数学分析试卷及答案

【篇一：数学分析三试卷及答案】

lass=txt>一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

求函数f(x,y)??在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

yx11

解：

f(x,y)???，因此二重极限为0.……(4分)

yx1111

因为

与均不存在，

x?0yxy?0yx

故二次极限均不存在。……(9分)

?z?xf(x?y),?y?y(x),

2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别

f(x,y,z)?0z?z(x)??

具有连续的导数和偏导数,求.

解：对两方程分别关于x求偏导:

dy?dz

?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)，??dxdx?……(4分)

dydz?f?f?fz?0。 xy

?dxdx?

dzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.……(9分) dxfy?xf?(x?y)fz

3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程

?2z?2z?z

???z。 2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey （假设出现的导数皆连续）.

解：z看成是x,y的复合函数如下：

wx?yx?y

。……(4分) z?y,w?w(?,?),??,??

e22

代人原方程，并将x,y,z变换为?,?,w。整理得：

?2w?2w

?2w。……(9分) 2?

??????

4. 要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解：设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束

条件下的最小值，其中

目标函数: s表?2?rh?2?r2,

约束条件: ?r2h?1。……(3分)构造lagrange函数：

f(r,h,?)?2?rh?2?r2??(?r2h?1)。

?fr?2?h?4?r?2?rh??0,令?……(6分) 2

f?2?r??r??0.?h

h? 由题意知问题的最小值必存在，当底面半

解得h?

2r，故有r?径为r?

高为h?时，制作圆桶用料最省。……(9分) 2

5. 设f(y)??e?xydx,计算f?(y).

解：由含参积分的求导公式

?y3y322

???x2y

f?(y)???2edx???2?x2e?xydx?3y2e?xy

?y?y

???2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?y

yy3

x?y

?2ye?x

yx?y2

……(5分)

72?y75?y51y3?x2y ?ye?ye?edx。……(9分)

222y?y2

6. 求曲线?2?2??2所围的面积，其中常数a,b,c?0.

b?c?a

?x?a?cos?,

解：利用坐标变换? 由于xy?0，则图象在第一三象限，从而可

y?b?sin?.?

以利用对称性，只需求第一象限内的面积。

???????

?,??0???,0???。……(3分) 2??则

v?2??

?(x,y)

d?d??2?2d??0?(?,?)

?ab?2

?sin?cos???c?0

ab?d? ……(6分)

ab2

sin?cos?d?2?0

a2b2?2 ……(9分)2c.

7. 计算曲线积分?3zdx?5xd?,z其中l是圆柱面x2?y2?1与平面y2yd

，从z轴的正向看去，是逆时针方向. z?y?3的交线（为一椭圆）解：取平面z?y?3上由曲线l所围的部分作为stokes公式中的曲面?，定向为上侧，则?的法向量为

cos?,cos?,cos????0,。……(3分)?

由stokes公式得

cos?cos?cos????

?3zdx?5xdy?2ydz???

3z5x?2y

?ds ……(6分)

?x2?y2?1

?2? ……(9分)

x2y2z2

8. 计算积分??yzdzdx,s为椭球2?2?2?1的上半部分的下侧.

abcs解：椭球的参数方程为x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?，其中

,且

2?(z,x) ?acsin2?sin?。……(3分) ?(?,?)

积分方向向下，取负号，因此，

2322

yzdzdx??d?bacsin?cos?sin?d?????

0???2?,0???

……(6分)

??bac2?sin2?d??2sin3?cos?d?

abc

……(9分)

二。 . 证明题（共3题，共28分）

?xy322

,x?y?0?24

9.（9分）讨论函数f(x)??x?y在原点(0,0)处的连续性、

?0,x2?y2?0?

可偏导性和可微性.

解：连续性：当x2?y2?0时，

xy2x2?y4yy

f(x)?2?y????0，当?x,y???0,0?， 424

x?yx?y22

从而函数在原点?0,0?处连续。……(3分) 可偏导性：fx?0,0??lim f?0??x,0??f?0,0?

?x?0

?0，

fy?0,0??lim

f?0,0??y??f?0,0?

即函数在原点?0,0?处可偏导。……(5分)

?y?0

?0，

?f?f?x?f?y

? 不存在，

从而函数在原点?0,0?处不可微。……(9分)

10.（9分）（9分）设f?x,y?满足：（1）在d?

