系卫星的加速度比航天器的小 D ．绳系卫星的加速度比航天器的大

【例23】我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动，

运行的周期为T 。若以R 表示月球的半径，则（）

A ．卫星运行时的向心加速度为

B ．卫星运行时的线速度为

C ．物体在月球表面自由下落的加速度为

D ．月球的第一宇宙速度为

【例24】质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量

2

2π4T R T

R

π22

2π4T R

TR

h R R 3

)π2 （

为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的（） A ．线速度

B ．角速度

C ．运行周期

D ．向心加速度2Gm a R =

【例25】为了探测X 星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为1r 的圆轨道上运动，周期

为1T ，总质量为1m 。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为2r 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为2m ，则（） A ．X 星球的质量为2312

14r M GT π=

B ．X 星球表面的重力加速度为

C ．登陆舱在与轨道上运动是的速度大小之比为

D ．登陆舱在半径为轨道上做圆周运动的周期为

【例26】已知地球的半径为66.410m ?，地球自转的角速度为57.2710/rad s -?，地球的重力加速度为

29.8/m s ，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为37.910/m s ?，第三宇宙速度为316.710/m s ?，

月地中心间距离为83.8410m ?，假设地球上有一棵苹果树长到了月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，将（） A ．落回地面

B ．飞向茫茫宇宙

C ．成为地球的“苹果月亮”

D ．成为地球的同步“苹果卫星”

【例27】2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗

地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS 导航系统的依赖，GPS 由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗星的同步卫星和GPS 导航的轨道半径分别为和，向心加速度分别为和，则=_____；=_____（可用根式表示）。

v ω2T =2

1

124T r g X π=

1r 2r 1

22

121

r m r m v v =2r 3

1

321

2r r T T =1R 2R 1a 2a 12:R R 12:a a

【例28】均匀分布在地球赤道平面上的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极等少数地区外的“全球通

信”。已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，同步卫星所在的轨道处的重力加速度为'g ，地球自转周期为T ，下面列出的是关于三颗卫星中任意两颗卫星间距离s 的表达式（） A ．

B ．

C ．

D ．

知识点7变轨问题及卫星追及问题

1．稳定运行：卫星稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。

2．变轨运行：当卫星的速度突然发生变化时，向心力与万有引力不再相等，解答这一模型的有关问题，可根据圆周运动的向心力供求平衡关系进行分析求解：

①若F F =供求，供求平衡——物体做匀速圆周运动； ②若F F <供求，供不应求——物体做离心运动； ③若F F >供求，供过于求——物体做向心运动．

知识点8卫星及天体相遇问题

两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近．若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近．两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时则相距最远．

设卫星1（离地球近些）与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t ，两卫星与地心连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则两卫星又相距最近，即122(1,2,3,)t t n n ωωπ-== ；如果经过时间t '，两卫星与地心连线半径转过的角度相差π的奇数倍，则两卫星相距最远，即

12(21)1,2,3,t t n n ωωπ''-=-= ，（）

知识点9 双星及多星问题

对于双星问题要注意：

①两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等； ②两星球绕两星球间连线上的某点（转动中心）做圆周运动的角速度ω或周期T 的大小相等； ③两星球绕共同中心转动的半径1r 、2r 的和等于两星球间的距离L ，即12r r L +=．

知识点9 其他综合类问题

万有引力定律、天体运动、宇宙航行等知识常与其它知识进行综合进行考查．

3

2

2243T gR π3

2

2

243π

T gR g g

R '

3g

g R '

3知识框架

【例29】 2007年10月24日18时05分，我国成功发射了“嫦娥一号”探月卫星。卫星经过八次点火变轨

后，绕月球做匀速圆周运动。图中所示为探月卫星运行轨迹的示意图（图中1、2、3……8为卫星运行中的八次点火位置）①卫星第2、3、4次点火选择在绕地球运行轨道的近地点，是为了有效地利用能源，提高远地点高度；②卫星沿椭圆轨道由近地点向远地点运动的过程中，加速度逐渐增大，速度逐渐减小；③卫星沿椭圆轨道由近地点向远地点运动的过程中，机械能守恒；④卫星沿椭圆轨道由远地点向近地点运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态；⑤卫星在靠近月球时需要紧急制动被月球所捕获，为此实施第6次点火，则此次发动机喷气方向与卫星运动方向相反。上述说法正确的是（） A ．①④ B ．②③ C ．①⑤

