第九章第6讲双曲线

第九章第6讲双曲线
第九章第6讲双曲线

第6讲双曲线

1.双曲线的概念

(1)定义:平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(0<2a<2c),则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.

(2)集合:若集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中2c>2a>0,即c>a>0,则P点的轨迹是以F1、F2为两焦点的双曲线,且|F1F2|=2c是双曲线的焦距.

2

.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2

a2-

y2

b2=1

(a>0,b>0)

y2

a2-

x2

b2=1

(a>0,b>0) 图形

范围x≥a或x≤-a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R

对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点

顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)

渐近线y=±

b

a x y=±

a

b x

离心率e=

c

a,e∈(1,+∞)

实、虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线

的虚轴,它的长|B1B2|=2b(a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半

虚轴长)

a、b、c

的关系

c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

1.渐近线为mx±ny=0对应的双曲线方程为m2x2-n2y2=λ.

2.当双曲线焦点不明确时,要分焦点在x轴上与y轴上两种情况进行讨论求解.

1.(选修2-1 P61A组T1改编)双曲线

y2

64-

x2

16=1上一点P到一个焦点的距离为4,则P 到另一个焦点的距离为()

A.20 B.16

C.12 D.8

解析:选A.设P到另一个焦点的距离为d,

则|d-4|=2×8=16,

∴d =20,故选A.

2.(选修2-1 P 55练习T 1(3)改编)双曲线C 的焦点为(-6,0),(6,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为( )

A.x 220-y 24=1

B.x 220-y 2

16=1 C.y 220-x 216=1 D.y 220-x 2

4=1 解析:选B.2a =| (-5+6)2+22- |(-5-6)2+22 =4 5.

∴a =25,又c =6,

∴b 2=c -a 2=36-20=16.

∴双曲线的标准方程为x 220-y 2

16

=1.故选B.

3.(选修2-1 P 57内文改编)等轴双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C .2 D .3

解析:选A.不妨设等轴双曲线方程为x 2-y 2

=a 2, ∴c 2=a 2+a 2=2a 2,即c =2a ,

∴e =c

a

=2,故选A.

4.(选修2-1 P 62A 组T 4(3)改编)离心率为3,且经过(-3,2)的双曲线的标准方程为________.

解析:当双曲线的焦点在x 轴上时,设方程为x 2a 2-y 2

b

2=1.

则c a =3,3a 2-4

b

2=1.且a 2+b 2=c 2. 解得a 2

=1,b 2=2.

∴所求双曲线的标准方程为x 2-y 22

=1. 当双曲线焦点在y 轴上时,设方程为y 2a 2-x 2

b

2=1.

则c a =3,4a 2-3

b

2=1,且a 2+b 2=c 2. 解得a 2=5

2

,b 2=5.

∴所求双曲线的标准方程为y 252

-x 2

5=1.

答案:x 2-y 22=1或y 252

-x

25

=1

5.(选修2-1 P 62B 组T 1改编)与椭圆x 249+y 224=1有相同焦点且离心率为5

4

的双曲线的标

准方程为________.

解析:椭圆x 249+y 2

24

=1的焦点F (±5,0).

设双曲线方程为x 2a 2-y 2

b 2=1,

则c =5,c a =5

4

∴a =4,

b 2=

c 2-a 2=25-16=9,

∴所求双曲线的标准方程为x 216-y 2

9

=1.

答案:x 216-y

29=1

双曲线的定义与标准方程

(1)[双曲线的定义及应用]已知F 为双曲线C :x 29-y 2

16

=1的左焦点,P ,Q 为C 上

的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点A (5,0)在线段PQ 上,则△PQF 的周长为________.

(2)[双曲线的标准方程]如图所示,已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ,B 为左、右焦点,且双曲线过C ,D 两顶点.若AB =4,BC =3,则此双曲线的标准方程为________.

[解析] (1)由双曲线方程知,b =4,a =3,c =5,

则虚轴长为8,则|PQ |=16.由左焦点F (-5,0),且A (5,0)恰为右焦点,知线段PQ 过双曲线的右焦点,则P ,Q 都在双曲线的右支上.

由双曲线的定义可知|PF |-|P A |=2a ,|QF |-|QA |=2a ,两式相加得,|PF |+|QF |-(|P A |+|QA |)=4a ,

则|PF |+|QF |=4a +|PQ |=4×3+16=28,故△PQF 的周长为28+16=44.

(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0).由题意得B (2,0),C (2,3),

∴?????

4=a 2

+b 2

,4a 2-9b

2=1,解得?????

a 2=1,

b 2=3,

∴双曲线的标准方程为x 2

-y 2

3=1.

[答案] (1)44 (2)x 2-y

23

=1

(1)双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点满足某种关系的轨迹是否为双曲线(或是双曲线的某一支),进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.

(2)待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a ,b ,c ,e 及渐近线之间的关系,求出a ,b 的值.如果已知双曲线的渐

近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2-y 2

b

2=λ(λ≠0),再由

条件求出λ的值即可.

1.已知△ABP 的顶点A ,B 分别为双曲线x 216-y 2

9

=1的左,右焦点,顶点P 在双曲线上,

则|sin A -sin B |sin P 的值等于( )

A.45

B.

74

C.54

D.7

解析:选 A.在△ABP 中,由正弦定理知|sin A -sin B |sin P =||PB |-|P A |||AB |=2a 2c =810=4

5

,故选

A.

2.已知椭圆D :x 250+y 2

25

=1与圆M :x 2+(y -5)2=9,双曲线G 与椭圆D 有相同焦点,

它的两条渐近线恰好与圆M 相切,求双曲线G 的方程.

解:椭圆D 的两个焦点为F 1(-5,0),F 2(5,0), 因而双曲线中心在原点,焦点在x 轴上,且c =5,

设双曲线G 的方程为x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0),∴渐近线方程为bx ±ay =0且a 2+b 2=25,

又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r =3.

∴|5a |b 2+a

2=3,得a =3,b =4,∴双曲线G 的方程为x 29-y 2

16=1.

双曲线的几何性质

(1)[双曲线的基本性质]已知F 为双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点

F 到C 的一条渐近线的距离为( )

A. 3 B .3 C.3m D .3m

(2)[代数关系确定离心率]直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( )

A. 2

B. 3 C .2 D .3 (3)[几何关系确定离心率](2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )

A. 5 B .2 C. 3 D. 2

[解析] (1)双曲线C 的标准方程为x 23m -y 23=1(m >0),其渐近线方程为y =±m

m x ,即my

=±x ,不妨选取右焦点F (3m +3,0)到其中一条渐近线x -my =0的距离求解,得d =

3m +3

m +1

= 3.故选A. (2)不妨设双曲线方程为x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0),由题意知l 的方程为x =±c .

代入x 2a 2-y 2b 2=1得,y 2=b 2????c 2

a 2-1=

b 4a 2, ∴y =±b 2a .即|AB |=2b 2a .

∴2b 2a =4a .则c 2-a 2=2a 2.c 2a 2=3. ∴e =c

a

=3,故选B.

(3)不妨取点M 在第一象限,

如图所示,设双曲线方程为x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0),

则|BM |=|AB |=2a ,∠MBx =180°-120°=60°,所以M 点的坐标为2a ,3a .

因为 M 点在双曲线上,所以4a 2a 2-3a 2b 2=1,a =b ,所以c =2a ,e =c

a

= 2.故选D.

