广东省2018-2019年高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案

第一次模拟测试卷

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.

已知集合{A x N

y =∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A

B =( )

A.(],4-∞

B.{}1,3

C.{}1,3,5

D.[]1,3

2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，3

x

i e 表示的复数位于复平面中的( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.已知角α的终边经过点()sin 47,cos 47P °°，则()sin 13α-=°( ) A.12

C.12-

D.

4.已知奇函数()'f x 是函数()()f x x R ∈是导函数，若0x >时()'0f x >，则( )

A.()()()320log 2log 3f f f >>-

B.()()()32log 20log 3f f f >>-

C.()()()23log 3log 20f f f ->>

D.()()()23log 30log 2f f f ->>

5.设不等式组30

10350x y x y x y +-≥??-+≥??--≤?

表示的平面区域为M ，

若直线y kx =经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )

A.1,22

?? ???

B.14,23??????

C.1,22

??????

D.4,23

??????

6.平面内直角三角形两直角边长分别为,a b

，直角

个侧面的面积分别为123,,S S S

棱锥顶点到底面的距离为( )

7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为

( )

A.6+

B.152

C.6+

D.8

8.执行如图程序框图，则输出的n 等于

( )

A.1

B.2

C.3

D.4 9.函数()

()()2

sin x

x e

e x

f x x e ππ-+=

-≤≤的图象大致为( )

A B C D 10.已知具有线性相关的五个样本点()10,0A ，()22,2A ，()33,2A ，()44,2A ，

()56,4A ，用最小二乘法得到回归直线方程1:l y bx a =+，过点1A ，2A 的直线

方程2:l y mx n =+，那么下列4个命题中，

①,m b a n >>；②直线1l 过点3A ；③()()5

5

221

1

i i i i i i y bx a y mx n ==--≥--∑∑

④55

1

1

i i i i i i y bx a y mx n ==--≥--∑∑.(参考公式()()

()

11

2

2

21

1

n

n

i i

i

i i i n

n

i

i

i i x y

nxy x

x y y

b x

nx

x

x

====---=

=

--∑∑∑∑，

a y bx =-)

正确命题的个数有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 11.设函数

()1,1

21,1x a

x a f x x a x a -???<+? ?=???

?-+-≥+?

，若()f x 的最大值不超过1，则实数a 的

取值范围为( )

A.3,2

??-+∞????

B.3,2

??-+∞ ???

C.5,04

??-??

??

D.35,2

4??--????

12.已知椭圆22

:12412

x y E +=，O 为坐标原点，,A B 是椭圆上两点，,OA OB 的

斜率存在并分别记为OA k 、OB k ，且12

OA OB k k ?=-，则11OA OB +的最小值为

( )

B.13

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.()3121x x

??

+- ???

展开式中的常数项为________________.

14.平面向量()1,a m =，()4,b m =，若有()()20a b a b -+=，则实数

m =________________.

15.在圆224x y +=上任取一点，则该点到直线0x y +-的距离[]0,1d ∈的

概率为________________.

16.已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)度的200公里处，若

()24

cos 25

αβ-=

，则v =__________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4421S a =-，3321S a =-. (1)求{}n a 的通项公式；

(2)记()21log n n n b a a +=?，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1

2111

2n

T T T +

++<…. 18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)

80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.

(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教

学改革有关”；

(2)从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量

X

，求X 的分布列和期望.

19.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，

ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，1

32

AB BC AP AD ====，AC BD O =，过O 点作平面α平行于平面

PAB ，平面α

与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H .

(1)求GH 的长度；

(2)求二面角B FH E --的余弦值.

20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，124y y =-.

(1)求抛物线方程；

(2)点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD △面