人教版高中数学选修2-2学案:1.3.3函数的最大(小)值与导数

人教版高中数学选修2-2学案:1.3.3函数的最大(小)值与导数
人教版高中数学选修2-2学案:1.3.3函数的最大(小)值与导数

1.3.3函数的最大(小)值与导数

【学习目标】

1.理解函数的最大值和最小值的概念,了解其与函数的极值的区别与联系;

2.会求可导函数()x f 在闭区间[]b a ,的最大(或最小)值.

【新知自学】 知识回顾:

1. 判别f(x 0)是极大、极小值的方法:

若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点,

)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”

,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”,则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值. 新知梳理:

1.最值与极值的区别与联系:

⑴“最值”是整体概念,是比较_____________的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较________函数值得出的,具有相对性.

⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是______的;而极值不一定唯一;

⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有______个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个

⑷极值只能在_____部取得,而最值可以在区间的_____处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.

2.函数的最大值与最小值

(1)函数的最大值和最小值和最小值是一个整体性概念,最大值必是整个区间上所有函数值中的 ,最小值必须是整个区间上的所有函数值中的 .

(2)一般地,如果在区间[]b a ,上函数的图象是 ____ ,那么它必有最大值和最小值.

3.求函数()x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下:

(1)求_________________内的极值;

(2)将()x f 的各极值与 _______ 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 对点练习:

1. 函数)(x f 的定义域为),(b a ,其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示,则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

2.下列说法中正确的是( )

A.函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值

B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值

C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之若有极值,则一定有最值

D.若函数在定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值

3.函数y=sinx+1在区间??

????2,2-ππ上的最小值是__________,极小值__________. 4.求函数f(x)=x 2-4x +3在区间[-1,3]内的极值和最值.

【合作探究】 典例精析:

例1. 求函数f(x)=e x (3-x 2)在区间[2,5]上的最大值和最小值.

换成一个不单调有极值比较的情况

或扩大区间为-4—4即可 变式练习:

求函数()x x x f 2+=在区间[0,4]上的最大值与最小值.

例2.已知a 是实数,函数f(x)=x 2(x-a).

(1)若3)1(='f ,求a 的值及曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值.

增加条件a=-3/2 变式练习:

在本例中,区间[0,2]改为[-1,0]结果如何?

增加条件a=-3/2 规律总结:

(1)函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点,区间端点;

(2)函数f(x)在闭区间上连续,是f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分条

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ,y=x ,y=x 2,y=x 3 ,y=1/x ,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b ))的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三.要点精讲 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值 x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时, x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。

高中高考数学专题复习《函数与导数》

高中高考数学专题复习<函数与导数> 1.下列函数中,在区间()0,+∞上是增函数的是 ( ) A .1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2.函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A .y 轴对称 B .直线y =-x 对称 C .坐标原点对称 D .直线y =x 对称 3.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x -1与y .y y C .y =4lgx 与y =2lgx 2 D .y =lgx -2与y =lg x 100 4.下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数,且在)0,(-∞上为减函数的是( ) A .x x f ?? ? ??=23)( B .1)(2+=x x f C.3)(x x f -= D.)lg()(x x f -= 5.已知0,0a b >>,且12 (2)y a b x =+为幂函数,则ab 的最大值为 A . 18 B .14 C .12 D .34 6.下列函数中哪个是幂函数( ) A .3 1-??? ??=x y B .2 2-?? ? ??=x y C .3 2-=x y D .()3 2--=x y 7.)43lg(12x x y -++=的定义域为( ) A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8.如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数,则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9.曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )

高中数学(函数和导数)综合练习含解析

高中数学(函数和导数)综合练习含解析 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(题型注释) 1.已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈.3253()422 g x x x x =-+-+ (1)当1a =时,求证:()12,1,x x ?∈+∞,均有12()()f x g x ≥ (2)当[)1,x ∈+∞时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 2.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=,当0≠x 时,0)()(>+'x x f x f ,若)1(f a =,)2(2--=f b , )21(ln )21(ln f c =,则c b a ,,的大小关系正确的是( ) A .b c a << B .a c b << C .c b a << D .b a c << 3.函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值,则实数a 的取值范围是( ) A .[)0,4 B .()0,1 C .()0,4 D .()4,4- 4.在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ,若数列{}n x 是等差数列,数列{}n y 是等比数列,则函数()y f x =的解析式可能为( ) A .()21f x x =+ B .()2 4f x x = C .()3log f x x = D .()34x f x ??= ??? 5.设:x p y c =是R 上的单调递减函数;q :函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R .如果“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题,则正实数c 的取值范围是( ) A .1,12?? ??? B .1,2??+∞ ??? C .[)10,1,2??+∞ ??? D .10,2?? ??? 6.如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围 是( ) A .{2}∪(4,)+∞ B .(2,)+∞ C .{2,4} D .(4,)+∞

