初三数学圆典型难题

2006年中考“圆” 热点题型分类解析

1．（2006，泉州）如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D?在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______

https://www.360docs.net/doc/c217074940.html,

B

A

(1) (2) (3) (4)

2．（2006，哈尔滨市）在△ABC 中，AB=AC=5，且△ABC 的面积为12，则△ABC 外接圆的半径为________．

3．（2006，南京市）如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，?GB=8cm ，AG=1cm ，DE=2cm ，则EF=_______cm ． 4．（2006，旅顺口区）如图3，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=________． 5．（2006，盐城）已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C=1：2，则∠BOD=______． 6．（2006，大连）如图4，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC?的周长为______．

7．（2006，盐城）如图5，AB 是⊙O 的弦，圆心O 到AB 的距离OD=1

，AB=4

，?

则该圆的半径是________

．

(5) (6) (7) (8) (9) 8．如图6，⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm ．

9．（2006，重庆）如图7，△ABC 内接于⊙O ，∠A 所对弧的度数为120°，∠ABC 、?∠ACB 的角平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ．①cos ∠BFE=

1

2

；②BC=?BD ；③EF=FD ；④BF=2DF ．其中结论一定正确的序号是________． 10．（2006，海淀区）如图8,已知A 、B 、C 是⊙O 上，若∠COA=100°，则∠CBA 的度数是（ ） A ．40° B ．50° C ．80° D ．200°

11．（2006，温州）如图9，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠B=70°，则∠A 的度数是（ ）

A ．20°

B ．25° C

．30

° D ．

35

°

(10) (11) (12) (13) (14)

12．（2006，陕西）如图10，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径r=3

2

，AC=2，则cosB 的值是（ ）

A ．

32 B ．3

2

C D ．23

13．（2006，浙江）如图11，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=45°，则∠BOC?的大小是（ ）

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．22．5°

14．（2006，浙江台州）我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，?点到直线的距离．类似地，如图12，若P 是⊙O 外一点，直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，PC?切⊙O 于点C ，则点P 到⊙O 的距离是（ ）

A ．线段PO 的长度;

B ．线段PA 的长度;

C ．线段PB 的长度;

D ．线段PC 的长度

15．（2006，绵阳）如图13，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=?DA ，则∠BCD=（ ） A ．100° B ．110° C ．120° D ．135°

16．（2006，重庆）如图14，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°，?则∠DCF 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．20°

17．（2006，广安）用一把带有刻度尺的直角尺，①可以画出两条平行的直线a?和b ，如 图（1）；②可以画出∠AOB 的平分线OP ，如图（2）；?③可以检验工件的凹面是否为半圆，如图（3）；④可以量出一个圆的半径，如图（4）．这四种说法正确的有（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个 18．（2006，攀枝花）图16中∠BOD 的度数是（ ）

A ．55°

B ．110°

C ．125°

D ．150°

（16） （17） （18）

19．（2006，攀枝花）如图17，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则CD

AB

等于（）

A．tan∠AED B．cot∠AED C．sin∠AED D．cos∠AED

20．（2006，浙江舟山）如图18已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠ACB=44°，?则∠AOB的度数为（）

A．44° B．46° C．68° D．88°

21．（2006，浙江台州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，?交边BC于点E，连结BD．（1）根据题设条件，请你找出图中各对相似的三角形；

（2）请选择其中的一对相似三角形加以证明．

22．（2006，黄冈）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点?弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．

（1）若PC=PF；求证：AB⊥ED．

（2）点D在劣弧 AC的什么位置时，才能使AD=DE．DF，为什么？

23．（2006，广东课改区）如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE 与OF的数量关系，并给予证明．

24．（2006，上海市）本市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，?并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示，?请你帮他们求出滴水湖的半径．

1．（2006，温州）已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，?3cm为半径作圆，则⊙O与BC 的位置关系是________．

2．（2006，大连）如图1，AB是⊙O的切线，OB=2OA，则∠B的度数是_______．

（1）（2）（3）

3．（2006，天津）已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB=2：3，CP=2cm，DP=?12cm，则弦AB的长为_______cm．4．（2006，天津）如图2，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD=?40°，则∠ABC的大小等于_______（度）．

5．（2006，上海市）已知圆O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P?作圆的切线，那么切线长是________．6．（2006，哈尔滨）如图3，PB为⊙O的切线，B为切点，连结PO交⊙O于点A，PA=2，PO=5，则PB的长为（）

