2011年全国高考文科数学试题及答案-湖南
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类
本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．
参考公式（1）柱体体积公式，其中为底面面积，为高．
（2）球的体积公式，其中为球的半径．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集则（ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．
答案：B
解析：画出韦恩图，可知。
２．若为虚数单位，且，则
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：C
解析：因，根据复数相等的条件可知。
３．的
A．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：A
解析：因，反之
，不一定有。
４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：D
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。
5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由
附表：
0．050
0．010
0．001 3．841
6．635
10．828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A． 有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"
B． 有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"
C． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为"爱好该项运动与性别有关"
D． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为"爱好该项运动与性别无关"
答案：A
解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选A.
6．设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
7．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：，所以
。
8．已知函数若有则的取值范围为
A． B． C． D．
答案：B
解析：由题可知，，若有则，即，解得。
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）
9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为则与的交点个数为 ．
答案：2
解析：曲线，曲线，联立方程消得，易得，故有2个交点。
10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第
二次试点可以是 ．
答案：40或60（只填一个也正确）
解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：，，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。
(二)必做题（11-16题）
11．若执行如图2所示的框图，输入则输出的数等于 ．
答案：
解析：由框图功能可知，输出的数等于。
12．已知为奇函数， ．
答案：6
解析：，
又为奇函数，所以。
13．设向量满足且的方向相反，则的坐标为 ．
答案：
解析：由题，所以
14．设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 ．
答案：3
解析：画出可行域，可知在点取最大值为4，解得。
15．已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．
答案：5，
解析：（1）由点到直线的距离公式可得；
（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为.
16、给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，
（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；
（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 。
答案：（1），（2）16
解析：（1）由题可知，而时，则，故只须，故。
（2）由题可知，则，而时，即，即，，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为且满足
（I）求角的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．
解析：（I）由正弦定理得
因为所以
（II）由（I）知于是
取最大值2．
综上所述，的最大值为2，此时
18．（本题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（I）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率 （II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．
解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近
20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率 （II）
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．
19．（本题满分12分）
如图3，在圆锥中，已知的直径的中点．
（I）证明：
（II）求直线和平面所成角的正弦值．
解析：（I）因为
又内的两条相交直线，所以
（II）由（I）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．
在
在
20．（本题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（I）求第n年初M的价值的表达式；
（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．
当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以
因此，第年初，M的价值的表达式为
(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得
当时，
当时，
因为是递减数列，所以是递减数列，又
所以须在第9年初对M更新．
21．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．
（I）求动点的轨迹的方程；
（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．
解析：（I）设动点的坐标为，由题意为
化简得
当、
所以动点P的轨迹C的方程为
（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．
由，得
设则是上述方程的两个实根，于是
．
因为，所以的斜率为．
设则同理可得
故
当且仅当即时，取最小值16．
22．（本小题13分）
设函数
(I)讨论的单调性；
（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
解析：（I）的定义域为
令
(1) 当故上单调递增．
(2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．
(3) 当的两根为，
当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．
（II）由（I）知，．
因为，所以
又由(I)知，．于是
若存在，使得则．即．亦即
再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得
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