人教版高中数学《导数》全部教案

导数的背景(5月4日) 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少? 析:大家知道,自由落体的运动公式是2 2 1gt s = (其中g 是重力加速度). 当时间增量t ?很小时,从3秒到(3+t ?)秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大. 因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到(3+t ?)秒这段时间内位移的增量: 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而,t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出,t ?越小,t s ??越接近29.4米/秒;当t ?无限趋近于0时, t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说,当t ?趋向于0时,t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时,平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度,也叫做 瞬时速度. 一般地,设物体的运动规律是s =s (t ),则物体在t 到(t +t ?)这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时,t s ??无限趋近于某个常数a ,就说当t ?趋向于0时,t s ??的极限为a ,这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2:P (1,1)是曲线2x y =上的一点,Q 是曲线上点P 附近的一个点,当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

高中数学函数与导数综合复习

高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理: 1.基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则: 常用函数导数公式:='x ; =')(2 x ;=')(3 x ;=')1 (x ; 初等函数导数公式:='c ; =')(n x ;=')(sin x ;=')(cos x ; =')(x a ; =')(x e ;=')(log x a ;=')(ln x ; 导数运算法则:(1)/ [()()]f x g x ±= ;(2))]'()([x g x f ?= ; (3)/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2.导数的几何意义:______________________________________________________________________; 曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为________________________________________. 3.用导数求函数单调区间的一般步骤: (1)__________________________________; (2)________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值; ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二.巩固练习: 1.一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时 速度是 ( ) A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中,x ?不可能 ( ) A .大于0 B .小于0 C .等于0 D .大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ,则A 处的切线斜率等于 ( ) A .2 B .4 C .6+6x ?+2(x ?)2 D .6 4. 设)(x f y =存在导函数,且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ,则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为( ) A .2 B .-1 C .1 D .-2

高二数学 几种常见函数的导数

高二数学 几种常见函数的导数 一、教学目标:熟记公式(C )'=0 (C 为常数), (x )'=1, ( x 2 )'=2x , 2'11x x -=??? ??.x x 21 )'(= 二、教学重点:牢固、准确地记住五种常见函数的导数,为求导数打下坚实的基础. 教学难点:灵活运用五种常见函数的导数. 三、教学过程: (一)公式1:(C )'=0 (C 为常数). 证明:y =f (x )=C , Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0, ,0=??x y .0lim ')('0=??==∴→?x y C x f x 也就是说,常数函数的导数等于0. 公式2: 函数x x f y ==)(的导数 证明:(略) 公式3: 函数2)(x x f y ==的导数 公式4: 函数x x f y 1)(==的导数 公式5: 函数x x f y ==)(的导数 (二)举例分析 例1. 求下列函数的导数. ⑴3x ⑵21x ⑶x 解:⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='?? ? ??21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(2 1'x 12121-=x 2121-=x .21x = 练习

求下列函数的导数: ⑴ y =x 5; ⑵ y =x 6; (3);13x y = (4).3x y = (5)x x y 2= 例2.求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3.已知曲线2x y =上有两点A (1,1),B (2,2)。 求:(1)割线AB 的斜率; (2)在[1,1+△x ]内的平均变化率; (3)点A 处的切线的斜率; (4)点A 处的切线方程 例4.求抛物线y =x 2上的点到直线x -y -2=0 的最短距离. (三)课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'=0 (C 为常数), (x )'=1, ( x 2 )'=2x , 2'11x x -=?? ? ??.x x 21)'(= (四)课后作业 《习案》作业四

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?

