五年高考三年模拟(数学)-直线和圆

第九章 解析几何 第一节 直线和圆

第一部分 五年高考荟萃

2009年高考题

一、选择题

1.（辽宁理，4）已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为

A.22(1)(1)2x y ++-=

B. 22(1)(1)2x y -++=

C.22(1)(1)2x y -+-=

D. 22(1)(1)2x y +++=

【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B

2.（重庆理，1）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心

D ．相离

【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离

2d =

=，而

01<

<，选B 。 【答案】B

3.（重庆文，1）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．2

2

(2)1x y +-= B ．2

2

(2)1x y ++= C ．2

2

(1)(3)1x y -+-=

D ．22

(3)1x y +-=

解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，

故圆的方程为22

(2)1x y +-=。

解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为2

2

(2)1x y +-=

解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。 【答案】A

4.（上海文，17）点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++= C.22(4)(2)4x y ++-= D.22(2)(1)1x y ++-=

【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），

解得：??

?+=-=2242y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2＋（2y ＋2）2＝4，整理，得：22(2)(1)1x y -++= 【答案】A

5. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）

A. 1或3

B.1或5

C.3或5

D.1或2

【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3

k －3，解得：k ＝5，故选C 。 【答案】C

6. (上海文，18)过圆22

(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分 别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ?被圆分成四部分（如图）， 若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+￥则直线AB 有（ ） （A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条 【解析】由已知，得：,IV II III I S S S S -=-，第II ，IV 部分的面 积是定值，所以，IV II S S -为定值，即,III I S S -为定值，当直线 AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB 只有一条，故选B 。 【答案】B

7.（陕西理，4）过原点且倾斜角为60?的直线被圆22

40x y y +-=所截得的弦长为

2222

4024x y y x y +-=?+-=∴∴解析：（），

A(0,2),OA=2,A 到直线ON 的距离是1,弦长

【答案】D 二、填空题

8. （广东文，13）以点（2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 . 【解析】将直线6x y +=化为60x y +-=,

圆的半径r =

=

所以圆的方程为2

2

25

(2)(1)2

x y -++= 【答案】2

2

25(2)(1)2

x y -++=

9.（天津理，13）设直线1l 的参数方程为113x t

y t

=+??=+?（t 为参数），直线2l 的方程为y =3x +4

则1l 与2l 的距离为_______

【解析】由题直线1l 的普通方程为023=--y x ，故它与与2l 的距离为

5

10

310

|24|=

+。 【答案】

5

10

3 10. （天津文，14）若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a =________.

【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为a

y 1

=

， 利用圆心（0，0）到直线的距离d 1

|1|

a =为13222=-，解得a =1. 【答案】1

11.（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是

①15 ②30 ③45 ④60 ⑤

75

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

【解析】解：两平行线间的距离为21

1|13|=+-=

d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1

l 的倾斜角为o

45，所以直线m 的倾斜角等于0

754530=+o

或0

153045=-o

。 【答案】①⑤

12.（全国Ⅱ理16）已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为

(

M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 。

【解析】设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+.

四边形ABCD 的面积22121

||||8()52

S AB CD d d =?=≤-+= 【答案】5

13.（全国Ⅱ文15）已知圆O ：522=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

【解析】由题意可直接求出切线方程为y -2=2

1

-

(x -1)，即x +2y -5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和25，所以所求面积为4

25

52521=??。

【答案】 25

4

14.（湖北文14）过原点O 作圆x 2+y 2-

－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，

则线段PQ 的长为 。

【解析】可得圆方程是2

2

(3)(4)5x y -+-=又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ =. 【答案】4

15.（江西理16）．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点 B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上

C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上

D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

【解析】因为c o s (2)s i n x y θ

θ+-=所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离

1

d==

即M为圆C:22

(2)1

x y

+-=的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线,

所以A错误；

又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确；

对任意3

n≥,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；

M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误,

故命题中正确的序号是B,C.

【答案】,B C

三、解答题

16.（2009江苏卷18）（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xoy中，已知圆22

1

:(3)(1)4

C x y

++-=和圆22

2

:(4)(5)4

C x y

-+-=.

（1）若直线l过点(4,0)

A，且被圆

1

C截得的弦长为

线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂

直的直线

1

l和

2

l，它们分别与圆

1

C和圆

2

C相交，且直线

1

l被圆

1

C截得的弦长与直线

2

l被圆

2

C截得的弦长相等，试求所有满足

条件的点P的坐标。

解(1)设直线l的方程为：(4)

y k x

=-，即40

kx y k

--=

由垂径定理，得：圆心

1

C到直线l的距离1

d==，

1,

=

化简得：2

7

2470,0,,

24

k k k or k

+===-

求直线l的方程为：0

y=或7(4)

24

y x

=--，即0

y=或724280

x y

+-=

(2) 设点P坐标为(,)

m n，直线

1

l、

2

l的方程分别为：

1

(),()

y n k x m y n x m

k

-=--=--，即：

11

0,0

kx y n km x y n m

k k

-+-=--++=

因为直线

1

l被圆

1

C截得的弦长与直线

2

l被圆

2

C截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂径定理，得：：圆心

1

C到直线

1

l与

2

C直线

2

l的距离相等。

41|5|

n m --++=

化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或 关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=???

?

--=??

m-n+8=0

或m+n-5=0 解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22

-。

2005—2008年高考题

一、选择题

1.（2008年全国Ⅱ理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与x -7y -4=0, 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为

（ ）.

A ．3

B ．2

C ．1

3

-

D ．12

-

答案 A

解析 1,02:11-==-+k y x l ，7

1

,047:22==--k y x l ，设底边为kx y l =:3 由题意，3l 到1l 所成的角等于2l 到3l 所成的角于是有3

71

711112211+-=-+?+-=+-k k k k k k k k k k k

再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案 是A 。

2.（2008年全国Ⅱ文3）原点到直线052=-+y x 的距离为

（ ）

A ．1

B ．3

C ．2

D ．5

答案 D 解析 52

152

=+-=

d 。

3.（2008四川４）将直线3y x =绕原点逆时针旋转0

90，再向右平移１个单位长度，所得到的直线为

( )

A .11

33

y x =-

+ B .1

13

y x =-+ C .33y x =-

D .1

13

y x =

+ 答案 A

4.（2008上海15）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 （ ） Ａ． B ．

C ．

D ．

答案 D

5.（2007重庆文）若直线 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为

（ ） A .-3或3 B .3 C .-2或2

D .2

答案 A

6.（2007天津文）“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 C

7．（2006年江苏）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是

（ ） A .x －y ＝0

B .x ＋y ＝0

C .x ＝0

D .y ＝0

答案 C

8. （2005湖南文）设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两

个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）

A ．20

B ．19

C ．18

D ．16 答案 C

9. (2005全国Ⅰ文)设直线l 过点)0,2(-，且与圆12

2

=+y x 相切，则l 的斜率是 工

（ ）

A .1±

B .2

1

±

C .3

3±

D .3±

答案 C

10.（2005辽宁）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆52

2=+y x 相切，则

c 的值为 （ ） A ．8或－2 B ．6或－4 C ．4或－6 D ．2或－8 答案 A

11.（2005北京文）“m =

2

1

”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的

( )

A .充分必要条件

B .充分而不必要条件

C .必要而不充分条件

D .既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题

12. （2008天津文15，）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线y =x +1对称，直线3x +4y -11=0

与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为_______. 答案 22(1)18x y ++=

13.（2008四川文14）已知直线:40l x y -+=与圆()()2

2

:112C x y -+-=，则C 上各

点到l 的距离的最小值为_______. 答案 2

14.（2008广东理11）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线

程是 ． 答案 10x y -+=

15.（2007上海文）如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB 与l 相切于A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧面积S 的取值范围是 ．

答案

?? ?

?

-22,0π

16.（2007湖南理）圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．

答案 (x -1)2+(y -1)2

=2 17. ( 2006重庆理)已知变量x ,y 满足约束条件1≤x +y ≤4,-2≤x -y ≤2.若目标函数z =ax +y (其

中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___. 答案 a ＞1

18.（2005江西）设实数x ,y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0

320420

2??

?

??≤-≥-+≤-- .

答案

2

3 第二部分 三年联考汇编

2009年联考题

一、选择题

1.(西南师大附中高2009级第三次月考)“a = 3”是“直线210a x y --=与直线

640x y c -+=平行”的（ ）条件

A ．充要

B ．充分而不必要

C ．必要而不充分

D ．既不充分也不必要

答案 C

2.(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)直线x +y +1=0与圆()2122

=+-y x 的位置

关系是 （ ） A .相交 B .相离 C .相切 D .不能确定

答案 C

3.(西南师大附中高2009级第三次月考)两圆32cos 3cos 42sin 3sin x x y y θθ

θθ=-+=????=+=??