D ．①③

【例30】在航天员完成任务准备返回地球时，轨道舱与返回舱分离，此时，与神七相距100公里至200公

里的伴飞小卫星，将开始其观测、“追赶”、绕飞的三步试验：第一步是由其携带的导航定位系统把相关信息传递给地面飞控中心，通过地面接收系统，测量伴飞小卫星与轨道舱的相对距离；第二步是由地面飞控中心发送操作信号，控制伴飞小卫星向轨道舱“追”去，“追”的动力为液氨推进剂，因此能够以较快速度接近轨道舱；第三步是通过变轨调姿，绕着轨道舱飞行．下列关于伴飞小卫星的说法中正确的是（）

A ．伴飞小卫星保持相距轨道舱的一定距离时的向心加速度与轨道舱的相同

B ．若要伴飞小卫星“追”上轨道舱，只需在较低的轨道上加速即可

C ．若要伴飞小卫星“追”上轨道舱，只需在原轨道上加速即可

D ．伴飞小卫星绕飞船做圆周运动时需要地面对小卫星的遥控，启动其动力系统，并非万有引力

提供其向心力

【例31】2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆

轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（）

A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过

B 的速度

B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能

C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D ．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度

【例32】A 、B 两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A 的轨道半径为r 1，

B

例题精讲

2、3、

的轨道半径为r 2，已知恒星质量为m '，恒星对行星的引力远大于得星间的引力，两行星的轨道半径r 1＜r 2。若在某一时刻两行星相距最近，试求： （1）再经过多少时间两行星距离又最近？ （2）再经过多少时间两行星距离最远？

【例33】a 是地球赤道上一幢建筑，b 是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面69.610m ?的卫星，c 是地

球同步卫星，某一时刻b 、c 刚好位于a 的正上方（如图甲所示），经48h ，a 、b 、c 的大致位置

是图乙中的（取地球半径66.410m R =?，地球表面重力加速度210m/s g =，π（）

【例34】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很

普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为G ）

【例35】如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O

点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧．引力常数为G ． （1）求两星球做圆周运动的周期．

（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成

上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1．但在近

似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2．已知地球和月球的质量分别为245.9810kg ?和227.3510kg ?．求T 2与T 1两者平方之比．（结果保留3位小数）

【例36】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它

们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G ．关于四星系统，下列说法错误．．的是（） A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B ．四颗星的轨道半径均为

C ．四颗星表面的重力加速度均为

D ．四颗星的周期均为

【例37】宇宙飞船在靠近某星球表面环绕飞行时，已测得其环绕周期为T .当飞船停靠在该星球上后，地面

指挥部下令该宇航员利用随声携带的秒表、米尺、钢球,粗测该星球质量.宇航员在该星球表面将一个钢球从高h 处静止释放，记录下落时间t 和高度h (已知万有引力常量为G),请你用所测物理量估算该星球的质量。

【例38】一物体从某行星表面竖直向上抛出.从抛出瞬间开始计时,得到物体相对于抛出点的位移x 与所用

时间t 的关系如图所示,以下说法中正确的是（） A ．物体上升的最大高度为16m B ．8s 末物体上升到最高点

C ．该行星表面的重力加速度大小为4m/s 2

D ．物体抛出时的初速度大小为8m/s

【例39】宇宙飞船以周期T 绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已

知地球的半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G ，地球自转周期为0T ．太阳光可看作平行光，宇航员在A 点测出的张角为α，则（）

a 2

a

2

m G

R

2

π

A ．飞船绕地球运动的线速度为

2sin(/2)

R

T πα

B ．一天内飞船经历“日全食”的次数为0/T T

C ．飞船每次“日全食”过程的时间为0/(2)T απ

D ．飞船周期为T =

【例40】科学家正在研究架设一条长度约为10万公里的从地面到太空的“太空梯”，

“太空梯”由缆绳、海面基地、太空站和升降机组成．缆绳用质量轻、强度大、韧度高的“碳纳米管”制成，缆绳一端固定在位于赤道某处的海面基地上，另一端固定在位于外太空的巨大太空站上．除升降机外，整个装置相对于地球保持静止，且绷直的缆绳始终垂直于海平面指向地心．升降机上装有两套履带装置，从两侧紧扣缆绳，这样升降机就可以沿缆绳上下运动，或者在摩擦力作用下牢牢固定在缆绳上任意位置，如图所示．设想在太空中距离地面某一高度，升降机与缆绳之间的相互作用力恰好为零，且相对于缆绳保持静止状态，求此时升降机距离地面的高度．已知地球半径R ，地球表面重力加速度g ，地球自转角速度ω．

【例41】侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h ，已知地球半径为

R ，地面表面处的重力加速度为g ，地球的自转周期为T 。 （1）试求该卫星的运行速度；

（2）要使卫星在一天内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机应拍摄地面上赤道圆周的弧长S 是多少?

【例42】1968年2月20日，发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太

平洋．“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章．“和平号”空间站总