[答案] (1)A (2)B (3)D

(1)利用双曲线的几何性质求解相关问题时要注意点(顶点、焦点、中心)、轴长(实轴长,虚轴长,焦距)、渐近线、离心率之间的关系,根据条件列出关系式.

(2)求双曲线离心率的三种方法:

①代数法:根据a ,b ,c (c 2=a 2+b 2)的关系,整体求出c

a

.②几何法:根据几何条件,建

立a ,b ,c 的关系式,从而求出离心率.③渐近线法:若双曲线的渐近线方程为y =±kx ,

当焦点在x 轴上,则离心率e =1+k 2,当焦点在y 轴上,则离心率e =1+1

k 2.

1.双曲线C 的焦点在x 轴上,其一条渐近线方程为2x -y =0,则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C .2 D. 5

解析:选D.设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1.由题意得b

a

=2.∴e =1+????b a 2= 5.故选D. 2.如图,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24

+y 2

=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在

第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )

A. 2

B. 3

C.32

D.62

解析:选D.由椭圆可知|AF 1|+|AF 2|=4,|F 1F 2|=2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2=12,

所以2|AF 1||AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)2-(|AF 1|2+|AF 2|2)=16-12=4, 所以(|AF 2|-|AF 1|)2=|AF 1|2+|AF 2|2-2|AF 1|·|AF 2|=12-4=8, 所以|AF 2|-|AF 1|=22,

因此对于双曲线有a =2,c =3,

所以C 2的离心率e =c a =6

2

.

直线与双曲线的位置关系

若双曲线E :x 2a

2-y 2

=1(a >0)的离心率等于2,直线y =kx -1与双曲线E 的右支

交于A ,B 两点.

(1)求k 的取值范围;

(2)若|AB |=63,求k 的值.

[解] (1)由?????

c a =2a 2=c 2-1

,得?????

a 2=1,

c 2=2,

故双曲线E 的方程为x 2-y 2=1. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由?????

y =kx -1,x 2-y 2=1,

得(1-k 2)x 2+2kx -2=0.①

∵直线与双曲线右支交于A ,B 两点, 故?

????

k >1,Δ=(2k )2-4(1-k 2

)×(-2)>0, 即???

k >1,-2<k <2,

所以1<k < 2. (2)由①得x 1+x 2=2k k 2-1,x 1x 2=2

k 2-1

∴|AB |=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2

=2(1+k 2)(2-k 2)

(k 2-1)2

=63,

整理得28k 4-55k 2+25=0,

∴k 2=57或k 2=54.

又1<k <2,

∴k =5

2.

求解直线与双曲线的位置关系问题,常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.并注意讨论二次项系数.

1.过双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的一个焦点F 的直线l 与双曲线只有一个交点,若直

线l 的斜率为1,则双曲线的离心率为( )

A. 2

B. 3 C .2 D. 5

解析:选A.由题意知,只有当直线l 与双曲线的一条渐近线平行时,l 与双曲线才可能

只有一个交点,故b a =1,即a =b .∴c =a 2+b 2=2a ,∴e =c

a

=2,故选A.

2.已知点F 是双曲线x 2a 2-y

2b

2=1(a >0,b >0)的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F

且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是________.

解析:根据对称性,只要∠AEF <π

4

即可.由题意,知F (-c ,0),直线AB 的方程为x

=-c ,将x =-c 代入双曲线方程,得y 2=b 4

a 2,取点A (-c ,

b 2a ),则|AF |=b 2a

,|EF |=a +c ,

只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π

4

即b

2a

1,故1

答案:(1,2)

3.已知双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右

焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点,F 1为左焦点.

(1)求双曲线的方程;

(2)若△F 1AB 的面积等于62,求直线l 的方程.

解:(1)依题意知双曲线的一条渐近线方程为x a -y

b

=0,即bx -ay =0,焦点(c,0)到该渐

近线的距离为bc a 2+b

2=bc c =3,即b =3,c

a =2?a =1,c =2, ∴双曲线的方程为x 2-y 23

=1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由(1)知F 2(2,0).

易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意,故可设直线l :y =k (x -2),由?

???

?

y =k (x -2),x 2-y 23=1,

消元得(k 2-3)x 2-4k 2x +4k 2+3=0,

∵直线l 与双曲线有两个交点, ∴k ≠±3,

x 1+x 2=4k 2

k 2-3,x 1x 2=4k 2+3k 2-3

y 1-y 2=k (x 1-x 2), △F 1AB 的面积 S =c |y 1-y 2|=2|k |·|x 1-x 2|

=2|k |·16k 4-4(k 2-3)(4k 2+3)

|k 2-3|

=12|k |·k 2+1

|k 2-3|

=6 2.

得k 4+8k 2-9=0,则k =±1.

所以直线l 的方程为y =x -2或y =-x +2.

一、选择题

1.(选修2-1 P 58例3改编)双曲线9y 2-16x 2=144的一个焦点到一条渐近线的距离为( )

A .3

B .4

C .5

D .6

解析:选A.双曲线方程即为y 216-x 2

9

=1,焦点F (0,±5).

渐近线方程为y =±4

3

x .

即4x ±3y =0.

∴F 到渐近线的距离为d =|4×0±5×3|

42+(±3)2

=3,故选A.

2.(选修2-1 P 42练习T 4改编)点A ,B 的坐标是(-1,0),(1,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之积为2,则点M 的轨迹为( )

A.x 22

-y 2

=1 B .x 2-y 2=1 C .x 2-y 22=1 D .x 2-y 22

=1(x ≠±1) 解析:选D.设点M 的坐标为(x ,y ), ∵点A ,B 的坐标是(-1,0),(1,0),

∴k AM =y

x +1(x ≠-1),

k BM =y

x -1(x ≠1),

由已知y x +1·y

x -1

=2,

化简得x 2-y 22

=1(x ≠±1). 3.(选修2-1 P 55练习T 2改编)与椭圆x 225+y 2

9

=1有相同焦点,且一条渐近线为x +15y

=0的双曲线方程是( )

A.x 215-y 2=1 B .x 2-y 215=1 C.x 212-y 24=1 D.x 24-y 212

=1 解析:选A.设双曲线方程为x 2a 2-y

2b

2=1(a >0,b >0),

∵椭圆x 225+y

29

=1的焦点为F (±4,0).

∴a 2+b 2=16,①

又双曲线的渐近线为x +15y =0,

即y =-1

15

x .

∴b a =115

,② ①、②解得a =15,b =1.

∴所求的双曲线方程为x 2

15

-y 2=1.

二、填空题

4.(选修2-1 P 80A 组T 4改编)α∈(0,π),曲线C :x 2+y 2cos α=1的离心率e =3,则α=________.

解析:由C :x 2+y 2cos α=1的离心率e =3知, 曲线C 为双曲线.

∴α∈(π

2

,π).

方程x 2

+y 2

cos α=1即为x 2

-y 2

1-cos α

=1.

则a 2=1,b 2=1

-cos α

∴c 2=a 2+b 2=1-1

cos α=cos α-1cos α

,由e =3得e 2=3.

即c 2a 2=3.∴cos α-1cos α=3.即cos α=-1

2

, ∴α=2π3.

答案:23

π

5.(选修2-1 P 62A 组T 6改编)经过点(-1,3),对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为________.

解析:设等轴双曲线方程为x 2-y 2=λ,

∴λ=(-1)2-32=-8,所以双曲线方程为x 2-y 2

=-8,即y 28-x 28

=1.

