相似三角形的应用教案设计

相似三角形的应用教案设计

数学与应用数学 10121510405 郭晓萍

在数学教学中，几何教学是一个重要的领域，从生活到教室，从历史到课堂，几何都给师生带来许多有趣而富有挑战的课程。而图形相似是初中数学的重要内容之一，也是平面几何的核心知识点，中学生从恒等变换图形到相似变换图形之旅由此开始，这是中学生恒等思想切换到相似思想的转折点，是初中数学教学的重点与难点。图形相似当中，相似三角形的判定、性质与应用是重中之重。从古巴比伦泥版上可以知道，此类三角形早在古巴比伦时期便已为人所知。从古希腊工程师欧帕里诺斯的隧道工程、泰勒斯的金字塔测量、海伦的海岛问题到中国的《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》，再到后来的汉代的远距离测量，相似三角形的运用贯穿始终。我们知道，HPM对学生的学习以及教师的教学都有促进作用，在实际教学中，若能把古人们运用相似三角形的思想引入中学教学课堂中，那么学生可以更好地去领悟数学源于生活，用于生活的内涵，也可以使教师的教学技能得到增强，课堂氛围融洽，教学内容更加丰富，更好地加强学生对相似三角形的应用的整体认知与掌握。

相似三角形的应用的教学设计，主要是由中国古代相似三角形的数学史料引入，进行一个解决相似问题的古时与现代的解决方法的对比，运用相似三角形的判定以及性质解决几类几何问题，比较不同解法的优缺点，使学生能灵活运用相似三角形的性质，让学生在讨论中相互启发，拓宽思维，形成自己的方法，应用相似三角形思想解决现实生活中的问题，感受相似三角形的价值，体会数学源于生活并服务于生活，结合数学史的故事能帮助学生了解中国古代数学家对数学的贡献与重视，揭示了数学知识的发生过程，增强学生对数学学习的敏锐度。

以下是引入中国数学史料的相似三角形的应用的教学设计

一、教材分析

在人教版初中数学教材的知识体系中，“图形的相似”被安排在九年级下册第二十七章“相似三角形”被安排在九年级下册第二十七章第二节，“相似三角形的应用举例”是相似三角形的第三课时，相似三角形是研究图形性质的基础，本节内容是相似三角形的有关知识在生产实践中的广泛应用，探索应用相似三角形的识别、性质等知识去解决某些实际问题，灵活运用相似三角形的知识可以解决实际生活中的许多问题，将实际问题抽象为数学问题，再由相似三角形的数学模型解决实际问题。通过本节课的学习，一方面培养学生解决实际问

题的能力，另一方面增强学生对数学知识的不断追求。

二、学情分析

学生在已经学习了相似图形的有关知识，理解了相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一种变换，生活中存在大量相似的图形，充分感受到数学与现实世界的联系，在心理上偏向于直观形象的认识。相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓展和延伸，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化。在这之前学生已经学习了相似三角形的定义、判定、性质，探索了相似三角形的条件，掌握了相似三角形的性质，这为本节课问题的探究提供了理论的依据。

三、教学目标

1．知识与能力：

①通过古人的实际问题探索让学生体验测量中对相似三角形相关知识的应用

②通过对古人实际问题的再探索，使学生经历应用相似三角形的知识解决生活实际问题的全过程。

2．过程与方法：

①通过将实际问题转为数学问题再到建立数学模型的过程培养学生抽象概括能力。

②通过利用数学方法来分析解决实际问题，培养学生的应用意识。

○3通过开放的设计问题来发展学生的思维能力，培养学生的创造力。

3．情感、态度与价值观：

①通过古人利用相似形知识解决生活实际问题来激发学生学习数学的兴趣，使学生明白从古至今数学来源于生活，服务于生活，使学生积极于数学探索，体验探索的乐趣。

②通过对实际问题的探究与合作学习，培养学生认真踏实的学习态度和科学严谨的学习方法，培养学生科学正确的数学观，增进学生数学学习的信心。

四、教学重点、难点

1.教学重点

①引导学生根据题意构建相似三角形的数学模型，从而将实际问题转化为数学问题，利用相似三角形的知识解决实际问题。

②在应用数学模型时注意在实际操作中可能出现的错误。

2.教学难点

如何在实际问题中运用已学的相似三角形的知识抽象出相似三角形模型来解决实际问题。

五、教法选择

针对以上的教学重点、教学难点的分析，本节课将采用启发式教学与探究式教学相结合的的教学方法，通过小组讨论、合作探究、讲练结合来分解难点，突出重点。教学过程中始终贯穿以学生为中心，学生自主学习及合作交流为主的新课程理念，由数学史引入，从学生的生活实际出发，引导学生去发现、分析并解决问题。

六、教学关键

在实际生活中，面对无法或者难以直接测量出长度和宽度的物体，利用相似三角形将实际问题转化为相似三角形的数学模型，利用所学的知识来进行求解。

七、教学设计

本节课的教学，共分为五个部分：

一、知识梳理

二、情境导入

三、问题探究

四、思维拓展

五、回顾小结

八、教学流程

一、知识梳理

【师】：同学们，上节课我们学习了相似三角形的判定定理，大家还记得有哪些吗？

【生】：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等并且相应的夹角相等的两个三角形相似；两组对应角相等的两个三角形相似。

