第三届IMC国际数学竞赛初一年级组数学竞赛试卷(含答案)

第三届IMC 国际数学竞赛初一年级组数学竞赛试卷（A ）

考试时间：90分钟，卷面总分：120分

国籍___________ 姓名_________ 成绩________

一.选择题（40分） 1.

若200720080a b +=，则ab 是（）

A 、正数

B 、非正数

C 、负数

D 、非负数 2.

若n 为正整数，有理数a 、b 满足01

a ，则必有（） A 、0)1(2=+n n

b a B 、0)

1(122=++n n

b a C 、0)1(32=+n n b a D 、0)1(121

2=+++n n b

若22540x xy k ++是一个完全平方式，则k 是（）

A 、162y

B 、2y

C 、42y

D 、82y

若0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++-c b a ，则2006

2006

???

??+???

??-?

??c c b b a a 的值（）

A 、－1

B 、0

C 、1

D 、－1或1 5.

若20062007a =-

，20072008b =-，2008

2009

c =-，则（） A 、a b c >> B 、a b c << C 、a c b << D 、c a b << 6.

水池有一注水管，单独开放5小时，可注满水池，另有一出水管，单独开放18小时可把满水池的水放完，若两管齐放，注满水池所用的时间是（）小时。 A 、2390 B 、9023 C 、1390 D 、9013

甲、乙二人去商店购物，他们所带钱数的比是7:6，甲用掉50元，乙用掉60元，二人余下的钱数之比为3:2，则余下的钱数分别为（）

A 、140元、120元

B 、60元、40元

C 、90元60元

D 、80元、80元

8. 已知一个三角形中，两个角的度数比为4:5，第三个角的度数比前两角的度数和的

少12?，则此三角形的三个内角分别为（）。

A 、?9070?20?

B 、80?64?36?

C 、70?48?62?

D 、78?64?38?

9. Mary spends 87.5% of her income and saves $240 a month. Tom saves $330, which is 15% of his monthly income. Then ( ) earns more and by how much.

A 、Mary earns $1920 more than Tom

B 、Tom earns $280 more than Mary

C 、Tom earns $2200 more than Mary

D 、Mary earns $280 more than Tom

10. 首位数字是2,且其数字中恰有两个相同的四位数（如2556；2677等）共有（）个。A 、426 B 、432 C 、216 D 、213

二、填空题（50分） 11. The sequence of number: 81, 891, 8991, (109)

899

91个.Then sum of them is _______

12.

设1,3

,83=-=-=c b a 。则{

}

53(2)a b ab c b c abc b ??-+---++??=_________ 13.

某仓库有一批粮食入库，称粮时记录的重量（单位：千克）如下：81,76,82,80,83,82,77,79,77,84，则这批粮食共有_________千克。 14. 在自然数中，两个四位自然数之差与2007的和的最小值是_______

15.

The sum of n different positive integers is less than 2007. The greatest positive value of n is ________ 16.

以A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为端点的线段有_______条。

17.

在桌上摆有一些大小相同的正方体木块，俯视图、左视图如下，要摆出这样的图形最少要___________块正方体木块？

18. 已知圆A 和圆B 半径都是r ，且圆B 过圆A 的圆心,则阴影部分的面积为______。（用r 和π表示）

19.

一张矩形毯子卷成一个6层空心圆柱形状，已知毯子长10米，宽1.5米，厚0.01米，则空心圆柱卷的体积是___________。 20.

使得连乘积975×972×965×n 的末四位数字都是零的最小的正整数n 的值是________。

三、解答题（30分） 21. 若已知12=++c b a ，5682

22=+-+c c b a ，求ca bc ab --的值.

22.甲、乙两个粮库要向A、B运送粮食，A地需要70吨，B地需要110吨。现决定从甲

库调出100吨，从乙库调出80吨，甲、乙粮库到A、B两地的路程和运费如下表：

问：当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨时，总运费最省？最省的总运费是多少元？

23.轮船以相等的速度在A、B、C三个港口之间循环航行。B、C间所用的时间等于C、

A间与A、B间所需时间之和的四分之三；A、B间与B、C间所需时间之和等于A、C间所需时间的三倍。若轮船的速度每小时增加1海里，则A、C间与A、B间所需时间之差为1小时20分钟，且三个港口循环航行一周所需时间将缩短1小时20分钟，求三个港口间的距离和轮船的速度。

答案： 1. B 2. D 3. A 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. B 10. B 11. 9

9009个

12. 8

13. 801 14. 2007 15. 62 16. 22 17. 8

18.

2r r -π 19. 0.15立方米 20. 20 21. 2008

22. 甲—A 地70吨，甲—B 地30吨；乙—B80－吨，总运费最省，此时费用为37100

元。

23. 船速：14海里；BC 间距：120海里； CA 间距：70海里；AB 间距：90海里

第三届IMC 国际数学竞赛初一级组数学竞赛试卷（B ）

考试时间：90分钟，卷面总分：120分

国籍___________ 姓名_________ 成绩________

一、选择题（40分） 1.