与的位置关系

是

（ ）

A ．内切

B ．外切

C ．相离

D ．内含

答案 B

4. (西南师大附中高2009级第三次月考)已知点P （x ，y ）是直线kx +y +4 = 0（k > 0）

上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 （ ）

A ．3

B

C ．

D ．2

答案 D

5. (福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知实系数方程

x 2+ax +2b =0,

的一个根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则2

1

b a --的取值范围是 （ ） A ．（1

4

，1）

B ．（12，１） Ｃ．（－12，14） Ｄ．（０，1

3

）

答案 A

6.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)点(4,)t 到直线

431x y -=的距离不大于3，则t 的取值范围是 （ ）

A ．

131

33

t ≤≤ B ．100t << C ．100t ≤≤

D ．0t <或10t >

答案 C

7. (四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知圆的方程为22

680x y x y +--=，设圆

中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB 、CD ，则直线AB 与CD 的斜率之和为( )

A .1-

B .0

C . 1

D .2-

答案 B

8.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)直线)1(1:-=-x k y l 和圆0222=-+y y x 的关系是

（ ） A .相离 B .相切或相交

C .相交

D .相切

答案 C

9. (福建省宁德市2009届高三上学期第四次月考)过点)2,1(M 的直线l 将圆(x -2)2

+y 2

=9分成 两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是 （ ）

A ．1=x

B ．1=y

C ．01=+-y x

D ．032=+-y x

答案 D

二、填空题

10.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)从圆(x -1)2+(y -1)2=1外一

点(2,3)P 向这个圆引切线，则切线长为 ． 答案 2

11.(江苏省赣榆高级中学2009届高三上期段考)直线032=-+y x 与直线04=++b y ax

关于点)0,1(A 对称，则b ＝___________。 答案 2

12.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)过点C (６,-８)作圆252

2

=+y x 的切线，切点为A 、B ，那么点C 到直线AB 的距离为___________________。 答案

2

5

13. (四川省成都市2008—2009学年度上学期高三年级期末综合测试)光线由点P (2,3)射到直

线1-=+y x 上,反射后过点Q (1,1),则反射光线方程为 . 答案 4x －5y ＋1＝0

14.(安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)过)1,2

1

(M 的直线l 与圆C ：(x -1)2+y 2=4

交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线的方程为 .

答案 0342=+-y x

9月份更新

1、（2009临沂一模）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA 、PB 是圆C ：

2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的

值为

A B C 、 D 、2 答案 D

2、（2009日照一模）已知圆222410x y x y ++-+=关于直线220(,)ax by a b R -+=∈对称，则ab 的取值范围是

A ．1(,]4-∞

B ．1(0,)4

C ．1(,0)4-

D ．1

[,)4

-+∞ 答案 A

3、（2009青岛一模）已知直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为,A B ，与函数lg y x =图像的交点分别为,C D ，则直线AB 与CD A.相交，且交点在第I 象限 B.相交，且交点在第II 象限 C.相交，且交点在第IV 象限 D.相交，且交点在坐标原点 答案 D

4、（20009泰安一模）若PQ 是圆2

2

x 9y +=的弦，PQ 的中点是（1,2）则直线PQ 的方程是

（A ）230x y +-= （B ）250x y +-= （C ）240x y -+= （D ）20x y -= 答案 B

5、（2009潍坊一模）若PQ 是圆2

2x 9y +=的弦，PQ 的中点是（1,2）则直线PQ 的方程是 （A ）230x y +-= （B ）250x y +-= （C ）240x y -+= （D ）20x y -= 答案 B

6、（2009枣庄一模）将圆x y x 沿122

=+轴正方向平移1个单位后得到圆C ，若过点（3，

0）的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率为

（ ）

A ．3

B ．3±

C ．

3

3

D ．3

3±

答案 D

7、（2009滨州一模）已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，且

||||-=+，其中O 为原点，则实数a 的值为

A ．2

B ．－2

C ．2或－2 D

或

答案 C

8、（2009滨州一模）如果直线y ＝kx ＋1与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N

两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，若),(b a P 为平面区域

??

?

