FinalSemester1Practice(Ch1-7)

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Part I: Multiple Choice Questions: (1 pts each) 5 quizzes for Chapter 2

1 To assign a double variable d to an int variable x, you write

A. x = d;

B. x = (int)d;

C. x = (long)d

D. x = (float)d;

2 5 % 2 is _____

A. 0

B. 3

C. 4

D. 1

E. 2

3 You can cast a double value to _______.

A. int

B. float

C. byte

D. long

E. short

4 -1

5 % 4 is _____

A. -3

B. -1

C. 0

D. -2

E. -4

5 You can assign the value in ________ to an int variable.

A. 93

B. 98.3

C. true

D. 'x'

5 quizzes for Chapter 3

6 What is x after evaluating

x = (2 > 3) ? 2 : 3;

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

7 A break statement is required for a switch-case statement in Java.

A. false

B. true

8 Suppose x=0 and y=0 what is x after evaluating the expression (y > 0) && (1 > x++).

A. 0

B. 1

C. -1

9 You can cast a Boolean value to an int, or an int to Boolean.

A. false

B. true

10 Analyze the following code:

// Enter an integer

String numString = JOptionPane.showInputDialog(null,

"Enter a number:",

"Exam Input", JOptionPane.QUESTION_MESSAGE);

int number = Integer.parseInt(numString);

if (number <= 0)

System.out.println(number);

A. If number is positive, number is displayed.

B. number entered from the input cannot be negative.

C. If number is zero, number is displayed;

D. System.out.println(number); must be placed inside braces;

E. The if statement is wrong, because it does not have the else clause;

5 quizzes for Chapter 4

11 What is the output of the following fragment?

for (int i = 0; i < 15; i++) {

if (i % 4 == 1)

System.out.print(i + " ");

}

A. 1 5 9 13

B. 1 3 5 7 9 11 13 15

C. 1 4 8 12

D. 1 5 9 13 16

E. 1 3 5 7 9 11 13

12 Which of the following loops produces the output

1 2 3 4 1 2 3 1 2 1

(I)

for (int i = 5; i > 0; i--) {

for (int j = 1; j < i; j++)

System.out.print(j + " ");

System.out.println();

}

(II)

for (int i = 1; i < 5; i++) {

for (int j = 1; j < i; j++)

System.out.print(j + " ");

System.out.println();

}

(III)

int i = 0;

while (i < 5) {

for (int j = 1; j < i; j++)

System.out.print(j + " ");

System.out.println();

i++;

}

(IV)

int i = 5;

while (i > 0) {

for (int j = 1; j < i; j++)

System.out.print(j + " ");

System.out.println();

i--;

}

A. (II)

B. (III)

C. (IV)

D. (I)

13 What the output of the following code:

for ( ; false ; )

System.out.println("Welcome to Java");

A. prints out Welcome to Java one time.

B. does not print anything.

C. prints out Welcome to Java forever.

D. prints out Welcome to Java two times.

14 You can always write a program without using break or continue in a loop.

A. true

B. false

15 You can always convert a while loop to a for loop.

A. false

B. true

5 quizzes for Chapter 5

16 What is (int)Math.random()?

A. 1.1

B. 1

C. 0

D. 0.5

17 You can define two methods in the same class with the same name and parameter list.

A. true

B. false

18 A call for the method with a void return type is always a statement itself, but a call for the method with a non-void return type can be treated as either a statement or an expression.

A. true

B. false

19 The actual parameters of a method must match the formal parameters in type, order, and number.

A. false

B. true

20 Math.pow(3, 2) returns _______.

A. 8

B. 8.0

C. 9.0

D. 9

5 quizzes for Chapter 6

21. Which of the following are valid array declarations?

a. char[] charArray = new char[26];

b. int[] words = new words[10];

c. char[] charArray = "Computer Science";

d. double[3] nums = {3.5, 35.1, 32.0};

22. Consider the following code fragment:

int[] list = new int[10];

for (int i = 0; i <= list.length; i++) {

list[i] = (int)(Math.random() * 10);

}

Which of the following statements is true?

a. list.length must be replaced by 10

b. The loop body will execute 10 times, filling up the array with random numbers.

c. The loop body will execute 10 times, filling up the array with zeros.

d. The code has a runtime error indicating that the array is out of bound.