若a 为实数，则代数式1a -的最小值为( )。

A 、－2

B 、－1

C 、0

D 、1 2.

一个多项式除以（21x -）所得到的商式是（2

1x +），余式是5x ，则被除式是（）。 A 、3

321x x x -+- B 、3

2271x x x -+- C 、3

2931x x x +-- D 、3

771x x x -+- 3.

使等式312310x x ++-+=成立的实数x （）。

A 、不存在

B 、只有一个

C 、只有2个

D 、有无数个 4.

若22540x xy k ++是一个完全平方式，则k 是（）

A 、162

y B 、2

y C 、 42

y D 、 82

若0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++-c b a ，则2008

2008

a b c a b c ??????-+ ? ? ? ?

? ???

的值（）

A 、－1

B 、0

C 、1

D 、－1或1 6.

如图，已知五角星的顶点为A 、B 、C 、D 、E ，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=( ) A 、?90 B 、180? C 、270? D 、360?

马戏团的“小猴骑车”是由5只猴子用5辆自行车表演的。每只猴子至少骑一次车，但

一只猴子不能重复骑同一辆车，表演结束后，5只猴子分别骑了2、2、3、5、x 次，5 辆车分别被骑了1、1、2、4、y 次，则x+y =( )

A 、5

B 、6

C 、7

D 、8 8.

把数字和字母组成的列 20070808 IMOCMOYNBS

进行轮换，每次轮换把首位的数字和首位的字母分别移放在数字组和字母组的末位。第一次；00708082 MOCMOYNBSI 第二次：07080820 OCMOYNBSIM

依次进行下去，当全列还原成原来的顺序时，所需要的次数最少是（）次。 A 、20 B 、40 C 、60 D 、80 9.

Mary and Lily made 240 paper stars in 4 days .For each day, they made 12 more than the day before. Then the number of the paper stars made on the 1st day are________. A 、12 B 、38 C 、42 D 、60 10.

设a,b,c 是三个整数，且[a ，b ，c ]=60，(a ，b )=4，(b ，c )=3．(注：[a ，b ，c ]表示a ，b ，c 的最小公倍数，(a ，b )表示a ，b 的最大公约数)，则a+b+c 的最小值是( ) A 、30． B 、31． C 、32． D 、33 二、填空题（50分） 11. 在代数式3

x y 中，x 与y 的值各增加10％，则该代数式的值增加了________%

12. 222(21)-＋222)23(-＋222)34(-＋222)45(-＋222)56(-=____________

13. 若3+-y x 与2007x y +-互为相反数，则=--+22)()2(y x y x 14. 在自然数中，两个四位自然数之差与2007的和的最小值是_______

15.

如图，∠AOC 是直角，∠COD=20?,且OB 、OD 分别为∠AOC 、∠BOE 的平分线，则∠AOE=______

16. The missing number in the following arrangement is __________.

17. 使得连乘积975×972×965×n 的末四位数字都是零的最小的正整数n 的值是________。 18.

设c 为正整数，且a+b=c ,b+c=d, d+a=b, 则(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)的最小值是__________。

19. 已知圆A 和圆B 半径都是r ，且圆B 过圆A 的圆心,则阴影部分的面积为______。（用r 和π表示）

20.

有一串如下排列的球（黑球为实心球，白球为空心球）

共有2007个，则空心球数为_______。三、解答题（30分） 21. 设7:4:3::=z y x ，且182=+-z y x ，求z y x -+2的值。

22.将分别写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的九张正方形卡片排成一排，发现恰为一个

能被11整除的最大的九位数，请写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程。

23.轮船以相等的速度在A、B、C三个港口之间循环航行。B、C间所用的时间等于C、

答案： 1. B 2. B 3. A 4. A 5. C 6. B 7. B 8. B 9. C 10. B 11. 61.051 12. 285 13. 9072135 14. 2007 15. 175度 16. 41 17. 20 18. 24

19.

2r r -π 20. 61 21. 8 22. 987652413

23. 船速：14海里；BC 间距：120海里； CA 间距：70海里；AB 间距：90海里

初中一年级组决赛试题

考试时间：90分钟，卷面总分：120分

一、选择（每题5分，共50分） 1.

命题；（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）垂直与一条直线的两条直线平行；（4）平行于一条直线的两条直线垂直。其中命题正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

在a 、b 、c 三个数中，有如下三个结论：甲：至少有两个互为相反数，则a+b+c=0; 乙：至少有两个互为相反数，则a+b+c=0，222()()()0a b b c c a +++++=，丙：至少有两个互为相反数，则()()()0a b b c c a +++=其中正确的结论个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.