??≥≤-≥+-0

00

1y m y kx y kx 内任意一点，则11-+a b 的取值范围是 . 答案 ]2

1,1[--

2007—2008年联考题

一、选择题

1. (四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)已知点A （3,2），B （-2,7），若直线y =ax -3与线段AB 的交点P 分有向线段AB 的比为4:1，则a 的值为 （ ） A ．3 B ．-3 C ．9 D ．-9 答案 D

2.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)由直线1y x =+上的点向圆(x -3)2+(y +2)2=1 引切线，则切线长的最小值为

( )

A

B

. C

D

.答案 A

3.(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)圆()2211y x +=-被直线0x y -=分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 （ ） A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶5 答案 B

4.(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)直线y x b =+平分圆x 2+y 2-8x +2y -2=0 的周长，则b = （ ） A ．3

B ．5

C ．－3

D ．－5

答案 D

5.(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)把直线20x y λ-+=按向量(2,0)a =平移后恰与224220x y y x +-+-=相切，则实数λ的值为

（ ）

A

B ．

C -

D ．答案 C

6.（2007岳阳市一中高三数学能力题训练） 若圆22

25()3(r y x =++-）上有且仅有两个点到直线4x －3y －2=0的距离为1，则半径r 的取值范围是 （ ） A .（４，6） Ｂ.［４，６） Ｃ.（４，６］ Ｄ.［４，６］ 答案 A

7. (2007海淀模拟)已知直线ax +by -1=0(a,b 不全为0)与圆x 2+y 2=50有公共点，且公共点横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）条

A.66

B.72

C.74

D.78 答案 C 二、填空题

7.(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)光线从点P （－3，5）射到直线l :3x -4y +4=0 上，经过反射，其反射光线过点Q （3，5），则光线从P 到Q 所走过的路程为 . 答案 8

8.(河北省正定中学2008年高三第四次月考)圆θθ

θ

(sin 1cos 1??

?+=+=y x 为参数）的标准方程

是 ，过这个圆外一点P ()2,3的该圆的切线方程是 。 答案 (x －1)2＋(y －1)2＝1；x ＝2或3x －4y ＋6＝0

9. (湖北省鄂州市2008年高考模拟)与圆22

(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条. 答案 4

10.(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)设直线03=+-y ax 与圆(x -1)2

+(y -2)2

=4

相交于A 、B 两点，且弦长为32，则a = 。 答案 0

11. (江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)设直线1l 的方程为022=-+y x ， 将直线1l 绕原点按逆时针方向旋转

90得到直线2l ，则2l 的方程是 答案 2x －y ＋2＝0

12.(2007石家庄一模)若5-x ≠kx +2对一切x ≥5都成立，则k 的取值范围是________. 答案 k >1/10或k <2/5 13.（唐山二模）⊙M :x 2+y 2=4,点P(x 0,y 0)在圆外，则直线x 0x +y 0y =4与⊙M 的位置关系是_____ 答案 相交 三、解答题

14.(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)已知：以点C (t , 2

t )(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的圆

与x 轴交于点O , A ，与y 轴交于点O , B ，其中O 为原点． （1）求证：△OAB 的面积为定值；

（2）设直线y = –2x +4与圆C 交于点M , N ，若OM = ON ，求圆C 的方程．

解 （1）O C 过原点圆 ，2

2

2

4t t OC +

=∴． 设圆C 的方程是 22

224)2()(t t t y t x +=-+-

令0=x ，得t

y y 4

,021==；令0=y ，得t x x 2,021==

4|2||4

|2121=??=?=∴?t t

OB OA S OAB ，即：OAB ?的面积为定值．

（2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 2

1

,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=．

t t 2

1

2=∴

，解得：22-==t t 或 当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离55

9<=

d ，

圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．

当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离55

9>=

d

圆C 与直线42+-=x y 不相交，

2-=∴t 不符合题意舍去．

∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x ．

15.（广东地区2008年01月期末试题） 已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线

,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12

-

． （1）求点M 轨迹C 的方程；

（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在D 、F 之间），试求ODE ?与ODF ?面积之比的取值范围（O 为坐标原点）． 解（1）设点M 的坐标为(,)x y ， ∵12AM BM k k ?=-

0x ≠），这就是动点M 的轨迹方程． （2）方法一 由题意知直线l 的斜率存在，

设l 的方程为()2y k x =-（1

2

k ≠±

） ① 将①代入12

22

=+y x ， 得0)28(8)12(2

222=-+?-+k x k x k ，

由0?>，解得2

102

k <<

． 设()11,E x y ，()22,F x y ，则???

