高中数学 2.1.1第2课时 类比推理练习 新人教A版选修2-2

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.1.1第2课时类比推理练

习新人教A版选修2-2

一、选择题

1．下面几种推理是合情推理的是( )

①由圆的性质类比出球的有关性质

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°

③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)

A．①②B．①③④

C．①②④D．②④

[答案] C

[解析] ①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．

2．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值

3

2

a，类比上

述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )

A.

4

3

a B.

6

3

a

C.

5

4

a D.

6

4

a

[答案] B

[解析] 将正三角形一边上的高

3

2

a类比到正四面体一个面上的高

6

3

a，由正三角形

“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．

3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )

A．①②B．②③

C．③④D．①④

[答案] B

[解析] 根据立体几何中线面之间的位置关系知，②③是正确的结论．

4．(2015·海南文昌中学高二期中)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为

S ，内切圆半径为r ，则r ＝

2S

a ＋

b ＋c

；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分

别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )

A.V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

B ．2V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

C.

3V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

D ．

4V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

[答案] C

[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、

S 4，将三角形面积公式中系数1

2，类比到三棱锥体积公式中系数13

，从而可知选C.

证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝1

3S 1r

＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4

. 5．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b >0?a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0?a >b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，

d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2?a ＝c ，b ＝d ”；

③若“a ，b ∈R ，则a －b ＝0?a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0?a ＝b ”．其中类比结论正确的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[答案] C

[解析] 在实数集中，a >b ?a －b >0，但在复数集中，不全为实数的两个数不能比较大小，如a ＝2＋i ，b ＝1＋i ，有a －b ＝1>0，但a >b 不成立；∵a 、b 、c 、d ∈Q ，∴a －c ，b －d ∈Q ，∵a ＋b 2＝c ＋d

2，∴(a －c )＋(b －d )2＝0，∴?

??

??

a －c ＝0

b －d ＝0，∴?

??

??

a ＝c

b ＝d ，故

②正确；由复数相等的定义知，若a ＝x 1＋y 1i(x 1、y 1∈R )，b ＝x 2＋y 2i(x 2、y 2∈R )，则由a

－b ＝(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i ＝0????

??

x 1－x 2＝0

y 1－y 2＝0

，∴???

??

x 1＝x 2

y 1＝y 2

，∴a ＝b ，故③正确．

6．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：

①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；

②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“

a ·c

b ·

c ＝a

b

”． 其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

[答案] B

[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B. 二、填空题

7．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可

以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2

b

2＝

1(a >b >0)与x 2

＋y 2

＝a 2

，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________________．

[答案] πab

[解析] 由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a ，即k ＝b a

，∴椭圆面积S ＝πa 2

·b a

＝πab .

8．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *

)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式__________________成立．

[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *

)

[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，

而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝ 19－2n a n ＋1＋a 19－n

2＝0，∴等式成立．同理可得n >19

－n 时的情形．

由此可知：等差数列{a n}之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n a19－n＝2a10＝0，类似地，在等比数列{b n}中，也有性质：b n＋1·b17－n＝b29＝1，因而得到答＋1＋

案：b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．

解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，故在等比数列{b n}中，由b9＝1，可知应有“积”的性质b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n ＜17，n∈N*)成立. (1)

证明如下：当n＜8时，等式(1)为b1b2…b n＝b1b2…b n b n＋1…b17－n，

即：b n＋1·b n＋2…b17－n＝1.(2)

∵b9＝1，∴b k＋1·b17－k＝b29＝1.

∴b n＋1b n＋2…b17－n＝b17－2n

9＝1.

∴(2)式成立，即(1)式成立；

当n＝8时，(1)式即：b9＝1显然成立；

当8＜n＜17时，(1)式即：

b1b2…b17－n·b18－n·…b n＝b1b2…b17－n，

即：b18－n·b19－n…b n＝1(3)

∵b9＝1，∴b18－k·b k＝b29＝1，

∴b18－n b19－n·…·b n＝b2n－17

9＝1，

∴(3)式成立，即(1)式成立．

综上可知，当等比数列{b n}满足b9＝1时，有：

b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．

9．(2014～2015·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD 中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为________________．

[答案] S2△ABC＝S△OBC·S△DBC

[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S2△ABC＝S△OBC·S△DBC.

证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，

∵AD⊥平面ABE，

∴AD⊥AE，AD⊥BC，

又∵AO⊥平面BCD，

∴AO⊥DE，AO⊥BC.

∵AD∩AO＝A，

∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝1

2

BC ·AE ，

S △BOC ＝12BC ·OE ， S △BCD ＝12

BC ·DE .

在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2

＝OE ·DE ，∴S 2

△ABC ＝S △BOC ·S △BCD . 三、解答题

10．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．

(1)已知a 、b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .

(2)已知a 、b 、c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c . [解析] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.

(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ， ∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c .

[点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab )·c ＋1＞ab ＋c 是关键．

用归纳推理可推出更一般的结论：a i 为实数，|a i |＜1，i ＝1、2、…、n ，则有：a 1a 2…a n

＋(n －1)＞a 1＋a 2＋…＋a n .

一、选择题

11．下列类比推理恰当的是( )

A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y

B ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin y

C ．把(ab )n

与(a ＋b )n

类比，则有(a ＋b )n

＝a n

＋b n

D ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c [答案] D

[解析] 选项A ，B ，C 没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误． 12．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →

时，其

离心率为

5－1

2

，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )

A.

5＋1

2

B ．

5－1

2