郑州市2017-2018学年高一上期期末考试数学试题含答案

郑州市2017-2018学年上期期末考试

高一数学试题卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合}3,2{=A ，}5,{a B =，若集合B A 中有3个元素，则=a （ ） A ． 2 B ． 3 C ． 5 D ．2或3

2.已知点)3,2(),1,2(-B A ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）

A ．022=+-y x

B ．042=-+y x

C ．022=-+y x

D ．012=+-y x 3.函数)23ln(1

1

)(x x x f -+-=

的定义域为（ ） A ． )2

3,1[ B ． )2

3,1( C ． ]2

3,1[ D ． ),2

3(+∞ 4.已知R y x ∈,且0>>y x ，则（ ）

A ．

01

1>-y

x B ．33y x < C. 0)31()31(<-y x D ．0lg lg >+y x

5.若直线01:=--y x l 始终平分圆0342:22=-+-+y ax y x M 的周长，则a 的值为（ ） A ． -2 B ．-1 C. 2 D ．4

6.已知函数x

x

e

e x

f )1

()(-=（ 71828.2≈e ），则)(x f （ ）

A ．是偶函数，且在R 上是增函数

B ．是奇函数，且在R 上是增函数 C. 是偶函数，且在R 上是减函数 D ．是奇函数，且在R 上是减函数 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大面的面积是（ ）

A ．5

B ．3 C.

2

5

3 D ．53 8.如图，在四边形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，2==DC AD ，2=CB ，动点P 从点A 出发，

按照B C D A →→→路径沿边运动，设点P 运动的路程为x ，APB ?的面积为y ，则函数)(x f y =的图像大致是（ ）

A ．

B ．

C. D ．

9.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等，如图所示，扇形AOB 的半径为3，圆心角为0

90，若扇形AOB 绕直线OB 旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）

A ． π3

B ． π6 C. π9 D ．π27 10.已知函数??

?≥<+-=2

,log 2

,34)(2x x x a ax x f 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）

A ． )43,0(

B ． ]1,0( C. )23,1( D ．]2

3,0(

11.如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '?是AED ?绕DE 旋转过程中的一个图形，给出以下四个命题：①//AC 平面DF A '；②平面⊥GF A '平面BCED ；③动点'A 在平面

ABC 上的射影在线段AF 上；④异面直线E A '与BD 不可能垂直. 其中正确命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2 C. 3 D ．4

12.已知点),(y x P 是直线042=+-y x 上一动点，直线PB PA ,是圆02:22=++y y x C 的两条切线，

B A ,为切点，

C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）

A ． 2

B ．5 C. 52 D ．4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.在空间直角坐标系中，已知)1,2,1(-A ，)5,2,3(B ，P 是AB 的中点，则点P 到坐标原点的距离为 ．

14.给定集合}2,1,2{-=A ，}6,5,2,1{=B ，定义一种新运算：},|{B A x B x A x x B A ?∈∈=⊕且或，试用列举法写出=⊕B A ．

15.已知点)0,3(-A ，)2,1(B ，若圆)0()4()3(:222>=-+-r r y x C 与以线段AB 为直径的圆相外切，则实数r 的值是 ．

16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数，例如：3]1.2[-=-，3]1.3[=，

已知函数3

1

212)(1-+=+x

x x f ，则函数][x y =的值域是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知集合}0)1)((|{=+--=a x a x x A ，}0))(2(|{=--=b x x x B )2(≠b ，}5321|{<-<=x x C . （1）若B A =，求b 的值； （2）若C C A = ，求a 的取值范围.

18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ?的三个顶点的坐标分别为)2,3(-A ，)3,4(B ，)2,1(--C . （1）在ABC ?中，求BC 边上的高线所在的直线方程； （2）求ABC ?的面积.

19. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如图所示.

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

20. 已知四边形ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直，DC AD ⊥，DC AB //，

DC AD AB 2

1

=

=.

（1）证明：⊥BC 平面BDE ； （2）M 为线段AD 上的点，且MD AM 21=，N 是线段DE 上一点，且NE DN 2

1

=，求证：//MN 平面BCE .

21. 已知函数)(1

22

2)(R m m x f x x ∈++--

=. （1）当3=m 时，判断并证明函数)(x f 的奇偶性； （2）当1>m 时，判断并证明函数)(x f 在R 上的单调性.