(word完整版)高中数学导数练习题(分类练习)讲义

导数专题 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析:()2'2 +=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ,处的切线方程是1 22 y x =+,则(1)(1)f f '+= 。 解析:因为21= k ,所以()2 1 1'=f ,由切线过点(1 (1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()2 5 1=f ,所以()()31'1=+f f 答案:3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-,处的切线方程是 。 解析:443'2 --=x x y ,∴点(1 3)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。

解析:Θ直线过原点,则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02 030023x x x y +-=,∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ,∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ,∴ 2632302 0020+-=+-x x x x , 整理得:03200=-x x ,解得:2 3 0=x 或00=x (舍),此时,830- =y ,41-=k 。所以,直线l 的方程为x y 4 1 -=,切点坐标是?? ? ??-83,23。 答案:直线l 的方程为x y 41- =,切点坐标是?? ? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 解析:函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'a 时,函数()x f 在R 上存在增区间。所以,当3->a 时,函数()x f 在 R 上不是单调递减函数。 综合(1)(2)(3)可知3-≤a 。

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书( A 版)数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》,《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后,过渡到瞬时变化率,从而得出导数的概念,再从平均变化率的几何意义,迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一,是从生产技术和自然科学的需要中产生的,它深刻揭示了函数变化的本质,其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用,而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中,导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看,导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点,是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具, 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看,导数是函数一章学习的延续和深化,也是对极限知识的发展, 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础, 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度,因此,先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度, 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型, 并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的. 而在第一课时平均变化率的学习中,课本给出了一个思考,观察函数 )(x f y 的图像,平均变化x y 表示什么?这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此,在将瞬时变化率定义为导数之后, 立即让学生继续探索导数的几何意义,学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知,解析式抽象三个角度认识导数的含义,应用导数的定义求简单函数在某点处的导数, 掌握求导数的基本步骤,初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力,通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -a . 若a≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ???? 0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ?? 1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ?? ??1a =ln 1 a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ?? 1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版) 1.若f (x )=sin π 3 -cos x ,则f ′(α)等于( ) A .Sin α B .Cos α C .sin π3+cos α D .cos π 3+sin α [答案] A [解析] ∵f (x )=sin π 3 -cos x ,∴f ′(x )=sin x ,∴f ′(α)=sin α,故选A. 2.设函数f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n +1B .n +2n +1C.n n -1 D .n +1n [答案] A [解析] ∵f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,∴m =2,a =1,∴f (x )=x 2+x , ∴f (n )=n 2+n =n (n +1),∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为: S n =11×2+12×3+13×4+…+1 n (n +1)=????1-12+????12-13+…+????1n -1n +1 =1-1n +1=n n +1 ,故选A. 3.已知二次函数f (x )的图象如图所示,则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )=ax 2+c (a <0,且c >0),于是f ′(x )=2ax ,显然f ′(x )的图象为直线,过原点,且斜率2a <0,故选B. 4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(e)+ln x ,则f ′(e)=( ) A .e - 1B .-1C .-e - 1 D .-e [答案] C [解析] ∵f (x )=2xf ′(e)+ln x ,∴f ′(x )=2f ′(e)+1x ,∴f ′(e)=2f ′(e)+1 e , 解得f ′(e)=-1 e ,故选C.

2020高考数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 0)('=x f 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值(请同学们参考例5);第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立;参考例4; 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++,2x =是)(x f 的一个极值点. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若当[1, 3]x ∈时,2 2()3 f x a ->恒成立,求a 的取值范围. 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . (1)若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6,求函数)(x f y =的解析式;(2)若3>a ,求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 (1)求()f x 在[0,1]x ∈上的值域; (2)若对于任意1[0,1]x ∈,总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-, 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值; (Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域; (Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+) (0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=,在1-=x 时有极值0,则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2,函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g . (1) 若函数)(x g 在1=x 处有极值,求)(x g 的解析式; (2) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立,求实数m 的取值范围. 答案: 1、解:(Ⅰ) '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点, ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根,解得32 b =. 令'()0f x >,则2 320x x -+>,解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞,(2, +)∞. (Ⅱ)∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <,(2,3)x ∈时'()0f x >, ∴ ()f x 在(1,2)上单调递减,()f x 在(2,3)上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1,3]上的最小值,且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时,要使 22()3f x a -> 恒成立,只需22(2)3f a >+, 即2 2233 a a +>+,解得 01a <<. 2、解:(Ⅰ)a ax x x f ++='23)(2 . 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ,得 ???=-=23b a . ∴ 233)(23+--=x x x x f . (Ⅱ)023)(2=++='a ax x x f . ∵ 3>a ,∴ 01242>-=?a a .