【师】：非常好，那么相似三角形有什么性质呢？

【生】：相似三角形对应角相等，对应边成比例

【师】：很好，同学们对相似三角形的判定与性质都掌握的还不错。

教学设计意图：通过对知识的梳理，帮助学生形成自己的知识结构体系，为解决问题储备理论依据。

二、情境导入

【师】：同学们了解了这么多的判定方法与性质定理，有没有想过这些定理是怎么来的吗？

【生】：古人研究出来的

【师】：那么老师就有问题要问了，古时的科学家们为什么要研究相似三角形的判定与性质呢？

【生】：思考。

【师】：正如我们遇到了问题才会去思考解决问题的方法，古人们也是人，自然不例外，那我们来看看古人们是怎么遇到问题，又做了哪些事情来解决这些问题的。在重温的过程中大家不要忘了我们现在所遇到的问题哦。

【生】：古代科学家为什么要研究相似三角形

【师】：向同学们展示有关相似三角形的数学史料

知识呢？

【生】：相似三角形的性质

【师】：那么，这些性质都用来做什么了呢？

【生】：测量距离，测量高度，分割直角三角形，证明勾股定理

【师】：是的，相似三角形有这么多的用途，在测量方面的贡献是如此之多，那么古人又是如何将相似三角形用于测量呢？相信经过这一节课的学习，大家也能化身为古人，掌握测量的独家秘方。《九章算术》是我们中国古人在数学上的伟大结晶之一，从中我们可以窥探到许多相似三角形的美妙之处，我们现在个个都是手捧《九章算术》来研究的古人。

例1. 今有邑方二百步，各开中门。出东门一十五步有木。问：出南门几何步而见木？（《九章算术》） 现在是考验大家的语文功底的时候啦，咱们就请语文课代表来给出翻译，再请一位画画功底不错的同学根据题意来画出图形。

【生】：有一个县城是正方形的，前后两百步可以走完，每个城墙上在中间的地方设一个大门。从东门出去，走十五步有一棵树。问：从南门出去走几步才能看见那棵树。 【师】：这位同学翻译的很好，而图形也给的十分正确。我们从图形

上来看，古人只需往城外走走，数数步数就能够知道到底要几步。但这毕

竟理想化了，城外那么多的树挡着，怎么能知道到底是哪棵呢？同学们，

你们知道古人是怎么测量出步子的吗？

【生】：不知道

【师】：看来古人的智慧不容小觑，给大家出了一个不小的难题，这就是我们这节课要解决的问题。

教学设计意图：数学教学从学生的生活体验和客观存在的事实或现实课题出发，为学生提供较感兴趣的问题情景，帮助学生顺利地进入学习情景。同时，问题是知识、能力的生长点，通过富有实际意义的问题能够激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。

三、问题探究

【师】：我们先来看这样一个谜语，你有我有他也有, 黑身黑腿黑黑头, 灯前月下跟你走, 就是从来不开口。

【生】：（思考片刻）影子。

【师】：对。那么一根旗杆的影子是怎么产生的呢？（学生讨论回答）根据学生回答做出影子，作图要规范。这时候就有个问题了，我该怎么算出这根旗杆的高度呢？

TREE

【生】：（小组讨论并回答，教师适时予以引导并帮助学生抽象出模型）

方法一：找一米标杆，测量其竖直放置时的影长，再测量

旗杆影长。

方法二：在旗杆影子末端处放一块镜子，人从此处向后退，

直至恰好能从镜子上看到旗杆的末端，测出人的目高以及距离

镜子的长度以及旗杆影长

方法三：可以找一个人站在旗杆下，让他的影子的末端跟

旗杆的影子的末端重合，我们可以测出两个影子的长度还有这

个人的身高。

【师】：非常聪明，要知道这可是古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔的高度的方法，欧几里得也经常在光学上利用这些方法来测量物体的高度。（稍加介绍）那么接下来就由你们来算出这根旗杆的高度。（引导学生利用两三角形相似，对应边成比例算出旗杆的长度）大家利用了相似三角形的什么性质解题呢？

【生】：（给出解题过程与答案）两三角形相似，对应边成比例

教学设计意图：通过对这一问题的顺利解决，一方面促使学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，明确通过运用相似三角形的判定定理构造相似三角形和运用相似三角形的性质列出比例式求解来解决这类问题；另一方面，发散学生思维，促使他们获取更多解决问题的方法，让学生通过多种途径解题，品尝解题成功带来的喜悦，从而提高学习数学的兴趣。