23. Assume the signature of the method xMethod is as follows.

public static void xMethod(double[] a)

Which of the following could be used to invoke xMethod?

a. xMethod(5);

b. xMethod({3, 4});

c. xMethod(new int[2]);

d. xMethod(new double[2]);

24. Given the following statement

int[ ] list = new int[10];

list.length has the value

a. 10

b. 9

c. The value depends on how many integers are stored in list.

d. 11

25. Given the following statement

int[ ] list = new int[10];

a. The array variable list contains a memory address that refers to an array of 10 int values.

b. The array variable list contains a memory address that refers to an array of 9 int values.

c. The array variable list contains ten values of type int.

d. The array variable list contains nine values of type int.

Part II. (3 pts each) Write code fragments.

a. How many times is the following loop body repeated? What is the printout of the loop?

int i = 0;

while (i < 20) {

if ((i + 3) % 2 != 0)

System.out.println(i);

i++;

}

b.Convert the following for loop into a while loop

int sum = 0;

for (int i = 0; i < 100; i++) {

sum += i;

}

c.Convert the following while loop into a do-while loop

int sum = 0;

int number = input.nextInt();

while (number != 0) {

sum += number;

number = input.nextInt();

}

Part III: Show the printout of the following code:

a. (2 pts)

public class Test {

public static void main(String[] args) {

int i = 1;

while (i < 10) {

}

}

}

b. (3 pts)

public class Test {

public static void main(String[] args) {

for (int i = 1; i <= 5; i++) {

for (int j = 1; j <= i; j++)

System.out.print(j + " ");

System.out.print('\n');

}

}

}

c. (3 pts)

Suppose the input is 2 3 4 5 0. What is the output of the following code?

import java.util.Scanner;

public class Test {

public static void main(String[] args) {

Scanner input = new Scanner(System.in);

int number, sum = 0, count;

for (count = 0; count < 5; count++) {

number = input.nextInt();

sum += number;

}

System.out.println("sum is " + sum);

System.out.println("count is " + count);

}

}

d. (3 pts)

public class Test {

public static void main(String[] args) {

int[] list = {1, 2, 3, 4, 5};

reverse(list);

for (int i = 0; i < list.length; i++)

System.out.print(list[i] + " ");

}

public static void reverse(int[] list) {

int[] newList = new int[list.length];

for (int i = 0; i < list.length; i++)

newList[i] = list[list.length - 1 - i];

list = newList;

}

}

Part IV: (Write programs) (8 pts each)

a. Write a complete program that displays the following

table (note that 1 mile is 1.609 kilometers):

Miles Kilometers

1 1.609

2 3.218

...

9 14.481

10 16.090

b. Write a method that computes the sum of the digits in an integer. Use the following method header:

public static int sumDigits(long n)

For example, sumDigits(234) returns 9 (2 + 3 + 4). Hint: Use the % operator to extract digits, and the / operator to remove the extracted digit. For instance, to extract 4 from 234, use 234 % 10 (= 4). To remove 4 from 234, use 234 / 10 (= 23). Use a loop to repeatedly extract and remove the

digit until all the digits are extracted.

Write a test program that prompts the user to enter an

integer and displays the sum of all its digits. The outline of the program is as follows:

public class Test {

public static void main(String[] args) {

// Fill in the code here

}

public static int sumDigits(long n) { // Fill in the code here

}

}

c. Write a program that reads an unspecified number of

scores and determines how many scores are above or equal to the average and how many scores are below the average. Enter a negative number to signify the end of the input. Assume that the maximum number of scores is 10.

Part I: Multiple Choice Questions: (1 pts each)

Keys:

1. B

2. D

3. ABCDE

4. A

5. AD

6. B

7. A

8. A

9. A

10. C

11. A

12. CD

13. B

14. A

15. B

16. C

17. B

18. A

19. B

20. C

21. A

22. D

23. D

24. A

25. A

Part II:

a:

The loop body is executed 20 times.

The printout of the code is

2

4

6

8

10

12

14

16

18

b:

int sum = 0;

int i = 0;

while (i < 100) {

sum += i;

i++;

}

c.

int sum = 0;

int number;

do (number != 0) {

number = input.nextInt();

sum += number;

} while (number != 0);

Part III:

a:

4 7 10

b:

1

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4 5

c:

sum is 14

count is 4

d:

5 4 3 2 1

Part IV: (Write programs)

a.

public class Test {

public static void main(String[] args) {

System.out.println("Miles\t\tKilometers");

System.out.println("-------------------------------");

int miles = 1;

for (int i = 1; i <= 10; miles++, i++) {

System.out.println(miles + "\t\t" + miles * 1.609);

}

}

}

b.

public class Test {

public static void main(String[] args) {

java.util.Scanner input = new java.util.Scanner(System.in); System.out.print("Enter a number: ");

int value = input.nextInt();