答案:y 28-x

28

=1

三、解答题

6.(选修2-1 P 62A 组T 5改编)已知圆A :(x +3)2+y 2=4,点B 的坐标(3,0),P 是圆A 上的任意一点.BP 的垂直平分线l 与直线AP 相交于点Q .

(1)当点P 在圆A 上运动时,求点Q 的轨迹C 的方程;

(2)当△P AB 面积最大时,求圆A 上的点到直线l 的距离的最大值; (3)在(2)的条件下,证明直线l 与曲线C 相切.

解:(1)由题意得圆A :(x +3)2+y 2=4的圆心为A (-3,0), 半径r =2且|QP |=|QB |, ∴|||QA |-|QB |

=||QA |-|QP ||=|AP |=2.

∴Q 的轨迹是以A (-3,0),B (3,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,

设方程为x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0),

则2a =2;c =3,a =1, ∴b 2=c 2-a 2=8.

所以点Q 的轨迹方程为x 2-y 28

=1. (2)当△P AB 面积最大时,P A ⊥AB ,此时P 的坐标为(-3,±2), ①当P 的坐标为(-3,2)时,PB 的中点坐标为(0,1).

k PB =-1

3

∴k l =3.

直线l 的方程为y =3x +1, 即3x -y +1=0,

圆A 的圆心(-3,0)到l 的距离

d =|3×(-3)-0+1|32+(-1)2

=4105>2.

∴圆A 上的点到直线l 的距离的最大值为d +r =410

5

+2.

②当P 的坐标为(-3,-2)时,由对称性同理可得圆A 上的点到直线l 的距离的最大值为4105

+2.

(3)证明:由(2)知直线l 的方程为y =3x +1或y =-(3x +1).

将y =3x +1或y =-(3x +1)代入C :x 2-y 28

=1得8x 2-(9x 2+6x +1)=8,即x 2+6x +9=0,Δ=0,

∴x 1=x 2=-3,故直线l 与C 相切.

一、选择题

1.以原点为中心,焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为F (0,22),一个顶点为A (0,-2),则双曲线C 的方程为( )

A.y 22-x 22=1

B.y 24-x 212=1

C.y 24-x 24=1

D.y 24-x 22

=1 [导学号03350775] 解析:选C.设双曲线的方程为y 2a 2-x 2

b

2=1(a >0,b >0).由题意,得

??? a 2+b 2=(22)2

,a =2,

解得?????

a =2,

b =2.故双曲线的方程为y 24-x 2

4=1,故选C. 2.若双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1的离心率为3,则其渐近线方程为( )

A .y =±2x

B .y =±2x

C .y =±12x

D .y =±2

2

x

[导学号03350776] 解析:选B.由条件e =3,即c a =3,得c 2a 2=a 2+b 2

a 2=1+

b 2

a

2=3,

所以b

a

=2,所以双曲线的渐近线方程为y =±2x .故选B.

3.双曲线x 24

-y 2

=1的顶点到其渐近线的距离等于( )

A.25

B.45

C.255

D.455

[导学号03350777] 解析:选C.x 24-y 2

=1的顶点坐标为(±2,0),渐近线为x ±2y =0.代入

点到直线的距离公式得d =|±2|12+(±2)2

=25

5.故选C.

4.已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形

MF 1F 2,若边MF 1的中点P 在双曲线上,则双曲线的离心率为( )

A .4+2 3 B.3-1

C.

3+1

2

D.3+1 [导学号03350778] 解析:选D.因为MF 1的中点P 在双曲线上,所以|PF 2|-|PF 1|=2a ,

△MF 1F 2为正三角形,边长都是2c ,所以3c -c =2a ,所以e =c a =2

3-1

=3+1,故选

D.

5.已知双曲线x 24-y 2

b

2=1(b >0)的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦

点到其渐近线的距离等于( )

A. 5 B .4 2 C .3 D .5

[导学号03350779] 解析:选A.由抛物线方程知抛物线的焦点坐标为(3,0),所以双曲

线方程中半焦距c =3.因为双曲线的右焦点坐标为(c,0),双曲线的渐近线方程为y =±b

a

x ,焦

点到渐近线的距离d =???

?bc a 1+???

?b a 2=b ,所以双曲线的焦点到渐近线的距离为b .因为双曲线中

a =2,c =3,所以

b =

c 2-a 2=9-4= 5. 6.若焦点在x 轴上的双曲线x 2-y 2m =1的离心率为6

2

,则该双曲线的渐近线方程为( )

A .y =±2

2x B .y =±2x

C .y =±1

2

x D .y =±2x

[导学号03350780] 解析:选A.由题意可得a 2=2,b 2

=m .因为e =c a =62,所以c 2a 2=

2+m 2

=32,解得m =1,故双曲线的渐近线方程为y =±2

2

x .故选A. 7.已知双曲线x 2a 2-y

2b

2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,双曲线的

一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )

A.x 25-y 220=1

B.x 220-y 2

5=1 C.3x 225-3y 2100=1 D.3x 2100-3y 2

25

=1 [导学号03350781] 解析:选A.双曲线的渐近线方程为y =±b

a

x ,因为一条渐近线与直

线y =2x +10平行,所以b

a =2.又因为双曲线的一个焦点在直线y =2x +10上,所以-2c +10

=0,所以c =5.由?????

b a =2,

c =a 2+b 2=5,

得?????

a 2=5,

b 2=20.

故双曲线方程为x 25-y 2

20

=1.故选A.

8.已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过点F 1的直线l 与双

曲线的左、右两支分别交于A ,B 两点.若△ABF 2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )

A .2 B.7 C.13 D.15

[导学号03350782] 解析:选B.如图所示,依题意可得

|AB |=|AF 2|=|BF 2|.

又因为|BF 1|-|BF 2|=2a , 所以|AF 1|=2a .

又因为|AF 2|-|AF 1|=2a , 所以|AF 2|=4a .

即在△F 1BF 2中,|BF 1|=6a ,|BF 2|=4a ,|F 1F 2|=2c ,∠F 1BF 2=60°. 由余弦定理可得c 2=7a 2,所以离心率为7.

9.已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2等于( )

A.14

B.35

C.34

D.45

[导学号03350783] 解析:选C.由x 2-y 2=2知, a 2=2,b 2=2,c 2=a 2+b 2=4,∴a =2,c =2. 又∵|PF 1|-|PF 2|=2a ,|PF 1|=2|PF 2|, ∴|PF 1|=42,|PF 2|=2 2.

又∵|F 1F 2|=2c =4,∴由余弦定理得

cos ∠F 1PF 2=(42)2+(22)2-422×42×22

=3

4.故选C.

10.设F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P

使得|PF 1|+|PF 2|=3b ,|PF 1|·|PF 2|=9

4

ab ,则该双曲线的离心率为( )

A.43

B.53

C.94

D .3 [导学号03350784] 解析:选B.不妨设P 为双曲线右支上一点,|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2.

根据双曲线的定义,得r 1-r 2=2a ,又r 1+r 2=3b ,故r 1=3b +2a 2,r 2=3b -2a 2.又r 1·r 2=9

4

ab ,

所以3b +2a 2·3b -2a 2=94ab ,解得b a =43(负值舍去),故e =c a =a 2+b 2a

2

=????b a 2+1=????432+1=53,故选B. 二、填空题

11.已知双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为x +2y =0,则此双曲线的离

心率e 的值为________.

[导学号03350785] 解析:由题意知,双曲线的一条渐近线方程为x +2y =0,即b a =1

2

则双曲线的离心率为e =1+b 2a 2=1+14=5

2

.

