圆锥曲线练习题(文)

圆锥曲线练习题（文）

第I 卷（选择题）

一、选择题

1． 双曲线22

194

x y -=的渐近线方程是 A ．x y 23±

=B ．x y 32±=C ．x y 49±=D ．x y 9

4±=

2．已知P 是以F 1、F 2若0

2160PF F =∠，

则三角形21F PF 的面积为（ ）

A.16 3．设M 是椭圆上的一点，1F 、2F 为焦点，，则12MF F ?的面积为（ ）

A B ．16 4．若R k ∈，则3>k 是方程

）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

5程是（ ）

A 、y 2

=－8x

B 、y 2

=－4x

C 、y 2

=8x

D 、y 2

=4x

6．已知点A (2,0)，抛物线C ：2

4x y =的焦点F 。射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与

其准线相交于点N （ ）

A ．1:2 C ．．1:3

7．设11229

(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆

221259

x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既非充分也非必要

A

9．已知m 是两个正数2和8的等比中项, ）

A 10（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9

B 11．的中心任作一直线交椭圆于Q P 、两点，F 是椭圆的一个焦点，则PQF ?周长的最小值是（ ）

A ．14

B ．16

C ．18

D ．20

12过抛物线28y x =的焦点，且与双曲线221x y -=有相同的焦

点，则该椭圆的方程是（ ）

A

第II 卷（非选择题）

二、填空题

13．椭圆12432

2

=+y x 的 离心率为。

14．.已知1F 、2F 是椭两个焦点，P 为椭圆上一点，且1290F PF ∠= ，则12PF F ?的面积.

15．F 1，F 2，点P 在椭圆上，且|PF 1|=6，则12F PF ∠= 16的两个焦点21F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平

，则a 等于________．

三、解答题

17．（本小题满分12分）A （0，4），

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求过点（3，0C 所截线段的中点坐标．

18．（12分）椭圆C 的长轴长为4．

（1）求椭圆C 的方程；

（2C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

（1）求椭圆C 的方程；

（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若AB 的中点M 在抛物线2

:4E y x =上，求直线l 的斜率k 的取值范围．

20．（本小题满分12分）已知直线l ：y －C a ＞b ＞

0 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值．

21．a>b>0）的两个焦点分别为12,F F ，过1F 的

直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ?的周长为8．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．

22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3AP PB =

，求实数

m 的取值范围．

参考答案

1．B

【解析】分析：把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．

解：∵双曲线方程为22194x y -=，则渐近线方程为线22

094

x y -= ，即y=±

2

3

x ， 故答案为B

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程． 2．B 【解析】

试题分析：由双曲线的定义可知12||||||10,PF PF -= (1)

222121212||||||2||||cos60164F F PF PF PF PF =+-= (2)

所

以

(1)

平

方

减

去

(2)

式

可

得

3|

|||s

2

P F ??= 考点：双曲线的定义，余弦定理，三角形的面积公式.

点评：根据双曲线的定义及余弦定理可推导出焦点三角形的面积公式：

3．C

上的一点，1F 、2F 为焦点，则12MF F ?B 4．A

【解析】略 5．C 【解析】

F （2,0），p =4，抛物线的方程是

y 2

=8x ，故选C 。

考点：本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程及几何性质。 点评：简单题，利用椭圆的几何性质可得抛物线焦点坐标。 6．C 【解析】

考点：本题主要考查抛物线的概念、标准方程、直线与抛物线相交的基础知识，考查几何能

力. 7．A

【解析】椭圆221259

x y +=的右焦点(4,0)F ，右准线为254x =，离心率45e =，则根据椭

圆第二定义可得124254259425

||(),||(4),||()5454554

AF x BF CF x =

-=-==-。若||,||,|A F B F C F 成等差

数

列

，

则

2||||B F A F C F

=+，即1218425425

()()55454

x x =-+-，化简可得128x x +=。反之也成立。所以“||,||,||AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的充要条件，故选A 【答案】D 【解析】

试题分析：2

28164m m =?=∴=± ；若4m =，则圆锥曲线

4m =-，则圆锥曲线

D ．

考点： 圆锥曲线的离心率．

9．D 【解析】

试题分析：∵正数m 是2，8的等比中项，∴2

2816m =?= ，∴m=4

．故选B ． 考点：1.等比中项的性质；2.离心率.

10．C

【解析】由题意得：22

2549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．

考点：椭圆的简单几何性质． 11．C 【解析】

试题分析：如下图设F 为椭圆的左焦点，右焦点为2F ，根据椭圆的对称性可知2FQ PF =，

OP OQ =，所以PQF ?的周长为

2||||||||||2||22||102||PF FQ PQ PF PF PO a PO PO ++=++=+=+，易知2||

OP 的最小值为椭圆的短轴长，即点,P Q 为椭圆的上下顶点时，PQF ?的周长取得最小值

102418+?=，故选C.

考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质. 12．A 【解析】

试题分析：根据题意值抛物线的焦点为()2,0，双曲线的焦点在x 轴上且为所以

椭圆的焦点在x 轴上，解得2

22a b =??=?，

选择A ．

考点：1．抛物线的焦点坐标；2．双曲线的焦点坐标；3．椭圆的标准方程． 13

【解析】

试题分析：因为12432

2

=+y x ，所以

考点：椭圆的性质.