??x,y?

x?x0?a,y?y0?b上连续，

（2）f?x0,y0??0，

（3）当x固定时，函数f?x,y?是y的严格单减函数。试证：存在??0，使得在???x

x?x0??上通过f?x,y??0定义了一个

函数y?y(x)，且y?y(x)在??上连续。

证明：（i）先证隐函数的存在性。

由条件（3）知，f?x0,y?在?y0?b,y0?b?上是y的严格单减函数，而由条件（2）知f?x0,y0??0，从而由函数f?x0,y?的连续性得

f?x0,y0?b??0， f?x0,y0?b??0。

现考虑一元连续函数f?x,y0?b?。由于f?x0,y0?b??0，则必存在?1?0使得

同理，则必存在?2?0使得

f?x,y0?b??0， ?x?o(x0,?2)。

取??min(?1,?2)，则在邻域o(x0,?)内同时成立

f?x,y0?b??0， f?x,y0?b??0。……(3分) 于是，对邻域o(x0,?)内的任意一点x，都成立

固定此x，考虑一元连续函数f?x,y?。由上式和函数f?x,y?关于y 的连续性可知，存在f?x,y?的零点y??y?b,y?b?使得

f?x,y?＝0。

而f?x,y?关于y严格单减，从而使f?x,y?＝0的y是唯一的。再由x的任意性，

fx,y0?b?0， fx,y0?b?0。

证明了对??:?o(x0,?)内任意一点，总能从f?x,y??0找到唯一确定的y与x相对应，即存在函数关系f:x?y或y?f(x)。此证明了隐函数的存在性。

……(6分)

（ii）下证隐函数y?f(x)的连续性。

设x*是??:?o(x0,?)内的任意一点，记y*:?f?x*?。

对任意给定的??0，作两平行线

y?y*??， y?y*??。

由上述证明知

f?x*,y*????0， f?x*,y*????0。由f?x,y?的连续性，必存在x*的邻域o(x*,?)使得

f?x,y*????0， f?x,y*????0， ?x?o(x*,?)。

对任意的x?o(x*,?)，固定此x并考虑y的函数f?x,y?，它关于y 严格单减且

f?x,y*????0， f?x,y*????0。

于是在?y*??,y*???内存在唯一的一个零点y使

f?x,y??0，

即对任意的x?o(x*,?)，它对应的函数值y满足y?y*??。这证明了函数

y?f(x)是连续的。……(9分)

111

11.（10分）判断积分??sindx在0???2上是否一致收敛，并给出证明。

0xx

证明：此积分在0???2上非一致收敛。证明如下：

作变量替换x?，则

11??11

?0x?sinxdx??1t2??sintdt。……(3分)

?3???

不论正整数n多么大，当t??a?,a????

?2n??,2n???时，恒有

44??

sint?。……(5分)

因此，

a??

1t2??

a??1

sintdt?dt……(7分)

2?a?t2??

?a??

2??

3???

4?2n???

4??

因此原积分在0???2上非一致收敛。……(10分) 注：不能用dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：

尽管对任意的b?1积分?sintdt一致有界，且函数2??关于x单调，但是当

x???时，2??关于???0,2?并非一致趋于零。事实上，取t?n, 相应

地取

t1111

??2?，则lim2???lim1??1?0，并非趋于零。 1t??n??nt

nnlimnn

n??

?0，当??2?时。 4

【篇二：数学分析(2)试题及答案】

xt>一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2

分，共20分）

1、函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是（） a连续 b有界 c 无间断点 d有原函数

2、函数f(x)是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（） ac

?aa

f(x)dx?2?f(x)dx b?f(x)dx?0

?aa

f(x)dx??2?f(x)dx d?f(x)dx?2f(a)

3、下列广义积分中，收敛的积分是（） a

dxb ?

?n?1

dx c ?sinxdxd ?

n??

dx ?1x3

4、级数

n?1

收敛是

部分和有界且liman?0的（）

a 充分条件b必要条件c充分必要条件d 无关条件 5、下列说法正确的是（） a c

n?1?n?1

和

n?1

收敛，

?ab

n?1

也收敛b

n?1

和

n?1

发散，

?(a

n?1

?bn)发散

收敛和发散

n?1

发散，

?(a

n?1

?bn)发散 d?an收敛和?bn发散，

n?1

?ab

n?1

6、

n?1n

，且an（x）可导，则（） (x)在[a，b]收敛于a（x） ac

n?1?

(x)?a(x) b a（x）可导

an(x)dx??a(x)dx d ?an(x)一致收敛，则a（x）必连续 a

n?1

n?1?

7、下列命题正确的是（） ab

n?1?

(x)在[a，b]绝对收敛必一致收敛 (x)在[a，b] 一致收敛必绝对收敛 ?a

n?1

c 若lim|an(x)|?0，则

n??

n?1

(x)在[a，b]必绝对收敛

n?1

(x)在[a，b] 条件收敛必收敛

x2n?1的和函数为 2n?1

8、

?(?1)n

n?0

ae bsinx cln(1?x) dcosx 9、函数z?ln(x?y)的定义域是（）a?(x,y)|x?0,y?0?b?(x,y)|y??x? c(x,y)|x?y?0 d ?(x,y)|x?y?0? ??