答案:5

2

12.设A ,B 分别为双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,

焦点到渐近线的距离为3,则双曲线的方程为________.

[导学号03350786] 解析:由题意知a =23,

∴一条渐近线为y =b

23

x ,即bx -23y =0,

∴|bc |b 2+12

=3,∴b 2=3,

∴双曲线的方程为x 212-y 2

3

=1.

答案:x 212-y

23

=1

13.已知双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px (p >0)的准线分别交

于A ,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 的面积为3,则p =________.

[导学号03350787] 解析:由已知得c

a =2,所以a 2+

b 2a

2=4,

解得b

a

=3,即双曲线的渐近线方程为y =±3x .

抛物线准线方程为x =-p 2,于是A ????

-p 2

,-3p 2,

B ???

?

-p 2,3p 2,从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2=3,可得p =2.

答案:2

14.已知双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与曲线y =2x -1相切,则该双曲线

的离心率为________.

[导学号03350788] 解析:由y =2x -1,得y ′=1

2x -1

,设切点为(x 0,2x 0-1),

则一条渐近线(即切线方程)为y -2x 0-1=12x 0-1·(x -x 0),即y =1

2x 0-1

x +2x 0-1-

x 0

2x 0-1

. 因为一条渐近线方程为y =b

a x ,所以比较系数,得

?

????

12x 0-1=b

a

,2x 0-1-x 0

2x 0-1

=0,

解得?????

x 0

=1,b a

=1.

所以该双曲线的离心率为e =c 2a 2

=a 2+b 2

a 2

=1+????b a 2= 2.

答案: 2

三、解答题

15.已知双曲线C :x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的离心率为3,点(3,0)是双曲线的一个顶

点.

(1)求双曲线的方程;

(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线,直线与双曲线交于不同的两点A ,B ,求AB 的长.

[导学号03350789] 解:(1)∵双曲线C :x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的离心率为3,点(3,

0)是双曲线的一个顶点,∴?????

c a =3,a =3,

解得c =3,b =6,∴双曲线的方程为x 23-y 2

6

=1.

(2)双曲线x 23-y 2

6

=1的右焦点为F 2(3,0),

∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y =

3

3

(x -3). 联立???

x 23-y 2

6

=1,y =3

3(x -3),

得5x 2+6x -27=0.

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),

则x 1+x 2=-65,x 1x 2=-27

5

.

所以|AB |=1+1

3×????-652-4×????-275=1635. 16.设双曲线C 以椭圆x 225+y 2

9

=1的两个焦点为焦点,且双曲线C 的焦点到其渐近线的

距离为2 3.

(1)求双曲线C 的方程; (2)若直线y =kx +m (k ≠0,m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点E ,F ,且E ,F 都在以P (0,3)为圆心的同一圆上,求实数m 的取值范围.

[导学号03350790] 解:(1)依题意知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(-4,0),F 2(4,0),∴c =4.

又双曲线C 的焦点到渐近线的距离为23, ∴b =2 3.∴a 2=c 2-b 2=4.

∴双曲线C 的方程为x 24-y 2

12

=1.

(2)设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2).

由?????

y =kx +m ,x 24-y 212

=1消去y 整理,得

(3-k 2)x 2-2kmx -(m 2+12)=0. 依题意得

?

????

3-k 2

≠0,

Δ=4k 2m 2+4(3-k 2)(m 2

+12)>0.(*) 设EF 的中点为G (x 0,y 0),则

x 0=x 1+x 22=km 3-k 2

.

又∵点G 在直线y =kx +m 上,

∴y 0=kx 0+m =3m 3-k

2,∴G ????km 3-k 2,3m 3-k 2. ∵E ,F 两点都在以P (0,3)为圆心的同一圆上, ∴GP ⊥EF ,即k GP ·k =-1.

∴3m

3-k 2-3km 3-k 2

·k =-1,整理得k 2=9-4m 3,

代入(*)式得

???

3-9-4m 3

≠0,

Δ=4m 2

·9-4m 3+4?

???3-9-4m 3(m 2

+12)>0,

解得m >0或m <-16

3

.

又∵k 2=9-4m 3>0,∴m <9

4

.

故所求m 的取值范围是 ?

???-∞,-163∪????0,94.

第八章 第六节 双曲线(优秀经典课时作业练习及答案详解)

[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1.(2020·湖南永州模拟)焦点是(0,±2),且与双曲线x 23-y 23=1有相同的渐近线的双曲线 的方程是( ) A .x 2- y 2 3 =1 B .y 2- x 2 3 =1 C .x 2-y 2=2 D .y 2-x 2=2 解析:由已知,双曲线焦点在y 轴上,且为等轴双曲线,故选D. 答案:D 2.双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( ) A .2 B . 3 C. 2 D.32 解析:由渐近线互相垂直可知????-b a ·b a =-1,即a 2= b 2,即 c 2=2a 2,即c =2a ,所以e = 2. 答案:C 3.已知双曲线 x 2- y 224=1的两个焦点为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点.若|PF 1|=4 3 |PF 2|,则△F 1PF 2的面积为( ) A .48 B .24 C .12 D .6 解析:由双曲线的定义可得 |PF 1|-|PF 2|=1 3 |PF 2|=2a =2, 解得|PF 2|=6,故|PF 1|=8,又|F 1F 2|=10, 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形, 因此S △PF 1F 2=1 2|PF 1|·|PF 2|=24. 答案:B 4.(2020·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左顶点,F 1,F 2

分别为双曲线的左、右焦点,P 为双曲线上一点,G 是△PF 1F 2的重心,若存在实数λ使得GA → =λPF 1→ ,则双曲线的离心率为( ) A .3 B .2 C .4 D .与λ的取值有关 解析:由题意,可知|PG |=2|GO |,GA ∥PF 1,∴2|OA |=|AF 1|,∴2a =c -a ,∴c =3a ,∴e =3. 答案:A 5.(2020·惠州市高三一调)已知双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,其中一条渐近线的倾斜角为π 3 ,则双曲线C 的离心率为( ) A .2或 3 B .2或23 3 C.233 D .2 解析:双曲线C 的一条渐近线方程为y =b a x ,则有b a =tan π3=3,因为e 2 =c 2a 2=1+b 2 a 2=1 +3=4,所以双曲线C 的离心率为2,故选D. 答案:D 6.已知点F 2为双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的右焦点,直线y =kx 交C 于A ,B 两点,若∠AF 2B =2π 3 ,S △AF 2B =23,则C 的虚轴长为________. 解析:设双曲线C 的左焦点为F 1,连接AF 1,BF 1(图略),由对称性可知四边形AF 1BF 2 是平行四边形,所以S △AF 1B =23,∠F 1AF 2=π3.设|AF 1|=r 1,|AF 2|=r 2,则4c 2=r 21+r 22-2r 1r 2cos π3.又|r 1-r 2|=2a ,所以r 1r 2=4b 2.又S △AF 2B =S △AF 1F 2=12r 1r 2sin π 3=23,所以b 2=2, 则该双曲线的虚轴长为2 2. 答案:2 2 7.中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且|F 1F 2|=213,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7. (1)求椭圆和双曲线的方程; (2)若P 为这两曲线的一个交点,求cos ∠F 1PF 2的值. 解析:(1)由题知c =13,设椭圆方程为x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0),