A．4 B． D．

7．（2006，旅顺口区）如图4，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O?的半径为（）

A．．．

（4）（5）（6）

8．（2006，浙江绍兴）如图5，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC?与AB的延长线交于点P，那么∠P等于（）

A．15° B．20° C．25° D．30°

9．（2006，浙江台州）如图6，已知⊙O中弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=?4，则PD的长是（）

A．6 B．5 C．4 D．3

10．（2006，重庆）⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与⊙O?的位置关系是（）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

11．（2006，白云区）如图，A是⊙O外一点，B是⊙O上一点，AO?的延长线交⊙O 于点C，连结BC，∠C=22．5°，∠A=45°．求证：直线AB是⊙O的切线．

12．（2006，陕西）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，D是线段BC?的中点．

（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证直线DE是⊙O的切线．

13．（2006，攀枝花）如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=?80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，求∠ACB的度数．

14．（2006，绵阳）已知在Rt△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O?为圆心，AD为弦作⊙O．（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）求证：BC为⊙O的切线；

（3）若AC=3，tanB=3

4

，求⊙O的半径长．

15．（2006，天津）如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，PO与⊙O?交于点C，且PA=AB=6cm，PO=12cm．（1）求⊙O的半径；（2）求△PBO的面积．（结果可带根号）

16．（2006，海淀区）如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB=6，AE=8，ED=4，?求CD的长．

17．（2006，盐城）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB?于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．

（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

1．（2006，攀枝花市）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O 于B、C，则BC=_______．2．（2006，淄博市）要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm和1cm?的两个外切圆，该矩形长的最小值是_______．

3．（2006，哈尔滨）已知⊙O与⊙O半径的长是方程x2-7x+12=0的两根，且O1O2=1

2

，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）

A．相交 B．内切 C．内含 D．外切

4．（2006，白云山区）已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

5．（2006，南安市）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，两圆的圆心距是1cm，则两圆的位置关系是（） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

6．（2006，烟台市）已知：关于x的一元二次方程x2-（R+r）x+1

4

d2=0无实数根，其中R、?r分别是⊙O1、⊙O2的半

径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系为（）

A．外离 B．相切 C．相交 D．内含

7．（2006，哈尔滨市）下列命题中，正确命题的个数是（）

①垂直于弦的直径平分这条弦；②平行四边形对角互补；③有理数与数轴上的点是一一对应的；④相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8．（2006，浙江）如果两圆半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两圆的位置关系是（）

A．内切 B．相交 C．外离 D．外切

9．（2006，广安）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（ ? ）

A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上都不对

10．（2006，攀枝花）在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（） A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形

11．（2006，哈尔滨市）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，经过⊙O1上一点A?作⊙O1的切线交⊙O2于B、C两点，直线AP交⊙O2于点D，连结DC、PC．

（1）求证：D C2=DP·DA；

（2）若⊙O1与⊙O2的半径之比为1：2，连结BD，PC=12，求AB的长．

12．（2006，成都）已知：如图，⊙O与⊙A相交于C、D两点，A、O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB 于点G，交⊙O的直径AE于点F，连结BD．

（1）求证：△ACG∽△DBG；

（2）求证：AC2=AC·AB；

（3）若⊙A、⊙O的直径分别为15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的长．

13．（2006，盐城）已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中心．

（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，?连接CD，则△PCD是________．（2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O?′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：

问题1：判断△PEF的形状，并证明你的结论；

问题2：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．

我选择问题______，结论：___________．

证明：

1．（2006，浙江）如图1，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，?那么这个圆锥的侧面积是________c m2．

（1）（2）（3）（4）

2．（2006，泉州）已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，?则该圆柱的侧面展开图的面积为_____cm2．3．（2006，黄冈）如图2，将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是_____cm．

4．（2006，广州）如图3，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a?和b 的两个圆，则剩下的纸板面积为________．

5．（2006，旅顺口）若圆锥的底面周长为20 ，?侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为________．6．（?2006，?晋江）?若圆锥的底面半径为3，?母线长为8，?则这个圆锥的全面积是_____平方单位．

7．（2006，哈尔滨市）已知矩形ABCD的一边AB=5cm，另一边AD=3cm，则以直线AB?为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为______c m2．

8．（2006，晋江）正十二边形的每一个外角等于______度．

9．（2006，黄冈）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是________． 10．（2006，广东课改实验区）如图4，已知圆柱体底面圆的半径为

2

π

，高为2，?AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、

BC 是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬地到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______（结果保留根式）． 11．（2006，广安）将一个弧长为12πcm ，半径为10cm 的扇形铁皮围成个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为_______cm ．

12．（2006，?重庆）?圆柱的底面周长为2π，?高为1，?则圆柱的侧面展开图的面积为______． 13．（?2006，?浙江舟山）?已知正六边形的外接圆的半径是a ，?则正六边形周长是_____．

14．（2006，浙江台州）如图5，已知圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm ，则此圆锥的侧面积为（ ）

A ．15πcm 2

B ．20πcm 2

C ．12πcm 2

D ．30πcm 2

（5） （6） （7）

15．（2006，浙江）在△ABC 中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC 绕点B 旋转60°，?顶点C 运动的路线长是（ ） A ．

24.