10、函数f(x,y)在（x0,,y0）偏可导与可微的关系（） a可导必可微 b可导必不可微 c可微必可导 d 可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分）

1、

f(x)dx?4，求?xf(2x2?1)dx

2、计算

2?2x?x2

1n(?1)n

3、计算?x的和函数并求?

nn?1nn?1

4、设z3?2xz?y?0，求

?x(1,1,1)

x2y

5、求lim2

x?0x?y2

y?0

三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）

?x2?y2

?xy

1、讨论f(x,y)??x2?y2

?0?

2、讨论

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)

在（0，0）点的二阶混合偏导数

?(?1)

n?2

n?1

2nsin2nx

的敛散性 n

四、证明题：（每小题10分，共30分）

1、设f1(x)在[a，b]上riemann可积，

fn?1(x)??fn(x)dx(n?1,2,?)，证明函数列{fn(x)}在[a，b]上一致收敛于0

3、设f(x)在[a，b]连续，证明

xf(sinx)dx?

2?0

f(sinx)dx，并求

xsinx

dx 2

1?cosx

参考答案

一、1、b 2、b 3、a 4、c 5、c 6、d 7、d 8、c 9、c 10、c 二、1、 ?

xf(2x?1)dx??f(2x2?1)d(2x2?1)（3分）令u?2x2?1，

xf(2x2?1)dx?

f(u)du?2（3分） ?12

2、

aa11?dx=（6分）

lim(1?x)?limarctan(1?x)?22?0a??a??02?2x?x41?(1?x)

3、解：令f(x)=

x，由于级数的收敛域[?1,1)（2分），?n?1n

f(x)=?x

n?1

x11

?ln(1?x)（2分），f(x)=?，令x??1，得 ?

01?t1?x

(?1)n

?ln2 ?nn?1

4、解：两边对x求导3z2zx?2z?2xzx?0（3分）zx?

（2分）

3z2?2x

?2（1分）

?x(1,1,1)

x2yx2y

?0（1分） 5、解：0?|2|?x（5分）lim2x?0x2?y2

x?y

y?0

由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分） ?x4?4x2y2?y222

x?y?0?y222三、1、解、fx(x,y)??（2分） (x?y)

?0x2?y2?0?

?x4?4x2y2?y222

x?y?0?x222(4分） fy(x,y)??(x?y)

?0x2?y2?0?

f(0,?y)?fx(0,0)?2z

(0,0)?limx??1

?y?0?y?x?y

fy(?x,0)?fy(0,0)?2z

(0,0)?lim?1（6分）

?x?0?x?y?x

n2n

2sinx2

2、解：由于lim|(?1)，即2sinx?1级数绝对收|?2sin2x（3分）

n??n

敛2sinx?1条件收敛，2sinx?1级数发散（7分）

n?1

所以原级数发散（2分）

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、证明：因为f1(x)在[a，b]上可积，故在[a，b]上有界，即?m?0，使得（3分）从而f2(x)??|f1(t)|dt?m(x?a)一般来

f1(x)?m(?x?[a,b])，

m(x?a)n?1m(b?a)n?1

说，若对n有fn(x)?（5分）则fn(x)?(n??)，所

(n?1)!(n?1)!

以{fn(x)}在[a，b]上一致收敛于0（2分）

a?t

（4分） f(x)dxx?t?t?f(t?t)d(t?t)??f(t)dt（2）

将式（2）代入（1）得证（2分）

x?z?z1x?z1?z

??ey2，2、（7分）则x?ey，?y?xey?yey2?0（3

y?xy?y?x?yyy

分）

3、证明：令x???t

xxxx

xf(sinx)dx???(??t)f(sin(??t))dt???f(sint)dt??tf(sint)dt得证（7 ?

0??

分）

xsinx??sinx?2

dx??dx?（3分） 220281?cosx1?cosx

（十七）数学分析2考试题

二、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填

入括号内，每小题2

分，共20分）

1、函数f(x)在 [a,b] 上可积的充要条件是（）

a ??0,? ?0和?0使得对任一分法?，当?（?）?时，对应于?i??的那些区间?xi长度之和∑?xi ?

b ??0,?0, ?0使得对某一分法?，当?（?）?时，对应于?i??的那些区间?xi长度之和∑?xi ?

c ??0,??0使得对任一分法?，当?（?）?时，对应于?i??的那些区间?xi长度之和∑?xi ?

d ??0, ?0，? ?0使得对任一分法?，当?（?）?时，对应于?i??的那些区间?xi长度之和∑?xi ?

d2x

f(t)dt=（） 2、函数f(x)连续，则在[a,b]上

dx?1

a f(2x)

b 2f(2x)

c 2f(x)

d 2f(2x)?f(x)

4、

??1x2dx?（）

a -2

b 2

c 0

d 发散

4、liman?0，则

n??

n?1?