第三讲---双曲线的第二定义

第三讲 双曲线的第二定义
知识梳理
(一)双曲线的第二定义:平面内一动点 的比为常数 e ? 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x ?
a2 的距离 c
c (e>1) a
定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点,定直线 L 是双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率。 (二)焦点三角形的面积公式。
S?
1 ? r1r2 sin ? ? b 2 tan 2 2
3.双曲线的方程,图形,渐进线方程,准线方程和焦半径公式: 标准方程 图像 渐进线方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
b x a a2 x?? c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 ? a y??
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
a x b a2 y?? c y??
准线方程
半径公式
r右 =|MF2 |=ex 0 ? a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 ?a r右 =|MF2 |=-ex 0 ? a
典例分析 题型一:与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线
x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ,则点 P 到右准线的距离为______ 13 12
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3
练习:已知双曲线的渐进线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,两条准线间的距离为 解:双曲线渐进线方程为 y ? ?
16 13 ,求双曲线的标准方程。 13
3 x 2
1

2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第七节 抛物线 理

第八章 第七节 抛物线 一、选择题 1.已知抛物线x 2 =ay 的焦点恰好为双曲线y 2 -x 2 =2的上焦点,则a 等于 ( ) A .1 B .4 C .8 D .16 解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0,a 4),双曲线的上焦点为(0,2),依题意则 有 a 4 =2, 解得a =8. 答案:C 2.抛物线y =-4x 2 上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 ( ) A .-17 16 B .-1516 C.7 16 D.1516 解析:抛物线方程可化为x 2 =-y 4,其准线方程为y =116 .设M (x 0,y 0),则由抛物线的定 义,可知116-y 0=1?y 0=-15 16 . 答案:B 3.(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2 =x 的焦点,A ,B 是该拋物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A.3 4 B .1 C.5 4 D.74 解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段AB 中点到y 轴的距离为:1 2(|AF |+ |BF |)-14=32-14=5 4 . 答案:C 4.已知抛物线y 2 =2px ,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A .相离 B .相交 C .相切 D .不确定 解析:设抛物线焦点弦为AB ,中点为M ,准线l ,A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影,

则|AA 1|=|AF |,|BB 1|=|BF |,于是M 到l 的距离d =12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF |+|BF |)= 1 2|AB |=半径,故相切. 答案:C 5.(2012·宜宾检测)已知F 为抛物线y 2 =8x 的焦点,过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,则||FA |-|FB ||的值等于 ( ) A .4 2 B .8 C .8 2 D .16 解析:依题意F (2,0),所以直线方程为y =x -2由??? ?? y =x -2,y 2 =8x ,消去y 得x 2 -12x +4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则||FA |-|FB ||=|(x 1+2)-(x 2+2)|=|x 1-x 2|=x 1+x 22 -4x 1x 2=144-16=8 2. 答案:C 6.在y =2x 2 上有一点P ,它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P 的坐标是 ( ) A .(-2,1) B .(1,2) C .(2,1) D .(-1,2) 解析:如图所示,直线l 为抛物线y =2x 2 的准线,F 为其焦点,PN ⊥ l ,AN 1⊥l ,由抛物线的定义知,|PF |=|PN |,∴|AP |+|PF |=|AP |+ |PN |≥|AN 1|,当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号.∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1,则可排除A 、C 、D. 答案:B 二、填空题 7.(2012·永州模拟)以抛物线x 2 =16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________. 解析:抛物线的焦点为F (0,4),准线为y =-4,则圆心为(0,4),半径r =8.所以,圆的方程为x 2 +(y -4)2 =64. 答案:x 2 +(y -4)2 =64 8.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,抛物线上一点Q (-3,m )到焦点的距离是5,则抛物线的方程为________. 解析:设抛物线方程为x 2 =ay (a ≠0), 则准线为y =-a 4 .

2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第六节 双曲线 理

第八章 第六节 双曲线 一、选择题 1.“ab <0”是“方程ax 2 +by 2 =c 表示双曲线”的 ( ) A .必要但不充分条件 B .充分但不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:若ax 2 +by 2 =c 表示双曲线,即x 2c a +y 2c b =1表示双曲线,则c 2 ab <0,这就是说“ab <0” 是必要条件,然而若ab <0,c 可以等于0,即“ab <0”不是充分条件. 答案:A 2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±3 3 x ,若顶点到渐近线的 距 离 为 1 , 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( ) A.x 24-3y 24=1 B.3x 24-y 2 4=1 C.x 24-y 2 4 =1 D.x 24-4y 2 3 =1 解析:不妨设顶点(a,0)到直线3x -3y =0的距离为1,即3a 3+9=1,解得a =2.又b a = 33,所以b =233,所以双曲线的方程为x 2 4-3y 2 4 =1. 答案:A 3. (2011·新课标全国卷)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直, l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C .2 D .3 解析:设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b 2=1,焦点F (-c,0),将x =-c 代入x 2a 2-y 2 b 2=1可得 y 2 =b 4a 2,所以|AB |=2×b 2a =2×2a .∴b 2=2a 2.c 2=a 2+b 2=3a 2.∴e =c a = 3. 答案:B 4.已知双曲线x 2 -y 2 3 =1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则 1PA · 2PF 的最小值为 ( )

第9章第6讲 双曲线

第6讲双曲线 基础知识整合 1.双曲线的概念 平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做01双曲线.这两个定点叫做双曲线的02焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的03焦距. 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0: (1)当04ac时,M点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0) y2 a2 -x2 b2 =1(a>0,b>0) 图形 性 质 范围x≥08a或x≤09-a,y∈R x∈R,y≤10-a或y≥11a 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点 顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a) 焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c) 渐近线12y=±b a x 13y=± a b x 离心率e=c a ,e∈14(1,+∞),其中c=a2+b2 实虚轴线段A 1 A2叫做双曲线的15实轴,它的长|A1A2|=162a;线段

B 1B 2叫做双曲线的 17虚轴,它的长|B 1B 2|=182b ;a 叫做双曲线的半实轴长,b 叫做双曲线的半虚轴长 a , b , c 的关系 19c 2=a 2+b 2(c >a >0,c >b >0) 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b . 2.若P 是双曲线右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF 1|min =a +c ,|PF 2|min =c -a . 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为2b 2 a ;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a . 4.若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则S △PF 1F 2=b 2 tan θ2 ,其中θ为∠F 1PF 2. 5.若P 是双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,I 为△PF 1F 2内切圆的圆心,则圆心I 的横坐标为定值a . 6.等轴双曲线 (1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. (2)性质:①a =b ;②e =2;③渐近线互相垂直;④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项. 1.(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是( ) A .22 B .1 C . 2 D .2 答案 C 解析 由题意可得b a =1,∴e = 1+b 2 a 2=1+12= 2.故选C .

(完整word版)双曲线讲义

圆锥曲线第二讲 双曲线 一 双曲线的定义 平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数2a (小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距. 注:(1)定义中的限制条件1202a F F <<.当122a F F =时,点的轨迹是分别以12,F F 为端点的两条射线;当122a F F >时,轨迹不存在;当20a =时,点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线. (2)定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的一支. 例 1 已知1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足122PF PF a -=,当a 为3和5时,P 的 轨迹分别是_________.双曲线的一支和一条射线. 例2 已知点(,)P x y 的坐标满足下列条件,是判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形: (16=; (26= 练习1 已知平面上定点1F ,2F 及动点M ,命题甲:22()MF MF a a -=为常数,命题乙:M 点轨迹是以1F ,2F 为焦点的双曲线,则甲是乙的____条件.必要不充分条件 练习2 若平面内一动点(,)P x y 到两定点1(1,0)F -,2(1,0)F 的距离之差的绝对值为定值(0)a a ≥,讨论点P 的轨迹方程.