22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆)0(0:2

2

>=++a ay y x M ，直线027:=--y x l ，且直线l 与圆M 相交于不同的两点B A ,.

（1）若4=a ，求弦AB 的长；（2）设直线OB OA ,的斜率分别为21,k k ，若6

1

21=

+k k ，求圆M 的方程.

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高一数学试题答案

二、填空题

13. 13 14. {}6,5,2- 15. 55- 16. {}1,0,1- 三、解答题

17.解：{}1A a a =-，，{}2,B b =，

（Ⅰ）若2a =，则{}12A =，，

A B = ∴11b a =-=.

若12a -=，则3a =，{}23A =，，∴3b =. 综上，b 的值为1或3.

（Ⅱ）∵{|24}C x x =<<，

,A C C A C =∴? ,

∴24

,214a a <

<-

∴34a <<.

∴a 的取值范围是（3,4） 18.解：(I)直线BC 的斜率32

141

BC k +=

=+. ∴BC 边上的高线斜率1-=k ，

∴BC 边上的高线方程为：()23y x -=-+ 即：10x y ++=， (II) )2,1(),3,4(--C B

BC ∴=

=由)2,1(),3,4(--C B 得直线BC 的方程为：10x y --=.

A ∴到直线BC 的距离d =

=1

152

ABC S ?∴=

?=. 19.解：根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶，设在进价基础上增加x 元后，日均销售利

润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为()48040152040x x --=-， 由于0x >，且520400x ->，即013x <<，

于是,可得()52040200y x x =--240520200,013.x x x =-+-<< 易知，当 6.5x =时，y 有最大值，

所以，只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.

20.证明（Ⅰ） CDEF ABCD 平面平面⊥，CD CDEF ABCD =平面平面 , 在正方形CDEF 中,ED DC ⊥

∴ABCD ED 平面⊥,ED BC ∴⊥.

取DC 的中点G 连接BG ，1

2

DG DC =,在四边形ABCD 中，

//,AB DC 1

2

AB DC =,

ABGD 四边形∴为平行四边形，

.AB AD =∴ 1

2

BG DC =

所以,点B 在以DC 为直径的圆上，所以DB BC ⊥, 又ED BD D = , 所以BDE BC 平面⊥, （Ⅱ）如图,

取DC 的中点G ，连接AG ,在DC 上取点P 使

13DP DC =,连接NP 1

3

DN DP DE DC == ， //PN EC ∴,//PN BCE ∴面,

连接MP ，2

3

DM DP G DC DA DG ∴== 为中点，

,//MP AG ∴. 又//,,AB CG AB CG ABCG =∴ 为平行四边形，

//AG BC ∴,//MP BC ∴,//MP BCE ∴面,

又MP NP P = ，MNP BCE ∴平面//平面.

MNP MN 平面? ,所以MN //平面BCE .

21.解：（Ⅰ）当3m =时，f(x)为R 上的奇函数 证明如下：

()21212121x

x x f x -=-+=++，定义域为R

()()112212211221x x x

x x

x f x f x -----===-=-++-+.

所以，函数()f x 为奇函数.

（Ⅱ）当1m >时，函数()f x 在R 上单调递减， 证明如下：

任取1212,,x x R x x ∈<且，则

()()12

1211111212x x f m x m f x ?

???-=-+--+ ? ?+?-+?-??

(

)(

)()

21

121

2(1)2221212121

11

x x x x x x m m m --=

-=+++-+-. 因为12x x <，所以21220x x

->，()()

1221210x x ++>，又10m ->

所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >. 所以，函数()f x 在R 上单调递减.

22.解：（Ⅰ）由题意知，4=a 时圆心M 坐标为()0.2-，半径为2， 圆心到直线距离d

=

5=

所以弦5

74257242=

-=AB ;

（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，

,0

0272

2???=++=--ay y x y x

联立得()2502840y a y ++=+.

()2

2816500,28,

a a ?=+-?>∴>

100

800)28()28(22

,1-+±+-=

a a y 则1212284

500

,.5y y a y y +=-?=+ 于是()()121221121212111222

7272(72)(72)

y y y y y x y x k k x x x x y y y y +++=

+==

++++ ()1121212214(1)4221

,491444

6

y y y y y y y a y a ++-=

-++=++=

∴,2=a

所以圆的方程为2

2

20x y y ++=.