已知4=-y x ，7=+y x ，则y x +=（） A. 23± B. 2

± C. 7± D. 11± 4.

Given equation 282008x x x ++++=, then the number of its solution is ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

5. △ABC 的三条外角平分线相交成一个△LMN ，则△LMN 一定为（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不是锐角三角形

)10099

1()29911()19911(?+++?++?+

最接近的整数是（） A. 101 B. 149 C. 150 D. 151 7.

自然数的平方按大小排成14916253649┄,问第505个位置的数字是( ) A.0 B. 1 C. 6 D.9 8.

甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了10%. 最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙，在上述股票交易中（）。

A ．甲刚好亏盈平衡

B ．甲盈利1元

C ．甲亏109元

D ．甲亏本1.1元 9.

如图⑴，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图⑵，再对折一次得图⑶，然后用剪刀沿图⑶中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（）。

A. B. C. D

10.

将自然数1～2008按以下格式排列：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 … … … … … … …

请你用3×4（3行，4列）的长方形框出12个数，使它们的和是2010。那么这12个数中最大的数是（）。

A ．173

B ．174

C ．175

D ．176 二、填空题（每题5分，共50分） 11.

In the figure given. ABCD and AEFD are all the rectangles, the area of

the rectangle ABCD is 12

cm . Then the area of the shaded part is ______2

cm . 12. Given equation

20071223

20072008

x x

+++

=???，then x =_______。.

13.

Alphabetic are puzzles created by replacing numerical digits in arithmetic

problems with letters. Each letter represents a digit and no digit represents two different letters 。How many different seven －digit numbers ABCDEFG can be made up? Answer ：________

14. 2008年8月8日是星期五，问在此以后的第8

82008天是星期_____

15.

Let 5x is a two －digit and yz 4 is a three －digit . If x, y, z satisfy the equation

5415120x yz ?=, then x +y+z=________。 Answer: _________

16.

已知 x,y 为整数,且y 2

= x 2

―2008. 则代数式y

x y xy x +-+2

22的值为______。

17. 若n x mx x +++111323能被56132

+-x x 整除，则整数m 值是_______。 18.

2008个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数的和，这一行数最左边的几个数是这样的0,1,3,8,21,┄，则这一行数最右边的一个数被3除的余数是______

19. Tom earns a fixed amount of money every month. He uses 1

of his salary for contributions, taxes and insurance premium. He saves

of the remainder. He has RMB2320 yuan left for other expenses. How much does Tom earn a month? Answer :_______ 20.

甲、乙、丙三人做游戏。第一盘甲输了，甲要付给乙、丙硬币，分别等于乙和丙原有的硬币数；第二盘乙输了，乙付给甲和丙硬币，分别等于甲和丙现有的硬币数。第三盘丙输了，丙要付给甲和乙硬币，分别等于甲和乙现有的硬币数。结果，三人身上的硬币数都为160个。则乙原有的硬币数是________个。三、解答下列各题。（要求写出解答过程，每题10分，共20分） 21.

一个长方形把平面分成两部分，则10个长方形最多可把平面分成多少部分？若n 个长方形能把平面最多分成多少份（写出与n 的关系式）？ .

22.甲、乙两个钟都不准，某天正午，甲、乙两个钟对照无线电报时对钟。第二天白天甲

钟12点时，乙钟是11点48分。之后不久，乙钟对照无线电正午的报时对钟，甲还照原样走。第三天白天乙钟12点时，甲钟是12点18分。甲、乙两钟一天走多少分多少秒？或一天慢多少？又。第四天白天甲钟12点时，乙钟表示的是什么时间？

答案：

一、选择题（每题5分）

二、填空题（每题5分）

三、解答题（每题10分）

21. 10个长方形最多把平面分成362份。n 个长方形最多能把平面分成2+4(n －1)份。 22. 解：设甲、乙两钟一天各快x 分、y 分，则甲钟的一小时，在正确的钟上是

2424x +

小

时。因而甲钟的24小时，在正确的钟上是60

2424

24x +

?小时。所以在这之前甲快2460242424x ?+?分，乙钟快2460242424y ?+?，甲比乙快1260

24)

(24=+

-?y x 。(1) 同样，乙钟的24小时，在正确钟上是60242424y +?，所以得60

24)

(24y y x x +

-+=18 (2)

由（1）和（2）得≈=119

702

x 5分53.9秒 y=20

123-分=—6分9秒。

因而第四天甲钟在12点时，乙钟是12是—3×12分＋20

123

分=11时30分9秒

法2：设甲、乙钟和正确的钟的速度为u 、v 、w ，则v

u 604823

=，u v w 6018

482424=+

，从这两式，求满足v

y u x w 6024602424+=+=的x 、y