..

3

3

3

B C D π

π

ππ 16．（2006，成都）如图6，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长9cm ，?底面圆的直径为10cm ，?那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是（ ） A ．150° B ．200° C ．180° D ．240°

17．（2006，广州）一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，?则该圆柱的底面圆半径是（ ） A ．

5

8

58

10

16

.

..

B C D π

π

ππ

π

π

或

或

18．（2006，天津）若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于（ ）

A ．1 1 C ．1：2：3 D ．3：2：1

19．（2006，青岛市）如图7，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4-

49π B ．4-89π C ．8-49π D ．8-8

9

π 20．（2006，南安）如图，半圆M 的直径AB 为20cm ，现将半圆M 绕着点A 顺时针旋转180°． （1）请你画出旋转后半圆M 的图形；

（2）求出在整个旋转过程中，半圆M 所扫过区域的面积（结果精确到1c m 2）

21．（2006，海淀区）如图，已知⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于E ，连结AD ，BD ，OC ，?OD ，且OD=5， （1）若sin ∠BAD=

3

5

，求CD 的长； （2）若∠ADO ：∠EDO=4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）．

22．（2006，烟台市）如图a ，O 为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD ，?沿母线AB 剖开，得剖面矩形ABCD ，AD=24cm ，AB=25cm ，若 AmD 的长为底面周长的2

3

，?如图b 所示． （1）求⊙O 的半径；

（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号）

（a ） （b ）

23．（2006，攀枝花市）如图，圆锥的底面半径r=3cm ，高h=4cm ，求这个圆锥的表面积（π取3.14）．

1．（2006，福建泉州）如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），⊙A?的半径为2，过A 作直线L 平行于x 轴，点P 在直线L 上运动．

（1）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标；

（2）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由．

2．（2006，广安市）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE 切⊙O 于点D ，交BC 于点E ．（1）求证：DE ⊥BC ；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O 的半径．

3．（2006，广安市）如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线L 与⊙O 相切于点C 且 AC AD ，弦CD 交AB 于E ，BF ⊥L ，垂足为F ，BF 交⊙O 于G ． （1）求证：CE 2=FG ·FB ；

（2）若tan ∠CBF=

1

2

，AE=3，求⊙O 的直径．

4．（2006，苏州市）如图①，△ABC 内接于⊙O ，且∠ABC=∠C ，点D 在弧BC?上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交直线AB 于点E ，连结BD ． （1）求证：∠ADB=∠E ； （2）求证：A D 2=AC ·AE ；

（3）当点D 运动到什么位置时，△DBE ∽△ADE ．请你利用图②进行探索和证明．

5．（2006，晋江）街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌．有一天，?小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，?而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，已知BC=5米，半圆形的直径为6米，?DE=2米．

（1）求电线杆落在广告牌上的影长（即 CG的长度，精确到0.1米）．

（2）求电线杆的高度．

6．（2006，深圳）如图①，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x 轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为 AE的中点，AE交y轴于G点．若点A?的坐标为（-2，0），AE=8．

（1）求点C的坐标;（2）连结MG、BC，求证：MG∥BC;

（3）如图②，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，OF

PF

的比值是否发生变化，

若不变，求出比值；若变化，请说明变化规律．

①②

7．（2006，烟台市）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连结CD、AD．（1）求证：CD∥AO；

（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）若AO+CD=11，求AB的长．

8．（2006，上海市）已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，?OP为半径作圆，点C是圆O 的一点．

（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO,求证：△CAO∽△BCO；

（2）如果AP=m（m是常数，且m>1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O?上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围．

1．（2006，浙江市）在平面直角坐标系xOy中，直线L1经过点A（-2，0）和点B（0，

），?直线L2的函数表达式

3

为L1与L2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线L1上运动，设圆心C的横坐标是a，过点C 作CM⊥x轴，垂足是点M．