System.out.println("The sum of digits for " + value + " is " + sumDigits(value));

}

public static int sumDigits(long n) {

int temp = (int)Math.abs(n);

int sum = 0;

while (temp != 0) {

int remainder = temp % 10;

sum += remainder;

temp = temp / 10;

}

return sum;

}

}

c.

public class Test {

// Main method

public static void main(String[] args) {

double[] scores = new double[10];

double sum = 0;

int count = 0;

java.util.Scanner input = new java.util.Scanner(System.in);

do {

System.out.print("Enter a new score: ");

scores[count] = input.nextDouble();

if (scores[count] >= 0)

sum += scores[count];

} while (scores[count++] >= 0);

System.out.println("count is " + count);

double average = (sum) / (count - 1);

int numOfAbove = 0;

int numOfBelow = 0;

for (int i = 0; i < count - 1; i++)

if (scores[i] >= average)

numOfAbove++;

else

numOfBelow++;

System.out.println("Average is " + average);

System.out.println("Number of scores above or equal to the average " + numOfAbove);

System.out.println("Number of scores below the average "

+ numOfBelow);

}

}

单纯形法步骤例题详解

单纯形法演算 j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 无穷 0 4x 24 6 2 0 1 0 4 0 5x 5 1 1 0 0 1 5 j j z c -(检验数) 2 1 首先列出表格,先确定正检验数最大值所在列为主列,然后用b 除以主列上对应的同行数字。除出来所得值最小的那一行为主行,根据主行和主列可以确定主元(交点)。接着把主元化为1并把X4换成X1. ??? ??? ?≥=++=++=+++++=0,,524261550002max 5152 14213 25 4321x x x x x x x x x x x x x x x z ??????? ≥≤+≤+≤+=0 ,5 24261552max 21212122 1x x x x x x x x x z

j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 2 1x 4 1 2/6 0 1/6 0 0 5x 5 1 1 0 0 1 j j z c - 2 1 这时进行初等行列变换,把主列换单位向量,主元为1。也就是X5所在行减去X1所在行。并且重新计算检验数。 j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 2 1x 4 1 2/6 0 1/6 0 0 5x 5-4 1-1=0 1-2/6 =4/6 0-1/6=-1/6 1 j j z c - 2-2*1-0*0-0*1=0 1-0*5-2*2/6-0*4/6=1/3 0-0*0-2*1/6-0*-1/6=-1/3 再次确定主元。为4/6。然后把X5换成X2。并且把主元化成1。

单纯形法典型例题

科学出版社《运筹学》教材 第一章引言 第二章线性规划,姜林 第三章对偶规划,姜林 第四章运输问题,姜林 第五章整数规划,姜林 第六章非线性规划,姜林 第七章动态规划,姜林 第八章多目标规划,姜林 第九章图与网络分析,熊贵武 第十章排队论,熊贵武 第十一章库存论,王勇 第十二章完全信息博弈,王勇 第十三章不完全信息博弈,王勇 第十四章决策论与影响图 第十五章运筹学模型的计算机求解 成年人每天需要从食物中摄取的营养以及四种食品所含营养和价格见下表。问 如何选择食品才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小? 食品名称热量(kcal) 蛋白质(g) 钙(mg)价格(元)猪肉1000 50 400 14 鸡蛋800 60 200 6

大米900 20 300 3 白菜200 10 500 2 营养需求量 2000 55 800 解:设需猪肉、鸡蛋、大米和白菜各需 x1,x2,x3,x4斤。则热量的需求量为: 2000 20090080010004 3 2 1 x x x x 蛋白质 某工厂要做100套钢架,每套有长 3.5米、2.8米和2根2.4米的圆钢组成(如右图)已知原 料长12.3米,问应如何下料使需用的原材料最省。 解:假设从每根 12.3米的原材料上截取 3.5米、2.8米和2根2.4 米,则每根原材料需浪费 1.2米,做100套需浪费材料 120米,现 采用套裁的方法。 方案一二三四五六3.5 2.8 2.4 0 0 5 0 4 0 1 2 1 1 3 0 2 0 2 2 1 1 合计剩余 12 0.3 11.2 1.1 11.5 0.8 11.9 0.4 11.8 0.5 12.2 0.1 现在假设每种方案各下料x i (i=1、2、3、4、5、6),则可列出方程: minZ=0.3x 1+1.1x 2+0.8x 3+0.4x 4+0.5x 5+0.1x 6 约束条件: x 3+x 4+2x 5+2x 6=100 4x 2+2x 3+3x 4+x 6=100 5x 1+x 3+2x 5+x 6=200 ,,,800 50030020040055 102060503000 2009008001000. .23614min 4 3214 3 2 1 4 32 14 32 14321x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z