????+-=+=+.1228,1

2822

212221k k x x k k x x ②

令OBE

OBF

S S λ??=

，则||||BE BF λ=，即BE BF λ=?，即()1222x x λ-=-，且0 1.λ<<

由②得，12212121224(2)(2),21

22)(2)2()4.21x x k x x x x x x k -?

-+-=??+??-?-=-++=?+?（

即()()()222

22412,2122.21x k x k λλ-?+-=??+??-=?+?

22

222141,(1)8(1)2

k k λλλλ+∴==-

++即． 2102k <<

且2

14k ≠24110(1)22λλ∴<-<+且2

411(1)24

λλ-≠+．

解得33λ-<+1

3

λ≠

01λ<<，1223<<-∴λ且1

3

λ≠．

∴△OBE 与△OBF

面积之比的取值范围是113,133????

- ? ?????

． 方法二 由题意知直线l 的斜率存在，

设l 的方程为2x sy =+(2)s ≠± ①

将①代入12

22

=+y x ， 整理，得22

(2)420s y sy +++=，

由0?>，解得2

2s >．

设()11,E x y ，()22,F x y ，则1221224,2

2.2s y y s y y s ?

+=-??+??=?+?

②

令1

1221

21

2

OBE

OBF

OB y S y S y OB y λ???=

==?，且01λ<< .

将12y y λ=代入②，得()2222241,2

2.

2s y s y s λλ?

+=-??+??=?+?

∴

()2

2

2

182s s λλ

+=+．即()2

222161

s λλλ+=--． ∵22s >且2

4s ≠，∴()2

221261λλλ+>--且()2

2

21461

λλλ+≠--． 即2

610λλ-+<且13

λ≠

．

解得33λ-<+13

λ≠

． 01λ<<，1223<<-∴λ且1

3

λ≠．

故△OBE 与△OBF

面积之比的取值范围是113,133????

- ? ?????

．

16. (江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与

，相交于M 、N 两点.

（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM AN ?=定值；

（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ?=求的值.

解 （1）

(1,),l a k =直线过点

(0,1)且方向向量 1l y kx ∴=+直线的方程为

1,

<得

k <<

. ()22C AT T AT 设焦点的的一条切线为,为切点,则=7

2cos07.AM AN AM AN AT AM AN ∴?=?==∴?为定值

1122(3)(,),(,)M x y N x y 设

1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得 k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0

21222

7

,11k x x x x k k

∴=++124(1+)+=

2121212122

(1)()1812

1k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴?=+=++++=+=+4(1+)

2

4,11k k k k

∴

==+4(1+)

解得1,0,1k k =?>∴=又当时. 17.（2007北京四中模拟一）在△ABC 中，A 点的坐标为（3，0），BC 边长为2，且BC 在y 轴上的区间[-3，3]上滑动． （1）求△ABC 外心的轨迹方程；

（2）设直线l ∶y ＝3x ＋b 与（1）的轨迹交于E ，F 两点，原点到直线l 的距离为d ，求d

EF |

| 的最大值．并求出此时b 的值．

解 （1）设B 点的坐标为（0，0y ），则C 点坐标为（0，0y ＋2）（-3≤0y ≤1）， 则BC 边的垂直平分线为y ＝0y ＋1 ①)2

3

(3200-=+

x y y y ②由①②消去0y ，得862-=x y ．∵130≤≤-y ，∴2120≤+=≤-y y ．故所求的△ABC 外心的轨迹方程为：)22(862≤≤--=y x y ．

（2）将b x y +=3代入862-=x y 得08)1(6922=++-+b x b x ．由862-=x y 及

22≤≤-y ，得

23

4

≤≤x ．所以方程①在区间34[，2]有两个实根．设

8)1(69)(22++-+=b x b x x f ，则方程③在3

4

[，2]上有两个不等实根的充要条件是：

???????

??≤--≤

≥++-+=≥++-+=>+--=???????．，，，292)

1(63

4082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[2

22222b b b f b b f b b 得34-≤≤-b

∵723

2984)]1(32[||222

1--=+--=-?b b b x x ∴72103

2

||1||212

--=-+=?b x x k EF 又原点到直线l 的距离为10

|

|b d =

， ∴7

1)7

11(73

20273

20723

20||22

2++-=--=--=b

b

b

b

b d

EF ∵34-≤≤-b ，∴4

1

131-≤≤-b ．

∴当411-=b ，即4-=b 时，3

5

||max =d EF ．