（1）填空：直线L1的函数表达式是________，交点P的坐标是______，∠FPB?的度数是_______．

（2）当⊙C和直线L2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，?并写出时a的值．

（3）当⊙C和直线L2不相离时，已知⊙C的半径，记四边形NMOB的面积为S（?其中点N是直线CM与L2的交点），S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由．

2．（2006，浙江舟山）如图10-62①，在直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），以OA?为边在第四象限内作等边△AOB ，点C 为x 轴的正半轴上一动点（OC>1），连结BC ，以BC 为边在第四象限内作等边△CBD ，直线DA 交y 轴于点E ． （1）试问△OBC 与△ABD 全等吗？并证明你的结论．

（2）随着点C 位置的变化，点E 的位置是否发生变化，若没有变化，求出点E 的坐标；若有变化，请说明理由． （3）如图10-62②，以OC 为直径作圆，与直线DE 分别交于点F 、G ，设AG=m ，AF=n ，?用含n 的代数式表示m ．

圆难题

整理：爱我在春天

1.如图，BC 是圆O 的直径，AD 垂直BC 于D ，弧BA 等于弧AF ，BF 与AD 交于E ， 求证：（1）∠BAD=∠ACB ；（2）AE=BE ． 证明：（1）∵BC 是圆O 的直径， ∴∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAD=90°， 又AD ⊥BC ， ∴∠ACB+∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠ACB ； （2）∵弧BA 等于弧AF ， ∴∠ACB=∠ABF ， ∵∠BAD=∠ACB ， ∴∠ABF=∠BAD ，

∴AE=BE ．

2.如图,MN 为半圆O 的直径,半径OA 垂直于MN,D 为OA 的中点,过点D 做BC 平行MN,求证 （1）.四边形ABOC 为菱形 （2）角MNB=1/8角BAC （1）.解：D 为OA 的中点，

所以BC 为OA 的垂直平分线， 所以OC=AC ；OB=AB 。

N

而OC和OB都是半径，

所以OC=OB=AC=AB。所以四边形ABOC是菱形。

（2）如前所述，OC=AC，而OA也是半径，

所以三角形OAC是等边三角形，同理三角形OAB也是等边三角形，

所以角BAC=2×60°=120°，同样角BOC亦为120°。

OA垂直于MN，那么角BOM=90°-角BOA=30°，

于是角MNB=角BOM/2=15°。显然8×15°=120°，也就是说角MNB=1/8角BAC

3.如图圆O和圆O′相交于A，B两点，AC是圆O′的切线，AD是圆O的切线，若BC=2，AB=4，求BD．

解：∵AC是圆O′的切线，

∴∠CAB=∠BDA，

又AD是圆O的切线，

∴∠BCA=∠BAD，

∴△CBA∽△BAD，（5分）

所以，bc/ab=ab/bd

即：BD=8（10分）．

4. 如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）

A、15

B、20

C、15+5根号2

D、15+5根号2

因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余三边长为定值5）．解答：解：当P的运动到D点时，AP最长为5根号2 ，所以周长为5×3+5根号2=15+5根号2．

故选C．

【热点试题详解】 题型1 1．55 2．

2525

68

或 3．6 4．70° 5．120° 点拨：∵∠A+∠C=180°，∠A ：∠C=1：2，∴∠A=60°，∠BOD=2∠A=?120°． 6．9 点拨：△ABC 为等边三角形，∴△ABC 的周长=3AC=9．

7点拨：在Rt △AOD 中，AD=

1

2

AB=2，OD=1，∴ 8．4 点拨：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°， 在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∴BC=1