单纯形法的计算方法

第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1 初始基可行解的确定 为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。 (1)第一种情况:若线性规划问题 max z = 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基 (2)第二种情况:对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ? , m; j = 1 , 2 , ? , n)进行编号, 则可得下列方程组 显然得到一个m×m单位矩阵 以B 作为可行基。将上面方程组的每个等式移项得 令由上式得 又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解 (3)第三种情况:对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约

束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。 4.2 最优性检验和解的判别 对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。一般情况下, 经过迭代后可以得到: 将上代入目标函数,整理后得 令 于是 再令 则 (1) 最优解的判别定理 若为对应于基B的一个基可行解,且对于一切 且有则 为最优解。称为检验数。 (2) 无穷多最优解的判别定理 若为一个基可行解, 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数,则线性规划问题有无穷多最优解。 (3) 无界解判别定理 若为一个基可行解,有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ?, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。 4.3 基变换

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化 将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都就是非负的(否则无解),接下来的m 列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试 如果目标行的所有单元格都就是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量 从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量 对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题就是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量与主元行 5>建立下一张表格 将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格与新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0)、把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步 为求简单 在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行与列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化与处理(本程序所用的实例用的就是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组、用于很难预先估计矩阵的行与列,所以在程序中才了动态的内存分配、需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行就是否全部为非负数,最后一列不作考虑 这个函数用来判断就是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列就是否全部为负数或零 这个函数用来判断线性规划就是否就是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中就是否全部为正(不包括目标行)

单纯形法在经济管理中的应用

单纯形法在经济管理中的应用 [摘要]发展生产力,提高经济效益是人类发展不可或缺的要求,是合理利用现有的人力,物力资源,使经济效益达到最好的重要途径,而这些正是线性规划所研究的主要内容。本篇论文主要探讨单纯形法在经济管理中的应用,即应用单纯形法及其改进的方法来求解经济管理中的线性规划问题。详细介绍线性规划问题的基本思想和数学模型,深入研究单纯形法的原理和解法,将方法运用到生产计划模型和投资模型中。分析模型的求解结果,比较各种算法之间的优劣性,进一步说明单纯形法的实用性。 [关键字]线性规划单纯形法生产计划模型投资计划模型

The application of simplex method in economic management [Abstract]Development of productivity and economic efficiency are indispensable requirement of human development. Rational use of human and material resources is an important way to achieve the best economic benefits, which is the main contents the linear programming studies. This paper mainly discusses the application of the simplex method in economic management, namely Simplex method and the improved methods are applied to solving the economic management of the linear programming problem. The basic ideas and mathematical models of linear programming problems will be introduced in detail the research on the theory and solution of the simplex method is studied, and apply these methods to the production planning model and investment model . The results of the model will be analyzed. By comparing the advantages and disadvantages between various algorithms, the practicality of the simplex method is further illustrated. [Key words]Linear Programming Simplex Method Production planning model Investment Planning Model

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化 将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试 如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量 从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量 对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行 5>建立下一张表格 将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步 为求简单 在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数 bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑 这个函数用来判断是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零 这个函数用来判断线性规划是否是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)

单纯形法求解原理过程

单纯形法 需要解决的问题: 如何确定初始基本可行解; 如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解,同时使目标函数获得较大的下降; 如何判断一个基本可行解是否为最优解。 min f(X)=-60x1-120x2 s.t. 9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) (1) 初始基本可行解的求法。当用添加松弛变量的方法把不等式约 束换成等式约束时,我们往往会发现这些松弛变量就可以作为 初始基本可行解中的一部分基本变量。 例如:x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10 x i≥0 引入松弛变量x4,x5后,可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) 令x1=x2=x3=0,则可立即得到一组基本可行解 x1=x2=x3=0,x4=5,x5=10 同理在该实例中,从约束方程式的系数矩阵 中可以看出其中有个标准基,即 与B对应的变量x3,x4,x5为基本变量,所以可将约束方程写成 X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x2 若令非基变量x1=x2=0,则可得到一个初始基本可行解X0 X0=[0,0,360,300,200] T 判别初始基本可行解是否是最优解。此时可将上式代入到目标函数中,得:

F(X)=-60x1-120x2 对应的函数值为f(X0)=0。 由于上式中x1,x2系数为负,因而f(X0)=0不是最小值。因此所得的解不是最优解。 (2) 从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1,并判断X1是否 为最优解。从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为 两步进行: 第一步,从原来的非基变量中选一个(称为进基变量)使其成为基本变量; 第二步,从原来的基本变量中选一个(称为离基变量)使其成为新的非基变量。 选择进基和离基变量的原则是使目标函数值得到最快的下降和使所有的基本变量值必须是非负。 在目标函数表达式中,非基变量x1,x2的系数是负值可知,若x1,x2不取零而取正值时,则目标函数还可以下降。因此,只要目标函数式中还存在负系数的非基变量,就表明目标函数还有下降的可能。也就还需要将非基本变量和基本变量进行对换。一般选择目标函数式中系数最小的(即绝对值最大的负系数)非基变量x2换入基本变量,然后从x3,x4,x5中换出一个基本变量,并保证经变换后得到的基本变量均为非负。 当x1=0,约束表达式为: X3=360-4x2≥0 x4=300-10x2≥0 x5=200-5x2≥0 从上式中可以看出,只有选择 x2=min{}=30 才能使上式成立。由于当x2=30时,原基本变量x4=0,其余x3和x5都满足非负要求。因此,可以将x2,x4互换。于是原约束方程式可得到:4x2+x3=360-9x1 10x2 =300-3x1-x4 5x2+x5=200-4x1 用消元法将上式中x2的系数列向量变[4,10,5]T换成标准基向量[0,1,0]T。其具体运算过程如下: -*4/10 : x3=240-78x1/10+4 x4/10 /10 : x2 =30-3x1/10-x4/10

单纯形法及其应用

单纯形法及其应用 摘要 单纯形法是一种主要的解决线性规划问题的方法,它在生活的成本问题、交通选择或规划学术问题等方面得到广泛应用.本文系统的研究了单纯形法的相关概念以及原理.并阐述了用单纯形法解决线性规划问题的步骤与方法及不同方法的特殊性.正确的应用单纯形法解决问题能够提高准确率,从而进行合理的规划安排,使得效果或收益达到期待化或最优化. 关键词:单纯形法;单纯形表;最优性

The Simplex Method and its Application Abstract:Simplex method is a main to solve linear programming problems, it in life cost, the choice of traffic or academic planning problems are widely used. This paper study the simplex method of the related concepts and principles. It describes the steps and methods to use simplex method to solve linear programming problems, and the different method. Correct application of the simplex method problem solving is able to improve the accuracy, in order to carry out reasonable planning arrangements, makes the effect or income reached expectations or optimization. Keywords:simplex method;simplex tableau;optimality

单纯形法例题(20210121173229)

单纯形法例题 1、例1、目标函数max z=2 * +3 禹+ 2x2 W 8' 4xi W 16 4x2 W 12 k Ki,财鼻0』 解:首先要将约束条件化为标准形:由此可以看出我们需要加上三个松弛变量, ;汁Hi吃:弋"審得到的标准形式为: max z=2~ +3-+ 0 勺+g +O 5 'xt + 2xj + x] = 8 1 4?i X4 =16 4x;+ 巧=12 11 巾弓^3j 乂4, ^5 $ ? 2 3 0 0 0 C R b *4 0 8 1 2 1 0 0 4 0 16 4 0 0 1 0 - 0 ◎12 0[E(|00 1 3 k - z) 2 3 0 0 0 引」一弋木日lk(i才I) 熙=') (也就是如果与主元素同行,则用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值, 否则,就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后 的值。例如:上面的第一行所对应的b值为8-(12*2)/4=2 ,故填入值应该为2。而「 则是由我们根据非基变量的检验数的大小,挑选出最大的那个,作为换入变量,然 后用b的值除以该换入变量所在的列的所有值,得到 约束条件:

由于在检验数中仍然存在大于等于的数,而且, 的坐标中有正分量存在,所以需要继续进行迭代运算。通过观察可以看出主元素为1,换入变量为|勒,换出 由于检验数中存在正数,且P5和P3中有正分量存在,所以需要继续迭代(换入变 此时可以发现检验数中没有大于的数,表明已经得到了最优解,所以最优解是: (4,2,0,0,4 ),故目标函数值z=2*4+2*3=14 2、合理利用线材问题,现在要做100套钢架,每套用长为,,和的钢各一根,