【师】：同学们非常棒，既然考虑了外部的测量，那么我们不妨来考虑一下内径的测量。《九章算术》勾股章中有这么一个问题：

今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问：井深几何？

这个问题是什么意思呢，我给出现代的解释。看我这个保温杯，我喝掉了一部分的水，那怎么测量出剩余的水的液面的高度呢？

【生】：（学生小组合作讨论并发现问题）

方法一、将木棒竖直放置，目标是测量

BC的长度，可测量量为AC长度。

方法二将木棒顶置D端，DC为底部圆

的直径，可测长度为AC、AD、AG、DG，

?AGB~?ADC，通过相似三角形对应边成比

例可以算出AB的长度，进而可算出BC长度，

即为液面高度。

【师】：很好，这是一个很不错的做法，那老师就有一问题了，你们能保证DC一定是直径吗？如果DC不是直径，也就是点D是底面上的任意一点，该怎么办呢？

【生】：（思考）很难保证，但是否是直径不影响，因为只需知道AG与AD的比值即可。

教学设计意图：本题是一道操作性强，且是半开放题型，由《九章算术》引入，使学生再现数学知识的产生，几个问题层层递进，直至最后规律的得出：能否建立相似三角形模型来解决测量问题与木棒低端的位置无关，加深学生对“构造相似三角形”的理解和应用，充分培养了学生的动手实践能力及数学建模思想。

四、思维拓展

【师】：今天同学们的表现十分精彩，在数学研究中既要看重个人学习能力，也要注重小组合作能力。我们中国古人的智慧是无穷的，在《海岛算经》上有这么一道题值得我们去探究：

“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令

后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目著地取

望岛峰，与表末参合；从后表却行一百二十七步，人目著地

取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何。”

（介绍《海岛算经》）这是《海岛算经》上的第一道题，

同学们充分发挥你们的智慧，追寻古人的脚步解决这道问题

吧！

【生】：（思考，小组讨论，构建模型）

【师】：人类的智慧是无限的，同学们还有其他的解决

方法吗？老师期待你们不一样的答案，这是今天的作业之一。

教学设计意图：通过教师的引导和点拨，激活学生的思

维，这一问题为学生提供了大展身手的机会。学生通过动手实践，领悟“构造相似三角形”的精髓，亲身体验数学建模的过程，在积极参与的过程中享受探索的乐趣。

【师】：大家还记得上课前老师提出的问题吗？现在能给出解答了吗？

【生】：（思考，在老师的引导下给出解答）利用

?ABE ~?DCE ，根据对应边成比例有BA ：AE=EC ：CD ，可

得DC 步数。

【师】：非常好，看样子大家对相似三角形已经相当熟

悉了，老师现在要给题目打扮打扮，换个问题来考考大家。

《九章算术》勾股章：

今有邑，东西七里，南北九里，各开中门。出东门一十五里有木。问：出南门几何步而见木？

想必同学们现在都能理解这个题目是什么意思了，那么我们该如何解决这个问题呢？

【生】：（思考，作图，并给出解答）这两个三角形依然相似，与上题一样仍对应边成比例求解。

【师】：很好，在《九章算术》勾股章还有这么一个问题：

今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？ 也就是知道了从南门出去的步数，要求这个县城的面积该如何去求呢？

【生】：（思考，在老师引导下给出解答）设正方形边长一半为x ，并利用?ABE ~?DCE ，根据对应边成比例列出方程解出x 乘以2后平方即可算出县城的面积。

【师】：非常棒，经过上面两个问题变形后，同学们猜猜看还可以怎么问呢？

【生】：（思考）县城由正方形改为长方形，然后问题是求长方形的面积。

【师】：十分好，同学们现在已经开始学会出题，那就请大家给出正确答案，这也作为今天的作业。

教学设计意图：进一步深化相似三角形的基本知识，形成“构造相似三角形”的基本技能，并尝试独立地写出完整的解题过程，培养学生严谨的学习态度和良好的学习习惯。前呼后应，让学生解决开头提出的实际问题，将数学史完美的贯穿于课堂教学的始终，发散学生的思维，培养学生完整考虑问题能力。

五、回顾小结

【师】：通过本节课的探索，大家都学会了什么呢？

【生】：应用相似三角形对应边成比例可以有很多种求旗杆的高度、求物体的内径的办法，还能解决古人们问题。

教学设计意图：通过学生的表述，概括出常见的测量方法，并且促使学生体验数学来源于生活又服务于生活。

【师】：是的，本节课的重点是把实际问题转化为数学问题，当物体的高度和长度不能直接测量时，我们便尝试着通过多种方法相似三角形的模型，再利用相似三角形的性质来解决实际问题。这就是数学中非常重要的两个转化思想与建模思想。

【生】：（整理记忆，记笔记）

教学设计意图：既训练学生的概括归纳能力，也要帮助学生在归纳的过程中把所学的知识条理化、系统化。

【师】：好，我们布置一下今天的作业，刚刚已经有两道古人的问题需要我们解决，我们古今结合一下，再完成几道书上的习题，这节课就结束了。

教学设计意图：分梯度的练习，紧扣教学要求，目的明确，有针对性；练习的设计有层次，有坡度，难易适中。学生在解题的过程中巩固所学知识并深化，享受解题成功带来的喜悦。