2

AB=4（cm ）． 9．①②

10．B 点拨：∠CBA=

1

2

∠COA=50°． 11．A 点拨：在Rt △ABC 中，∠B=70°，∴∠A=90°-∠B=20°．

12．B 点拨：∵∠B=∠D ，在Rt △ADC 中，AC=2，AD=2r=3，∴

∴cosB=cosD=

3

DC AD ． 13．A 点拨：∠BOC=2∠BAC=90°． 14．B 15．C 16．D 点拨：∠DCF=1

2

∠EOD=20°． 17．A

18．B 点拨：∠BOD=2（∠BAC+∠CED ）=110°． 19．D 点拨：连结AD ，则∠ADE=90°，△CDE ≌△BAE ， ∴CD DE

AB AE

==cos ∠AED ． 20．D

21．（1）△BED ∽△AEC △BED ∽△ABD △ABD ∽△AEC （2）证明：在△BED 和△AEC 中， ∠BED=∠AEC ，∠D=∠C ，

∴△BED∽△AEC．

22．（1）证明：连结OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC．

∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC．

∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH．

∴∠AFH+∠OAC=∠PCF+∠OCA=∠PCO=90°．

∴AB⊥ED．

（2）点D是劣弧AC的中点时，使AD2=DE·DF．在△ADF和△EDA中，

∠ADF=∠EDA，∠E=∠DAF，

∴△ADF∽△EDA．

∴AD DF DE AD

=．

∴AD2=DE·DF．

23．OE=OF．

证明：连结OA，OB．

∵OA，OB是⊙O的半径，

∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB．

又∵AE=BF．

∴△OAE≌△OBF，∴OE=OF．24．解：连结OA交BC于D，连结OB．

在Rt△BOD中，OB=R，BD=1

2

BC=120，

OD=R-5，

OB2=OD2+BD2．

即R2=（R-5）2+1202．

解得R=1 442.5（米）．题型2

1．相交点拨：过O作OD⊥BC，在Rt△BOD中，OD=1

2

OB=

5

2

，

∵r=3，∴OD

3．10 点拨：设AP=2x，PB=3x，由相交弦定理得，2x·3x=24，∴x=2，AB=5×2=10．4．50 点拨：由于∠A=∠BCD=40°，

在Rt△ACB中，∠B=90°-∠A=50°．

5

6．A 点拨：连结OB，在Rt△POB中，PO=5，OB=OA=PO-PA=3，∴．7．B 8．B

9．D 点拨：由相交弦定理，得AP·BP=CP·PD．

∴PD=AP BP

CP

=3．

10．A

11．证明：连结OB（如图）．

∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB=OC．

∴∠OBC=∠OCB=22．5°．

∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=45°．

∵∠A=45°．

∴∠OBA=180°-（∠AOB+∠A）=90°．

∵OC是⊙O的半径，

∴直线AB是⊙O的切线．

（过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线）12．解：（1）点D在⊙O上，

连接OD，过点O作OF⊥BC于点F，

在Rt△BOF中，OB=1

2

AB=2，∠B=30°，

∴BF=2·cos30°

∵

在Rt△ODF中，

∵，

∴点D在⊙O上．

（2）∵D是BC的中点，O是AB的中点，

∴OD∥AC．

又∵DE⊥AC，∴∠EDO=90°．

又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．

13．解：连结OA、OB，在AB弧上任取一点C，

∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连结AC、BC，

∴∠OAP=∠OBP=90°．

∵∠APB=80°，在四边形OAPB中，可得∠AOB=100°．

①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°．

②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°．

14．解：（1）略．

（2）证明：连结OD，∵点O是AD垂直平分线上的点，∴OD=OA，∴点D在⊙O上．∠ODA=∠OAD=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵AC⊥BC，∴OD⊥BC．

∴BC为⊙O的切线．

（3）设⊙O的半径长为R，在Rt△ABC中，AC=3，tanB=3

4

．

∴BC=4，AB=5， OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC．

∴

5

5

OD BO R AC AB

-

=

R

=,即

3

．

解得R=15

8

．

15．解：（1）设⊙O的半径为R，

延长PO交⊙O于点D．

由割线定理，得PC·PD=PA·PB．

即（12-R）（12+R）=6×12．

解得

（2）过点O作OE⊥AB于E，在Rt△BOE中，

∴S △PBO =

12PB ·OE=1

2

×12× 16．解：因为弦AC 与BD 交于E ，所以A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点． 所以∠B=∠C ，∠A=∠D ， 所以△ABE ≌△DCE ， 所以

684

AB AE DC DE DC ==,所以，所以CD=3． 17．证明：（1）∵DC 是⊙O 的切线， ∴AB ⊥DB ． ∵CH ⊥AB ， ∴CH ∥DB ．

即CE ∥DF ．∴

CE AE

DF AF =． ∵EH ∥BF ，∴EH AE CE EH

BF AF DF BF

∴==,． ∵点E 为CH 中点，即CE=EH ． ∴DF=BF ．

∴点F 是BD 中点．

（2）方法1：连接CB 、OC ，

∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∵F 是BD 中点， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ， ∴∠OCF=90°，∴CG 是⊙O 的切线． 方法2：可证明△OCF ≌△OBF ． （3）解：由FC=FB=FE 得∠FCB=∠FBC ， 可证得FA=FG ，AB=BG ．

由切割线定理得（2+EG ）2=BG×AG=2BG 2． ① 在Rt △BGF 中，由勾股定理得BG 2=FG 2-BF 2． ② 由①、②得FG 2-4FG-12=0． 解得FG=6或FG=-2（舍去）．

∴