二 双曲线的标准方程 (1)设(,)M x y 是双曲线上任意一点,焦点1F ,2F 的坐标分别为(,0)c -,(,0)c , M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>,则双曲线的标准方程 为 :22 221(0,0)x y a b a b -=>> 其中:①222c a b =+; ②a c b c <<且,a 和b 大小关系不明确 (2)设(,)M x y 是双曲线上任意一点,焦点1F ,2F 的坐标分别为(0,)c ,(0,)c -, M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>,则双曲线的标准方程为 :22 221(0,0)y x a b a b -=>> 其中:①222c a b =+; ②a c b c <<且,a 和b 大小关系不明确 例1 若方程22 123 x y m m +=--表示双曲线,则实数m 的取值范围为______. (3,2)(3,)-+∞U 例2 若1k >,则关于,x y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是____.焦点在 y 轴上的双曲线. 例3 方程22 1cos 2010sin 2010 x y ?? -=所表示的曲线为_______.焦点在y 轴上的双曲线. 练习1 若方程 22 21523 x y m m m +=---表示焦点在y 轴上的双曲线,则实数m 的取值范围为_____.(5,)+∞ 练习2 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3),则k =_____.-1 三 双曲线的定义及其标准方程的应用 例1 若12,F F 是双曲线22 1916 x y - =的两个焦点,若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16,则点M 到另一个焦点的距离为____(4或28),若P 是双曲线左支上 的点,且1232PF PF =g ,则12F PF V 的面积为_____.16

2019版同步优化探究理数练习:第八章 第七节 双曲线 Word版含解析

课时作业 A组——基础对点练 1.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.3 B.3 C.3m D.3m 解析:双曲线方程为x2 3m - y2 3 =1,焦点F到一条渐近线的距离为3.选A. 答案:A 2.已知双曲线x2 a2 - y2 3 =1(a>0)的离心率为2,则a=( ) A.2 B. 6 2 C. 5 2 D.1 解析:因为双曲线的方程为x2 a2 - y2 3 =1,所以e2=1+ 3 a2 =4,因此a2=1,a=1.选D. 答案:D 3.双曲线x2-4y2=-1的渐近线方程为( ) A.x±2y=0 B.y±2x=0 C.x±4y=0 D.y±4x=0 解析:依题意,题中的双曲线即y2 1 4 -x2=1,因此其渐近线方程是 y2 1 4 -x2=0,即x±2y=0,选 A. 答案:A 4.已知双曲线x2 3

-y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上,且满足|PF 1|+|PF 2|=2 5,则△ PF 1F 2的面积为( ) A .1 B. 3 C.5 D. 12 解析:在双曲线x2 3-y 2=1中,a = 3,b =1,c =2.不防设P 点在双曲线的右支上,则有|PF 1|-|PF 2|=2a =2 3,又|PF 1|+|PF 2|=2 5,∴|PF 1|= 5+ 3,|PF 2|=5- 3.又|F 1F 2|=2c =4,而|PF 1|2 +|PF 2|2 =|F 1F 2|2 ,∴PF 1⊥PF 2,∴S △PF 1F 2=1 2×|PF 1|×|PF 2|=1 2 ×( 5+ 3)×( 5- 3)=1.故选A. 答案:A 5.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a >0,b >0),直线l :y =2x -2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点 ,则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为 ( ) A .1 B .2 C. 5 D .4 解析:根据题意,双曲线C 的方程为 x2 a2-y2b2 =1(a >0,b >0),其焦点在x 轴上,渐近线方程为 y =±b a x ,又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线,可知b a =2,直线l :y =2x -2与x 轴的交 点坐标为(1,0),即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0),即a =1,则b =2a =2,故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2,故选B. 答案:B 6.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长,则该双曲线的离心率为 ( )

第六节 双曲线(章节练习)

第六节 双曲线 【知识要点】 一、你熟悉双曲线的定义吗? 二、你能写出双曲线的标准方程吗? 三、你了解双曲线的这些性质吗?如:范围,对称性,顶点,实轴,虚轴,焦距,离心率,准线,渐近线 四、你熟悉双曲线的第二定义吗? 【典型例题】 # 例1.已知双曲线的方程是16x 2-9y 2 =144. (1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点,点P 在双曲线上,且|PF 1|·|PF 2|=32,求∠F 1PF 2的大小. # 例2. 根据下列条件,求双曲线方程: (1)与双曲线92 x -16 2y =1有共同的渐近线,且过点(-3,23); (2)与双曲线162 x -4 2y =1有公共焦点,且过点(32,2)

例3.已知双曲线x 2-22 y =1与点P (1,2),过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点,若P 为AB 中点. (1)求直线AB 的方程; (2)若Q (1,1),证明不存在以Q 为中点的弦. 例4.(05重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3(。 (1) 求双曲线C 的方程; (2) 若直线l :2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且2>?(其中O 为原点),求k 的取值范围。

例5.已知双曲线122 22=-b y a x 的离心率332=e ,过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.2 3 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ,D 且C ,D 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值. 例6.直线:1l y kx =+与双曲线22 :21C x y -=的右支交于不同的两点,A B , (I )求实数k 的取值范围;(II )是否存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习:第八章 第六节 双曲线 含解析

课时规范练 A 组 基础对点练 1.已知F 为双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B .3 C.3m D .3m 解析:双曲线方程为x 23m -y 2 3=1,焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案:A 2.已知双曲线x 2a 2-y 2 3=1(a >0)的离心率为2,则a =( ) A .2 B.62 C.52 D .1 解析:因为双曲线的方程为x 2a 2-y 23=1,所以e 2=1+3 a 2=4,因此a 2=1,a =1.选D. 答案:D 3.(2018·邢台摸底)双曲线x 2-4y 2=-1的渐近线方程为( ) A .x ±2y =0 B .y ±2x =0 C .x ±4y =0 D .y ±4x =0 解析:依题意,题中的双曲线即y 214-x 2=1,因此其渐近线方程是y 214-x 2 =0,即x ±2y =0,选 A. 答案:A 4.设F 1,F 2是双曲线x 2 -y 224=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且|PF 1|=4 3 |PF 2|,则△ PF 1F 2的面积等于( ) A .42 B .8 3 C .24 D .48 解析:由双曲线定义||PF 1|-|PF 2||=2, 又|PF 1|=4 3|PF 2|, ∴|PF 1|=8,|PF 2|=6, 又|F 1F 2|=2c =10, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, △PF 1F 2为直角三角形. △PF 1F 2的面积S =1 2 ×6×8=24.