图解法和单纯形法求解线性规划问题

图解法和单纯形法求解以下线性规划问题 1.1 图解法解线性规划问题 只含两个变量的线性规划问题,可以通过在平面上作图的方法求解,步骤如下: (1)以变量x1为横坐标轴,x2为纵坐标轴,适当选取单位坐标长度建立平面坐标直 角坐标系。由变量的非负性约束性可知,满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件,找出可行域(所有约束条件共同构成的图形)。 (3)画出目标函数等值线,并确定函数增大(或减小)的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。 然而,由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题,其实用意义不大。 1.2 单纯形法解线性规划问题 它的理论根据是:线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。 单纯形法的基本思想是:先找出一个基本可行解,对它进行鉴别,看是否是最优解;若不是,则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别;若仍不是,则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限,故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 单纯形法的一般解题步骤可归纳如下:①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组,找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在,即约束条件有矛盾,则问题无解。③若基本可行解存在,从初始基本可行解作为起点,根据最优性条件和可行性条件,引入非基变量取代某一基变量,找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件(这时目标函数值不能再改善),即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界,则终止迭代。 1.3 线性规划问题的标准化 使用单纯形法求解线性规划时,首先要化问题为标准形式

单纯形法在线性规划中的应用

单纯形法在线性规划中的应用 摘要 求解线性规划问题,就是在各项资源条件的限制下,如何确定方案,使预期的目标达到最优。本文重点介绍了求解线性规划问题目前最常见的两种方法,图解法和单纯形法。图解法适合于只含两个变量的线性规划问题,文中只做了简单的描述。而单纯形法是求解线性规划问题的通用方法,适合于求解大规模的线性规划问题,本文作了重点描述,对单纯形法中的基本概念如基变量、非基变量、基向量、非基向量、可行基以及基本可行解等概念作了详细的陈述,在此基础上,介绍了线性规划问题的标准化、单纯形法的基本原理、确定初始可行解、最优性检验、解的判别、基本可行解的改进、换入变量的确定-最大增加原则、换出变量的确定-最小比值原则、表格单纯形法、大M法、两阶段法等。 关键词:线性规划图解法单纯形法基变量基向量可行基基本可行解

正文 引言 在生产管理和经济活动中,经常遇到这些问题,如生产计划问题,即如何合理利用有限的人、财、物等资源,以便得到最好的经济效果;材料利用问题,即如何下料使用材最少;配料问题,即在原料供应量的限制下如何获取最大利润;劳动力安排问题,即如何用最少的劳动力来满足工作的需要;运输问题,即如何制定调运方案,使总运费最小;投资问题,即从投资项目中选取方案,使投资回报最大等等。对于这些问题,都能建立相应的线性规划模型。事实上,线性规划就是利用数学为工具,来研究在一定条件下,如何实现目标最优化。 解线性规划问题目前最常见的方法有两种,图解法和单纯形法。单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。 1 线性规划问题的求解方法 1.1 图解法解线性规划问题 只含两个变量的线性规划问题,可以通过在平面上作图的方法求解,步骤如下: (1)以变量x 1为横坐标轴,x 2 为纵坐标轴,适当选取单位坐标长度建立平面 坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知,满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件,找出可行域(所有约束条件共同构成的图形)。 (3)画出目标函数等值线,并确定函数增大(或减小)的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。 然而,图解法虽然直观、简便,但当变量数多于三个以上时,其实用意义不大。

单纯形法例题讲解

例1 max z=2x1+3x2 (标准形式即所有的变量均为负、所有约束条件为等式、所有的右端项系数非负) a=(2,3) b1=(80,160,120) A2=NULL b2=NULL A3=NULL b3=NULL n.iter=n+2*m maxi=TRUE ● simplex(a=a,A1=A1,b1=b1,maxi=TRUE): m1=3,m2=0,m3=0 m=3,n=2 a.o=a=(2,3) if(maxi) a=-a(-2,-3) if(m2+m3==0) a=(-2,-3,0,0,0) b=(80,160,120) init=(0,0,0,80,160,120) basic=(3,4,5) eps=1e -10 out1<-simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps) ? simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps): N=5,M=3 nonbasic=(1,2) if(stage==2) obfun=(-2,-3) it=1 ◆ while(!all(obfun > -eps) && (it <= n.iter))循环 pcol=3 if(stage==2) neg=(1,3) x1+2x2<=80 4x1<=160 4x2<=120 x1,x2>=0 A1= 1 2 4 0 0 4 A= 1 2 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1 tableau= 80 -1 -2 160 -4 0 120 0 -4 tableau= 80 -1 -2 160 -4 0 120 0 -4 0 -2 -3 转化为标准形式 x1+2x2+x3=80 4x1+x4=160 4x2+x5=120 x1,x2,x3,x4,x5>=0