高中数学-导数的概念及运算练习

高中数学-导数的概念及运算练习 1.y =ln 1 x 的导函数为( ) A .y ′=-1 x B .y ′=1 x C .y ′=lnx D .y ′=-ln(-x) 答案 A 解析 y =ln 1x =-lnx ,∴y ′=-1 x . 2.(·东北师大附中摸底)曲线y =5x +lnx 在点(1,5)处的切线方程为( ) A .4x -y +1=0 B .4x -y -1=0 C .6x -y +1=0 D .6x -y -1=0 答案 D 解析 将点(1,5)代入y =5x +lnx 成立,即点(1,5)为切点.因为y ′=5+1x ,所以y ′|x =1=5+1 1=6. 所以切线方程为y -5=6(x -1),即6x -y -1=0.故选D. 3.曲线y =x +1 x -1在点(3,2)处的切线的斜率是( ) A .2 B .-2 C.12 D .-12 答案 D 解析 y ′=(x +1)′(x -1)-(x +1)(x -1)′(x -1)2=-2 (x -1)2,故曲线在(3,2)处的切线的斜率k = y ′|x =3=-2(3-1)2=-1 2 ,故选D. 4.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为s =13t 3-32t 2 +2t ,那么速度为零的时刻是( ) A .0秒 B .1秒末 C .2秒末 D .1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s=13t 3-32t 2+2t ,∴v =s ′(t)=t 2 -3t +2. 令v =0,得t 2 -3t +2=0,t 1=1或t 2=2. 5.(·郑州质量检测)已知曲线y =x 2 2-3lnx 的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为( ) A .3 B .2 C .1 D.12 答案 A

高中数学函数与导数练习题

1、讨论函数在内的单调性 2、作出函数22||3y x x =--的图像,指出单调区间和单调性 3、求函数[]()251x f x x = -在区间,的最大值和最小值 4 、使函数y = 的最小值是 2的实数a 共有_______个。 5、已知函数()f x 的定义域为R ,且对m 、n R ∈,恒有()()()1f m n f m f n +=+-,且1()02f -=,当12 x >-时,()0f x > (1)求证:()f x 是单调递增函数;(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证. 6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数,且(1)(23)f x f x -<-,求x 的取值范围。 四、强化训练 1、已知()f x 是定义在R 上的增函数,对x R ∈有()0f x >,且(5)1f =,设1()()()F x f x f x =+,讨论()F x 的单调性,并证明你的结论。 2、设函数2 ()22f x x x =-+(其中[,1]x t t ∈+,t R ∈)的最小值为()g t ,求()g t 的表达式 3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足:(1)(2)1f =;(2)()()()f xy f x f y =+; (3)当x y >时,有()()f x f y >,若()(3)2f x f x +-≤,求x 的取值范围。 4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,a b R ∈, 都满足()()()f ab af b bf a =+ (1)求(0)f ,(1)f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并加以证明 223f(x)x ax =-+(2,2)-

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9.已知函数f(x)=x(e2x﹣a). (1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线,求a的值; (2)若f(x)≥1+x+lnx,求a的取值范围. 10.已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (Ⅰ)求a,b,c,d的值; (Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围. 11.已知函数f(x)=alnx x+1 +b x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y﹣3 =0. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx x?1.

12.已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx (a ∈R ). (1)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为x +y ﹣1=0,求a 的值; (2)若f (x )的导函数f '(x )存在两个不相等的零点,求实数a 的取值范围; (3)当a =2时,是否存在整数λ,使得关于x 的不等式f (x )≥λ恒成立?若存在,求出λ的最大值;若不存在,说明理由. 13.已知函数f (x )=4lnx ﹣ax +a+3 x (a ≥0) (Ⅰ)讨论f (x )的单调性; (Ⅱ)当a ≥1时,设g (x )=2e x ﹣4x +2a ,若存在x 1,x 2∈[1 2,2],使f (x 1)>g (x 2), 求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底数,e =2.71828…) 14.已知函数f (x )=a x +x 2﹣xlna (a >0且a ≠1) (1)求函数f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;

高中数学函数与导数常考题型整理归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x -a . 若a ≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ?? ??0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ??1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ????0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ????0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ????1a =ln 1a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ??1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围,通常根据函数的性质得到参数的不等式,再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式,则可以直接解不等式得参数的取值范围;若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时,如求解ln a +a -1<0,则需要构造函数来解.