答案:C 5.双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( ) A .2 B. 3 C. 2 D.32 解析:由渐近线互相垂直可知????-b a ·b a =-1, 即a 2= b 2,即 c 2=2a 2,即c =2a , 所以e = 2. 答案:C 6.下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是( ) A .x 2 -y 2 4 =1 B.x 24-y 2 =1 C.y 24 -x 2 =1 D .y 2 -x 2 4 =1 解析:A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上,C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上,又令y 2 4- x 2 =0,得y =±2x ,令y 2 -x 24=0,得y =±1 2 x ,故选C. 答案:C 7.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率e =5 4,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C 的方程为( ) A.x 24-y 2 3=1 B.x 29-y 2 16=1 C.x 216-y 2 9 =1 D.x 23-y 2 4 =1 解析:由题意得e = 1+b 2a 2=5 4 ,又右焦点为F 2(5,0),a 2+b 2=c 2,所以a 2=16,b 2=9,故双曲线C 的方程为x 216-y 2 9=1. 答案:C 8.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x +y =0 垂直,则双曲线的方程为( ) A.x 24-y 2 =1 B .x 2 -y 2 4 =1 C.3x 220-3y 2 5 =1 D.3x 25-3y 2 20 =1 解析:由题意得c =5,b a =12,则a =2,b =1,所以双曲线的方程为x 24-y 2 =1. 答案:A

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培优练文(含解析)新人教A版

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培 优练文(含解析)新人教A 版 [基础题组练] 1.若双曲线C 1:x 22-y 2 8=1与C 2:x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的渐近线相同,且双曲线C 2的焦距 为45,则b =( ) A .2 B .4 C .6 D .8 解析:选B.由题意得,b a =2?b =2a ,C 2的焦距2c =45?c =a 2+b 2 =25?b =4,故选B. 2.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支 上,若|PF 1|-|PF 2|=4b ,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为( ) A.x 2 4-y 2 =1 B.x 23-y 22=1 C .x 2 -y 2 4 =1 D.x 22-y 2 3 =1 解析:选A.由题意可得???| PF 1 |-|PF 2 |=2a =4b ,c 2 =a 2 +b 2 ,2c =25, 解得? ????a 2 =4,b 2=1,则该双曲线方程为x 24-y 2 =1. 3.(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C :x 24-y 2 5=1的一个焦点,点P 在C 上,O 为 坐标原点.若|OP |=|OF |,则△OPF 的面积为( ) A.32 B.52 C.72 D.92 解析:选B.因为c 2 =a 2 +b 2 =9,所以|OP |=|OF |=3.设点P 的坐标为(x ,y ),则x 2 +y 2 =9,把x 2=9-y 2 代入双曲线方程得|y |=53,所以S △OPF =12|OF |·|y P |=52 .故选B. 4.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0),过其左焦点F 作x 轴的垂线,交双曲线于A ,B 两

2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练

2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练 [A 级 基础达标] 1.[xx·安徽模拟]下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是( ) A .x 2 -y 24=1 B.x 24-y 2 =1 C .y 2-x 2 4=1 D.y 2 4 -x 2 =1 答案 D 解析 由题意,选项A ,B 的焦点在x 轴,故排除A ,B ;D 项的渐近线方程为y 2 4-x 2 =0, 即y =±2x . 2.[xx·湖北模拟]若双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离 心率为( ) A. 73 B.54 C.43 D.53 答案 D 解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y =±b a x ,点(3,-4)在渐近线上,∴b a =43 , 又a 2+b 2=c 2,∴c 2=a 2 +169a 2=259a 2,∴e =c a =53 .故选D. 3.[xx·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C :x 2 -y 2 3=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23 D.32 答案 D 解析 因为F 是双曲线C :x 2 -y 2 3=1的右焦点,所以F (2,0). 因为PF ⊥x 轴,所以可设P 的坐标为(2,y P ). 因为P 是C 上一点,所以4-y 2P 3=1,解得y P =±3, 所以P (2,±3),|PF |=3. 又因为A (1,3),所以点A 到直线PF 的距离为1, 所以S △APF =12×|PF |×1=12×3×1=3 2 .故选D. 4.[xx·广东模拟]已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率e =5 4 ,且其右焦点为F 2(5,0),则 双曲线C 的方程为( ) A.x 24-y 2 3 =1 B.x 29-y 2 16 =1

解析几何第二十七讲 双曲线

专题九解析几何 第二十七讲双曲线 2019 年 1.(2019 全国III 理10)双曲线C: x y =1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐进线 2 2 4 2 上,O 为坐标原点,若PO = PF ,则△PFO 的面积为A. 3 2 4 B.3 2 2 C.2 2 D.3 2 2.(2019 江苏7)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线 y 2 2 x 2 1(b 0) 经过点(3,4), b 则该双曲线的渐近线方程是 . x 2 y 2 3.(2019 全国I 理16)已知双曲线C: 2 2 a b 1( 0, 0) a b 的左、右焦点分别为F1,F2,

过F1 的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B 两点.若 F A AB , F B F B ,则C 的 1 1 2 0 离心率为____________. 4.(2019 年全国II 理11)设F 为双曲线C: x 2 2 y 2 2 a 1( 0, 0) a b 的右焦点,O 为坐标 b 原点,以OF 为直径的圆与圆x2 y2 a2 交于P,Q 两点.若PQ OF ,则C 的离心率为A.2 B.3 C.2 D.5 5.(2019 浙江2)渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是A. 22 B.1 C.2 D.2 2 6. (2019 天津理5 )已知抛物线y 4x 的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线 x 2 y 2 的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且| AB | 4 | OF |(O 为 2 2 a b 1 ( 0, 0) a b 原点),则双曲线的离心率为A. 2 B. 3 1 C. 2 D. 5 2010-2018 年

第八章第七节双曲线

第八章 第八节双曲线 课下练兵场 "难度及题号 容易题 中等题 稍难题「 知识点 (题号) (题号) (题号) 双曲线的定义及其标准方程 1、2 & 10 双曲线的几何性质 3 4、5、7、9 直线与双曲线的位置关系 6 11、12 1已知定点 A 、B ,且|AB| = 4,动点P 满足|PA|—|PB|= 3,则|PA|的最小值是( 1 A.Q C.7 D . 5 解析:因为 |AB|= 4, |PA|— |PB|= 3, 故满足条件的点在双曲线右支上, 则|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离2 + 2=纟 答案:C 1 2.已知点F i ( — 2, 0), F 2( 2, 0),动点P 满足|PF 2|—|PF i |= 2,当点P 的纵坐标是2时, 点P 到坐标原点的距离是 C. 3 解析:由已知可知 c = 2, a = 1, b = 1, ???双曲线方程为x 2— y 2= 1(x < — 1). 代入2可求P 的横坐标为x =—于. 3.已知双曲线9y 2— m 2x 2= 1(m > 0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5,则m =( ) B.2 ? P 到原点的距离为 答案:A

C . 1v e v 5 D . e > 5 解析:依题意,结合图形分析可知,双曲线的一条渐近线的斜率 解析:双曲线9y 2— m 2x 2= 1(m >0),一个顶点(0,弓, 3 32 + m 2= 5? m = 4. 答案:D =o ,^HPF i + PF 21= 答案:B 5. F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点,P 是C 上一点,且△ F 1PF 2是等腰直角三角形,则双 曲线C 的 离心率为 ( ) A . 1+ 2 B . 2+ 2 C . 3— 2 D . 3 + '. 2 解析:由△ PF 1F 2为等腰直角三角形, 又|PF 1|M IPF 2I , 故必有 |F 1F 2|= IPF 2I , 即 2c = b ,从而得 c 2— 2ac — a 2= 0, a 即 e 2— 2e — 1 = 0,解之得 e = 1 ±. 2, ?/ e > 1, ??? e = 1 + 2. 答案:A 2 2 6.斜率为2的直线I 过双曲线活=1(a > 0, b > 0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分 另肪目交,则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( ) B . 1 v e v 3 一条渐近线 3y — mx = 0, 4.设F i 、F 2分别是双曲线 2 x 2 -y 1的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 PF^ -PF^ PF ( ) A. 10 B . 2 10 C. 5 2 y = 1的左、右焦点. 9 解析:设F 1、F 2分别是双曲线x 2 =0,则 | P F 1 + PF 2 1= 2| PO |= | F 1F 2 |= 2.10. 点P 在双曲线上,且PF^ -PF^ PF :必大

(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第八章解析几何第六节双曲线

第六节双曲线 这样自检要比死记更有效基础盘查一双曲线的定义及标准方程 (一)循纲忆知 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.