单纯形法的计算方法

第4章 单纯形法的计算方法 单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1 初始基可行解的确定 为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。 (1)第一种情况:若线性规划问题 max z =n j j j=1c x ∑ 1,1,2,...,0,1,2,...n ij j i j j a x b i m x j n =?==???≥=?∑ 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基 121(,,...,)n B P P P 0 0?? ?0 1 0 ?== ? ?0 0 1?? (2)第二种情况:对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对 j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ? , m ; j = 1 , 2 , ? , n )进行编号, 则可得下列方 程组 11,1111 22,1122,1112.........,,...,0 m m n n m m n n m m m m nn n n n x a x a x b x a x a x b x a x a x b x x x +++++++++=?? +++=?? ??+++=??≥? 显然得到一个m ×m 单位矩阵

单纯形法的简述及应用

单纯形法的简述及应用 摘要 自1947年G.B.Dantzig提出单纯形法以来,他一直是求线性规划的最有效的计算方法。但是,单纯形法要求已知一个基本可行解,且线性规划需化典式。而在一般情况下,线性规划问题并无明显的可行解。如用两阶段法获得基本可行解,必须增加人工变量,从而增加计算量。针对这一问题,本文提出了改进单纯形法(一),在不增加人工变量的前提下,采用较简单的方法,求出一基本可行解,并在求解过程中剔除多余约束,判断问题是否有解,同时将线性规划的约束方程化为典式。此方法减少了比较次数,且简单易行,容易在计算机上实现。本文针对线性规划问题在变量和约束的个数较多时,传统单纯形法占据较大的内存空间,且有不少多余计算的情况提出改进单纯形法(二),能以较少的计算量及较小的占用存储空间方法从基的逆矩阵计算出新基的逆矩阵。从而既能使迭代过程持续进行下去,又能克服上述单纯形法的不足,是解决这些问题的一种实用且较有效的方法。 关键词:线性规划、单纯形法、基本可行解、初等变换。 绪论 引言 运筹学是近六十年发展起来的一门学科。运筹学在生产管理、工程技术、军事作战、科学实验。财政经济。社会科学以及自然科学和其他学科都应经取得了很多令人瞩目的成果。线性规划是运筹学的一个重要分支,是运筹学中最重要的一种数量方法,其应用范围非常广泛。主要用于研究解决有限资源的最佳分配问题,即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有力的使用,以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。从数学的角度来说,也就是在对决策变量施加一组线性等式、不等式以及等号的约束下,求决策变量的线性目标函数的最大化和最小化。 与其他的数学学科相比,线性规划是一个相当年轻又非常活跃的应用数学分支。自从一般线性规划问题求解的方法——单纯形法被提出之后,线性规划在理论上趋向成熟,在使用中日益广发与深入。线性规划的广泛应用以及涉及到的数学理论和计算方法,都引起了专业人员和学者们的很大兴趣。 线性规划基础及单纯形法 线性规划问题及数学模型 凡是同时满足以下三个条件的问题,就叫做线性规划问题: (1)可用一些变量表示问题的待定方案,这些变量的一组定值就代表一个具体的方案。因此,可将这些变量称为决策变量,并往往要求它们为非负的。 (2)存在一定的约束条件,这些约束条件都能用关于决策变量的线性等式或线性不等式来表示。 (3)有一个期望达到的目标,它可用决策变量的线性函数(称为目标函数)来表示,根据具体问题的不同,要求目标函数实现最大化或最小化。 线性规划就是研究并解决上述问题的一种理论和方法。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学期望,简称线性规划模型。期一般形式如下:

单纯形法例题

单纯形法例题 1、例1、目标函数 max z=2+3 约束条件: 解:首先要将约束条件化为标准形:由此可以看出我们需要加上三个松弛变量, .得到的标准形式为: max z=2+3+ 0+0+0 然后要将其初始的单纯形表画出来: 23000 b 08121004 01640010- 01200013 23000 由初始单纯形表可以看出,为换入变量,而为换出变量;然后根据:= (也就是如果与主元素同行,则用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值,否则,就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后的值。例如:上面的第一行所对应的b值为8-(12*2)/4=2,故填入值应该为2。而则是由我们根据非基变量的检验数的大小,挑选出最大的那个,作为换入变量,然后用b的值除以该换入变量所在的列的所有值,得到列的值。 23000 b 02010-1/22 016400104 3301001/4- 2000-3/4由于在检验数中仍然存在大于等于0的数,而且P1,P5的坐标中有正分量存在,所以需要继续进行迭代运算。通过观察可以看出主元素为1,换入变量为,换出变量为,故得到的单纯形表如下:

23000 b 221010-1/2- 0800-414 3301001/412 00-201/4由于检验数中存在正数,且P5和P3中有正分量存在,所以需要继续迭代(换入变 23000 b 241001/40 0400-21/21 32011/2-1/80 00-3/2-1/80 (4,2,0,0,4),故目标函数值z=2*4+2*3=14 2、合理利用线材问题,现在要做100套钢架,每套用长为,,和的钢各一根, 已知原料长,问应如何下料,使用的原材料最省; 解:首先我们必须要清楚该问题的需要设立的变量是什么。我们分析一下问题,做100套钢架,需要长的钢100根,的钢100根,的钢100根。而一份原料长度是, 长度/m 下料根数 截取方案 12345 112 212 3132所用长度 剩余长度0 方案,使得剩余的总长度最少。由此,我们可以将目标函数和约束条件表述出来: 目标函数:min z=+++ 约束条件 首先可以写出线性方程组的矩阵形式:发现不存在单位矩阵,所以要采用人造基的方式,也就是要添加人工变量:,那么线性方程组可以

单纯形法的解题步骤

单纯形法的解题步骤

三、单纯形法的解题步骤 第一步:作单纯形表. (1)(1)把原线性规划问题化为标准形式; (2)(2)找出初始可行基,通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵; (3)(3)目标函数非基化; (4)(4)作初始单纯形表. 第二步:最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数,即 ,则此时线性规划问题已取得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数,即,而 所对应的列向量无正分量,则线性规划问题无最 优解. 如果以上两条都不满足,则进行下一步. 第三步:换基迭代. (1)找到最大正检验数,设为,并确定

(2)作单纯形表:在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵,故取为基变量,目标函数已非基化了,作初始单纯形表并“换基迭代”(见表6.8). 表 6.8 x1 x2x3x4x5常数 x 3 x 4 x 51 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 (1)0 0 1 5 10 4 S′ 1 3 0 0 0 0 x 3 x 4 x2 1 0 1 0 0 (1)0 0 1 -2 0 1 0 0 1 5 2 4 S′ 1 0 0 0 -3 -12 x 3 x 1 x 20 0 1 -1 2 1 0 0 1 -2 0 1 0 0 1 3 2 4 S′0 0 0 -1 -1 -14

(3)最终结果:此时检验数均为非正数,线性规划问题取得最优解,最优解为 目标函数取得最优值. 原线性规划问题的最优解为:.目标函数的最优值为14,即. 例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求. 解此数学模型已是标准型了,其中约束方程含有一个二阶单位矩阵(1、2行,3、4列构成),取为基变量,而目标函数没有非基化.从约束方程找出

最新单纯形法例题讲解

单纯形法例题讲解

基可行解 单纯形法是针对标准形式的线性规划问题进行演算的,任何线性规划问题都可以化为标准形式。 min cx f = (1) s.t b Ax = (2) 0≥x (3) 其中 T m mn m m n n T n n b b b b a a a a a a a a a A x x x x c c c c )...,(,............ ... ..., ),...,,(),,...,(212 1 22221112 112121=??? ???????????=== 假设1≥≥m n ,并设系数矩阵A 的秩为m ,即 设约束方程(2)中没有多余的方程,用j p 表示A 的第j 列,于是(2可写成 b p x m k j j =∑=1 (4) 矩阵A 的任意一个m 阶非奇异子方阵为LP 的一个基(或基阵),若 ),...,(21jm j j p p p B = (5)

是一个基,则对应变量jm j j x x x ,...,,21,称关于B 的基变量,其余变量成为关于B 的非基变量,若令非基变量都取零值,则(4)变为 b p x m k jk jk =∑=1 (6) 由于此方程组的系数矩阵B 是满秩方阵,故知(6)有唯一解,记为T jn j j x x x ) ,...,,()0() 0(2) 0(1于是按分量 {}{}),...,,\,...2,1(0) ,....3,2,1(21) 0(m j jk jk j j j n j x m k x x ∈=== 所构成的向量) 0(x 是约束方程组b Ax =的一个 解,称此)0(x 为LP 的对应于基B 的基解 (或基本解),也可称为方程组b Ax =的一个基解,如果) 0(x 为一基解,且满足 0)0(≥x 即它的所有分量都非负,则称此) 0(x 是LP 的一个基可行解,基可行解对应的基 称为可行基。

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