人教版高中数学(文科)选修导数的概念及运算教案

导数的概念及运算 【考点指津】 1.了解导数的概念,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义. 2.熟记基本导数公式.掌握两个函数四则运算的求导法则,会求多项式的导数. 【知识在线】 1.函数y =14223++x x 的导数是 . 2.曲线y =x 4+x 2上P 处的切线的斜率为6,则点P 的坐标是 . 3.设函数f(x)= -35 x 5 - 74 x 4+8,则0 lim →?x f(x+Δx)-f(x)Δx = . 4.已知使函数y=x 3+ax 2- 43 a ,若存在0)()(,000=='∈x f x f R x 使的求常数a . 【讲练平台】 例1 函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是 ( ) A . (6x+1)(2x+3) B . 2(6x+1) C . 2(3x 2+x+1) D . 18x+22x+5 分析 先把函数式右边展开,再用和的求导法则求导数. 解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3 ∴y'=18x 2+22x+5,故应选D 点评 要善于化归,本题函数解析式就可转化为多项式. 例2 设函数f(x)=x 3-2x 2+x+5, 若f'(x 0)=0,则x 0= . 分析 x 0是方程f'(x)=0的根,只要解方程f'(x)=0 解 f(x)=x 3-2x 2+x+5, 求f'(x)=3x 2-4x+1 由f'(x 0)=0, 得3x 2-4x+1=0 解得x 0=1或13 ∴应填写答案为1或13 点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(x n )'=n .x n -1, 其中n ∈N*)是求某些简单函数的导 数的常用工具. 例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点(1,1),且在(2,-1)处的切线的斜率为1, 求a ,b ,c 的值. 分析 题中涉及三个未知数,而已知中有三个独立条件,故可通过解方程组来确定a ,b ,c . 解 ∵y=ax 2+bx+c 分别过(1,1)点和(2,1)点 ∴a+b+c=1 (1) 4a+2b+c=-1 (2) 又 y'=2ax+b ∴y'|x=2=4a+b=1 (3) 由(1)(2)(3)可得,a=3,b=-11,c=9. 点评 函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系.利用导数能解决许多曲线的切线的问题,使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求. 【知能集成】 1.两种常见函数的导数:c'=0 (C 是常数);(x n )'= nx n - 1(n ∈N *). 导数和运算法则:若 f(x),g(x)的导数存在,则[f(x)±g(x)]' = f '(x)+g'(x), [cf(x)]' = cf '(x).(C 是常数) 2.能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数y=x n (n ∈N*)的导数公式,掌握两个函数的和与差的求导法则及常数与函数的积的求导法则,能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导数.

高中数学导数讲义完整版

高中数学导数讲义完整版 第一部分 导数的背景 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少? (2 2 1gt s =,其中g 是重力加速度). 2. 切线的斜率 问题2:P (1,1)是曲线2 x y =上的一点,Q 是曲线上点P 附近的一个点,当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 3. 边际成本 问题3:设成本为C ,产量为q ,成本与产量的函数关系式为103)(2 +=q q C ,我们来研究当q =50时,产量变化q ?对成本的影响. 二、小结: 瞬时速度是平均速度 t s ??当t ?趋近于0时的极限;切线是割线的极限位置,切线的斜率是割线斜率x y ??当x ?趋近于0时的极限;边际成本是平均成本 q C ??当q ?趋近于0时的极限. 三、练习与作业: 1. 某物体的运动方程为2 5)(t t s =(位移单位:m ,时间单位:s )求它在t =2s 时的速度. 2. 判断曲线2 2x y =在点P (1,2)处是否有切线,如果有,求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522 +=q C ,求当产量q =80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h (单位:m )与时间t (单位:s )之间的函数关系为2 t h =,求t =4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线2 2 1x y = 在(1,21)处是否有切线,如果有,求出切线的方程. 6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742 +=q C ,求当产量q =30时的边际成本.

高中数学函数与导数章节知识点总结

高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ,则 的值是______ . 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数,为 的导函数,则 的值为______. 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ,则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ,则 A. B. C. D. 2:设函数满足,则 ______. 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________. 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切,则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切,则直线方程为:

考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切,则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴,则 ________. 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动,设P 点处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 ( ) A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中,斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点,则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为( ) A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1:函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11:已知单调性,求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数,则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增,则实数a 的取值范围是______. 考点12:解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数, ,对任意实数都有,则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ,且 , ,则不等式 的解集为______ . 考点13:求具体函数的极值问题 1:函数 ,则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点

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