14．9

【解析】略 15． 【解析】略 16

【解析】

试题分析：根据题意，421=F F ，21=BF ，

考点：1．椭圆的定义；2．等边三角形的性质．

17．（1（2【解析】

试题分析：（1）待定系数法求椭圆方程；（20先求出直线方程代入椭圆方程，然后由韦达定理求出两根之和，再求出中点横坐标，最后代入直线方程求出中点纵坐标即得结果． 试题解析：（1）因为椭圆经过点A ，所以b=4．

依题意可得，直线方程并将其代入椭圆方得0832=--x x ．

（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为),(),,(2211y x y x ，则由韦达定理得，321=+x x ,

考点：求椭圆方程、直线与椭圆相交求弦的中点坐标．

18．（1（2AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．

【解析】 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和

长轴长列出方程，解出a 和c 的值，再利用222

a b c =+计算b 的值，从而得到椭圆的标准

方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，由于以线

段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ?=

，即12120x x y y +=，代入12x x 和y y ，解出k 的值．

试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c

，所以222431b a c =-=-=，

故所求椭圆C

（2）存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ． 理由如下：

设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，

将直线l 的方程

（*）

因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，

所以0OA OB ?=

，即12120x x y y +=．

经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．

AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ． 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．

19．（1

（2

【解析】

试题分析：（1

222a b c =+

（2）这类题解题方法是设直线AB 方程为

y kx m =+，1122(,),(,),A x y B x y

00(,)M x y ，把y kx m =+代入椭圆方程整理得()2223484120k x kmx m +++-=，因此

有0?>，即22430k m -+>，这是很重要的不等式，求k 的范围就要用它，另外有

，这样可得点M 的坐标为，而点M 在抛物线上，因此把此坐标代入抛物线方程可得,m k 的关系，等式，就可求出k 的范围．

试题解析：（1（2）设直线()()()1122:0,,,,l y kx m m A x y B x y =+≠，()00,M x y ．

由22

3412

y kx m x y =+??+=? 得()

222

3484120k x kmx m +++-=-----6分

()()()2

228434412km k m ?=-+-﹥0

即22

43k m -+﹥0 （1）

代入2

4y x =得

将（2）代入（1）得：()

222

163481k k +

且0k ≠．即--12分 考点：椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系．

20．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过分析可知直线l 与x 轴的交点为(2,0)，得2c =，又，利用2

2

2

2b a c =-=，可得,22

=b 即可求得椭圆方程为（Ⅱ）可设直线AB 方程为1y kx =+，

设1122(,),(,)A x y B x y ，故为此可联

整理得22

(31)630k x kx ++-=，利用韦达定理，求

出

[科当1=t ，即0k =时，

AOB S ?的最大值为

试题解析：（Ⅰ）∵a b >，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点，

∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)，∴椭圆的焦点为(2,0)，∴2c =， 1分

，∴222

2b a c =-= 3分 4分 （Ⅱ） 直线AB 的斜率显然存在，设直线AB 方程为1y kx =+

设1122(,),(,)A x y B x y ，由，得22

(31)630k x kx ++-=，

显然0?>，分

分

1t ∴=，即0k =

时，AOB S ?的最大值为分

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与曲线相交问题.

21． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由2MNF ?的周长为8，得4a=8从而可求得b ；（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，），再由A 、B 在椭圆上可求0x ，此时易求点O 到直线AB 的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为

y=kx+m ，代入椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，知

0?＞，由OA ⊥OB ，得12120x x y y +=，即12120x x kx m kx m +

++=（）（），整理后代入韦达定理即可得m ，k 关系式，由点到直线的距离公式可求得点O 到直线AB 的距离，综

合两种情况可得结论，注意检验0?＞．

试题解析：（Ⅰ）由题意知，4a=8，所以a=2

2

3b ∴=．所以椭圆C

（Ⅱ）由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x

x -（，），（，）．

又A ，B 两点在椭圆C O 到直线AB 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ．

y 得2223484120k x kmx m +++-=（）．

由已知0?＞，设 ()()221212121212120010OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⊥∴+=∴+++=∴++++ ，．（）（），＝．

满足0?＞．所以点O 到直线AB

. 考点：椭圆标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系

22．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3a c +=222a b c =+，求得,a b 的值，进而求椭圆方程；（Ⅱ）直线和圆锥曲线位置关系问题，往往

会将直线方程和圆锥曲线方程联立，根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件，同时要善于利用韦达定理对交点设而不求。设直线l 的方程为y m kx -=，与抛物线方程联立得

222(34)84120k x kmx m +++-=，因交于两点故0?>，得,m k 的不等式，设交点1122(,),(,)A x y B x y ，带入向量式得交点横坐标关系123x x -=，再结合韦达定理列方程得

,m k 的方程222216123

90m k k m -+-=，与上述不等式联立求实数m 的取值范围．

试题解析：

（Ⅱ）若过点(0,)P m 的斜率不存在，则 若过点(0,)P m 的直线斜率为k ，即时，直线AB 的方程为y m kx -=．

由22222

(34)841203412

y kx m

k x kmx m x y =+??+++-=?

+=?．

于是 2222644(34)(412)m k k m ?=-+-．

因为AB 和椭圆C 交于不同两点，所以0?>，22430k m -+>，所以2243k m >-． ①

设1122(,),(,)A x y B x y ．由已知3AP PB = ，则

②

1122(,),(,)AP x m y PB x y m =--=-

， 所以 123x x -=③

将③代入②, 得 2222

1612390m k k m -+-=．

所以代入①式, 得

即 综上

可得，实数m 的取值范围为 考点：1、椭圆标准方程和简单几何性质；2、直线和圆锥曲线位置关系．