(二)小题査验 1.判断正误 (1)平面内到点鬥(0,4), F2(0, 一4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线 (2)平面内到点Fi(0,4), F2(0, 一4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹 是双曲线

2-(人敘A版敎材例题改褊)已知双曲线两个焦点分别为风(一5,0), F2(5,0).双曲线上一点P到F I, 卩2距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为

3.设Fi ,形是双曲线x 2-^=l 的两个焦点显是双曲线上的一点, 且 3IPF!l=4IPF 2l,则△PTS?的面积等于 解析:双曲线的实轴长为2,焦距为IF/』=2X5=10. 2=IPFj I 一 1略1=|lPF 2l-IP^2l=|lPF 2l, A \PF 2\=69 IPFil=8. AIPFil 2+lPF2l 2 = IFiF 2l 2^ ???Mi 丄“2, ?°? S^PF \F2=flPF ]卜 LPF2I=f X 6 X 8=24. ,

(二)小题查验 1.判断正误 2 2 ⑴方程打一占=1(如>0)表示焦点在X轴上的双曲线(X ) 2 2 2 (2)双曲线方程和一讣=沏>0, n>0, 2H0)的渐近线方程是和一 必=0,即兰±》=0 n m n (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于边(V ) 2 2 2 2 (4)若双曲线器一器=1@>0,〃>0)与話—缶=1(°>0, 〃>0)的离心 率分别是习,%,则需+寿=K此结论中两条双曲线为共轨双曲线)

7 第6讲 双曲线 新题培优练 (2)

[基础题组练] 1.若双曲线C 1:x 22-y 28=1与C 2:x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的渐近线相同,且双曲线C 2的 焦距为45,则b =( ) A .2 B .4 C .6 D .8 解析:选B.由题意得,b a =2? b =2a ,C 2的焦距2 c =45?c =a 2+b 2=25?b =4,故 选B. 2.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支 上,若|PF 1|-|PF 2|=4b ,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为( ) A.x 24-y 2 =1 B.x 23-y 2 2=1 C .x 2- y 2 4 =1 D.x 22-y 2 3 =1 解析:选A.由题意可得?????|PF 1|-|PF 2|=2a =4b ,c 2=a 2+b 2 ,2c =25, 解得? ????a 2=4,b 2=1,则该双曲线方程为x 24-y 2 =1. 3.(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C :x 24-y 2 5=1的一个焦点,点P 在C 上,O 为 坐标原点.若|OP |=|OF |,则△OPF 的面积为( ) A.32 B.52 C.72 D.92 解析:选B.因为c 2=a 2+b 2=9,所以|OP |=|OF |=3.设点P 的坐标为(x ,y ),则x 2+y 2=9,把x 2=9-y 2代入双曲线方程得|y |=53,所以S △OPF =12|OF |·|y P |=5 2 .故选B. 4.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0),过其左焦点F 作x 轴的垂线,交双曲线于A ,B 两 点,若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( ) A .(2,+∞) B .(1,2) C.????32,+∞ D.??? ?1,3 2

专题九 解析几何第二十七讲 双曲线 (1)

专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 一、选择题 1.(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A .(2,0)-,2,0) B .(2,0)-,(2,0) C .(0,2),2) D .(0,2)-,(0,2) 2.(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C :2 213 -=x y ,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若?OMN 为直角三角形,则||MN = A . 3 2 B .3 C .23 D .4 3.(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b 3 A .2=y x B .3=y x C .2=y x D .3 =y 4.(2018全国卷Ⅲ)设1F ,2F 是双曲线C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点,O 是 坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若1||6|PF OP =,则C 的离心率为 A 5 B .2 C 3 D 2 5.(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴 的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d , 且126d d +=,则双曲线的方程为 A . 221412x y -= B .221124x y -= C .22139x y -= D .22 193 x y -=

6.(2017新课标Ⅱ)若双曲线C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线被圆 22(2)4x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为 A .2 B 3 C 2 D . 3 3 7.(2017新课标Ⅲ)已知双曲线C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆 22 1123 x y +=有公共焦点,则C 的方程为 A . 221810x y -= B .22145x y -= C .22154x y -= D .22 143x y -= 8.(2017天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F 2.若经 过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 A .22144x y -= B .22188x y -= C .22148x y -= D .22 184x y -= 9.(2016天津)已知双曲线 2 22=1(0)4x y b b ->,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为 A .22443=1y x - B .22344=1y x - C .2224=1x y b - D .2 224=11x y - 10.(2016年全国I)已知方程22 2 213x y m n m n -=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 A .(–1,3) B .(–1,3) C .(0,3) D .(0,3) 11.(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E :22 221x y a b -=的左、右焦点,点M 在E 上,1MF 与 x 轴垂直,211sin 3 MF F ∠=,则E 的离心率为

2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第八章+第六节 双 曲 线+Word版含答案

第六节双曲线 2019考纲考题考情 1.双曲线的概念 平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距。 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a>0,c>0}。 (1)当a<c时,M点的轨迹是双曲线。 (2)当a=c时,M点的轨迹是两条射线。 (3)当a>c时,M点不存在。 2.双曲线的标准方程和几何性质

1.双曲线定义的四点辨析 (1)当0<2a <|F 1F 2|时,动点的轨迹才是双曲线。 (2)当2a =0时,动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。 (3)当2a =|F 1F 2|时,动点的轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线。 (4)当2a >|F 1F 2|时,动点的轨迹不存在。 2.方程x 2m -y 2n =1(mn >0)表示的曲线 (1)当m >0,n >0时,表示焦点在x 轴上的双曲线。 (2)当m <0,n <0时,表示焦点在y 轴上的双曲线。 3.方程的常见设法 (1)与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1共渐近线的方程可设为x 2a 2-y 2 b 2=λ(λ≠0)。 (2)若渐近线的方程为y =±b a x ,则可设双曲线方程为x 2a 2-y 2 b 2=λ(λ≠0)。 一、走进教材 1.(选修1-1P 54A 组T 1改编)已知双曲线x 2-y 216=1上一点 P 到它的一个焦点的距离等于4,那么点P 到另一个焦点的距离

等于________。 解析设双曲线的焦点为F1,F2,|PF1|=4,则||PF1|-|PF2||=2,故|PF2|=6或2,又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c-a=17-1>2,故|PF2|=6。 答案6 2.(选修1-1P53练习T3改编)以椭圆x2 4+ y2 3=1的焦点为顶 点,顶点为焦点的双曲线方程为____________。 解析设要求的双曲线方程为x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0),由椭圆 x2 4+y2 3=1,得焦点为(±1,0),顶点为(±2,0)。所以双曲线的顶点为 (±1,0),焦点为(±2,0)。所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3, 所以双曲线标准方程为x2-y2 3=1。 答案x2-y2 3=1 二、走近高考 3.(2018·浙江高考)双曲线x2 3-y2=1的焦点坐标是() A.(-2,0),(2,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2) 解析由题可知双曲线的焦点在x轴上,因为c2=a2+b2=3+1=4,所以c=2,故焦点坐标为(-2,0),(2,0)。故选B。 答案B 4.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为 3 2c,则 其离心率的值是________。

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