()

a 必收敛 b必发散 c必条件收敛 d 敛散性不定 5、若级数a

n?1?n?1

是

n?1

更序级数，则（）

n?1

和

同敛散 b

n?1?n?1

可以发散到+∞ 条件收敛，

c 若 6、

n?1?

绝对收敛，

n?1

也收敛 d若

n?1

也条件收敛

n?1

，那么( ) (x)在[a，b]一致收敛，且an(x)可导（n=1,2…） a f（x）在[a，b]可导，且f(x)?

n?1

(x)

b f（x）在[a，b]可导，但f(x)不一定等于cd

n?1

(x)

n?1?

(x)点点收敛，但不一定一致收敛 (x)不一定点点收敛

n?1

7、函数项级数

n?1

(x)在d上一致收敛的充要条件是（）

a ??0,? n（?）0，使?mn n有an?1(x)??am(x)??

b ??0, n0，使?mn n有an?1(x)??am(x)??

c ??0, ? n（?）0，使?mn n有an?1(x)??am(x)??

d ??0,? n（?）0，使?mn n有

an?1(x)??am(x)?? 8、

(x?1)n的收敛域为（） ?n?1n

a (-1,1)

b (0,2]

c [0,2）

d [-1,1） 9、重极限存在是累次极限存在的（）

a充分条件 b必要条件 c充分必要条件 d 无关条件 10、

?f(x,y)

|(x0,y0)?（） ?x

【篇三：数学分析Ⅲ习题及参考答案】

点集e??(x,y)|0?x2?y2?1?的内部为边界为. 解

inte??(x,y)|0?x2?y2?1?,?e??(x,y)|x2?y2?0或x2?y2?1?

??11??

2、平面点集e???,?n,m为整数?的聚点集为 .

??nm????1????1??

解 ??,0?n为整数????0,?m为整数???(0,0)?

??n????m??3、设

f(x,y)?解

ln1?x?y

,则函数f(x,y)的定义域为??x,y?0?x

?y2?1且y2?4x

x2?y24、设f(x,y)?2则limlimf(x,y)?,limlimf(x,y).

x?0y?0y?0x?0x?y2x2?y2

解 limlimf(x,y)?limlim2?lim1?1

x?0y?0x?0y?0x?y2x?0

x2?y2

limlimf(x,y)?limlim2?lim??1???1 y?0x?0y?0x?0x?y2x?0

5、函数f(x,y)?的间断点集为.

sinxsiny解

??x,y?x?k?或y?l?,k,l?z?

二、选择题

1、函数f(x,y)??x2?y2?1的定义域是(d)

a、闭区域

b、开区域

c、开集

d、闭集解 f(x,y)??x2?y2?1的定义域是

??x,y?x?1,y?1?

e是闭集但不具有连通性,故不是闭区域.

2、函数z?x?y的定义域是(c)

a、有界开集

b、有界闭集

c、无界闭集

d、无界开集解 z?x?y的定义域是

??x,y?0?y?x?

e是无界闭集.

3、以下说法中正确的是(a) a、开区域必为开集 b、闭区域必为有界闭集 c、开集必为开区域 d、闭集必为闭区域

4、下列命题中正确的是(a)

a、如果二重极限,累次极限均存在,则它们相等;

b、如果累次极限存在,则二重极限必存在;

c、如果二重极限不存在,则累次极限也不存在;

d、如果二重极限存在,则累次极限一定存在.

5、下列说法正确的是(a)

a、有界点列{pn}?r2必存在收敛的子列;

b、二元函数f(x,y)在d上关于x,y均连续,则f(x,y)在d上连续;

c、函数f(x,y)在有界区域d上连续,则f(x,y)在d上有界;

d、函数f(x,y)定义在点集d?r2上,p0?d,且p0是d的孤立点,则f在p0处连续.

x2y

x?0x?y2y?0

证明由于当(x,y)?(0,0)时

x2yx2y|x|

?0???|x| 22

x?y2xy2

故???0,????,?(x,y):0?|x?0|??,0?|y?0|??,有

x2y

?0?|x|??

x2?y2

x2y

?0. 故lim2

x?0x?y2y?0

四、求下列极限

x2y2

1、lim2

x?0x?y2y?0

解当(x,y)1(0,0)时

x2y2

0?2

x+y2y22

祝x

x2+y2

x2,而limx2?0

x?0y?0